專題六 函數(shù)導(dǎo)數(shù)-2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)核心速學(xué)解答題專題突破（藝體生適用）

核心速學(xué)專題六函數(shù)導(dǎo)數(shù)【核心考點(diǎn)整合】【思維導(dǎo)引】1.曲線的切線問題的類型與處理策略曲線的切線問題主要考查切線方程的求解、切線存在性等問題，主要題型有以下幾種：（1）求曲線在“某一點(diǎn)處”和“過某一點(diǎn)”的切線方程，前者直接求導(dǎo)，代入求斜率，再求切線方程，后者需要設(shè)出切點(diǎn)，建立方程，求出切點(diǎn)，再求切線方程.（2）某條直線與兩個(gè)函數(shù)均相切的證明或求參數(shù)的范圍，通常需要設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，得到兩條直線方程，再證明其重合，或建立參數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而運(yùn)用消元法，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得參數(shù)的范圍.（3）根據(jù)切線與函數(shù)圖象的關(guān)系，運(yùn)用放縮法，化繁為簡(jiǎn)，構(gòu)建新函數(shù)，探究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而證明不等式2.函數(shù)與不等式恒成立問題的處理與轉(zhuǎn)化（1）含單元變量的恒成立問題，通常有三種方法：第一種方法（也是首選方法）是；參變分離（即將函數(shù)中的參數(shù)和變量分而治之，分開到不等式的兩側(cè)，一側(cè)是參數(shù)，一側(cè)是變量），判斷誰是參教誰是變量的方法是題目最后求解的往往是參數(shù)，而題干中給出范圍的那個(gè)就是變量，第二種方法是：最值的思想，有些函數(shù)恒成立問題是無法分參的，可以通過求解函數(shù)的最值，讓最小值大于等于零，或者最大值小于等于零，第三種方法是借助一些不等式放縮實(shí)現(xiàn)。含雙元變量的恒成立問題，按照變量的轉(zhuǎn)化先后順序通常有兩種思路，要注意對(duì)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行觀察，選擇合適、簡(jiǎn)潔的方法.3.導(dǎo)數(shù)與不等式存在性問題的處理與轉(zhuǎn)化（1）含單變量的存在性問題，通常有兩種處理思路：①函數(shù)最值法，將不等式轉(zhuǎn)化為某待求參數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求得該函數(shù)的極值、最值，然后構(gòu)建不等式求解；②分離參數(shù)法，將不等式轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求得該函數(shù)的最值，根據(jù)要求求得范圍。（2）含雙元變量的存在性問題，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化兩個(gè)函數(shù)最值的大小關(guān)系來處理4.極值點(diǎn)偏移問題極值點(diǎn)偏移問題的基本類型（1）不含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題：其本質(zhì)是雙變?cè)獑栴}，為此，直接構(gòu)造一元差函數(shù)，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題來加以解決.（2）含有參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題：其本質(zhì)是三變?cè)獑栴}，為此，要想方設(shè)法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個(gè)變?cè)男碌暮瘮?shù).對(duì)于簡(jiǎn)單的含有參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題，可以通過分離參數(shù)的方法將它轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題來加以處理.求解極值點(diǎn)偏移問題的基本解法極值點(diǎn)偏移問題，一般利用通過原函數(shù)的單調(diào)性，把與自變量有關(guān)的不等式問題轉(zhuǎn)化與原函數(shù)的函數(shù)值有關(guān)的不等式問題，也可以引入第三個(gè)變量，把不等式的問題轉(zhuǎn)化為與新引入變量有關(guān)的不等式問題.【真題領(lǐng)航】1.（2020·全國新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．【解析】（1），，.，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),∴函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,∴所求三角形面積為.（2）解法一：,，且.設(shè),則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，,∴,∴成立.當(dāng)時(shí)，，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時(shí)，∴不是恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).解法二：等價(jià)于,令,上述不等式等價(jià)于,顯然為單調(diào)增函數(shù)，∴又等價(jià)于，即，令,則在上h’(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，∴,，∴a的取值范圍是[1,+∞).2.（2021·全國新高考Ⅰ卷）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性.（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)椋?，即，故，設(shè)，由（1）可知不妨設(shè).因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，故.先證：，若，必成立.若，要證：，即證，而，故即證，即證：，其中.設(shè)，則，因?yàn)?，故，故，所以，故在為增函?shù)，所以，故，即成立，所以成立.綜上，成立.設(shè)，則，結(jié)合，可得，，即：，故，要證：，即證，即證，即證：，即證，令，則，先證明一個(gè)不等式：.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，故成立由上述不等式可得當(dāng)時(shí)，，故恒成立，故在上為減函數(shù)，故，故成立，即成立.綜上所述，.【核心考能聚焦】核心考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性【例1】（2021·全國高考真題甲卷）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【分析】首先求得導(dǎo)函數(shù)解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，導(dǎo)函數(shù)的判別式，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的解為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，要依據(jù)其零點(diǎn)的不同情況進(jìn)行分類討論.【對(duì)點(diǎn)練】（2020·全國高考真題（文））已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【分析】，對(duì)分和兩種情況討論即可；【詳解】由題，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.2.