2020-2021學(xué)年吉林省長春某中學(xué)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2020-2021學(xué)年吉林省長春外國語學(xué)校高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共12小題）.

1.設(shè)集合A={x|-l<x<3},?={1,2,3},則ACB=()

A.{1}B.{1,2}C.{3}D.{1,3}

2.已知命題p:VxeR,X2+X+\>0,那么一"〃是()

A.3xg€R,x2+x+l>0B.VXQ€R,x2+x+l=C0

C.3xeR,N+R+1<0D.VXQ€R,x'x+lVO

3.已知a是第三象限角，（30$口=-4『則sin2a=（）

XO

A1212c120120

A.-DR.C-.------------D.

1313169169

JT

4.已知一個(gè)扇形的面積為一，半徑為2,則其圓心角為（

3

K八冗「冗K

A.----B.-----C.-----D.

634T

5.函數(shù)/（x）=2葉3工的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（）

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

6.函數(shù)y=sin（2x+-y-）圖象的對(duì)稱軸方程可能是()

A.x=-2Ln兀7T兀

B.x=-——C.x=——D.x=——

612612

7.若J§siru:+cosx=4-〃2,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.2WmW6B.一6WmW6C.2VmV6D.2WZ4

JT

8.在下列四個(gè)函數(shù)中以71為最小正周期,且在區(qū)間（彳，兀）上單調(diào)遞增的是（)

cx

A.j=|siar|B.y=cosxC.y=tanxD.y=cos—

9.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好,

隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常

用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.我們從這個(gè)商標(biāo)人人中抽象出一個(gè)圖象如

圖，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（）

A-f(x)=irrrB-f(x)=TKFIT

C.f(x)=-Y—D.f(x)=-—

X-1xJ+l

10.設(shè)〃=204,Z?=30-4,c=log32,則a、b、c的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

冗兀

11.已知tan(a--^-)=2，tan(a+p)=-3,貝”tan(B()

A.1B.2C.3D.4

12.設(shè)x,)WR,a>\,h>l,若出=bv=3,。+8=2日，則上」?的最大值為()

xy

21

A.2B.—C.1D.—

22

二、填空題(共4小題).

二人.嚏時(shí)

1O3.已知tana=3,"則in---a：-_--2-c--o-s-a--=.

sinCL+cos<1

14.已知取函數(shù)/(x)=k*期的圖象經(jīng)過(2,,則a=.

15.下列不等式：①x<l;@0<x<l;l<x<0：1<X<1：?x>-1.其中可

以作為Nvi的一個(gè)充分不必要條件的所有序號(hào)為.

QR

16.在△ABC中，sinA=—,cosB=-,則cosC=.

513--------

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.(10分)已知命題p：方程N(yùn)-2亞+〃1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；命題q：,〃V1.

(1)若p為真命題，求實(shí)數(shù)，"的取值范圍；

(2)若p,q中一真一假，求實(shí)數(shù)〃1的取值范圍.

18.(12分)設(shè)二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+3.

(1)若不等式/(x)>0的解集為(-1,3),求“，人的值;

4Q

(2)若/(I)=4,a>0,b>0,求生J的最小值.

ab

19.(12分)已知函數(shù)/(無)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，/(工)=x2-2x.

(I)求/(X)的解析式，并畫出的/(X)圖象；

(II)設(shè)g(x)=/(x)_k,利用圖象討論：當(dāng)實(shí)數(shù)攵為何值時(shí)，函數(shù)g(x)有一個(gè)零

點(diǎn)？二個(gè)零點(diǎn)？三個(gè)零點(diǎn)？

20.(12分)已知角a是第三象限角，且/(a)=cos=-a)cos(27T-a)tan(a+JT).

tan(-Ct-Jl)sin(-K-a)

(1)化簡f(a)；

(2)若sin(a-TT)=±求/(a)的值；

5

(3)若a=-2310°,求/(a)的值.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=2cosx(^/gsirix-cosx)+1.

(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

JT

(II)當(dāng)x￡[0,5T時(shí)，求函數(shù)/(X)的最大值和最小值.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)2Kl+。+1.

(1)若〃=2,求不等式/COV0的解集；

(2)xe(-8,o)時(shí)，不等式f(x)V2-。恒成立，求。的取值范圍；

(3)求函數(shù)/(%)在區(qū)間口，2]上的最小值九(a).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的。

1.設(shè)集合A={x|-l<x<3},fi={l,2,3},則AAB=()

A.{1}B.{1,2}C.{3}D.{1,3}

解："：A={x\-\<x<3],B={1,2,3},

二4(18={1,2}.

故選：B.

2.已知命題p:VxeR,/+x+i>0,那么「0是()

2

A.3XQ€R?x+x+l^>0B.Vx0€R?x^x+l^O

C.awR,N+x+iwoD.Vx/R,X2+X+1<0

解：根據(jù)全稱命題命題p：VxeR,N+X+I>0,那么「。是的否定為特稱命題,

即：-'p為W+x+iwO.

