浙南名校聯(lián)盟2022-2023學年高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（含解析）

2022學年第二學期浙南名校聯(lián)盟期末聯(lián)考高二年級數(shù)學學科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則()A. B. C. D.2.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)的實部和虛部之和為()A.3 B. C.1 D.3.已知，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題是真命題的為()A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則4.已知，，若向量在向量上的投影向量為，則()A2 B. C.1 D.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則可能為()A. B.C. D.6.已知直線與函數(shù)相切，則()A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值 D.有最小值7.過點作兩條直線分別交拋物線于，兩點，記直線，的斜率分為，，若，，則直線的方程為()A B.C. D.8已知，，，則()A. B. C. D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.某校開學初組織新生進行數(shù)學摸底測試，現(xiàn)從1000名考生中，隨機抽取200人的成績(滿分為100分)作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，.則下列說法正確的是()A.B.估計這次考試的75%分位數(shù)為82.4C.在該樣本中，若采用分層隨機抽樣的方法，從成績低于60分和90分及以上的學生中共抽取10人，則應(yīng)在中抽取2人D.若成績在60分及以上算合格，估計該校新生成績合格的人數(shù)為860人10.若函數(shù)滿足，將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說法錯誤的是()A. B.為奇函數(shù)C.關(guān)于直線對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增11.已知半徑為1的球內(nèi)切于半徑為，高為的一個圓錐(球與圓錐的側(cè)面、底面都相切)，則下列說法正確的是()A. B.圓錐的體積與表面積之比為定值C.圓錐表面積的最小值是 D.當圓錐的表面積最小時，圓錐的頂角為60°12.已知，是橢圓與雙曲線共同的焦點，，分別為，的離心率，點是它們的一個交點，則以下判斷正確的有()A.面積為B.若，則C.若，則的取值范圍為D.若，則的取值范圍為非選擇題部分三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則展開式中所有各項的系數(shù)和為______.14.若直線截圓所得弦長，則的值為______.15.設(shè)，若數(shù)列前項和為，，，則______.16.已知實數(shù)，滿足，則的取值范圍為______.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為等腰梯形，，，點為棱的中點.(1)證明：；(2)求平面與平面所成角的余弦值.18.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)若，求，；(2)求的取值范圍.19.已知為數(shù)列的前項積，且，是公比為的等比數(shù)列，設(shè).(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)記數(shù)列前項和為，求使的最大整數(shù).20.北京時間4月30日晩，2023年國際象棋世界冠軍賽在哈薩克斯坦首都阿斯塔納閉幕，來自溫州的國際象棋男子特級大師丁立人最終擊敗涅波姆尼齊亞，加冕世界棋王.這是中國棋手首次奪得國際象棋男子世界冠軍.某小學為了提高同學學習國際象棋的興趣，舉行了二年級國際象棋男子團體賽，各班級均可以報送一支5人隊伍.比賽分多輪進行，每輪比賽每隊都需選定4名選手，每輪比賽選手可不同.比賽沒有平局，每輪比賽結(jié)束，得勝班級得1分，反之0分.晉級賽規(guī)則如下：第一輪隨機為各隊伍匹配對手；從第二輪比賽開始，積分相同的隊伍之間再由抽簽決定對手.具體比賽程序如下圖.這樣進行三輪對抗之后，得2分及以上的班級晉級，反之淘汰.晉級的隊伍再進行相應(yīng)的比賽.(1)二(1)班選派了A，B，C，D，E五名選手，在第一輪比賽中，已知選手A參加了比賽，請列舉出該班級所有可能的首發(fā)隊員的樣本空間；(2)現(xiàn)共有8支參賽隊伍，且實力相當，二(3)班在第一輪比賽輸給了二(4)班，則兩隊在第三輪重新遇上的概率為多少?(3)某班級在籌備隊員時，班內(nèi)已推選水平較為穩(wěn)定的選手4名，很多同學紛紛自薦最后一個名額.現(xiàn)共有5名自薦選手，分別為五級棋士2名、六級棋士2名和七級棋士1名，五、六、七級棋士被選上的概率分別為0.8，0.6，0.5，最后一名選手會在這5名同學中產(chǎn)生.現(xiàn)任選一名自薦同學，計算該同學被選上的概率，并用表示選出的該同學的級別，求X的分布列.21.已知雙曲線離心率為，，分別是左、右頂點，點是直線上一點，且滿足，直線，分別交雙曲線右支于，兩點.記，的面積分別為，.(1)求雙曲線的方程；(2)求最大值.22.已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有3個不同的零點.(i)求實數(shù)a的取值范圍；(ii)求證：.

