南京師范大學數(shù)學分析2007-2018年考研真題及答案解析

Ⅰ歷年考研真題試卷.................................................................................................................2南京師范大學2007年攻讀碩士學位研究生入學考試試題...................................................2南京師范大學2008年攻讀碩士學位研究生入學考試試題...................................................4南京師范大學2009年攻讀碩士學位研究生入學考試試題...................................................6南京師范大學2010年攻讀碩士學位研究生入學考試試題...................................................8南京師范大學2012年攻讀碩士學位研究生入學考試試題................................................12南京師范大學2013年攻讀碩士學位研究生入學考試試題................................................15南京師范大學2014年攻讀碩士學位研究生入學考試試題................................................17南京師范大學2015年攻讀碩士學位研究生入學考試試題................................................19南京師范大學2017年攻讀碩士學位研究生入學考試試題................................................25南京師范大學2018年攻讀碩士學位研究生入學考試試題................................................27Ⅱ歷年考研真題試卷答案解析.............................................................................................29南京師范大學2007年攻讀碩士學位研究生入學考試試題答案解析................................29南京師范大學2008年攻讀碩士學位研究生入學考試試題答案解析.............37南京師范大學2009年攻讀碩士學位研究生入學考試試題答案解析................................45南京師范大學2010年攻讀碩士學位研究生入學考試試題答案解析................................52南京師范大學2011年攻讀碩士學位研究生入學考試試題答案解析................................59南京師范大學2012年攻讀碩士學位研究生入學考試試題答案解析................................68南京師范大學2013年攻讀碩士學位研究生入學考試試題答案解析.............76南京師范大學2014年攻讀碩士學位研究生入學考試試題答案解析................................85南京師范大學2015年攻讀碩士學位研究生入學考試試題答案解析................................93《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》1/102考生注意：所有答案必須寫在專用答題紙上，寫在本試題紙上無效。計算下列極限3、設x1(0,1),xn1xn(1xn),(n1,2,),證明nxn收斂并求極限。（1）設函數(shù)f在點x0的某領(lǐng)域U(x0)內(nèi)有n1階的連續(xù)導函數(shù)。證明對任意的xU(x0)，有f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)(xx0)nRn(x)，其中Rn(x)f(n1)(x0(xx0))(1)n(xx0)n1，且01；（2）求ln(1x2)(x1)的麥克勞林級數(shù)展開，并加以證明。設f為(0,)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，lxim0f(x)，xlf(x)0.試證1）f(x)sin1在a,(a0)內(nèi)一致連續(xù)；x（2）f(x)sin1在(0,)內(nèi)不一致連續(xù)。x利用Stokes公式計算(2yz)dx(xz)dy(yz)dz，其中L為平面Lxyz1與各坐標面的交線，取逆時針方向為正向?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》2/102zzz0zz0n1n試研究方程ax1nx(a0)實根的個數(shù)。設函數(shù)F(u,v)有連續(xù)的二階偏導數(shù)，求證有方程Fxx0,yy00所確定的隱函數(shù)zz(x,y)滿足下列兩個方程：(xx0)(yy0)zz0；2z2z2z2x2y2xy。證明f(x)(x1)在(1,1)內(nèi)連續(xù)。設f是區(qū)間0,上的連續(xù)函數(shù)，含參量非正常積分0xf(x)dx當a,b(ab)時收斂，證明0xf(x)dx在a,b上關(guān)于一致收斂?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》3/102考生注意：所有答案必須寫在專用答題紙上，寫在本試題紙上無效。一、簡答題每小題5分，共10分）判斷下列命題是否正確，并簡要說明理由。n1n12、若非正常積分af(x)dx收斂，且af'(x)dx也收斂，則xlf(x)0。計算下列極限：1k計算第二型曲線積分：ILexsinyb(xy)dxexcosyaxdy，其中a,b為正的常數(shù)，L是從點A(2a,0)沿曲線y2axx2到點O(0,0)的弧。設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)0，又設f(x)在a,b內(nèi)存在二階導數(shù)，且f''(x)0，求證在a,b上f(x)0?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》4/102nn1n（1）試列舉證明函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上為凸函數(shù)的方法（至少兩種上的凸函數(shù)。