甘肅省隴南市禮縣2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(含解析)

2024屆第五次診斷考試數(shù)學(xué)試（題）卷考生注意：本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.所有試題均在答題卡上作答，否則無效.一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng).1．如圖，點(diǎn)A表示的數(shù)可能是（

）A．3 B．2 C．1 D．2．根據(jù)中國信息通信研究院的預(yù)測(cè)，預(yù)計(jì)到年底，我國將在全國范圍內(nèi)累計(jì)開通基站超過個(gè).，數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為（

）A． B． C． D．3．與的角互為余角的角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．5．如圖，△ODC是由△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)31°后得到的圖形，若點(diǎn)D恰好落在AB上，且∠AOC的度數(shù)為100°，則∠DOB的度數(shù)是（）A．34° B．36° C．38° D．40°6．袋子里有4個(gè)球,標(biāo)有2,3,4,5,先抽取一個(gè)并記住,放回,然后再抽取一個(gè),所抽取的兩個(gè)球數(shù)字之和大于6的概率是()A． B． C． D．7．一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定8．如圖，點(diǎn)A、B、C在上，，連接交于點(diǎn)D，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．9．如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，位似比為2：3，已知DF＝4，則AC的長為（）A． B． C． D．10．如圖①，在矩形中，連接，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，依次沿運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，的面積為y，y與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示，則邊的長為（

）A．4 B．3 C．5 D．8二、填空題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.11．分解因式：．12．化簡：．13．如圖，鐘表的上半部分為正八邊形，則該正八邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是．

14．不等式組的解集是．15．在拋物線上有、和三點(diǎn)，若拋物線與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上，則、和的大小關(guān)系為．16．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，若AD=6，則CP的長為．17．如圖①，在等腰直角三角形中，分別以點(diǎn)A、C為圓心，長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)圍成如圖①所示的陰影部分，用5個(gè)陰影部分的圖案拼成如圖②的圖形，若，則圖②圖形的周長為．18．已知一列數(shù)：，，，，，…，按照這個(gè)規(guī)律寫下去，第8個(gè)數(shù)是．三、解答題（一）：本大題共5小題，共38分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.19．計(jì)算：．20．解方程(1)；(2)．21．圖①、圖②均為7×6的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A、B、C在格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))上．（1）在圖①中確定格點(diǎn)D，并畫出一個(gè)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形，使其為軸對(duì)稱圖形；（2）在圖②中確定格點(diǎn)E，并畫出一個(gè)以A、B、C、E為頂點(diǎn)的四邊形，使其為中心對(duì)稱圖形．22．如圖，中，，，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)求證：四邊形是菱形．23．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接、，求的面積．四、解答題（二）：本大題共5小題，共50分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.24．傳統(tǒng)節(jié)日“春節(jié)”到來之際，某商店老板以每件60元的價(jià)格購進(jìn)一批商品，若以單價(jià)80元銷售，每月可售出300件．調(diào)查表明：單價(jià)每上漲1元，該商品每月的銷售量就減少10件．(1)請(qǐng)寫出每月銷售該商品的利潤y（元）與單價(jià)x（元）間的函數(shù)關(guān)系式；(2)單價(jià)定為多少元時(shí)，每月銷售商品的利潤達(dá)到6240元？25．甘肅省博物館館內(nèi)珍藏了眾多珍貴的文物珍寶，尤其是館內(nèi)的馬踏飛燕銅像、驛使圖畫像磚等更是聞名遐邇的珍貴國寶.博物館分為甘肅絲綢之路文明展、莊嚴(yán)妙相——甘肅佛教藝術(shù)展、甘肅彩陶展、甘肅古生物化石展和紅色甘肅——走向1949五個(gè)基本陳列（分別記為A，B，C，D，E）．小亮受邀周六、周日兩天各從五個(gè)基本陳列中隨機(jī)選擇一個(gè)進(jìn)行義務(wù)講解．(1)求小亮周六選擇“甘肅絲綢之路文明展”進(jìn)行講解的概率；(2)用畫樹狀圖或列表的方法，求小亮周六、周日兩天選擇同一個(gè)基本陳列進(jìn)行義務(wù)講解的概率．26．如圖，點(diǎn)B、C、D都在⊙O上，過C點(diǎn)作CA∥BD交OD的延長線于點(diǎn)A，連接BC，∠B=∠A=30°，．（1）試說明：AC是⊙O的切線；（2）求由線段AC、AD與弧CD所圍成的陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）27．閱讀下面的例題及點(diǎn)撥，并解決問題：【例題】有一塊三角形余料，它的邊，高.要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在上，問加工成的正方形零件的邊長是多少毫米?【點(diǎn)撥】：解四邊形為正方形，，，設(shè)正方形零件的邊長為xmm，則，.∵，，即，解得.故這個(gè)正方形零件的邊長是．【問題探究】(1)如果原題中要加工成的零件是一個(gè)矩形，且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成，如圖①，此時(shí)，這個(gè)矩形零件的兩條邊長是多少？(2)如果原題中所要加工成的零件只是一個(gè)矩形，如圖②，求這個(gè)矩形面積的最大值和達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩條邊長．28．如圖，拋物線交x軸于，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，在線段上以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，在線段上以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，的面積取得最大值？并求出面積的最大值；(3)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線于點(diǎn)M，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

