31335312 微專題講義：有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)的基本題型 -2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滬教版（2020）必修第一冊(cè)

【學(xué)生版】微專題：有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)的基本題型【主題】當(dāng)?shù)讛?shù)固定，且，，等式確定了變量隨的變化的規(guī)律，稱為底為的指數(shù)函數(shù)；其中是自變量，函數(shù)的定義域是R；特別提醒：（1）要注意指數(shù)函數(shù)的解析式：①底數(shù)是大于且不等于的常數(shù)；②對(duì)數(shù)函數(shù)的自變量必須大于0；②真數(shù)是；③的系數(shù)必須為1；④指數(shù)函數(shù)等號(hào)右邊不能是多項(xiàng)式；如：不是指數(shù)函數(shù)；本文中，把除“對(duì)數(shù)函數(shù)”外，形式像對(duì)數(shù)函數(shù)但是不是對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)，統(tǒng)稱為：對(duì)數(shù)型函數(shù)；如：函數(shù)、型函數(shù)；【典例】題型1、對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域與值域例1、（1）函數(shù)f(x)＝eq\r(4－|x|)＋lgeq\f(x2－5x＋6,x－3)的定義域?yàn)椋?）函數(shù)f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域?yàn)開(kāi)_______【提示】；【答案】；【解析】【說(shuō)明】題型2、對(duì)數(shù)型函數(shù)的識(shí)圖與用圖例2、（1）函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的圖像大致為()（2）已知函數(shù)y＝3+loga（2x+3）（a＞0，a≠1）的圖象必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)是【提示】；【答案】；【解析】；【說(shuō)明】；題型3、利用對(duì)數(shù)型函數(shù)的解簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式例3、已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________題型4、對(duì)數(shù)型函數(shù)的綜合應(yīng)用例4、已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函數(shù)y＝g(x)圖像上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q在函數(shù)f(x)的圖像上；（1）寫(xiě)出函數(shù)g(x)的解析式；（2）當(dāng)x∈[0,1)時(shí)總有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范圍．【歸納】1、根據(jù)函數(shù)圖像的變換規(guī)律得到的結(jié)論①函數(shù)y＝logax＋b(a>0，且a≠1)的圖像可由指數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到；②函數(shù)y＝logax＋b的圖像可由指數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到；③函數(shù)y＝loga|x|的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x≥0時(shí)，其圖象與指數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)在[0，＋∞)的圖象相同；當(dāng)x<0時(shí)，其圖象與x≥0時(shí)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．2、解簡(jiǎn)單指數(shù)不等式問(wèn)題的注意點(diǎn)①形如logax>logay的不等式，先保證有意義，可借助y＝logax的單調(diào)性求解．如果a的值不確定，需分0<a<1和a>1兩種情況進(jìn)行討論．②形如logax>b的不等式，注意將b化為以a為底的指數(shù)冪的形式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解．③形如logax>logax的不等式，可借助圖象求解．3、函數(shù)y＝afxa>0，a≠1的單調(diào)性的處理技巧①關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝logafxa>0，且a≠1的單調(diào)性由兩點(diǎn)決定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是fx的單調(diào)性，它由兩個(gè)函數(shù)y＝logau，u＝fx復(fù)合而成.②求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝fu，u＝φx，通過(guò)考查fu和φx的單調(diào)性，求出y＝fφx的單調(diào)性.【即時(shí)練習(xí)】1、函數(shù)f(x)＝lg(|x|－1)的大致圖像是()2、函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)（）A． B． C． D．3、若方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________．4、函數(shù)y＝log(3x－1)(2x＋3)的定義域是5、已知f(x)＝log3x.（1）作出這個(gè)函數(shù)的圖像；（2）若f(a)<f(2)，利用圖像求a的取值范圍．6、已知f(x)＝|lgx|，且eq\f(1,c)＞a＞b＞1，試比較f(a)，f(b)，f(c)的大?。