將周期為2的函數(shù)f(x)x(2x)，x0,2（1）展開成Fourier級數(shù)；（2）通過Fourier級數(shù)的逐項積分求的值。設f(x,y)為a,bc,上的連續(xù)非負函數(shù)，I(x)cf(x,y)dy在a,b上連續(xù)，證明：cf(x,y)dy在a,b上一致收斂?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》5/102anantant考生注意：所有答案必須寫在專用答題紙上，寫在本試題紙上無效。判斷下列命題是否正確，并簡要說明理由。1．牛頓－萊布尼茲公式可敘述為：若f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且存在原函數(shù)F(x)，則f(x)在區(qū)間a,b上可積，且abf(x)dxF(b)F(a)?，F(xiàn)將條件減弱為：f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，但F(x)僅在(a,b)內(nèi)為f(x)的原函數(shù)，則原結(jié)論仍然成立。2.設af(x)dx收斂，且f(x)在a,連續(xù)恒正，則xlf(x)0。計算下列各題：3.設F(x)abf(y)xydy，其中ab，f(x)連續(xù)，求F''(x)。為無理數(shù)時，上述等式也成立?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》6/102設fn(x)是定義在實數(shù)集E上的函數(shù)列，f(x)在E上有定義。1.請寫出fn(x)在E上不一致收斂于f(x)的正面定義；2.若fn(x)在E上一致收斂于f(x)，x0是E的聚點，且lxfn(x)An(n1,2,)則An收斂，且lxlnfn(x)lnlxfn(x)。設f(x)在區(qū)間a,b上有連續(xù)的導函數(shù)，f(a)0。證明：abf(x)f'(x)dxabf'(x)2dx。xy設f(x,y)x2y2,0問：1.f(x,y)在點0,0是否連續(xù)？2.f(x,y)在點0,0是否可微？請證明你的結(jié)論。計算：yzdydz(x2z2)ydzdxxydxdy，其中S為曲面4yx2z2上Sy0的部分并取正側(cè)。設un(x)是a,b上的正值遞減（即對固定的xa,b，un1(x)un(x)，n1,2,）且收斂于零的函數(shù)列，而對每個固定的n,un(x)均是a,b上的遞增函數(shù)。證明級數(shù)(1)n1un(x)在a,b上一致收斂。n1《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》7/102考生注意：所有答案必須寫在專用答題紙上，寫在本試題紙上無效。一、計算題（15分）1（1）設f(x)，g(x)是有限開區(qū)間(a,b)上的一致連續(xù)函數(shù)，求證f(x)g(x)在(a,b)上一致連續(xù)。（2）試舉例說明1）中開區(qū)間若無“有限”條件，則結(jié)論不成立。試用有限覆蓋定理證明根的存在性定理。設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,A上連續(xù)，證明：EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(),h)axf(th)f(t)dtf(x)f(a)(axA)。計算二重積分xydxdy，其中D是曲線x2y2xy所圍成的區(qū)域。Dnn《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》8/102（1）設f(x)在0,上可微，且0f'(x)f(x)，f(0)0。試證明：在0,上f(x)0。（2）證明：不存在0,上的正值函數(shù)f(x)，使得f'(x)0。f'()(ba)f'()設pn(x)是多項式序列，且在R上一致收斂于P(x)。證明：P(x)也是多項式。《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》9/102 考生注意：所有答案必須寫在專用答題紙上，寫在本試題紙上無效。一、計算題（共5題，每題8分，共計40分）（1）求第二型曲面積分Sx3dydzy3dzdxz3dxdy，其中S是單位球x2y2z21，方向取外側(cè)。（2）設函數(shù)f(x)具有二階連續(xù)導數(shù)，且0,f''(0)4,1（3）設wf(xy,xy,x)，其中f有二階連續(xù)偏導數(shù)，求。（4）在區(qū)間(0,2)內(nèi)將函數(shù)f(x)展開成傅里葉級數(shù)。（5）求函數(shù)f(x)的n階導數(shù)。設函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上可導，且f(1)2f(0)，求證：存在(0,1)，使得(1)f'()f()。x0x設函數(shù)f(x)在(,)內(nèi)二次可導，limf(x)1，且f"(x)0，則x0xf(x)x,x(,)。設函數(shù)f(x),g(x)在0,1上連續(xù)且單調(diào)減少，證明：EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(1),0)f(x)g(x)dxEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(1),0)f(x)dxEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(1),0)g(x)dx?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》10/102nn1n（1）證明級數(shù)ln(cos1)收斂。（2）設函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)具有直到三階的連續(xù)導數(shù)，且x0xf(0)0,limf'(x)x0x則級數(shù)n2nf(1)絕對收斂。n將直角坐標系下Laplace方程0化為極坐標下的形式。討論含參量反常積分關(guān)于分別在[,)和(0,)上的一致收斂性，其中0。證明函數(shù)f(x)(1)cos在[1,)上一致連續(xù)。設f(x)在[a,b]上連續(xù)，且存在非負整數(shù)m，使得baxnf(x)dx0(n0,1,,m)，《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》11/102考生注意：所有答案必須寫在專用答題紙上，寫在本試題紙上無效。