空間點、線、面的位置關(guān)系 高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第41課時空間點、線、面的位置關(guān)系第七單元立體幾何01知識體系02考情回顧03課前自學(xué)目錄04課堂導(dǎo)學(xué)【單元概述】

1.通過柱、錐、臺、球等基本立體圖形的組成元素及其

相互關(guān)系，認識其幾何結(jié)構(gòu)特征，學(xué)習(xí)它們在平面上的直觀圖表示以及

它們的表面積和體積的計算.然后以組成立體圖形的基本元素——點、

直線、平面為對象，在研究平面基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，認識空間點、直

線、平面的位置關(guān)系，重點研究直線、平面的平行和垂直這兩種特殊的

位置關(guān)系.2.在平面向量的基礎(chǔ)上，利用類比方法，學(xué)習(xí)空間向量的概念、運算

（包括線性運算和數(shù)量積）、基本定理，并運用空間向量研究基本圖形

的平行、垂直等位置關(guān)系和距離、角度問題.

年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷適應(yīng)性卷高考預(yù)

測2023第12題幾何體計算第14題臺體計算第18題證明線線

平行及二面角應(yīng)用第9題錐體計算第14題體積計算第20題證明線線

垂直及求解二面角四

省第6題錐體計算第10題空間位置關(guān)系第17題體積計算及求解二面角1.重點：空間平行與垂直.2.熱點：線、面

位置關(guān)系的證明與線面角、二面角.3.關(guān)注點：幾何體的分割與組合.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷適應(yīng)性卷高考預(yù)

測2022第4題臺體計算第8題錐體計算第9題線線角與線面角第19題點面距離及求解二面角第7題正三棱臺及外接球問題第11題體積計算第20題證明線面

平行及求解二面角1.重點：空

間平行與垂直.2.熱點：線、面位置關(guān)系的證明與線面角、二面角.3.關(guān)注點：幾何體的分割與組合.年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷適應(yīng)性卷高考預(yù)測年份2021第3題錐體計算第12題柱體分析第20題證明線線垂直與體積計算第5題臺體計算第10題空間位置關(guān)系第19題證明面面垂直及求解二面角八省第11題空間想象第13題圓臺與球的切接第20題立體幾何的新定義1.重點：空間平行與垂直.2.熱點：

線、面位置關(guān)系的證明與線面角、二面角.3.關(guān)注點：幾何體的分割與組合.2020第16題棱柱與球的交線問題第13題錐體計算第20題證明線面垂直及利用空間向量求線面角的正弦值山東第5題錐體計算第11題空間位置關(guān)系第16題球體計算第19題證明線面垂直及求解二面角年份新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷適應(yīng)性卷高考預(yù)測年份2020第20題證明線面垂直及利用空間向量求線面角的正弦值第13題錐體計算第20題證明線面垂直及利用空間向量求線面角的正弦值山

東第5題錐體計算第11題空間位置關(guān)系第16題球體計算第19題證明線面垂直及求解二面角1.重點：空間平行與垂直.2.熱點：

線、面位置關(guān)系的證明與線面角、二面角.3.關(guān)注點：幾何體的分割與組合.【考情概述】空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系是新高考的基本內(nèi)

容之一，常以選擇題、填空題的形式考查，偶以解答題的形式進行考

查，如四點共面問題等，難度中等，屬于高頻考點.【課時目標】了解平面及其基本性質(zhì)；理解空間點、直線、平面之間

的位置關(guān)系.

知識梳理1.公理1～3公理文字語言圖形語言符號語言公理1如果一條直線上

的

?在

一個平面內(nèi)，那

么這條直線在此

平面內(nèi)

?

l

?α兩個點公理文字語言圖形語言符號語言公理2過

的三點，有且只有一個平面

A，B，C三點不

共線?有且只有一個平面α，使A

∈α，B∈α，C∈α公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有

?

?過該點的公共直線

P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且

P∈l

不在一條直

線上一

條2.公理2的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.推論2：經(jīng)過兩條

直線，有且只有一個平面.推論3：經(jīng)過兩條

直線，有且只有一個平面.注意：公理1是判斷一條直線是否在某個平面內(nèi)的依據(jù)，公理2及其推論

是判斷或證明點、線共面的依據(jù)，公理3是證明三線共點或三點共線的

依據(jù).平行相交3.空間中兩條直線的位置關(guān)系（1）

位置關(guān)系分類：①

共面直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點（相交直線）；同一

平面內(nèi)，沒有公共點（

直線）.

②

異面直線：不同在

內(nèi)，沒有公共點.平行任何一個平面（2）

平行公理和等角定理：①

平行公理：平行于同一條直線的兩條直線

.

②

等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個

角

?.相互平行相等或互補4.異面直線所成的角（1）

定義：已知兩條異面直線

a

，

b

，經(jīng)過空間任一點

O

作直線a'∥

a

，b'∥

b

，把

叫做異面直線

a

與

b

所

成的角（或夾角）.（2）

范圍：

?.5.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系（1）

直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況.（2）

平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.a'與b'所成的銳角（或直角）

常用結(jié)論1.如果空間中兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角

?

