廣西科技大學(xué)高等數(shù)學(xué)試題

PAGEPAGE3高等數(shù)學(xué)A2過往考題精選（解答）一、選擇題（單選題，把正確答案的序號(hào)填在括號(hào)內(nèi)）：1、面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為【B】．；；；．2、曲面在點(diǎn)處的法線方程是【C】．；；；．3、設(shè)一平面通過點(diǎn)且在三坐標(biāo)軸上的截距相等，則該平面的方程為【D】．；；；．4、曲線在點(diǎn)處的切線方程是【C】．；；；．5、曲線，，在對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的法平面方程是【B】.；；；．6、已知對(duì)坐標(biāo)的曲線積分在全平面內(nèi)與路徑無關(guān)，為平面上任一曲線，則常數(shù)【D】．；；；．7、已知對(duì)坐標(biāo)的曲線積分在全平面內(nèi)與積分路徑無關(guān)，其中為平面上的任一曲線，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則【B】．；；；．8、對(duì)于級(jí)數(shù)，下列命題錯(cuò)誤的是【A】．若，則級(jí)數(shù)收斂；若級(jí)數(shù)收斂，則；若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂．9、設(shè)與是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則下列命題正確的是【B】．若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)必定收斂；若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)必定收斂；若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)必定發(fā)散；以上都不對(duì)．10、設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為【B】．；；；．11、如果冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則下列結(jié)論正確的是【C】．當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)條件收斂；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；以上結(jié)論都不對(duì)．12、如果冪級(jí)數(shù)在處收斂，則下列結(jié)論正確的是【A】．當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)條件收斂；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；以上結(jié)論都不對(duì)．13、設(shè)，則下列關(guān)于冪級(jí)數(shù)的結(jié)論正確的是【B】．當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.14、微分方程的方程類型是【A】．齊次方程；線性方程；可分離變量方程；一階非線性方程.15、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解形式可設(shè)為【C】．；；；．二、填空題：1、已知向量，且，則參數(shù)1．2、設(shè)向量，，則.3、設(shè)平面與平行，則．4、若向量與直線垂直，則-1．5、過點(diǎn)且與平面垂直的直線方程是．6、過點(diǎn)且與直線垂直的平面方程為．7、2.8、.9、4.10、設(shè)，則全微分.11、設(shè)，則全微分.12、設(shè)二元函數(shù)，則二階混合偏導(dǎo)數(shù)．13、設(shè)，則二階混合偏導(dǎo)數(shù).14、二次積分交換積分次序后的結(jié)果為．15、二次積分交換積分次序后的結(jié)果為．16、設(shè)為上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段直線，則對(duì)弧長的曲線積分．17、設(shè)為圓周，則．18、級(jí)數(shù)的斂散性是條件收斂（絕對(duì)收斂、條件收斂、發(fā)散）.19、級(jí)數(shù)的斂散性是絕對(duì)收斂（絕對(duì)收斂、條件收斂、發(fā)散）.20、當(dāng)滿足不等式時(shí)，級(jí)數(shù)收斂.21、若級(jí)數(shù)（）絕對(duì)收斂，則的取值范圍是.22、設(shè)的收斂域?yàn)?則的收斂域是.23、函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)為.24、函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)為.25、微分方程的通解是.26、方程的通解是.27、方程的通解是.28、方程的通解是.29、方程的特解的形式是.三、計(jì)算題：1、設(shè)，求，，.解：，，.2、設(shè)，求，及.解：，，.3、設(shè)函數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)，，及全微分.解：，，，.4、設(shè)由方程所確定，求，.解：令，則，，，，.5、設(shè)函數(shù)由方程所確定，求偏導(dǎo)數(shù)，及全微分．解：令，則，，，，.