參考答案與解析

1．D【分析】本題主要考查數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸三要素是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)A的位置，得到點(diǎn)A表示的數(shù)小于，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)A的位置，得到點(diǎn)A表示的數(shù)小于，故選D．2．B【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義即可得到答案．【詳解】解：數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可表示為．故選B．3．A【分析】此題主要考查了互為余角的定義，直接利用互為余角的定義分析得出答案．正確把握互為余角的定義是解題關(guān)鍵．互為余角的兩個(gè)角的和等于．【詳解】∵∴與的角互為余角的角的度數(shù)是．故選A．4．A【分析】本題主要考查軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義，熟練掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義即可得到答案．【詳解】解：既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)A符合題意；不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)B不符合題意；是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)C不符合題意；是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)D不符合題意．故選A．5．C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出和的度數(shù)，計(jì)算出的度數(shù)．【詳解】解：由題意得，，，又，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)中心的概念是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與抽取的兩個(gè)球數(shù)字之和大于6的情況，再利用概率公式即可求得答案．【詳解】畫樹狀圖得：

∵共有16種等可能的結(jié)果，抽取的兩個(gè)球數(shù)字之和大于6的有10種情況，∴抽取的兩個(gè)球數(shù)字之和大于6的概率是：．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．7．C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；方程沒有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．化成一般形式，計(jì)算方程根的判別式，進(jìn)而判斷即可．【詳解】解：∵∴，∴方程無實(shí)數(shù)根．故選：C．8．D【分析】本題主要考查圓周角定理、平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)圓周角定理得到，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，然后利用三角形外角的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵∴∵∴∴．故選：D．9．C【分析】位似圖形就是特殊的相似圖形位似比等于相似比．利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵△ABC與△DEF是位似圖形，位似比為2：3，∴AC：DF＝2：3，∴AC：4＝2：3，則AC＝．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查位似的定義．解題的關(guān)鍵是掌握位似圖形是相似圖形的特殊形式，位似比等于相似比的特點(diǎn)．10．A【分析】本題考查動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象問題．根據(jù)題意結(jié)合圖象，可知：，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可．從函數(shù)圖象中有效的獲取信息，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積為定值，為6，點(diǎn)的總路程為12，∵矩形，∴，∴，，∴，∴，聯(lián)立：，解得：或，∵，∴；故選A．11．【分析】先提取公因式x，再用平方差公式分解．【詳解】解：原式=x(1-y2)=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止．12．【分析】本題主要考查了分式的加法，先將分母轉(zhuǎn)化為同分母，根據(jù)同分母分式的加法計(jì)算法則求解即可．熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】．故答案為：．13．##135度【分析】本題考查正多邊形的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和公式；根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求解即可，掌握求多邊形的內(nèi)角和的公式是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】正八邊形的內(nèi)角和為∴該正八邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是．故答案為：．14．【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解不等式①，去括號(hào)得，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，；解不等式②，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，系數(shù)化為1得，故不等式組的解集為：．故答案為：．15．【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到，對(duì)稱軸，根據(jù)增減性即可得到答案．【詳解】解：拋物線與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上，，開口向下，且對(duì)稱軸，故關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)為，由于開口向下，當(dāng)時(shí)，函速達(dá)單調(diào)遞減，．故答案為：．16．3【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，根據(jù)直角三角形中，所對(duì)的直角邊是斜邊的一半求出DE長，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得CD=DE，再用一次剛才的定理求出BD，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出CP的長．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，∵，，∴，∴，∵BD平分，∴，，在中，，∵P是BD的中點(diǎn)，∴．故答案是：3．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和含有角的直角三角形的性質(zhì)．17．【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，弧長公式，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)弧長公式求出每段弧長即可得到答案．【詳解】解：為等腰直角三角形，，，故每段弧長為，故圖②圖形的周長為．故答案為：．18．【分析】本題考查了數(shù)字的變化類題目，根據(jù)題意找出分子和分母與序號(hào)的關(guān)系進(jìn)而求解即可，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的變化規(guī)律得到相應(yīng)的結(jié)果．【詳解】第1個(gè)數(shù)為第2個(gè)數(shù)為第3個(gè)數(shù)為第4個(gè)數(shù)為第5個(gè)數(shù)為…∴第8個(gè)數(shù)為．故答案為：．19．【分析】本題考查的是零次冪的含義，二次根式的乘法運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．先利用平方差公式計(jì)算二次根式的乘法運(yùn)算，零次冪和絕對(duì)值，再合并即可．【詳解】．20．(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）先去括號(hào)，然后利用十字相乘法把方程左邊分解因式，進(jìn)而解方程即可；（2）先移項(xiàng)，然后利用提公因式法把方程左邊分解因式，進(jìn)而解方程即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴或，解得；（2）解：∵，∴，∴，即，∴或，解得．21．（1）見解析；（2）見解析.【詳解】解：（1）如圖：（2）如圖：22．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定．（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，證明即可；（2）等邊對(duì)等角，推出，得到，同理，得到四邊形是平行四邊形，再根據(jù)，即可得出結(jié)論．掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴；（2）證明：∵，，∴，∵，∴，