5n2n2222設f(x)在有限區(qū)間a,b上可微，且滿足f(a)f'(b)0，則存在ca,b使f'(c)0。設函數(shù)f(x)在a,上一致連續(xù)，g(x)在a,上連續(xù)，且xlf(x)g(x)0，設數(shù)項級數(shù)an收斂，則n1nn（2）當數(shù)列an單調(diào)時，lnnan0對上述結(jié)論中正確的給予證明，錯誤的給出反例。《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》12/102設函數(shù)f(x)在0,內(nèi)遞增，對任何正數(shù)T，f(x)在0,T上可積，且xl0xf(x)dtC（C為常數(shù)）設fn(x)sinxsin2xsinnx。求證1）對任意自然數(shù)n，方程fn(x)1在,內(nèi)有且僅有一個解；（2）設xn,是方程fn(x)1的解，證明limxn計算積分L；其中L為一條不經(jīng)過點0,0任意正向的閉曲線。設數(shù)列an的極限為a，證明f(x)anxn在1,1上有定義，且n1lim(1x)lim(1x)f(x)a。設數(shù)列an的極限為a，證明f(x)anxn在1,1上有定義，且n1lim(1x)lim(1x)f(x)a。設二元函數(shù)f(x,y)在正方形區(qū)域0,10,1上連續(xù)，記I0,1。（1）試比較inyfIEQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(p),I)f(x,y)與EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(p),I)inyfIf(x,y)的大小并證明之；（2）給出并證明使等式inyfIEQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(p),I)f(x,y)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up1(p),I)inyfIf(x,y)成立的成分條件你認為最好的）《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》13/102（1）證明I(x)0dy在2,內(nèi)連續(xù)；（2）利用歐拉積分計算0dx；其中(s)(1s)；0s1《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》14/102考生注意：所有答案必須寫在專用答題紙上，寫在本試題紙上無效。敘述并證明一元函數(shù)的最大，最小值定理。判斷函數(shù)lnx在下列區(qū)間上的一致連續(xù)性，并說明理由。計算積分(x1)z2dydz(x2y2)dzdx(xyy2z)dxdy,S其中S為球面z2x2y232的上半部并選取外側(cè)。證明函數(shù)f(x)0dy在[0,)上連續(xù)，在(0,)上連續(xù)可導。《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》15/102證明下列各題。1、設正項級數(shù)un發(fā)散，則k0，正項級數(shù)(kn1n1)un發(fā)散。2、證明函數(shù)項級數(shù)n13nsin在[0,)上收斂，但是不一致收斂。構(gòu)造一個二元函數(shù)f(x,y)，使它在原點(0,0)連續(xù)且兩偏導數(shù)存在，但在原點(0,0)不可微。證明：設二元函數(shù)f(x,y)在區(qū)域二元函數(shù)D{(x,y)2x2y26}上有定義，f(0,y)在點y0處連續(xù)，且fx(x,y)在區(qū)域D上有界，則f(x,y)在點(0,0)連續(xù)。證明方程3y3xsiny0在原點的附近能唯一地確定隱函數(shù)yf(x)，描繪隱函數(shù)yf(x)在原點附近的圖像?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》16/102考生注意：所有答案必須寫在專用答題紙上，寫在本試題紙上無效。計算不定積分I,ab且n為正整數(shù)。若f'(a)0，能否斷定函數(shù)f在點a的某個鄰域U(a;)內(nèi)單遞增？若是，請簡要證明，若不能，請舉例說明。已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)有二階導數(shù)，且f(0)f'(0)0，|f''(x)||f(x)||f'(x)|，證明存在01，使得在(,)內(nèi)f(x)0。設f(x)在0,2上連續(xù)，證明：ln02f(x)|sinnx|dx02f(x)dx。設f(x)在a,上一致連續(xù)，且af(x)dx收斂，證明xlf(x)0。設f是以2為周期，且具有二階連續(xù)可微的函數(shù)，bnf(x)sinnxdx，《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》17/102EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6("),)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up6(),)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6("),)求積分0exdx。設fx,fy在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)存在，且在點(x0,y0)可微，證明：fxy(x0,y0)fyx(x0,y0)。求積分[f(x,y,z)x]dydz[f(x,y,z)z]dxdy[2f(x,y,z)y]dzdx，其中Sf(x,y,z)為S上的連續(xù)函數(shù)，S為平面xyz1在第IV卦限部分之上側(cè)。注：此題錯誤。因平面S在第IV卦限是無界的。考生可將其改為在第I卦限上側(cè)的積分。類似題目還有如下湖北大學考題：計算積分[f(x,y,z)x]dydz[f(x,y,z)z]dxdy[2f(x,y,z)y]dzdx，其中Sf(x,y,z)是連續(xù)函數(shù)，S為平面xyz1在第IV卦限部分之上側(cè)。《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》18/102nnf(0)。k（2）若f(0)0，求limn考生注意：所有答案必須寫在專用答題紙上，寫在本試題紙上無效。設a1,a2,,ak為k個正數(shù)。