故選：C.

3.已知a是第二象限角，cosa----,則sin2a=()

120120

A.上cD.

13'169169

解：；cosa=-磊，a是第三象限角,

???sina=-Vl-cos2a='(舍正)

10v/5)_120

因土匕，sin2a=2sinacosa=2X(--=-)X(一百)一礪

13

故選：D.

TT

4.已知一個(gè)扇形的面積為〒，半徑為2,則其圓心角為(

K

A.工D.

6v

解：設(shè)扇形的圓心角為a,則

由扇形的半徑為R=2,

面積為S=工a?R2=L22=K

223

K

解得a=k.

6

故選：A.

5.函數(shù)/（x）=21+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（）

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

解：函數(shù)f(x)=2*+3x是增函數(shù)，

/(-1)=y-3<0,f(0)=l+0=l>0,

可得f(-1)f(0)<0.

由零點(diǎn)判定定理可知：函數(shù)f(x)=2計(jì)3尤的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間(-1,0).

故選：B.

6.函數(shù)y=sin（2￥+-^-）圖象的對(duì)稱軸方程可能是（）

兀「冗〃冗一兀

A.x=-------B.x=-------C.x=-----D.x=—

612612

人c兀冗冗k冗

解：令2XH---=----%冗，?.x=-----+-------（GeZ）

32122

當(dāng)k=0時(shí)為。選項(xiàng)，

故選：D.

7.若J^inx+cosx=4-%則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.B.一6W/〃W6C.2</n<6D.2WZ4

TTz兀

解：,?*^/3sinr+cosA：=2sin(x+----)=4-m,故：m=4-2sin(F,

6

TT

又sin(xH-----)6[-1,1],

6

TT

?\2sin(AH-----)e[-2,2],

6

可解得：〃i€[2,6]

故選：A.

8.在下列四個(gè)函數(shù)中，以n為最小正周期，且在區(qū)間（彳，兀）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=|sinx|B.y=cosxC.y=lanxD.y=cos-^-

解：對(duì)于A：y=|sinx|,將y=sin_r在x軸下方的圖象翻折到上方，可知最小正周期7=71,

K

在區(qū)間（項(xiàng)it）上單調(diào)遞減，故A不符合題意；

對(duì)于8:y=cosx的最小正周期T=2n,故2不符合題意;

JT

對(duì)于C:y=lanx的最小正周期T=n,且在區(qū)間,兀）上單調(diào)遞增，故C符合題意;

2-

對(duì)于￡）:y=cos三的最小正周期T=1=4JI,故。不符合題意.

27

故選：c.

9.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，

隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常

用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.我們從這個(gè)商標(biāo)人人中抽象出一個(gè)圖象如

圖，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（）

Af(x)=_B-f(x)=

-|TiTl|x|-il

C.f(x)=-y—D.f(x)=~y—

X-1X+1

解：函數(shù)的定義域?yàn)閧M%W±1},排除選項(xiàng)4和，

當(dāng)那(0,1)時(shí)，f(x)>0,

但在選項(xiàng)。中，由于Nvi,所以/(4)<0,可排除選項(xiàng)C,

故選：B.

10.設(shè)〃=2。，Z?=30-4,c=log32,則〃、b、c的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

O4O4

解：V3->2->2°=1,log32<log33=l,

.\c<a<b,

故選：B.

兀兀

11.已知tan(a--^-)=2，tan(a+0)=-3,貝()

A.1B.2C.3D.4

解：因?yàn)?a——)+(0^1■——)=(a+p),

66

7rntanko.--)+tan(p)

所以tan(a+p)=tan[(a——)+(p+-^)]=-------------------------

66/?耳、兀、

l-tan(a—)tan(B+-^~)

/c兀、

2+tan(B與■)

二~~-3,

l-2tan(B

整理解得tan(B*)=1.

故選：4.

12.設(shè)x,vGR,a>\,b>\,若。'="=3,”+b=2料，則工△的最大值為()

Xy

31

A.2B.—C.1D.—

22

解：'：a'=b>'=3,

11

,"=總3=鬲7'產(chǎn).3=五手,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)

故選：C.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

njoLisina-2cosa1

1O3.已知tana=3,貝U-------------=—?

sina+cosa-4一

解：Vtana=3,

.sinCI-2cosatana-23-21

sina+cosatana+13+14

故答案為：—.

4

14.已知幕函數(shù)/（x）=k*爐的圖象經(jīng)過（2,1）,則a=-2

解：：嘉函數(shù)f（x）=k*爐的圖象經(jīng)過（2,1）,二%=1,

且1義2?=!，：.a=-2,

4

則k?a=lX(-2)=-2,

故答案為：-2.

15.下列不等式：①xVl;②OVxVl;③-IVxVO;?-1<X<1;?x>-1.其中可

以作為的一個(gè)充分不必要條件的所有序號(hào)為②③.