∵，

∴，

∴，

同理，

∴四邊形是平行四邊形

∵，∴平行四邊形是菱形．23．(1)，(2)16【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．（1）將點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析，求出的值，把點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式求出的值，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用的面積等于，進(jìn)行求解即可．正確的求出函數(shù)解析式，利用分割法求面積，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象過、，∴，∴，∴，把、代入一次函數(shù)解析式，得：，解得：，∴；（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∴，∴的面積等于．24．(1)(2)當(dāng)售價(jià)為86或84元時(shí)，每月銷售商品的利潤達(dá)到6240元．【分析】本題考查了二次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用，解一元二次方程的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)總利潤等于每件的利潤乘以銷售量寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式并化簡即可；（2）令，得到解方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：，∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為；（2）令得，解得，，∴當(dāng)售價(jià)為86或84元時(shí)，每月銷售商品的利潤達(dá)到6240元．25．(1)(2)【分析】本題主要考查了列表法與樹狀圖以及概率公式，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用概率公式計(jì)算即可；（2）畫樹狀圖得到所有結(jié)果，找出符合條件的結(jié)果利用概率公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由五個(gè)基本陳列（分別記為A，B，C，D，E），小亮周六選擇“甘肅絲綢之路文明展”進(jìn)行講解的概率；（2）解：畫樹狀圖，小亮周六、周日兩天義務(wù)講解一共有種等可能的情況，其中兩天選擇同一個(gè)基本陳列進(jìn)行義務(wù)講解是種，故．26．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理求出∠COA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OCA，根據(jù)切線的判定推出即可．（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分別求出△ACO的面積和扇形COD的面積根據(jù)轉(zhuǎn)換思想，由即可得出答案．【詳解】解：（1）證明：如答圖，連接OC，交BD于E，∵∠B和∠COD是同弧所對(duì)的圓周角和圓心角，∴∠COD=2∠B．∵∠B=30°，∴∠COD=60°．∵∠A=30°，∴∠OCA=90°，即OC⊥AC．∴AC是⊙O的切線．（2）∵AC∥BD，∠OCA=90°，∴∠OED=∠OCA=90°．∵BD=，∴．∵在Rt△ODE中，，∴OD=2．∵在Rt△ACO中，，∴AC=．∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理；三角形內(nèi)角和定理；切線的判定；平行線的性質(zhì)；垂徑定理；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；扇形面積和三角形面積的計(jì)算；轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用．27．(1)，(