（2018·全國高考真題（理））已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【分析】首先確定函數(shù)的定義域，之后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，之后對(duì)進(jìn)行分類討論，從而確定出導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，從而求得函數(shù)對(duì)應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】的定義域?yàn)椋?（i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減.（ii）若，令得，或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.核心考點(diǎn)二函數(shù)的極值最值【例2】（2019·全國高考真題（理））已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.【分析】(1)先求的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2)根據(jù)的各種范圍，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行最大值和最小值的判斷，最終得出,的值.【詳解】(1)對(duì)求導(dǎo)得.所以有當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)若在區(qū)間有最大值1和最小值-1，所以若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，代入解得，，與矛盾，所以不成立.若，區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間.所以，代入解得.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.即相減得，即，∵，方程無解.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.即相減得，解得，又因?yàn)椋詿o解.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.所以有區(qū)間上單調(diào)遞減，所以區(qū)間上最大值為，最小值為即解得.綜上得或.【點(diǎn)睛】這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少．考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計(jì)算．思考量不大，由計(jì)算量補(bǔ)充．【對(duì)點(diǎn)練】1.（2021·山東高三月考）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值．【分析】（1）求導(dǎo)后，分別在和的情況下，根據(jù)的正負(fù)得到函數(shù)單調(diào)性；（2）分別在、和三種情況下，得到在上的單調(diào)性，由單調(diào)性可確定最大值點(diǎn)，代入可得最大值.【詳解】（1）由題意得：定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令得：，列表如下：＋－遞增極大值遞減在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知：①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；綜上所述：.2．（2019·全國高考真題（文））已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍.【分析】(1)先求的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2)討論的范圍，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行最大值和最小值的判斷，最終求得的取值范圍.【詳解】(1)對(duì)求導(dǎo)得.所以有當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為.而，故所以區(qū)間上最大值為.所以，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)當(dāng)時(shí)從而單調(diào)遞減.而，所以.即的取值范圍是.若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.所以，而，所以.即的取值范圍是.綜上得的取值范圍是.核心考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【例3】（2021·四川高三月考）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.【分析】（1）首先求出函數(shù)的定義域，再求出，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，分離參數(shù)求出的最小值即可求解.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得，證出，取，疊加即可求解.【詳解】（1）因函數(shù)在定義域?yàn)?，，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，在上恒成立令，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，故；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)，時(shí)，，將上個(gè)不等式相加得即.得證.【技巧點(diǎn)撥】無論不等式的證明還是解不等式，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，達(dá)到解題的目的，是一成不變的思路，合理構(gòu)思，善于從不同角度分析問題，是解題的法寶.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)＞g(x)的基本方法：(1)若f(x)與g(x)的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)與g(x)的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，然后根據(jù)函數(shù)h(x)的單調(diào)性或最值，證明h(x)＞0.【對(duì)點(diǎn)練】（2021·陜西渭南·高三月考）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程.（2）討論的單調(diào)性；（3）若，證明：.【答案】（1）；（2）當(dāng)a≤時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若時(shí)，f(x)在與上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.；（3）證明見解析.【分析】（1）求出、，代入切線方程：即可；（2）先求定義域，求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)是含參的二次函數(shù)，利用根的判別式與兩根的分布情況進(jìn)行分類討論；（3）結(jié)合條件進(jìn)行放縮，然后在不等式兩邊同除以x構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)進(jìn)行證明（利用兩個(gè)函數(shù)的凹凸性）.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，，，所求切線方程為，即.（2）解：的定義域?yàn)?，，?duì)于二次方程，有.當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，方程有兩根，，若，，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，，在與上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）證明：要證，即證，因?yàn)?，，所?當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以只需證，即證.令，則，由得；由，得.所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以.