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江西省九江市瑞昌第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.如果執(zhí)行右邊的程序框圖,輸入正整數(shù)N(N≥2)和實(shí)數(shù)a1、a2、…、aN,輸出A、B,則
(
)
A.A+B為a1,a2,…,aN的和
B.為a1,a2,…,aN的算術(shù)平均數(shù)
C.A和B分別是a1,a2,…,aN中最大的數(shù)和最小的數(shù)
D.A和B分別是a1,a2,…,aN中最小的數(shù)和最大的數(shù)參考答案:C2.古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下的問題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問日織幾何?”意思是:“一女子善于織布,每天織的布都是前一天的2倍,己知她5天共織布5尺,問這女子每天分別織布多少?”根據(jù)上述己知條件,若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺,則至少需要(
)A.6天 B.7天 C.8天 D.9天參考答案:C3.已知,(0,π),則(
)A.
B.1
C.
D.1參考答案:B略4.設(shè)函數(shù),且αsinα﹣βsinβ>0,則下列不等式必定成立的是()A.α>β B.α<β C.α+β>0 D.α2>β2參考答案:D考點(diǎn): 正弦函數(shù)的單調(diào)性.
專題: 綜合題.分析: 構(gòu)造函數(shù)f(x)=xsinx,x∈,利用奇偶函數(shù)的定義可判斷其奇偶性,利用f′(x)=sinx+xcosx可判斷f(x)=xsinx,x∈[0,]與x∈[﹣,0]上的單調(diào)性,從而可選出正確答案.解答: 解:令f(x)=xsinx,x∈,∵f(﹣x)=﹣x?sin(﹣x)=x?sinx=f(x),∴f(x)=xsinx,x∈為偶函數(shù).又f′(x)=sinx+xcosx,∴當(dāng)x∈[0,],f′(x)>0,即f(x)=xsinx在x∈[0,]單調(diào)遞增;同理可證偶函數(shù)f(x)=xsinx在x∈[﹣,0]單調(diào)遞減;∴當(dāng)0≤|β|<|α|≤時(shí),f(α)>f(β),即αsinα﹣βsinβ>0,反之也成立;故選D.點(diǎn)評(píng): 本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性,難點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)f(x)=xsinx,x∈,通過研究函數(shù)f(x)=xsinx,的奇偶性與單調(diào)性解決問題,屬于難題.5.對(duì)于函數(shù),若存在區(qū)間,使得,則稱函數(shù)為“可等域函數(shù)”,區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“可等域區(qū)間”.給出下列4個(gè)函數(shù):①;②;③;④.其中存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”為(
)①②③
②③
①③
②③④參考答案:B6.記函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若f(x)對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為y=﹣x+1,則()A.f′(x0)=2 B.f′(x0)=1 C.f′(x0)=0 D.f′(x0)=﹣1參考答案:D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用;直線與圓.【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率,可得f(x)對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率為f′(x0),再由切線方程,即可求得切線的斜率.【解答】解:由導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率,可得f(x)對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率為f′(x0),曲線在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為y=﹣x+1,即有f′(x0)=﹣1.故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率,同時(shí)考查直線的斜率的求法,屬于基礎(chǔ)題.7.某地一天內(nèi)的氣溫(單位:℃)與時(shí)刻(單位:時(shí))之間的關(guān)系如圖(1)所示,令表示時(shí)間段內(nèi)的溫差(即時(shí)間段內(nèi)最高溫度與最低溫度的差).與之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示,則正確的圖象大致是()參考答案:答案:D解析:結(jié)合圖象及函數(shù)的意義可得。8.已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位:cm),可得這個(gè)幾何體的體積是A.4cm3 B.5cm3 C.6cm3 D.7cm3 參考答案:A幾何體如圖四棱錐,體積為選A.
9.在一個(gè)錐體中,作平行于底面的截面,若這個(gè)截面面積與底面面積之比為1∶3,則
錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為
(
)
A.1∶
B.1∶9
C.1∶
D.1∶參考答案:D略10.已知為偶函數(shù),且,當(dāng)時(shí),,若,,則(A)2006
(B)4
(C)
(D) 參考答案:C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.(4分)(2015?上海模擬)在行列式中,元素a的代數(shù)余子式值為.參考答案:﹣1【考點(diǎn)】:三階矩陣.【專題】:計(jì)算題.【分析】:首先化去第一行第二列得到a的代數(shù)余子式,解余子式的值得a的值.在行列式中,元素a在第一行第二列,那么化去第一行第二列得到a的代數(shù)余子式為:,解這個(gè)余子式的值為﹣1.故元素a的代數(shù)余子式的值是﹣1.故答案為:﹣1.【點(diǎn)評(píng)】:本題考查了三階矩陣,考查了行列式的解法,是基礎(chǔ)題.12.若直線x+y﹣2=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長(zhǎng)度等于.參考答案:2【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì).【分析】易得圓的圓心和半徑,由距離公式可得圓心到直線的距離d,由勾股定理可得|AB|.【解答】解:∵圓x2+y2=4的圓心為(0,0),半徑r=2,∴圓心到直線x+y﹣2=0的距離d==1,∴弦長(zhǎng)|AB|=2=2.故答案為:2.13.設(shè)是周期為2的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則
。參考答案:14.某校有初中學(xué)生1000人,高中學(xué)生900人,教師100人,現(xiàn)用分層抽樣方法從所有師生中抽取一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查,如果從高中學(xué)生中抽取了45人,則在整個(gè)抽樣過程中,教師甲被抽到的概率為
.參考答案:略15.(選修4—4坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),則點(diǎn)到直線的距離的最小值是
;參考答案:16.如圖所示的算法流程圖中,若則的值等于
.參考答案:917.(5分)如圖,在矩形中,點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)在邊上,若,則的值是
▲
.參考答案:?!究键c(diǎn)】向量的計(jì)算,矩形的性質(zhì),三角形外角性質(zhì),和的余弦公式,銳角三角函數(shù)定義。由,得,由矩形的性質(zhì),得。
∵,∴,∴?!?。
記之間的夾角為,則。
又∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),∴。
∴。
本題也可建立以為坐標(biāo)軸的直角坐標(biāo)系,求出各點(diǎn)坐標(biāo)后求解。三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知與共線,其中A是△ABC的內(nèi)角.(1)求角A的大小;(2)若BC=2,求△ABC面積S的最大值,并判斷S取得最大值時(shí)△ABC的形狀.參考答案:解:(1)因?yàn)閙//n,所以.所以,即,
即
.