?.2.異面直線的判定：經(jīng)過平面

一點和平面

?一點的直線與平

面內(nèi)

的直線互為異面直線.相等或互

補內(nèi)外不經(jīng)過該點3.唯一性定理（1）

過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.（2）

過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.（3）

過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.（4）

過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.回歸課本1.判斷：（1）

（RA二P128練習(xí)第1題（1））書桌面是平面.

（

?

）（2）

（RA二P132習(xí)題8.4第3題（1））兩兩相交且不共點的三條直線

確定一個平面.

（

√

）（3）

（RA二P131練習(xí)第3題（2））若直線

l

與平面α平行，則

l

與α內(nèi)

的任意一條直線都平行.

（

?

）（4）

（RA二P148練習(xí)第1題（1））如果兩條平行直線中的一條與已知

直線垂直，那么另一條也與已知直線垂直.

（

√

）?√?√2.（RA二P128練習(xí)第2題）下列命題正確的是（

D

）A.三點確定一個平面B.一條直線和一個點確定一個平面C.圓心和圓上兩點可確定一個平面D.梯形可確定一個平面3.（RA二P147例1改編）在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

分別

是

AB

，

AD

的中點，則異面直線

B

1

C

與

EF

所成的角的大小為

（

C

）A.30°B.45°C.60°D.90°DC4.（多選）（RA二P132習(xí)題8.4第2題（2）改編）若直線

a

不平行于平

面α，且

a

?α，則下列結(jié)論不成立的是（

ACD

）A.α內(nèi)的所有直線與

a

是異面直線B.α內(nèi)不存在與

a

平行的直線C.α內(nèi)存在唯一一條直線與

a

平行D.α內(nèi)的所有直線與

a

都相交ACD5.（RA二P132習(xí)題8.4第5題改編）正方體各面所在的平面將空間分

成

部分.27

考點一

平面基本性質(zhì)的應(yīng)用例1如圖，在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

分別是

AB

，

AA

1

的中點.求證：

（1）

E

，

C

，

D

1，

F

四點共面；證明：（1）

如圖，連接

EF

，

CD

1，

A

1

B

.

因為

E

，

F

分別是

AB

，

AA

1的中點，所以

EF

∥

BA

1.又因為易知

BA

1∥

CD

1，所以

EF

∥

CD

1.所以

E

，

C

，

D

1，

F

四點共面.（2）

CE

，

D

1

F

，

DA

三線共點.證明：（2）

因為

EF

∥

CD

1，

EF

＜

CD

1，所以

CE

與

D

1

F

必相交，設(shè)

交點為

P

（如圖）.因為

P

∈

CE

，

CE

?平面

ABCD

，所以

P

∈平面

ABCD

.

同理，可得

P

∈平面

ADD

1

A

1.又平面

ABCD

∩平面

ADD

1

A

1＝

DA

，所以

P

∈直線

DA

.

所以

CE

，

D

1

F

，

DA

三線共點.1.若本例中平面

BB

1

D

1

D

與

AC

1交于點

M

，求證：

B

，

M

，

D

1三

點共線.

[變式演練]//////總結(jié)提煉

共面、共線、共點問題的證明（1）

證明共面的方法：先確定一個平面，然后證其余的線（或點）

在這個平面內(nèi).（2）

證明共線的方法：①

先由兩個點確定一條直線，再證其他各點

都在這條直線上；②

直接證明這些點是兩相交平面的公共點.（3）

證明線共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直

線經(jīng)過該點.[對點訓(xùn)練]1.如圖，在空間四邊形

ABCD

中，

E

，

F

分別為

AB

，

AD

的中點，點

G

，

H

分別在

BC

，

CD

上，且

BG

∶

GC

＝

DH

∶

HC

＝1∶2.求證：（1）

E

，

F

，

G

，

H

四點共面；證明：（1）

因為

BG

∶

GC

＝

DH

∶

HC

＝1∶2，所以

GH

∥

BD

.

因為

E

，

F

分別為

AB

，

AD

的中點，所以

EF

∥

BD

.

所以

EF

∥

GH

.

所以

E

，

F

，

G

，

H

四點共面.（2）

EG

與

HF

的交點在直線

AC

上.證明：（2）

因為

G

，

H

不是

BC

，

CD

的中點，所以易

得

EF

≠

GH

.

所以

EG

與

FH

必相交.設(shè)

EG

∩

FH

＝

M

.

因

為

EG

?平面

ABC

，

HF

?平面

ACD

，所以

M

∈平面

ABC

，且

M

∈平面

ACD

.

因為平面

ABC

∩平面

ACD

＝

AC

，所以

M

∈

AC

.