（1）求lima1n1（2）令f(x)a1xa2xakxx，求lxf(x)。已知f(x)在x0處可導，（1）若f(0)0，求，f1n《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》19/102xx（3）設f(x)在(0,)內(nèi)可導，且f'(x)在(0,)內(nèi)有界，證明：f(x)在(0,)內(nèi)一致連續(xù)。計算不定積分。設f(x)是(,)內(nèi)周期為T(0)的連續(xù)函數(shù)，證明：（1）任給a(,)，aaTf(x)dx0Tf(x)dx；（2）xl0xf(t)dt0Tf(t)dt。設函數(shù)f(x)在[a,a](a0)上連續(xù)，且對任意x[a,a],x0,有f(x)x，又f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x)),,fn1(x)f(fn(x))上一致收斂于0。1ex(x2y2)討論函數(shù)f(x,y)x2y2,x2y20在點(0,0)處的連續(xù)性，可微性，偏導數(shù)0,x2y20的存在性以及偏導數(shù)的連續(xù)性。求函數(shù)f(x,y,z)lnxlny3lnz的最大值，其中x2y2z25r2（x,y,z均《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》20/102rr0,r0并利用所得結(jié)果證明不等式abc327()5。（a,b,c均0）計算積分Sdydzdzdxdxdy。其中S為長方體V{(x,y,z)|x[2,2],y[3,3],z[4,4]}的表面的外側(cè)， (x1)2(y2)2(z3)2?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》21/102考生注意：所有答案必須寫在專用答題紙上，寫在本試題紙上無效?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》22/102《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》23/102《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》24/102考生注意：所有答案必須寫在專用答題紙上，寫在本試題紙上無效。2.設是上一個非常數(shù)的連續(xù)函數(shù)，M，m分別是其最大值和最小值。求證：。（1）舉例說明:有界可做函數(shù)的導函數(shù)不一定有界；《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》25/102內(nèi)連續(xù)。證明：（1）f(x，y)在(0，0)處任意方向的方向?qū)?shù)都存在；（2）f(x，y)在(0，0)處不可微。設函數(shù)在上無限次可微，且計算曲面積分其中S為曲線，繞z軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面，并取上側(cè)。證明積分中非一致收斂，但在中一致收斂?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》26/102考生注意：所有答案必須寫在專用答題紙上，寫在本試題紙上無效?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》27/102《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》28/102xyxyxyx2y22yx考生注意：所有答案必須寫在專用答題紙上，寫在本試題紙上無效。【考查重點】考查求極限的方法—洛必達法則?！敬鸢附馕觥縳limx1xxlnxxlnx【考查重點】考查二元函數(shù)的極限，本題所用方法是常規(guī)方法，適用于一類型題目?！敬鸢附馕觥縳2y2xy而lxx而lxxy0EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up2(x),y)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up2(0),0)xy，故limEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up2(x),y)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up2(0),0)xy3、設x1(0,1),xn1xn(1xn),(n1,2,),證明nxn收斂并求極限?！究疾橹攸c】考查數(shù)列收斂的單調(diào)有界定理?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》29/102limnxlim nxx1x【答案解析】因為xn1xn(1xn)，所以，xnn1nn又因為xn11xn1，所以xn單調(diào)遞減，且0xn1，xn所以limxn所以limxn存在，不妨設為x，則有xx(1x)x0。nn所以limnxnlim(1xn)101nn（1）設函數(shù)f在點x0的某領(lǐng)域U(x0)內(nèi)有n1階的連續(xù)導函數(shù)。證明對任意的xU(x0)，有f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)(xx0)nRn(x)，其中Rn(x)f(n1)(x0(xx0))(1)n(xx0)n1，且01；（2）求ln(1x2)(x1)的麥克勞林級數(shù)展開，并加以證明?！究疾橹攸c】考查泰勒定理；冪級數(shù)的麥克勞林展開式。【答案解析】F(t)f(x)[f(t)f(t)(xt)(xt)n]；G(t)(xt)n1所要證明的f(x)f(x0)f'(x0)(xx0)(xx0)nRn(x)F(x0)ffG(x0)或者F(x0)f(n1)()《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》30/102不妨設x0x，則F(t),G(t)在[x0,x]上連續(xù)，在(x0,x)可導，且F(t)(xt)n，G(t)(n1)(xt)n0又因為F(x)G(x)0，所以由柯西中值定理有F(x0)F(x0)F(x)F()f(n1)()F(x0)F(x0)F(x)F()f(n1)()其中(x0,x)(a,b)有Rn(x)f(n1)(x0(xx0))(1)n(xx0)n1x2nn我們考查ln(1x)，因為ln(1x2)只需要將ln(1x)中的x用x2代替即可。