2022學年第二學期浙南名校聯(lián)盟期末聯(lián)考 高二年級數(shù)學學科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式和指數(shù)不等式，求出，從而得到交集.【詳解】，，故故選：B2.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)的實部和虛部之和為()A.3 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先對化簡求出復數(shù)，從而可求出其實部和虛部之和.【詳解】由，得，所以復數(shù)的實部和虛部之和為，故選：C3.已知，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題是真命題的為()A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】對于A：若，，則或，故A錯誤；對于B：若，，可得，故B正確；對于C：若，，則或與相交，或與異面，故C錯誤；對于D：若，，，則或或或與相交(不垂直)，故D錯誤；故選：B4.已知，，若向量在向量上的投影向量為，則()A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】直接利用向量在向量上的投影向量公式，與所給的投影向量對應(yīng)系數(shù)相等即可得出的值【詳解】由題意可得，，向量在向量上的投影向量為，又因為題目所給的投影向量為，所以，解得，故選：A5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則可能為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象結(jié)合選項函數(shù)的性質(zhì)判斷可得答案.【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得為奇函數(shù)，對于A，，，為奇函數(shù)，時，，當時，，，所以當時，，故A錯誤；對于B，，，所以為偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，，，為非奇非偶函數(shù)，故C錯誤；對于D，，，故D正確.故選：D.6.已知直線與函數(shù)相切，則()A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值 D.有最小值【答案】C【解析】【分析】設(shè)出切點坐標，求出切線方程，比較系數(shù)得出，再構(gòu)造函數(shù)即可求的最值.【詳解】設(shè)切點為，，所以切線的斜率，切線方程為，即，所以，所以，令，則，令，得，時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，所以有最大值為，無最小值.故選：C7.過點作兩條直線分別交拋物線于，兩點，記直線，的斜率分為，，若，，則直線的方程為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)直線方程為：，，與拋物線聯(lián)立得到，由斜率公式表示出結(jié)合韋達定理化簡可得，，解方程求出，即可求出直線的方程.【詳解】因為點作兩條直線分別交拋物線于，兩點，在拋物線上，所以直線斜率一定不為，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，與聯(lián)立方程可得：，即，所以，則，所以①，，所以②，由①②可得：，所以，故.故選：A.8.已知，，，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】的比較將借助于時滿足不等式，的比較將借助于研究的函數(shù)的性質(zhì).【詳解】設(shè)，再令，則，設(shè)，于是，在上單調(diào)遞增，于是，從而有，于是，故在上單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，設(shè)，由導數(shù)值的定義：，根據(jù)的單調(diào)性可知，在上滿足.因此上，，從而，即；設(shè)，于是，則在上單調(diào)遞減，故，取，故，注意到，故，于是，即，綜上.故選：B【點睛】根據(jù)題目中三個數(shù)據(jù)的特點，能想到引入合適的函數(shù)，是本題解決的難點所在.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.某校開學初組織新生進行數(shù)學摸底測試，現(xiàn)從1000名考生中，隨機抽取200人的成績(滿分為100分)作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，.則下列說法正確的是()AB.估計這次考試的75%分位數(shù)為82.4C.在該樣本中，若采用分層隨機抽樣的方法，從成績低于60分和90分及以上的學生中共抽取10人，則應(yīng)在中抽取2人D.若成績在60分及以上算合格，估計該校新生成績合格的人數(shù)為860人【答案】BD【解析】【分析】對于A：根據(jù)所有矩形面積和為1求得；對于B：先估計中位數(shù)所在的大致區(qū)間，再根據(jù)75%分位數(shù)的求法求解；對于C：計算出成績在在成績低于60分和90分及以上的學生中所占的比例，根據(jù)分層抽樣按比例抽?。粚τ贒：先估計成績在60分以下的人數(shù)再求解.【詳解】對于A：由得，故A錯誤；對于B：成績在時所占的頻率為：成績在時所占的頻率為：故75%分位數(shù)所在區(qū)間為，設(shè)75%分位數(shù)為，則，解得，故B正確；對于C：低于60分和90分及以上的學生占的頻率為：成績在占的頻率為故按分層抽樣，應(yīng)在中抽取的人數(shù)為人，故C錯誤；對于D：估計該校新生成績在60以下的人數(shù)為故估計該校新生成績合格的人數(shù)為人，故D正確；故選：BD10.