所以

EG

與

HF

的交點在直線

AC

上.考點二

判斷空間兩直線的位置關(guān)系例2如圖，在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

M

，

N

分別為棱

C

1

D

1，

CC

1的中點，有下列結(jié)論：①

直線

AM

與

CC

1是相交直線；②

直線

AM

與

BN

是平行直線；③

直線

BN

與

MB

1是異面直線；④

直線

AM

與

DD

1

是異面直線.其中，正確的是

（填序號）.③④

解：因為點

A

在平面

CDD

1

C

1外，點

M

在平面

CDD

1

C

1內(nèi)，直線

CC

1在

平面

CDD

1

C

1內(nèi)，且直線

CC

1不過點

M

，所以直線

AM

與

CC

1是異面直

線.故①錯誤.取

DD

1的中點

E

，連接

AE

，則

BN

∥

AE

.

所以

BN

與

AE

確

定平面

ABNE

.

因為易知

AM

?平面

ABNE

，

AE

與

AM

相交，所以

AM

與

BN

異面.故②錯誤.因為點

M

在平面

BCC

1

B

1外，點

B

1與直線

BN

都在

平面

BCC

1

B

1內(nèi)，且直線

BN

不過點

B

1，所以直線

BN

與

MB

1是異面直

線.故③正確.同理，④正確.總結(jié)提煉

1.點、線、面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體（長方體、正方體）

模型來判斷，借助模型，直觀感知并認識空間點、線、面的位置關(guān)系.2.異面直線的判定常用到以下結(jié)論：平面外一點

A

與平面內(nèi)一點

B

的

連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點

B

的直線是異面直線.[對點訓(xùn)練]2.如圖，在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

P

是

A

1

D

的中點，則下列說

法正確的是（

A

）A.直線

PB

與直線

A

1

D

垂直，直線

PB

∥平面

B

1

D

1

C

B.直線

PB

與直線

D

1

C

平行，直線

PB

⊥平面

A

1

C

1

D

C.直線

PB

與直線

AC

異面，直線

PB

⊥平面

ADC

1

B

1D.直線

PB

與直線

B

1

D

1相交，直線

PB

?平面

ABC

1A解：如圖，連接

AB

1，

C

1

D

，

A

1

C

1，

DB

，

A

1

B

，

D

1

B

1，

D

1

C

，

B

1

C

，

AC

.

由正方體的性質(zhì)可知，

BA

1＝

BD

.

因為

P

是

A

1

D

的中點，所以

直線

PB

與直線

A

1

D

垂直.因為

DB

∥

D

1

B

1，

DB

?平面

B

1

D

1

C

，

D

1

B

1?平面

B

1

D

1

C

，所以

DB

∥平面

B

1

D

1

C

.

同理，可得

A

1

B

∥平面

B

1

D

1

C

.

又

A

1

B

∩

DB

＝

B

，

A

1

B

?平面

BDA

1，

DB

?平面

BDA

1，所以平

面

BDA

1∥平面

B

1

D

1

C

.

又

PB

?平面

BDA

1，所以直線

PB

∥平面

B

1

D

1

C

.

3.（多選）如圖，在正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，點

O

為正方形

ABCD

的中心，當點

M

在線段

B

1

D

1（不包含端點）上運動時，下列直

線一定與直線

OM

異面的是（

BC

）A.

CC

1B.

A

1

B

C.

AB

1D.

DB

1BC考點三

異面直線所成的角例3如圖，在底面為正方形、側(cè)棱垂直于底面的四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AA

1＝2

AB

＝2，則異面直線

A

1

B

與

AD

1所成角的余弦值為

（

D

）A.

B.

C.

D.

D

3

[變式演練]總結(jié)提煉

用平移法求異面直線所成的角的三個步驟（1）

一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角.（2）

二證：證明作出的角是異面直線所成的角.（3）

三求：解三角形，求出所作的角.[對點訓(xùn)練]4.如圖，在正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

AB

＝

AA

1，

M

，

N

分別是

BB

1

和

B

1

C

1的中點，則直線

AM

與

CN

所成角的余弦值為

?.

考點四

立體幾何中的截面問題例4用一個平面截正方體，所得截面可以是幾邊形？該多邊形有何特

征？截面能否為正五邊形？解：用一個平面截正方體，所得截面可以是三角形、四邊形、五邊形、

六邊形.根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理知，所得四邊形至少有一對對

邊平行、五邊形恰有兩對邊平行、六邊形恰有三對對邊平行.用一個平

面去截一個正方體所得截面不能是一個正五邊形.事實上，若截面可以

為一個正五邊形，則此五邊形的五條邊分屬于此正方體的五個不同的

面.我們將正方體的每兩個相對的面作為一個抽屜，則上述包含正五邊

形的邊的五個面中，必有兩個面為相對的平面，它們是平行的，利用平

行平面的性質(zhì)，可知此五邊形中有兩條邊是平行的.但是正五邊形的五

條邊是