下考查f(x)ln(1x)f(n)(x)1n1從而f(n)(0)1n1(n1)!所以ln(1x)xxnn用比式判別法可求得級數(shù)ln(1x)x1n1的收斂半徑為R1又因為(x1)，則收斂域為(1,1)，現(xiàn)在討論在收斂區(qū)間上它的余項的極限情形。當0x1時，用拉格朗日余項公式有Rn(x)1nxn!0n《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》31/102（2）0（2）0f時，對0,N,x,x1,x2，使得對于1x0的情形，拉格朗日余項不易估計，該用柯西余項考查。則有()nxn1Rn(x)0xnn將ln(1x)中的x用x2代替即可得到在(x1)x2nn設f為(0,)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，lxim0f(x)，xlf(x)0.試證1）f(x)sin1在a,(a0)內(nèi)一致連續(xù)；x（2）f(x)sin1在(0,)內(nèi)不一致連續(xù)。x【考查重點】考查第十三章函數(shù)的一致連續(xù)與不一致連續(xù)。【答案解析】（1）因為xlf(x)0，所以對0,N，當xN時，有f(c)所以對上述，對x1,x2N1時，有f(x1)sinf(x2)sinf(x1)sinf(x2)sinf(x1)f(x2)所以f(x)sin1在N1,上一致連續(xù)。x易知f(x)sin1在a,N1上一致連續(xù)，即證f(x)sin1在a,上一致連續(xù)。xx《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》32/1021010f(x1)sin 1f(x2)sinx2 2xf(1)0f(1)所以f(x)sin1在(0,)內(nèi)不一致連續(xù)。x利用Stokes公式計算L(2yz)dx(xz)dy(yz)dz，其中L為平面xyz1與各坐標面的交線，取逆時針方向為正向?！究疾橹攸c】考查第二十二章斯托克斯公式?！敬鸢附馕觥繎盟雇锌怂构酵频茫?2yz)dx(xz)dy(yz)dzLS2dydz2dzdxdxdyS32試研究方程ax1nx(a0)實根的個數(shù)。【考查重點】考查凸函數(shù)與極值的相關(guān)知識點?！敬鸢附馕觥吭O函數(shù)f(x)1nxax，則f'(x)1xa，f''(x)0。f(x)在(0,)上為凸函數(shù)，由f'(x)0知f(x)在x1處取極大值，af1ln11?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》33/102euvxvxuvyvyzz0zz0下面求,（1）a1時，fe（2）a1時，fe1f0。即f(x)0，f(x)無實根；0。f(x)有兩個實根。設函數(shù)F(u,v)有連續(xù)的二階偏導數(shù)，求證有方程Fxx0,yy00所確定的隱函數(shù)zz(x,y)滿足下列兩個方程：(xx0)(yy0)zz0；【考查重點】考查第十八章，隱函數(shù)的問題?！敬鸢附馕觥坑泆xx0;vyy0；且F(u,v)0；zz0zz0①對F(u,v)0分別對x,y求偏導，可得FuFuF0F0zFu(zz0)yFu(xx0)Fv(yy0)將,代入(xx0)(yy0)zz0，證得等式成立。由(xx0)(yy0)zz0分別對x,y求偏導，化解可以得到《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》34/102nn2z2z2z2x2y2xy【考查重點】考查狄利克雷判別法判定數(shù)項級數(shù)的收斂?！敬鸢附馕觥?下證b1單調(diào)遞減且趨于0。n所以bn1bn，即bn單調(diào)遞減且趨于0，級數(shù)n11收斂。證明f(x)(xn【考查重點】考查函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性，將開區(qū)間轉(zhuǎn)化為閉區(qū)間，利用內(nèi)閉一致收斂性來證?！敬鸢附馕觥肯伦Cf(x)n1xn在,內(nèi)收斂，從而f(x)在,內(nèi)連續(xù)，特別地，在x0點也連續(xù)。由x0得任意性知：f(x)在(1,1)內(nèi)連續(xù)?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》35/102nn1nnn1nnnnnnn1nann1又因為x11，所以x1也收斂。所以f(x)在,內(nèi)連續(xù)，f(x)在x0點連續(xù)。設f是區(qū)間0,上的連續(xù)函數(shù)，含參量非正常積分0xf(x)dx當a,b(ab)時收斂，證明0xf(x)dx在a,b上關(guān)于一致收斂?！究疾橹攸c】考查含參量非正常積分的一致收斂。【答案解析】0xf(x)dx01xaxaf(x)dx1xbxbf(x)dx（1）對于積分1xbxbf(x)dx，由于0xbf(x)dx收斂，故對于一致收斂，而xb單調(diào)，且xb1，由阿貝爾判別法知，1xbxbf(x)dx在a,b上一致收斂。（2）對于積分01xaxaf(x)dx，由于0xaf(x)dx收斂，所以01xaf(x)dx收斂，從而對一致收斂。而對一切x(0,1)，xa單調(diào)，且xa1，由阿貝爾判別法知，01xaxaf(x)dx在a,b上一致收斂。綜上，0xf(x)dx在a,b上關(guān)于一致收斂?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》36/102 考生注意：所有答案必須寫在專用答題紙上，寫在本試題紙上無效。一、簡答題每小題5分，共10分）判斷下列命題是否正確，并簡要說明理由?！究疾橹攸c】級數(shù)收斂的判定方法【答案解析】錯。n1但anbnn1n不收斂。2、若非正常積分af(x)dx收斂，且af'(x)dx也收斂，則xlf(x)0?！究疾橹攸c】x非正常積分的收斂與limf(x)極限的存在的關(guān)系x【答案解析】正確。因為af(x)dx收斂，則由收斂的柯西準則，0，存在Ga，當x,xG時，xxf(x)dxf(x)fxx設xf(x)x設xf(x)A設xf(x)A，設A0，則由極限的保號性，存在Ga，當Ga，xG時，滿足f(x)0《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》37/102x0cos2xx0cos2xlncosxlncos2x2n于是af(x)dxaGf(x)dxf(x)dxaGf(x)dxdx對于af(x)dx考慮u\EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up10(),a)f(x)uaGf(x)dxu(uG)即：af(x)dx發(fā)散，與已知矛盾。