窘處煱妗课ｎ}：有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)的基本題型【主題】當(dāng)?shù)讛?shù)固定，且，，等式確定了變量隨的變化的規(guī)律，稱為底為的指數(shù)函數(shù)；其中是自變量，函數(shù)的定義域是R；特別提醒：（1）要注意指數(shù)函數(shù)的解析式：①底數(shù)是大于且不等于的常數(shù)；②對(duì)數(shù)函數(shù)的自變量必須大于0；②真數(shù)是；③的系數(shù)必須為1；④指數(shù)函數(shù)等號(hào)右邊不能是多項(xiàng)式；如：不是指數(shù)函數(shù)；本文中，把除“對(duì)數(shù)函數(shù)”外，形式像對(duì)數(shù)函數(shù)但是不是對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)，統(tǒng)稱為：對(duì)數(shù)型函數(shù)；如：函數(shù)、型函數(shù)；【典例】題型1、對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域與值域例1、（1）函數(shù)f(x)＝eq\r(4－|x|)＋lgeq\f(x2－5x＋6,x－3)的定義域?yàn)椋?）函數(shù)f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域?yàn)開(kāi)_______【提示】注意：遇對(duì)數(shù)先保證有意義；【答案】（1）(2，3)∪(3，4]；（2）[1，＋∞)；【解析】（1）由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－|x|≥0，,\f(x2－5x＋6,x－3)>0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4≤x≤4，,x>2且x≠3，))故函數(shù)定義域?yàn)?2，3)∪(3，4]；（2）令u＝x2＋2x＋4，則u＝(x＋1)2＋3≥3，所以，log3(x2＋2x＋4)≥log33＝1，即函數(shù)f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域?yàn)閇1，＋∞)；【說(shuō)明】對(duì)于對(duì)數(shù)型函數(shù)：1、底數(shù)大于0且不等于1，真數(shù)大于0；2、求形如y＝logaf(x)(a＞0且a≠1)的復(fù)合函數(shù)值域的步驟：①求函數(shù)的定義域；（求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)遵循的原則：1、分母不能為0；2、根指數(shù)為偶數(shù)時(shí)，被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；3、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為10；②將原函數(shù)拆分成y＝logau(a＞0，且a≠1)，u＝f(x)兩個(gè)函數(shù)；③由定義域求u的取值范圍；④利用函數(shù)y＝logau(a＞0且a≠1)的單調(diào)性求值域．同理可求y＝f(logax)(a＞0且a≠1)型復(fù)合函數(shù)的值域．題型2、對(duì)數(shù)型函數(shù)的識(shí)圖與用圖例2、（1）函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的圖像大致為()（2）已知函數(shù)y＝3+loga（2x+3）（a＞0，a≠1）的圖象必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)是【提示】注意：先保證有意義與定點(diǎn)；【答案】（1）C；（2）（﹣1，3）；【解析】（1）由函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)，得f(-x)=f(x)，所以，f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝logax＋1是增函數(shù)；當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝loga(－x)＋1是減函數(shù)，又因?yàn)閳D像過(guò)(1,1)，(－1,1)兩點(diǎn)，結(jié)合選項(xiàng)可知，選C；（2）令2x+3＝1，可得x＝﹣1，此時(shí)y＝3；即函數(shù)y＝3+loga（2x+3）（a＞0，a≠1））的圖像必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，3）；【說(shuō)明】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)；對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法：1、在識(shí)別函數(shù)圖像時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)；2、更高層次的應(yīng)用是：一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解；題型3、利用對(duì)數(shù)型函數(shù)的解簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式例3、已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________【提示】注意：在先保證有意義前提下，等價(jià)轉(zhuǎn)化；【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))；【解析】原不等式?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1,2x2＋1>3x>1))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1,2x2＋1<3x<1))②，解不等式組①得eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)，不等式組②無(wú)解，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))；【說(shuō)明】簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式問(wèn)題的求解策略：1、解決簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式，應(yīng)先利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)值，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解；2、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和底數(shù)a的值有關(guān)，在研究對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要按0<a<1和a>1進(jìn)行分類討論；3、某些對(duì)數(shù)不等式可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解；題型4、對(duì)數(shù)型函數(shù)的綜合應(yīng)用例4、已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函數(shù)y＝g(x)圖像上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q在函數(shù)f(x)的圖像上；（1）寫(xiě)出函數(shù)g(x)的解析式；（2）當(dāng)x∈[0,1)時(shí)總有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范圍．