四、計(jì)算題：1、計(jì)算，其中是由、及所圍成的閉區(qū)域.解：因?yàn)?，所?2、計(jì)算，其中是由及圍成的閉區(qū)域.解：因?yàn)椋?3、設(shè)是由、及所圍成的閉區(qū)域，求.解：因?yàn)?，所?4、計(jì)算，其中是由.解：令，則，從而.5、計(jì)算，其中,.解：令，則，從而.6、設(shè)，其中由，，，所圍而成，求的值.解：因?yàn)?，所以，由，得，解?7、交換二次積分的積分次序，并求出的值．解：.8、交換二次積分的積分次序，并求出的值.解：.五、計(jì)算題：1、計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，其中是上半圓周與軸所圍成的閉區(qū)域的取正方向的邊界曲線.解：因?yàn)?，，由格林公式?2、設(shè)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,是圓周所圍閉區(qū)域的正向邊界，求的值．解：因?yàn)?，，由格林公式有由，得，即，解?3、設(shè)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，其中是圓周所圍閉區(qū)域的正向邊界，求的值．解：因?yàn)?，，由格林公式?由，得，解得.六、計(jì)算題：1、設(shè)有冪級(jí)數(shù)，（1）求其收斂半徑；（2）指出其收斂區(qū)間；（3）討論冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間端點(diǎn)處的斂散性，并確定其收斂域．解：（1）因?yàn)?，所以收斂半?（2）收斂區(qū)間為.（3）當(dāng)，級(jí)數(shù)為，收斂；當(dāng)，級(jí)數(shù)為，收斂；收斂域?yàn)?2、設(shè)有冪級(jí)數(shù)，求級(jí)數(shù)的收斂域.解：因?yàn)?，所以，從而?dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)，級(jí)數(shù)為，收斂；當(dāng)，級(jí)數(shù)為，發(fā)散，故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?3、將函數(shù)展開成關(guān)于的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.解：，.七、計(jì)算題：1、求可分離變量微分方程的通解及滿足初值條件的特解．解：方程變?yōu)?，所以，解得，所以通解?由，得.所以所求的特解為.2、已知方程，求：（1）方程的通解；（2）方程滿足初始條件的特解.解：（1）因?yàn)?，所以通解?（2）由，解得，所以所求的特解為.3、設(shè)有常系數(shù)非齊次線性微分方程，（1）求對(duì)應(yīng)的常系數(shù)齊次線性微分方程的通解；（2）求的一個(gè)特解；（3）求的通解.解：（1）特征方程為，解得特征根為，所以的通解為.（2）因?yàn)槭翘卣鲉胃?，，所以原方程的特解形式為，代入方程化簡得，解得，故所求特解?（3）原方程的通解為.八、計(jì)算題：1、求過兩點(diǎn)，且與平面垂直的平面方程.解：設(shè)所求平面的方程為，記.由條件，有，解方程組得，，，.代入方程，得，即.2、求過原點(diǎn)且通過直線的平面方程.解：因?yàn)槠矫孢^原點(diǎn)，所以可設(shè)其方程為.由已知，有，解方程組得，，.代入方程，得，即.3、設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，求、的值.解：，.由已知，有，即，亦即，解得，.4、試用條件極值的拉格朗日乘數(shù)法求平面上從點(diǎn)到拋物線的最短距離．解：設(shè)是拋物線上的任一點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，從而，其中滿足.設(shè)，令，解方程組得，.顯然，點(diǎn)到拋物線的距離存在最小值（而沒有最大值），所以當(dāng)時(shí)，距離最小，且最小距離為.5、設(shè)長方體的體積為定數(shù)，應(yīng)如何選擇長方體的尺寸，才能使它的棱長之和為最小.解：設(shè)長方體的三個(gè)棱長分別為、、，它們的和為.則有，且.由，得.代入，得.令，解得，從而.故當(dāng)長方體的三個(gè)棱長均為時(shí)，棱長之和最小.6、設(shè)一矩形的周長為（），現(xiàn)讓它繞其一邊旋轉(zhuǎn)，求所得圓柱體體積的最大值.解：設(shè)矩形的邊長分別為、，且繞長為的邊旋轉(zhuǎn)，設(shè)體積為，則有，且.由，得.代入，得.令，得，從而.由問題的性質(zhì)知函數(shù)必存在最大值（而沒有最小值），故當(dāng)矩形的邊長分別為、，且繞短邊旋轉(zhuǎn)時(shí)，圓柱體的體積為最大，且最大體積為.九、證明題：1、設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，證明：.證明：因?yàn)?，，所?2、設(shè)函數(shù)由方程所確定，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明：.證明：設(shè)，則，，，所以，，故.3、設(shè)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明：.證明：因?yàn)?，，，所?4、試證曲面上任一點(diǎn)處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和為4.證明：設(shè)，則，，，所以曲面在其上任一點(diǎn)處的切平面的