則有xlimf(x)則有x計算下列極限：22【考查重點】取對數(shù)法求極限【答案解析】x0cos2x對limcosxx0cos2x上式可化為下面考查x0x0x2sinx2sin2xx0limcosxcos2x0xx0xcosxcos2xx0xcosxcos2xx0x03x0cos2x則有原來的極限為limcosxx0cos2x12、lim2、limnnk1k；【考查重點】利用函數(shù)項級數(shù)收斂的和函數(shù)極限，由迫斂性法則證明?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》38/102kkkk【答案解析】1 nnkkk11nnk1kk1nn11，k11111n1所以limnnk1k1。n1【考查重點】非正常積分的極限的求法【答案解析】下面求令因為收斂，所以故積分號下求導可得一致收斂。則有2nln(g(n))n2g(n)cen2《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》39/102帶入可得 則有原式【考查重點】考查用積分第一中值定理來證明oxetdtxex?！敬鸢附馕觥縳etxx xx又因為lim0xe又因為lim0xetdt，所以適用洛比達法則《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》40/102（注意洛比達法則成立的條件）計算第二型曲線積分：ILexsinyb(xy)dxexcosyaxdy，其中a,b為正的常數(shù)，L是從點A(2a,0)沿曲線y2axx2到點O(0,0)的弧?！究疾橹攸c】考查第二型曲線積分的計算——格林公式?！敬鸢附馕觥窟\用格林公式（注意格林公式成立的條件）記OA:0X2ay0Pexsinyb(xy)QexcosyaxL與OA構(gòu)成一個封閉的曲線，PQ連續(xù)且有連續(xù)的導函數(shù)，則由格林公式()dLOAPdxQdy(ba)dLPdxQdyOAPdxQdyLPdxQdy(ba)dOAPdxQdy(ba)b(2a)2(ba)2a2b設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)0，又設f(x)在a,b內(nèi)存在二階導數(shù)，且f''(x)0，求證在a,b上f(x)0?！究疾橹攸c】考查中值定理以及定理。【答案解析】用反證法，假設f(x)0，xa,b《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》41/102f(x)f(a)f'()(xa)0f(x)f(bf(x)f(a)f'()(xa)0f''()0，這與f''(x)0。所以，假設不成立。（1）試列舉證明函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上為凸函數(shù)的方法（至少兩種上的凸函數(shù)。【考查重點】【答案解析】（1）f為I上的凸函數(shù)的充要條件：對于I上的任意三點x1x2x3，總有f(x2)f(x1)f(x3)f(x2)，x2x1x3x2f為區(qū)間I上的二階可導函數(shù)，則在I上f為凸函數(shù)的充要條件：f''(x)0.xI。（2）提示：對F(x)求二階可導函數(shù)，得F''(x)f(x)，又因為f(x)在區(qū)間a,b上遞增，所以有f'(x)0。由1）中第二個充要條件得F為凸函數(shù)?！究疾橹攸c】考查比較原則證明級數(shù)收斂?！敬鸢附馕觥俊赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》42/102n1n2n1n2 令ut，ut（因為x0,1易證收斂，則由比較原則ut收斂，即得an收斂。將周期為2的函數(shù)f(x)x(2x)，x0,2（1）展開成Fourier級數(shù)；（2）通過Fourier級數(shù)的逐項積分求4的值?！究疾橹攸c】考查第十四章傅里葉級數(shù)?！敬鸢附馕觥浚?）a002f(x)dx02x(2x)dxan02f(x)cosnxdx02x(2x)cosnxdx（2）在端點x0和x2處，其傅里葉級數(shù)收斂于026 2ncosnx在[0,2]上一致收斂，可以逐項積分，得2 6x4x3x《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》43/102再逐次積分x2x3x4n1 3n2再積分 x3得223 xx1212x3x4n1 4n設f(x,y)為a,bc,上的連續(xù)非負函數(shù)，I(x)cf(x,y)dy在a,b上連續(xù)，證明：cf(x,y)dy在a,b上一致收斂?！究疾橹攸c】考查狄尼定理：設un(x)在a,b上連續(xù)且同號，級數(shù)un(x)在a,b上收斂于連續(xù)函數(shù)I(x)，則un(x)在a,b上一致收斂于I(x)?！敬鸢附馕觥坑幸阎腥稳∫粋€趨于的遞增數(shù)列An(其中A1c)。對于級數(shù)AAnn1f(x,y)dyun(x)，由于f(x,y)在a,bc,上非負連續(xù)，則un(x)0，且為a,b連續(xù)函數(shù)，且在a,b上收斂于連續(xù)函數(shù)I(x)，則由狄尼定理知 n1un(x)在a,b上一致收斂，則cf(x,y)dy在a,b上一致收斂?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》44/102考生注意：所有答案必須寫在專用答題紙上，寫在本試題紙上無效。判斷下列命題是否正確，并簡要說明理由。1．牛頓－萊布尼茲公式可敘述為：若f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且存在原函數(shù)F(x)，則f(x)在區(qū)間a,b上可積，且abf(x)dxF(b)F(a)?，F(xiàn)將條件減弱為：f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，但F(x)僅在(a,b)內(nèi)為f(x)的原函數(shù)，則原結(jié)論仍然成立?！究疾橹攸c】考查牛頓萊布尼茨公式形式變換?！敬鸢附馕觥空_。2.設af(x)dx收斂，且f(x)在a,連續(xù)恒正，則xlf(x)0?！究疾橹攸c】第十一章反常積分中的一些反例?！敬鸢附馕觥垮e誤。令x則有原級數(shù)可化為0dt，此級數(shù)收斂，但是xlimsin(x2)x1.討論極限laaacos(bx)dx的存在性；【考查重點】考查極限的存在性問題?