…4分因?yàn)?/p>
,所以.
故,.……………7分(2)由余弦定理,得.
又,
…9分
而,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)…………11分所以.
………12分當(dāng)△ABC的面積取最大值時(shí),.又,故此時(shí)△ABC為等邊三角形.…14分19.(本題滿分12分)數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前項(xiàng)的和為,為等差數(shù)列且各項(xiàng)均為正數(shù),,,(Ⅰ)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(Ⅱ)若,,成等比數(shù)列,求.參考答案:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),
∴,即
又
∴是公比為3的等比數(shù)列(Ⅱ)由(1)得:
設(shè)的公差為(),∵,∴依題意有,,∴
即,得,或(舍去)故20.如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,D、E分別為A1B1、AA1的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱AB上,且.(Ⅰ)求證:EF∥平面BDC1;(Ⅱ)在棱AC上是否存在一個(gè)點(diǎn)G,使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1:15,若存在,指出點(diǎn)G的位置;若不存在,說明理由.參考答案:【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定;棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.【分析】(I)取AB的中點(diǎn)M,根據(jù),得到F為AM的中點(diǎn),又E為AA1的中點(diǎn),根據(jù)三角形中位線定理得EF∥A1M,從而在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1DBM為平行四邊形,進(jìn)一步得出EF∥BD.最后根據(jù)線面平行的判定即可證出EF∥平面BC1D.(II)對(duì)于存在性問題,可先假設(shè)存在,即假設(shè)在棱AC上存在一個(gè)點(diǎn)G,使得平面EFG將三棱柱分割成的兩部分體積之比為1:15,再利用棱柱、棱錐的體積公式,求出AG與AC的比值,若出現(xiàn)矛盾,則說明假設(shè)不成立,即不存在;否則存在.【解答】證明:(I)取AB的中點(diǎn)M,∵,∴F為AM的中點(diǎn),又∵E為AA1的中點(diǎn),∴EF∥A1M在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,M分別為A1B1,AB的中點(diǎn),∴A1D∥BM,A1D=BM,∴A1DBM為平行四邊形,∴AM∥BD∴EF∥BD.∵BD?平面BC1D,EF?平面BC1D,∴EF∥平面BC1D.(II)設(shè)AC上存在一點(diǎn)G,使得平面EFG將三棱柱分割成兩部分的體積之比為1:15,則,∵==∴,∴,∴AG=.所以符合要求的點(diǎn)G不存在.21.(本小題滿分12分)在△中,角的對(duì)邊分別為,且,.(Ⅰ)求角的大?。唬á颍┤?,,求邊的長(zhǎng)和△的面積參考答案:(Ⅰ)因?yàn)椋?,…………?分因?yàn)?,所以,所以,…?分因?yàn)?,且,所以.………?分(Ⅱ)因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼?,即,解得或(舍),所以邊的長(zhǎng)為.…………10分.…………12分22.已知函數(shù)f(x)=|2x+a|+x.(1)當(dāng)a=﹣2時(shí),求不等式f(x)≤2x+1的解集;(2)若f(x)≤|x+3|的解集包含,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案:考點(diǎn):絕對(duì)值不等式的解法.專題:計(jì)算題;不等式的解法及應(yīng)用.分析:(1)利用絕對(duì)值的含義,對(duì)x討論,分當(dāng)x≥1時(shí),當(dāng)x<1時(shí),最后取各部分解集的并集即可;(2)不等式f(x)≤|x+3|的解集包含,等價(jià)于f(x)≤|x+3|在內(nèi)恒成立,由此去掉一個(gè)絕對(duì)值符號(hào),再探究f(x)≤|x+3|的解集與區(qū)間的關(guān)系.解答: 解:(1)當(dāng)a=﹣2時(shí),不等式f(x)≤2x+1即為|2x﹣2|≤x+1,當(dāng)x≥1時(shí),不等式即為2x﹣2≤x+1,解得1≤x≤3;當(dāng)x<1時(shí),不等式即為
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