解：由》2<1,解得-

故①xVl是必要不充分條件，

②OVxVl是充分不必要條件，

③-IVxVO是充分不必要條件,

1<X<1是充要條件，

⑤x>-1是必要不充分條件,

故選：②③.

16.在△ABC中，sin>4=—,cosB=-^-,則cosC=

513-65一

解：.?！癠R-5/1兀

sinA=-1-—.cosB-<-=os

DsinCT

「?二<8〈兀，若4為銳角，則cosA=—,sinB=-^

34513

此時(shí)cosC=cos(ir-A-8)=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=

4y53y1216

下X直？X直飛5

若A為鈍角，則A〉旦土，A+B>TT,不合要求

4

故答案為：—

65

三、解答題（本大題共6小題，共70分）

17.（10分）已知命題p：方程x2-2后+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：命題q:m<\.

（1）若p為真命題，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍；

（2）若p,q中一真一假，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

解：（1）根據(jù)題意，命題p：方程N(yùn)-2&T+機(jī)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

必有（-2&）2-4/n>0,解得〃?<2,

則〃？的取值范圍為{7V2};

（2）根據(jù)題意，若p,q中一真一假,

m<2

若p真q假，則有解得1W%V2,

ir^l

m^2

若4真p假，則有無解,

irKT

則m的取值范圍為{/川1W"?V2}.

18.(12分)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+3.

(1)若不等式f(x)>0的解集為(-1,3),求凡b的值:

4Q

(2)若/(I)=4,。>0,b>0,求=+工的最小值.

ab

2

解：(1)二次函數(shù)f(x)=ax+bx+3f且不等式/(%)>0的解集為(-1,3),

所以-1和3是方程分2+法+3=0的解，

-1+3=--

由根與系數(shù)的關(guān)系知，\a,

-1X3=—

a

解得a--1,b=2.

(2)若/(I)=4,且〃>0,b>0,

所以a+b=\,

所以匡遂=(&9)(a+b)=4+9+4b+%》13+2、他?%=13+2X6=25,

abababVab

當(dāng)且僅當(dāng)生=曳_,即。=2,匕=3時(shí)取得最小值為25.

ab55

19.(12分)已知函數(shù)/G)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)天20時(shí)，f(x)=x2-2x.

(I)求f(x)的解析式，并畫出的/G)圖象；

(II)設(shè)g(x)=f(x)_k,利用圖象討論：當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，函數(shù)g(x)有一個(gè)零

點(diǎn)？二個(gè)零點(diǎn)？三個(gè)零點(diǎn)？

解：(I)當(dāng)x20時(shí)，f(x)=x2-2x.

設(shè)xVO可得-x>0,則f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x

?函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則/(x)=-/(-%)=-x2-2x

(x)=<函數(shù)的圖象如圖所示

-X2-2X,X<CO

(//)由g(x)=/(x)-攵=0可得/(x)=k

結(jié)合函數(shù)的圖象可知

①當(dāng)攵V-1或攵>1時(shí)，y=k與y=f(x)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，即g(x)=f(x)-攵有

1個(gè)零點(diǎn)

②當(dāng)4=-1或&=1時(shí)，y=k與y=f(x)有2個(gè)交點(diǎn)，即g(x)=/(x)-2有2個(gè)零

點(diǎn)

③當(dāng)TVZV1時(shí)，y=k與y=f(x)有3個(gè)交點(diǎn)，即g(x)=/(x)-k有3個(gè)零點(diǎn)

20.(12分)已知角a是第三象限角，且/(a)=cos(-r一)cos(2TT-a)tan(a+兀)

tan(-Cl-兀)sin(-兀-a)

(1)化簡/(a)；

(2)若sin(a-n)=《?，求/(a)的值;

5

(3)若a=-2310°,求/(a)的值.

兀

單.(1)/(a)—)cos(2兀->)tan(a+兀)sinQ，cosa?tan，

-tana,sina

tan(-a-7T)sin(-兀-a)

-cosa.

Va是第三象限角，

；.cosa=-Vl-sin2a=-,

D

:J(a)=-cosa=.

5

(3)Va=-2310°=-(12X180°+150°),

Acosa=cosl50°

2

:,于(a)=-cosa=^X

2

21.(12分)已知函數(shù)fOr)=2cosx(J5sinx-cosx)+1.

(I)求函數(shù)/(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

TT

(II)當(dāng)R￡[O,時(shí)，求函數(shù)/(大)的最大值和最小值.

解：(I)因?yàn)閒(x)=2cosx-cosi)+1=2^/3sin^cosx-2cos2x+1=^/3sin2x

冗

-cos2x=2sin(2x-------),

6

ojr

所以函數(shù)/(x)的最小正周期T=2=n，

ITTTTTTTJT

令2加-----W2x-------W2KH-----,依Z,解得加-----------------,依Z,可得單調(diào)遞