【解析】（1）設(shè)P(x，y)為g(x)圖像上任意一點(diǎn)，則Q(－x，－y)是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．∵Q(－x，－y)在f(x)的圖像上，∴－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)(x<1)．(2)f(x)＋g(x)≥m，即logaeq\f(x＋1,1－x)≥m.設(shè)F(x)＝logaeq\f(1＋x,1－x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(2,1－x)))，x∈[0,1)，由題意知，只要F(x)min≥m即可．∵F(x)在[0,1)上是增函數(shù)，∴F(x)min＝F(0)＝0.∴m≤0.故m的取值范圍為(－∞，0]．【說(shuō)明】對(duì)數(shù)型函數(shù)的一般解題的“通法”：1、求出函數(shù)的定義域；2、依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)進(jìn)行“分解”3、判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式（包含單獨(dú)一個(gè)字母）時(shí)，要考查其單調(diào)性，就必須對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論；4、注意由內(nèi)層函數(shù)，再外層函數(shù)逐步轉(zhuǎn)化；【歸納】1、根據(jù)函數(shù)圖像的變換規(guī)律得到的結(jié)論①函數(shù)y＝logax＋b(a>0，且a≠1)的圖像可由指數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到；②函數(shù)y＝logax＋b的圖像可由指數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到；③函數(shù)y＝loga|x|的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)x≥0時(shí)，其圖象與指數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)在[0，＋∞)的圖象相同；當(dāng)x<0時(shí)，其圖象與x≥0時(shí)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．2、解簡(jiǎn)單指數(shù)不等式問(wèn)題的注意點(diǎn)①形如logax>logay的不等式，先保證有意義，可借助y＝logax的單調(diào)性求解．如果a的值不確定，需分0<a<1和a>1兩種情況進(jìn)行討論．②形如logax>b的不等式，注意將b化為以a為底的指數(shù)冪的形式，再借助y＝logax的單調(diào)性求解．③形如logax>logax的不等式，可借助圖象求解．3、函數(shù)y＝afxa>0，a≠1的單調(diào)性的處理技巧①關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝logafxa>0，且a≠1的單調(diào)性由兩點(diǎn)決定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是fx的單調(diào)性，它由兩個(gè)函數(shù)y＝logau，u＝fx復(fù)合而成.②求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝fu，u＝φx，通過(guò)考查fu和φx的單調(diào)性，求出y＝fφx的單調(diào)性.【即時(shí)練習(xí)】1、函數(shù)f(x)＝lg(|x|－1)的大致圖像是()【答案】B【解析】由f(－x)＝lg(|－x|－1)＝lg(|x|－1)＝f(x)，得f(x)是偶函數(shù)，由此知C、D錯(cuò)誤．又當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝lg(x－1)是(1，＋∞)上的增函數(shù)，故選B.2、函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于函數(shù)，令，可得，則，因此，函數(shù)的圖像過(guò)定點(diǎn)；故選：C.3、若方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))【解析】若方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，則函數(shù)y＝4x和函數(shù)y＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有交點(diǎn)，由圖象知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,loga\f(1,2)≤2，))解得0<a≤eq\f(\r(2),2).4、函數(shù)y＝log(3x－1)(2x＋3)的定義域是【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))；【解析】要使函數(shù)有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3＞0，,3x－1＞0，,3x－1≠1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞－\f(3,2)，,x＞\f(1,3)，,x≠\f(2,3)，))所以x＞eq\f(1,3)且x≠eq\f(2,3)，故所求函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)).5、已知f(x)＝log3x.（1）作出這個(gè)函數(shù)的圖像；（2）若f(a)<f(2)，利用圖像求a的取值范圍．【解析】（1）作出函數(shù)y＝log3x的圖像如圖所示．（2）令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.結(jié)合圖像知當(dāng)0<a<2時(shí)，恒有f(a)<f(2)．所