若函數(shù)滿足，將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，再向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說法錯誤的是()A. B.為奇函數(shù)C.關(guān)于直線對稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)求得，求得，結(jié)合圖象變換得，再分析的奇偶性，對稱性及單調(diào)性.【詳解】因為，令得，所以，解得，故結(jié)論A錯誤；所以，故，，，均不成立，故既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故結(jié)論B錯誤；，所以關(guān)于直線對稱，故結(jié)論C正確；當時，，因為在上為減函數(shù)，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故結(jié)論D錯誤.故選：ABD11.已知半徑為1的球內(nèi)切于半徑為，高為的一個圓錐(球與圓錐的側(cè)面、底面都相切)，則下列說法正確的是()A. B.圓錐的體積與表面積之比為定值C.圓錐表面積的最小值是 D.當圓錐的表面積最小時，圓錐的頂角為60°【答案】BC【解析】【分析】由圓錐的半徑和高，表示出母線長，利用球內(nèi)切于圓錐，求出與的關(guān)系驗證選項A；表示出圓錐的體積與表面積，驗證選項B；利用基本不等式求圓錐表面積的最小值，并求此時母線長，驗證選項CD.【詳解】如圖所示，圓錐的高，底面半徑，母線，，，，∽，，，，，得，所以，A選項錯誤；圓錐的體積，圓錐的表面積，圓錐的體積與表面積之比為，為定值，B選項正確；，，當且僅當，即時等號成立，圓錐的表面積，則時圓錐表面積有最小值，C選項正確；當圓錐的表面積最小時，，，，，圓錐的頂角不是60°，D選項錯誤.故選：BC12.已知，是橢圓與雙曲線共同的焦點，，分別為，的離心率，點是它們的一個交點，則以下判斷正確的有()A.面積為B.若，則C.若，則的取值范圍為D.若，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】由橢圓和雙曲線焦點三角形面積公式可判斷A；由和結(jié)合基本不等式可判斷B；由條件可得，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可判斷C、D.【詳解】設(shè)，，，不妨設(shè)點是，在第一象限內(nèi)的交點，則，，，所以，，在中，由余弦定理可得：，即，一方面，所以，此時面積為；另一方面，，所以，此時面積為，對于A，因為，所以，故A正確；對于B，因為且，所以，所以，所以，所以，又，所以，故B正確；當時，由得，即，所以，所以，，對于C，令，則，所以，，故C錯誤；對于D，，記，則，函數(shù)是對勾函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍為，故D正確.故選：ABD非選擇題部分三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則展開式中所有各項的系數(shù)和為______.【答案】64【解析】【分析】由題意可得二項式展開式有7項，從而可求出，然后令可求出展開式中所有各項的系數(shù)和.【詳解】因為在的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，所以二項式展開式有7項，所以，所以二項式為，令，則，所以展開式中所有各項的系數(shù)和為64，故答案為：6414.若直線截圓所得弦長，則的值為______.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)直線截圓的弦長公式計算.【詳解】圓心到直線的距離為，由得，解得或，故答案：或15.設(shè)，若數(shù)列前項和為，，，則______.【答案】54【解析】【分析】先得到時，，時，，由，依次代入求出，從而求出答案.【詳解】當，即時，，當，即時，，因為，所以，若，則，解得，不合要求，舍去；若，則，解得，滿足要求，若，則，解得，不合要求，舍去；若，則，解得，滿足要求，若，則，解得，滿足要求，若，則，解得，不滿足要求，若，則，解得，滿足要求，若，則，解得，不滿足要求，若，則，解得，滿足要求，若，則，解得，不滿足要求，綜上：故答案為：5416.已知實數(shù)，滿足，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】把化為，構(gòu)造函數(shù)，可得，再求出函數(shù)的值域即可得答案.【詳解】依題意有，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，由，得，即有，因為在上單調(diào)遞增，所以有，即，所以，設(shè)，則，令，得，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，所以時，，所以的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為等腰梯形，，，點為棱的中點.(1)證明：；(2)求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】(1)由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；(2)利用空間向量的方法求二面角即可.