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》45/1022cos(ba2cos(ba)cos(ba)cosb(a0)antant【答案解析】原式 acos(ba)acos(ba)lima0a2limcos(ba)cos(ba)cosb(a0)2所以當bk時，極限不存在；當bk時，極限存在且為0。【考查重點】考查用泰勒公式求極限?！敬鸢附馕觥靠捎锰├展椒?，令x，則原式lx，而ex1xo(x3)，故etanx1tanxo(tan3x)1xo(x3)，3.設F(x)abf(y)xydy，其中ab，f(x)連續(xù)，求F''(x)?！究疾橹攸c】考查分段函數(shù)分導數(shù)，變上限，下限函數(shù)?！敬鸢附馕觥縁(x)axf(y)(xy)dyxbf(y)(yx)dyF'(x)axf(y)dyxbf(y)dyF''(x)f(x)(f(x))2f(x)《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》46/102rrx為無理數(shù)時，上述等式也成立。【考查重點】考查指數(shù)冪的性質(zhì)，確界定理?！敬鸢附馕觥吭Ox為無理數(shù)，定義axsup{arr為有理數(shù)};a1fx{arr為有理數(shù)};0a1不妨設a1，0，設r,s為兩個有理數(shù)，r;s由ax的定義可以知道aas又因為ax單調(diào)遞增，則有rs又有rsrs由0的任意性，可以推出為了證明相反的不等式，設p為有理數(shù)，且p，使得aap再取有理數(shù)r,s，使得r,s以及prs，則有aparsarasaa；故得到由0的任意性，可以推出綜上所述有aaa《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》47/102【考查重點】考查求極限的方法—洛必達法則?！敬鸢附馕觥縠2xcos2xx2xea設fn(x)是定義在實數(shù)集E上的函數(shù)列，f(x)在E上有定義。1.請寫出fn(x)在E上不一致收斂于f(x)的正面定義；2.若fn(x)在E上一致收斂于f(x)，x0是E的聚點，且lxfn(x)An(n1,2,)則An收斂，且lxlnfn(x)lnlxfn(x)?！究疾橹攸c】函數(shù)列不一致收斂的敘述；一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)。【答案解析】（1）存在某正數(shù)0，對任意正數(shù)N，都有E上某一點x'與正整數(shù)n'N，使得fn'(x)fn(x')0（2）先證An是收斂數(shù)列，對任意的0，由于fn(x)在E上一致收斂，故有N，當nN時，對一切的x0E，有fn(x)fnp(x)從而有由柯西準則可知An是收斂數(shù)列，設lnAnA再證由于fn(x)在E上一致收斂于f(x)，以及l(fā)nAnA，因此對任意的0，存在N，《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》48/102當nN時，對一切的x0E，有fn(x)f(x)AA同時成立，特別取nN1，有fN1(x)f(x)AN1A又因為，故存在0，當0xx0時，fN1(x)AN1這樣，當x滿足0xx0時f(x)AfN1(x)f(x)fN1(x)AN1AN1A即則有設f(x)在區(qū)間a,b上有連續(xù)的導函數(shù)，f(a)0。證明：abf(x)f'(x)dxabf'(x)2dx。【考查重點】考查施瓦茨不等式abf(x)g(x)dx2abf(x)2dxabg(x)2dx的特殊形式【答案解析】令g(x)axf'(t)dt(axb)，則g'(x)f'(x)由f(a)0知，f(x)f(x)f(a)axf'(t)dtaxf'(t)dtg(x)，《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》49/1022222x2y2EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up11(3),2)，x2y2EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up11(3),2)abf(x)f'(x)dxabg(x)g'(x)dxabg(x)dg(x)g(x)2baabf'(t)dt2ab1f'(t)dt2ab12dxabf'(t)2dtabf'(t)2dtxy設f(x,y),0當x,y0,0時當x,y0,0時問：1.f(x,y)在點0,0是否連續(xù)？2.f(x,y)在點0,0是否可微？請證明你的結(jié)論?！究疾橹攸c】考查二元函數(shù)可微性與連續(xù)性的關(guān)系。【答案解析】 1.0時，f(x,y)f(0,0)20， f(x,y)在點0,0處也連續(xù)。2.fEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(),)(x,y)y3fEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up4(),)(x,y)x3EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(),)同理fEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(),)(0,0)0，但有點(x,y)沿直線yx趨于0,0時，有ffx'(0,0)xfy'(0,0)yxyx21x2ffx'(0,0)xfy'(0,0)yxyx21f(x,y)在點0,0處不可微。計算：yzdydz(x2z2)ydzdxxydxdySy0的部分并取正側(cè)。，其中S為曲面4yx2z2上《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》50/102【考查重點】考查第二十二章用高斯公式和柱坐標變換求曲面積分。【答案解析】利用高斯公式，令I(lǐng)yzdydz(x2z2)ydzdxxydxdy，ISSD(x2z2)dxdydz，用柱面坐標系變換，得：SVxrcosyrsin yy0y4則(x2z2)dxdydz32，yzdydz(x2z2)ydzdxxydxdy0VDD:x2y24I32。SD設un(x)是a,b上的正值遞減（即對固定的xa,b，un1(x)un(x)，n1,2,）且收斂于零的函數(shù)列，而對每個固定的n,un(x)均是a,b上的遞增函數(shù)。證明級數(shù) (1(x)在a,b上一致收斂。n1【考查重點】考查用狄利克雷判別法證明函數(shù)項級數(shù)一致收斂?！