廣西科技大學高等數學試題

PAGEPAGE3高等數學A2過往考題精選（解答）一、選擇題（單選題，把正確答案的序號填在括號內）：1、面上的曲線繞軸旋轉所得旋轉曲面的方程為【B】．；；；．2、曲面在點處的法線方程是【C】．；；；．3、設一平面通過點且在三坐標軸上的截距相等，則該平面的方程為【D】．；；；．4、曲線在點處的切線方程是【C】．；；；．5、曲線，，在對應于的點處的法平面方程是【B】.；；；．6、已知對坐標的曲線積分在全平面內與路徑無關，為平面上任一曲線，則常數【D】．；；；．7、已知對坐標的曲線積分在全平面內與積分路徑無關，其中為平面上的任一曲線，具有連續(xù)導數，則【B】．；；；．8、對于級數，下列命題錯誤的是【A】．若，則級數收斂；若級數收斂，則；若級數收斂，則級數收斂；若級數收斂，則級數收斂．9、設與是兩個正項級數，且，則下列命題正確的是【B】．若級數收斂，則級數必定收斂；若級數收斂，則級數必定收斂；若級數發(fā)散，則級數必定發(fā)散；以上都不對．10、設冪級數的收斂半徑為，則冪級數的收斂半徑為【B】．；；；．11、如果冪級數在處發(fā)散，則下列結論正確的是【C】．當時級數絕對收斂；當時級數條件收斂；當時級數發(fā)散；以上結論都不對．12、如果冪級數在處收斂，則下列結論正確的是【A】．當時級數絕對收斂；當時級數條件收斂；當時級數發(fā)散；以上結論都不對．13、設，則下列關于冪級數的結論正確的是【B】．當時級數絕對收斂；當時級數絕對收斂；當時級數絕對收斂；當時級數絕對收斂.14、微分方程的方程類型是【A】．齊次方程；線性方程；可分離變量方程；一階非線性方程.15、二階常系數非齊次線性微分方程的特解形式可設為【C】．；；；．二、填空題：1、已知向量，且，則參數1．2、設向量，，則.3、設平面與平行，則．4、若向量與直線垂直，則-1．5、過點且與平面垂直的直線方程是．6、過點且與直線垂直的平面方程為．7、2.8、.9、4.10、設，則全微分.11、設，則全微分.12、設二元函數，則二階混合偏導數．13、設，則二階混合偏導數.14、二次積分交換積分次序后的結果為．15、二次積分交換積分次序后的結果為．16、設為上從點到點的一段直線，則對弧長的曲線積分．17、設為圓周，則．18、級數的斂散性是條件收斂（絕對收斂、條件收斂、發(fā)散）.19、級數的斂散性是絕對收斂（絕對收斂、條件收斂、發(fā)散）.20、當滿足不等式時，級數收斂.21、若級數（）絕對收斂，則的取值范圍是.22、設的收斂域為,則的收斂域是.23、函數展開成的冪級數為.24、函數展開成的冪級數為.25、微分方程的通解是.26、方程的通解是.27、方程的通解是.28、方程的通解是.29、方程的特解的形式是.三、計算題：1、設，求，，.解：，，.2、設，求，及.解：，，.3、設函數，求偏導數，，及全微分.解：，，，.4、設由方程所確定，求，.解：令，則，，，，.5、設函數由方程所確定，求偏導數，及全微分．解：令，則，，，，.四、計算題：1、計算，其中是由、及所圍成的閉區(qū)域.解：因為，所以.2、計算，其中是由及圍成的閉區(qū)域.解：因為，所以.3、設是由、及所圍成的閉區(qū)域，求.解：因為，所以.4、計算，其中是由.解：令，則，從而.5、計算，其中,.解：令，則，從而.6、設，其中由，，，所圍而成，求的值.解：因為，所以，由，得，解得.7、交換二次積分的積分次序，并求出的值．解：.8、交換二次積分的積分次序，并求出的值.解：.五、計算題：1、計算對坐標的曲線積分，其中是上半圓周與軸所圍成的閉區(qū)域的取正方向的邊界曲線.解：因為，，由格林公式有.2、設對坐標的曲線積分,是圓周所圍閉區(qū)域的正向邊界，求的值．解：因為，，由格林公式有由，得，即，解得.3、設對坐標的曲線積分，其中是圓周所圍閉區(qū)域的正向邊界，求的值．解：因為，，由格林公式有,由，得，解得.六、計算題：1、設有冪級數，（1）求其收斂半徑；（2）指出其收斂區(qū)間；（3）討論冪級數在收斂區(qū)間端點處的斂散性，并確定其收斂域．解：（1）因為，所以收斂半徑.（2）收斂區(qū)間為.（3）當，級數為，收斂；當，級數為，收斂；收斂域為.2、設有冪級數，求級數的收斂域.解：因為，所以，從而當，即時，級數收斂；當，即時，級數發(fā)散.當，級數為，收斂；當，級數為，發(fā)散，故級數的收斂域為.3、將函數展開成關于的冪級數，并指出其收斂區(qū)間.解：，.七、計算題：1、求可分離變量微分方程的通解及滿足初值條件的特解．解：方程變?yōu)?，所以，解得，所以通解?由，得.所以所求的特解為.2、已知方程，求：（1）方程的通解；（2）方程滿足初始條件的特解.解：（1）因為，所以通解為.（2）由，解得，所以所求的特解為.3、設有常系數非齊次線性微分方程，（1）求對應的常系數齊次線性微分方程的通解；（2）求的一個特解；（3）求的通解.解：（1）特征方程為，解得特征根為，所以的通解為.（2）因為是特征單根，，所以原方程的特解形式為，代入方程化簡得，解得，故所求特解為.（3）原方程的通解為.八、計算題：1、求過兩點，且與平面垂直的平面方程.解：設所求平面的方程為，記.由條件，有，解方程組得，，，.代入方程，得，即.2、求過原點且通過直線的平面方程.解：因為平面過原點，所以可設其方程為.由已知，有，解方程組得，，.代入方程，得，即.3、設二元函數在點處取得極值，求、的值.解：，.由已知，有，即，亦即，解得，.4、試用條件極值的拉格朗日乘數法求平面上從點到拋物線的最短距離．解：設是拋物線上的任一點，則點到點的距離為，從而，其中滿足.設，令，解方程組得，.顯然，點到拋物線的距離存在最小值（而沒有最大值），所以當時，距離最小，且最小距離為.5、設長方體的體積為定數，應如何選擇長方體的尺寸，才能使它的棱長之和為最小.解：設長方體的三個棱長分別為、、，它們的和為.則有，且.由，得.代入，得.令，解得，從而.故當長方體的三個棱長均為時，棱長之和最小.6、設一矩形的周長為（），現讓它繞其一邊旋轉，求所得圓柱體體積的最大值.解：設矩形的邊長分別為、，且繞長為的邊旋轉，設體積為，則有，且.由，得.代入，得.令，得，從而.由問題的性質知函數必存在最大值（而沒有最小值），故當矩形的邊長分別為、，且繞短邊旋轉時，圓柱體的體積為最大，且最大體積為.九、證明題：1、設，其中為可導函數，證明：.證明：因為，，所以.2、設函數由方程所確定，其中具有一階連續(xù)偏導數，證明：.證明：設，則，，，所以，，故.3、設，其中具有一階連續(xù)偏導數，證明：.證明：因為，，，所以.4、試證曲面上任一點處的切平面在各坐標軸上的截距之和為4.證明：設，則，，，所以曲面在其上任一點處的切平面的