【小問1詳解】設(shè)，因為四邊形為等腰梯形，所以，過點作于點，則，所以在中，，連接，由余弦定理可得：，所以，所以，所以，又因為平面，平面，所以，，面，所以面，而面，所以.又因為，點為棱的中點，所以，，面，所以面，面，所以.【小問2詳解】過點作軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，，令，則，，即，平面的一個法向量為，設(shè)面與面所成二面角的平面角為，則，因為二面角為鈍二面角，所以，，故面與面所成二面角的余弦值為.18.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)若，求，；(2)求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【解析】【分析】(1)利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合兩角差的正弦公式、二倍角公式得到，即可得到，結(jié)合三角形內(nèi)角和求出，；(2)由(1)可得，即可求出的取值范圍，由正弦定理將邊化角，由三角恒等變換公式化簡轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，所以，所以，所以，所以，又，則，所以或，若，又且，解得，，若，則，顯然不符合題意，故舍去，所以，.【小問2詳解】由(1)可知，又，所以，所以，由正弦定理可得，令，則，令，，顯然在上單調(diào)遞增，又，，所以，即的取值范圍為.19.已知為數(shù)列的前項積，且，是公比為的等比數(shù)列，設(shè).(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，求使的最大整數(shù).【答案】(1)證明見解析，(2)10【解析】【分析】(1)先求出，再由是公比為的等比數(shù)列可求出，從而可求出與的關(guān)系，當時，得，兩式相除可得，再結(jié)合利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論，從而可求出，(2)由(1)得，然后利用錯位相減法可求出，則得，再利用函數(shù)的單調(diào)性解即可.【小問1詳解】因為，為數(shù)列的前項積，所以，因為是公比為等比數(shù)列，所以，所以，當時，，所以，化簡得，所以當時，，因為，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，【小問2詳解】由(1)得，所以，所以，所以，所以，所以，所以由，得，，令，則，所以在時遞增，因為，，所以使的最大整數(shù)為10.20.北京時間4月30日晩，2023年國際象棋世界冠軍賽在哈薩克斯坦首都阿斯塔納閉幕，來自溫州的國際象棋男子特級大師丁立人最終擊敗涅波姆尼齊亞，加冕世界棋王.這是中國棋手首次奪得國際象棋男子世界冠軍.某小學為了提高同學學習國際象棋的興趣，舉行了二年級國際象棋男子團體賽，各班級均可以報送一支5人隊伍.比賽分多輪進行，每輪比賽每隊都需選定4名選手，每輪比賽選手可不同.比賽沒有平局，每輪比賽結(jié)束，得勝班級得1分，反之0分.晉級賽規(guī)則如下：第一輪隨機為各隊伍匹配對手；從第二輪比賽開始，積分相同的隊伍之間再由抽簽決定對手.具體比賽程序如下圖.這樣進行三輪對抗之后，得2分及以上的班級晉級，反之淘汰.晉級的隊伍再進行相應(yīng)的比賽.(1)二(1)班選派了A，B，C，D，E五名選手，在第一輪比賽中，已知選手A參加了比賽，請列舉出該班級所有可能的首發(fā)隊員的樣本空間；(2)現(xiàn)共有8支參賽隊伍，且實力相當，二(3)班在第一輪比賽輸給了二(4)班，則兩隊在第三輪重新遇上的概率為多少?(3)某班級在籌備隊員時，班內(nèi)已推選水平較為穩(wěn)定的選手4名，很多同學紛紛自薦最后一個名額.現(xiàn)共有5名自薦選手，分別為五級棋士2名、六級棋士2名和七級棋士1名，五、六、七級棋士被選上的概率分別為0.8，0.6，0.5，最后一名選手會在這5名同學中產(chǎn)生.現(xiàn)任選一名自薦同學，計算該同學被選上的概率，并用表示選出的該同學的級別，求X的分布列.【答案】(1)(2)(3);分布列見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意列舉即可；(2)兩個班級進入第三輪的1分隊伍的概率均為，在第三輪中兩班級再重新遇上的概率為，從而得到答案；(3)根據(jù)條件概率與貝葉斯公式求解.【小問1詳解】選手A參加了比賽，該班級所有可能的首發(fā)隊員的樣本空間：.【小問2詳解】在第二輪比賽時，設(shè)1分隊伍為，其中代表二(4)班，0分隊伍為，其中代表二(3)班，在1分隊伍中比賽后失敗，其概率為，在0分隊伍中比賽后勝利，其概率為，在第三輪比賽中進入1分隊伍的不妨設(shè)有四支隊伍，抽簽后所有可能對手情況有共3種，重新遇上的情況只有，故其概率為，綜上：兩隊在第三輪重新遇上的概率為.【小問3詳解】設(shè)從5人中任選一人是五、六、七級棋士的事件是,則,且兩兩互斥,，設(shè)“任選一名自薦同學，計算該同學被選上”,則.可能的取值有：，X的分布列為X567P21.已知雙曲線離心率為，，分別是左、右頂點，點是直線上一點，且滿足，直線，分別交雙曲線右支于，兩點.記，的面積分別為，.(1)求雙曲線的方程；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)設(shè)，可判斷，表示出，，即可求出，再根據(jù)離心率求出，從而求出，即可得解；(2)由(1)可知直線，的方程。聯(lián)立直線與雙曲線方程求出、，由，代入轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，再換元利用