經(jīng)濟數(shù)學(xué)1.8-函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

19五月20241第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

第一章（ContinuityandDiscontinuityofFunction）三、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的連續(xù)性一、問題的提出四、小結(jié)與思考題19五月20242一、問題的提出（Introduction）0T(時間)溫度C41424一天的氣溫是連續(xù)地變化著，體現(xiàn)函數(shù)的連續(xù)性19五月20243二、函數(shù)的連續(xù)性（ContinuityofFunction）1.函數(shù)的增量19五月202442.連續(xù)的定義（DefinitionofContinuity）19五月20245在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)設(shè)函數(shù)且定義219五月202463.單側(cè)連續(xù)(One-sidedContinuity)左連續(xù)(LeftContinuity)

:當時,有右連續(xù)(RightContinuity):當時,有定理與單側(cè)極限相類似！19五月202474.連續(xù)函數(shù)(ContinuousFunction)若在某區(qū)間上每一點都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

.如果此區(qū)間包含端點，那么（1）函數(shù)在左端點連續(xù)是指在左端點右連續(xù)，（2）函數(shù)在右端點連續(xù)是指在右端點左連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線．在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作19五月20248在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).只要都有例如,19五月20249在內(nèi)連續(xù).證:即這說明在內(nèi)連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).例1證明函數(shù)19五月202410例2

討論函數(shù)在處的連續(xù)性．解由于即左右極限不相等，所以該函數(shù)在但是，因為點不連續(xù)．，所以函數(shù)在處右連續(xù)．19五月202411三、函數(shù)的間斷點（DiscontinuityofFunction）定義3在在(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但

不連續(xù):設(shè)在點的某去心鄰域內(nèi)有定義,則這樣的點下列情形之一函數(shù)f(x)在點雖有定義

,但雖有定義

,且稱為間斷點

.在無定義

;19五月202412第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點

.為跳躍間斷點

.為無窮間斷點

.為振蕩間斷點.間斷點分類:19五月202413為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.例如:19五月202414顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.19五月202415例3

當取何值時，函數(shù)解因為要使，則需要．故當且僅當時，函數(shù)在點連續(xù)．在處連續(xù)．19五月202416內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型在點連續(xù)的等價形式19五月202417課前預(yù)習1、函數(shù)連續(xù)與函數(shù)極限的運算法則的區(qū)別與聯(lián)系；2、初等函數(shù)在哪些點一定連續(xù)？19五月202418思考與練習1.

討論函數(shù)x=2是第二類無窮間斷點.間斷點的類型.答案:x=1是第一類可去間斷點,19五月2024192.

討論函數(shù)在處的連續(xù)性。解：右連續(xù)但不左連續(xù),故函數(shù)在點不連續(xù)。19五月2024203.

討論下列函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點，判斷其類別．習題