敬鸢附馕觥坑玫依死着袆e法（2）對每一個xa,b，un(x)是單調(diào)遞減；（3）在a,b上un(x)0(n)（適用題目中的條件，對每個固定的n，un(x)均是a,b上的遞增函數(shù)，而un(x)對于x遞增收斂于0的）(1(x)在a,b上一致收斂?！赌暇煼洞髮W數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》51/10200考生注意：所有答案必須寫在專用答題紙上，寫在本試題紙上無效。一、計算題（15分）1【考查重點】考查求極限的方法—洛必達法則?！敬鸢附馕觥?1x2)eln(1x2)，考慮ln(1x2)，當x0時，屬于型的，（2）x0a,x1b,xn，n2,3.證明xn收斂并求極限。（15分）【考查重點】考查利用級數(shù)收斂，然后根據(jù)收斂的級數(shù)的通項收斂于零，求極限?！敬鸢附馕觥? xnn21x313從而級數(shù)xn收斂，則lnxn0，即xn收斂并極限為0。n2（1）設f(x)，g(x)是有限開區(qū)間(a,b)上的一致連續(xù)函數(shù)，求證f(x)g(x)在(a,b)上一致連續(xù)。（2）試舉例說明1）中開區(qū)間若無“有限”條件，則結(jié)論不成立?！究疾橹攸c】考查開區(qū)間上復合函數(shù)的一致連續(xù)性?！敬鸢附馕觥浚?）f(x)在限開區(qū)間(a,b)一致連續(xù)，從而f(x)在(a,b)上有界，即《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》52/102M10,x(a,b),使f(x)M1，同理M20,x(a,b),使g(x)M2。而f(x)，g(x)在(a,b)上一致連續(xù)，即0,0,x1,x2(a,b)。當x1x2時，f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)，從而f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)f(x1)g(x1)f(x1)g(x2)f(x1)g(x2)f(x2)g(x2)f(x1)g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)g(x2)M1M2故f(x)g(x)在(a,b)上一致連續(xù)。f(x)x，g(x)sinx在R上一致連續(xù)，但f(x)g(x)xsinx在R上非一致連續(xù)?！究疾橹攸c】考查第十九章含參量積分。本部分內(nèi)容是考試中的重難點，考生需要多加練習?！敬鸢附馕觥縠xy在0,1,e上連續(xù)，而exydx一致收斂。《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》53/102試用有限覆蓋定理證明根的存在性定理?！究疾橹攸c】考查第七章實數(shù)的完備性。利用有限覆蓋定理證明根的存在性定理?！敬鸢附馕觥糠醋C法，假設x(a,b)，f(x)0，不妨設f(x)0。已知函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，a,b,0.x1,x2,a,b有f(x1)f(x2)0，a,ba,b,，根據(jù)有限覆蓋定理，存在有限個開區(qū)間kk,kk，k1,2,,n也覆蓋了且xk),xk)kk,kkf(xk)),f(xk))0，即函數(shù)f(x)在iik,iikjjk,jjka,b上同號。f(a)f(b)0矛盾，即至少存在一點ca,b，使f(c)0。設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,A上連續(xù)，證明：EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(),h)axf(th)f(t)dtf(x)f(a)(axA)?！究疾橹攸c】考查第十九章含參量積分，對于給定閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)，不一定可導，但是通過此函數(shù)構(gòu)造出來的正常積分或者含參量積分在閉區(qū)間上可微?！敬鸢附馕觥恳騠(x)在閉區(qū)間a,A上連續(xù)，可令I(lǐng)(x)axf(t)dt(axA)《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》54/102naxf(th)dtythf(y)dyaxhf(y)dyaahf(y)dyI(xh)aahf(t)dt即EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2147483645(),h)axf(th)f(t)dtEQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2147483645(),h)，而EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up2147483647(),h)I'(x)f(x)，EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up2147483642(),h)f(a)，即EQ\*jc3\*hps23\o\al(\s\up0(),h)axf(th)f(t)dtf(x)f(a)(axA)。計算二重積分xydxdy，其中D是曲線x2y2xy所圍成的區(qū)域。D【考查重點】考查用坐標變換求二重積分?！敬鸢附馕觥緿(x,y)x2y2xy，作積分變換22則積分區(qū)域變?yōu)镈(r,)則積分區(qū)域變?yōu)镈(r,)(r,)02,0r1J(r,)r，【考查重點】考查冪級數(shù)可微性證明等式的成立性。《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》55/102【答案解析】nn ，y0x （1）設f(x)在0,上可微，且0f'(x)f(x)，f(0)0。試證明：在0,上f(x)0。（2）證明：不存在0,上的正值函數(shù)f(x)，使得f'(x)0。【考查重點】考查構(gòu)造函數(shù)利用夾逼法證明恒等式；【答案解析】（1）因f(x)0,，0f'(x)f(x)，f(0)0，則f(x)在a,上是增函數(shù)，x0,，f(x)f(0)0《南京師范大學數(shù)學分析歷年考研真題及答案解析》56/102又令F(x)exf(x)，則f(x)0,，且F(0)0，而F'(x)exf(x)exf'(x)exf'(x)f(x)0，即F(x)在0,上是減函數(shù)，x0,，F(xiàn)(x)F(0)0。又ex在0,恒正，從而x0,