，則，易知在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，所以恒成立，即.【核心素養(yǎng)集訓(xùn)】1.（2021·福建省寧德市教師進(jìn)修學(xué)院）設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍．【分析】（1）利用切線方程的公式直接求解即可；（2）根據(jù)在區(qū)間上恒成立，得到，進(jìn)而得到，然后利用不等式的性質(zhì)求解即可【詳解】解：法一：（1）∵，，，，∴在在點(diǎn)處的切線方程為（2）∵函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上恒成立；即，∵∴即在區(qū)間上恒成立∴，解得，∴的取值范圍是法二：（1）同法一.（2）∵函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上恒成立，∵∴即在區(qū)間上恒成立設(shè)當(dāng)時(shí)，，符合題意當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，，解得，得當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，解得，得∴的取值范圍是2．（2021·北京市豐臺(tái)第八中學(xué)高二期中）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)曲線在時(shí)的切線與直線平行時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）當(dāng)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析】（Ⅰ）當(dāng)切線與直線平行時(shí)，有切線斜率，可求得；（Ⅱ）求由求得兩根，討論與即可分析單調(diào)性；（Ⅲ）結(jié)合（Ⅱ）分析即可求解．【詳解】（Ⅰ）在時(shí)的切線的斜率為又因?yàn)樵跁r(shí)的切線與直線平行，則解得；（Ⅱ）由得，解得若即，，得在上單調(diào)遞減；若即，當(dāng)時(shí)，，得在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，得在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（Ⅲ）當(dāng)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增時(shí)，結(jié)合（Ⅱ）得成立．3.(2021·山西太原調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性.(2)證明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)有唯一解．【解析】(1)由已知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，g(x)＝f′(x)＝2(x－1－lnx－a)，所以g′(x)＝2－eq\f(2,x)＝eq\f(2（x－1）,x).當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增．(2)由f′(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得a＝x－1－lnx.令φ(x)＝－2xlnx＋x2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx，則φ(1)＝1>0，φ(e)＝2(2－e)<0.于是存在x0∈(1，e)，使得φ(x0)＝0.令a0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－lnx(x≥1)．由u′(x)＝1－eq\f(1,x)≥0知，函數(shù)u(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故0＝u(1)<a0＝u(x0)<u(e)＝e－2<1，即a0∈(0，1)．當(dāng)a＝a0時(shí)，有f′(x0)＝0，f(x0)＝φ(x0)＝0.再由(1)知，f′(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1，x0)時(shí)，f′(x)<0，從而f(x)>f(x0)＝0；當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，從而f(x)>f(x0)＝0；又當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，f(x)＝(x－a0)2－2xlnx>0.故x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)≥0.綜上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)有唯一解．4.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析】（1）先求解出導(dǎo)函數(shù)，然后確定出的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理確定出的零點(diǎn)，由此可根據(jù)的正負(fù)確定出的單調(diào)性，則極值點(diǎn)個(gè)數(shù)可判斷出；（2）根據(jù)已知條件先判斷出，然后分析的單調(diào)性以及零點(diǎn)，從而確定出的單調(diào)性和最小值，根據(jù)以及構(gòu)造函數(shù)的思想即可求解出的取值范圍.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即，易知在單調(diào)遞增.又，，存在唯一，使得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，函數(shù)有唯一極值點(diǎn).，由題意得，易知在單調(diào)遞增.且時(shí)，，時(shí)，，存在唯一，使，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，.，即，即，令，則.設(shè)，，在遞減，又，，，，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題中運(yùn)用“隱零點(diǎn)”思想的一般求解步驟：（1）先分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，采用零點(diǎn)的存在性定理確定出的零點(diǎn)；（2）分析在定義域上的取值正負(fù)，從而確定出的單調(diào)性，由此確定出的最值；（3）由（2）中計(jì)算出的最值可通過繼續(xù)化簡(jiǎn)，由此求得更簡(jiǎn)單的最值形式.5．（2021·湖北武昌·高三月考）已知函數(shù)f(x)=xlnx-x2+(a-1)x(a∈R).（1）討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：f(x1)+f(x2)>2a-3.【分析】（1）由題意求出，，通過討論的單調(diào)性，得出的符號(hào)，從而得出的單調(diào)性，得出答案。（2）先證明,再證明，從而再證，設(shè)，由單調(diào)性只需證明，從而可證明.【詳解】解：（1），.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，有極大值，.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，此時(shí)無極值；當(dāng)時(shí)，.，，，設(shè)則，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，所以所以當(dāng)時(shí)，故存在，滿足，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.在處有極小值，在處有極大值.綜上所述，當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn).（2）由（1）可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有極小值和極大值，.先證明要證明，只需證.由，則，，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，只需證.又因?yàn)?，只需證，即證.令，.因?yàn)椋?，所以在上單調(diào)遞增