高考文數(shù)一輪復(fù)習(xí)課件第九章平面解析幾何第三節(jié)圓的方程

第三節(jié)圓的方程總綱目錄教材研讀1.圓的定義考點(diǎn)突破3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程4.圓的一般方程考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問(wèn)題考點(diǎn)一求圓的方程5.確定圓的方程的方法和步驟6.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題1.圓的定義在平面內(nèi),到①定點(diǎn)

的距離等于②定長(zhǎng)

的點(diǎn)的③集合

叫做

圓.教材研讀2.確定一個(gè)圓最基本的要素是④圓心

和⑤半徑

.3.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中⑥(a,b)

為圓心,⑦

r

為半徑.x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是⑧

D2+E2-4F>0

,其中圓心為

⑨

,半徑r=⑩

.4.圓的一般方程5.確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法,大致步驟如下:(1)根據(jù)題意,選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程;(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組;(3)解出a,b,r或D,E,F,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.6.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種:(圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,點(diǎn)為(x0,y0))(1)點(diǎn)在圓上:

(x0-a)2+(y0-b)2=r2

;(2)點(diǎn)在圓外:

(x0-a)2+(y0-b)2>r2

;(3)點(diǎn)在圓內(nèi):

(x0-a)2+(y0-b)2<r2

.

1.(2015北京,2,5分)圓心坐標(biāo)為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是

()A.(x-1)2+(y-1)2=1

B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2

D.(x-1)2+(y-1)2=2答案

D由題意得圓的半徑為

,故該圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2,故選D.D2.(2015北京海淀二模)圓C:x2+y2+4x-2y+3=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是

()A.(-2,1),

B.(2,1),

C.(-2,1),2

D.(2,-1),2答案

A圓C:x2+y2+4x-2y+3=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-1)2=2,所以圓

心坐標(biāo)為(-2,1),半徑為

,故選A.A3.(2017北京石景山一模)以(-1,1)為圓心且與直線x-y=0相切的圓的方程

是

()A.(x+1)2+(y-1)2=2

B.(x+1)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y+1)2=2

D.(x-1)2+(y+1)2=4答案

A以(-1,1)為圓心且與直線x-y=0相切的圓的半徑等于圓心到直

線的距離,即r=d=

=

.∴所求圓的方程為(x+1)2+(y-1)2=2.故選A.A4.(2016北京石景山期末)若圓C的半徑為1,其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y=x

對(duì)稱(chēng),則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

()A.(x-1)2+y2=1

B.x2+(y+1)2=1C.x2+(y-1)2=1

D.(x+1)2+y2=1答案

C∵圓C的圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng),∴圓心C的坐標(biāo)為(0,1).又∵圓C的半徑為1,∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-1)2=1.C5.(2016北京東城一模)以拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為圓心且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的圓

的方程為

.答案(x-1)2+y2=1解析拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為(1,0),故圓心為(1,0).又∵圓過(guò)(0,0),∴r=?=1.∴圓的方程為(x-1)2+y2=1.(x-1)2+y2=1典例1(1)(2015課標(biāo)Ⅱ,7,5分)過(guò)三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于

M,N兩點(diǎn),則|MN|=

()A.2

B.8

C.4

D.10(2)(2017北京海淀一模)圓心為(0,1)且與直線y=2相切的圓的方程為

()A.(x-1)2+y2=1

B.(x+1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1

D.x2+(y+1)2=1考點(diǎn)一求圓的方程考點(diǎn)突破答案(1)C(2)C解析(1)設(shè)圓心為P(a,b),由點(diǎn)A(1,3),C(1,-7)在圓上,知b=

=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1,則P(1,-2),|PA|=?=5,于是圓P的方程為(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2

,則|MN|=|(-2+2

)-(-2-2

)|=4

.(2)設(shè)圓的方程為x2+(y-1)2=r2(r>0).∵直線y=2與圓相切,∴圓心到直線的距離等于半徑r.∴r=1.故所求圓的方程為x2+(y-1)2=1,故選C.1.求圓的方程的兩種方法(1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而寫(xiě)出方程.(2)待定系數(shù)法:①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值;②若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑,則選擇設(shè)圓的一般方程,依據(jù)

已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進(jìn)而求出D,E,F的值.方法指導(dǎo)2.確定圓心位置的方法(1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上;(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上;(3)兩圓相切時(shí),切點(diǎn)與兩圓圓心共線.1-1若圓C的半徑為1,圓心在第一象限,且與直線4x-3y=0和x軸都相切,

則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

()A.(x-2)2+(y-1)2=1

B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1

D.(x-3)2+(y-1)2=1答案

A由于圓C的半徑為1,圓心在第一象限且與x軸相切,故設(shè)圓心

為(a,1)(a>0),又由圓與直線4x-3y=0相切可得

=1,解得a=2(舍負(fù)),故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=1.A1-2求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2),B(3,-2),且圓心在直線2x-y-3=0上的圓的方程.解析∵圓過(guò)A(5,2),B(3,-2)兩點(diǎn),∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上.易知線段AB的垂直平分線的方程為y=-

(x-4).設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為C(a,b),則有

解得

∴C(2,1),r=|CA|=?=

,∴所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=10.典例2已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求

的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問(wèn)題解析原方程可化為(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)為圓心,

為半徑的圓.(1)

的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,所以設(shè)

=k,即y=kx.當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí),斜率k取最大值或最小值,此時(shí)

=

,解得k=±

.所以

的最大值為

,最小值為-

.(2)y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距,當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí),縱

截距b取得最大值或最小值,此時(shí)

=

,解得b=-2±

.所以y-x的最大值為-2+

,最小值為-2-

.(3)x2+y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方,由平面幾何知識(shí)及題意知,

在x軸與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值.又圓心到原點(diǎn)的距離為2,所以x2+y2的最大值是(2+

)2=7+4

,x2+y2的最小值是(2-

)2=7-4

.

方法技巧1.與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值(1)記O為圓心,圓外一點(diǎn)A到圓上距離的最小值為|AO|-r,最大值為|AO|

+r;(2)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的弦最長(zhǎng)的是圓的直徑,最短的是以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦;(3)記圓心到直線的距離為d,若直線與圓相離,則圓上點(diǎn)到直線的最大距

離為d+r,最小距離為d-r;(4)過(guò)兩定點(diǎn)的所有圓中,面積最小的是以這兩個(gè)定點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓.2.與圓上點(diǎn)(x,y)有關(guān)的最值(1)形如

形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題;(2)形如ax+by形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題,也可用

三角代換求解;(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的平方

的最值問(wèn)題.2-1

(2015北京西城一模)設(shè)P,Q分別為直線x-y=0和圓x2+(y-6)2=2上的

點(diǎn),則|PQ|的最小值為

()A.2

B.3

C.4

D.4答案

A由圓的方程x2+(y-6)2=2知圓心為(0,6),設(shè)圓心到直線x-y=0的

距離為d,則d=

=3

.而圓的半徑r=

,所以|PQ|的最小值為d-r=3

-

=2

.故選A.A2-2已知M為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點(diǎn),且點(diǎn)Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)若M(m,n),求

的最大值和最小值.解析(1)由題意知,圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-7)2=8,∴圓心C的坐標(biāo)為

(2,7),半徑r=2

.又|QC|=?=4

>2

,∴|MQ|max=4

+2

=6

,|MQ|min=4

-2

=2

.(2)因?yàn)?/p>

表示直線MQ的斜率,所以設(shè)直線MQ的方程為y-3=k(x+2)

,即kx-y+2k+3=0.由題意知直線MQ與圓C有交點(diǎn),所以

≤2

,解得2-

≤k≤2+

,所以

的最大值為2+

,最小值為2-

.典例3已知A(2,0)為圓x2+y2=4上一定點(diǎn),B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn),P,Q為圓上

的動(dòng)點(diǎn).(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程(P與A不重合);(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程.考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題解析(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知,P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x-2,2y).因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x-1)2+y2=1(x≠2).(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接ON,則ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+