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2023年河北省邢臺(tái)市統(tǒng)招專(zhuān)升本數(shù)學(xué)自考
真題(含答案帶解析)
學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):
一、單選題(30題)
1.
已知函數(shù)/(才)在(-8,+8)內(nèi)可導(dǎo),周期為,1,且|而「1)一/(I-工)=-1,則曲線
y=/(T>在點(diǎn)處的切線斜率為()
A.yB.OC.-1D.-2
2.
設(shè)/均存在.以下四式中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是()
A./<.ro)=lim/V—。)B.f'(工。)=]im八勺+髭一,)
C.八Ho)_lim八也+平)+/F)D./(0)=lim
*~*oZXTx—0JC
3.
曲線y=2+lnx在x=e處的法線的斜率為()
D.
4.
函數(shù))=(1—xY{x<1)的微分dy=()
A.(1-x)JIln(l—x)+B.(1—xYfln(l-x)
C.x(l-r)^dxD.一?r(l—力廣%工
5.
/sirudw=)
A.zB.一nC.1D.0
6.
設(shè)函數(shù)八幻的定義域?yàn)閇0,1],則函數(shù)/(lnx)的定義域?yàn)?)
A.(-oo,4-oo)B.[l.e]C.[0,1]D.(O.e]
7.
.設(shè)/(.r)在[―a,a]上連續(xù),則[―/(一.r)[dz=()
J~a
A.2f/(x)dTB.2[f(—x)dxC.\f(x)d.rD.0
J0J0J-a
8.
oo
已知級(jí)數(shù).則下列結(jié)論正確的是()
M-I
8
若lim〃”=0,則2收斂
ft?8_.I
OOOO
3.若的部分和數(shù)列{SJ有界?則收斂
1n-1
88
二若£|U.I收斂.則絕對(duì)收斂
#■11
88
工若2II發(fā)散.則?”也發(fā)散
1I
9.
3-j2
f2.Zedw=()
Jo
A.1B.OC.1-2e-,D.e-1-1
10.
設(shè)八1)的一個(gè)原函數(shù)為sin2?r,則j/(%)dx=()
A.cos2xB.sin2HC.cos2x+CD.sin2%+C
11.
22
若J/XaOdr=jc+C,貝Ijjx?/(1—x)dj'=)
A.-2(l-.?)2+CB.2(1—/)2+C
22
C.一9(1一彳2)2+。D.J(1-^)+C
12.
設(shè)函數(shù)/Cr))
A.1
13.
設(shè)£=汁苕三I.則其實(shí)部和虛部分別為
<_J__32J_32_32_J_1
HrDn-32
.一分’―西25*25.一天’一天25,25
14.
當(dāng)Z-0時(shí),下列無(wú)窮小量與ln(l+2z)等價(jià)的是()
A.XB.yJCC.x1D.sin2i
15.
.極限lim,.紅匕—=()
二;g+1-1
A.0B.4c-D.T
4
16.
設(shè)a=jEctr,6=j[""'"clr?則()
A.a=bB.a>6
C.aVbD.a,b無(wú)法比較
,函數(shù)匹=ln(x-l)+-」-的定義域?yàn)?)
V16-X2
17A(l,4]B.[1,4]C.(l,4)D.[l,4)
下列結(jié)論正確的是()
18A.函數(shù)/(x)的駐點(diǎn)一定是/(X)的極值點(diǎn)
B.函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)一定是/(x)的駐點(diǎn)
C.函數(shù)/(x)在X。處可導(dǎo),則/(%)在0處連續(xù)
D.函數(shù)在/連續(xù),則/(x)在/處可導(dǎo)
19.
下列函數(shù)中.在[一1.11上滿足羅爾定理?xiàng)l件的是()
A.3,—ln(l—X2)B.j=|x|
C.y=v^xs_1D.>=v71+x
20.
若點(diǎn)(1,-2)是曲線的拐點(diǎn),則()
A.a—1.6=3B.a――3,b——1
C.a――1,b3D.a=4,6=6
21.
設(shè)平面曲線C是從點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(2,3)的直線段,則對(duì)坐標(biāo)的曲線積分
12xdx+(y_x)4y=()
A.-4B.4C.2D.6
22.
(Z*?1],T0,
/(T)=Jlim/(x)存在,則a=)
(21+a.1>0,*"
A.-1B.OC.1D.2
23.
若不定積分j?Cr)dz=J+C,則/'(力=()
A.In!xIB.—C.-4D」
XXJC
24.
?微分方程學(xué)+柴=1是
()
A.二階非線性微分方程B.二階線性微分方程
C.一階非線性微分方程D.一階線性微分方程
25.
若函數(shù)y=/(〃)可導(dǎo),〃=e",則dy=()
Aj(e')drB./(e')deJCJ%)e也D,[/?)了de,
26.
125
若行列式13-2=0,則1=()
25w
A.-3B.-2
C.2D.3
27.
w=0是函數(shù)f(x)=----手壯的()
A.可去間斷點(diǎn)B.連續(xù)點(diǎn)
C.無(wú)窮間斷點(diǎn)D.跳躍間斷點(diǎn)
28.
].sin2(1—x)
()
(x-l)2(x+2)
.1?1,2
C.0D.-y
A-T*5
29.
設(shè)四階矩陣N=(a,一%,〃,一九),8=(夕,七,一73,%),其中見(jiàn)伉72,73,但均為4
維列向量,且已知行列式國(guó)=4,慟=1,則行列式卜-理=()
A.20B.30C.40D.50
30.
下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是(
%B.SFC.玄店D.fjsi哪
n
?=i?3B=ivw~r1s=i3
二、填空題(20題)
y/a2—.r2d.J'=
31."
32.
設(shè)曲線L;/+/=t,則對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分?Cr—sin,犬+J)ds=
二階線性齊次微分方程/+2y—3y=0的通解為
33.
x3Vl-x2dx=.
34.2
積分fcd:=
35.J"
36.
設(shè)/(H)在[O,l]上連續(xù),|"(|cosj'|)dj'=A,則/=|/(|COSJC|)d.z-
J。Jo
函數(shù)(f-D2d的拉氏變換為
37.
38.
向量a=(1?一1.2}在b={0,3,4}上的投影為
39.
極限lim+2-x—3)
才一十8
已知極限lim/l=e-\則常數(shù)A=
40.…\左下)
41.
設(shè)。=4,-3,2}與匕={1,2,入}相互垂直,則義=
曲線y=代一,的拐點(diǎn)是.
已知=F(m),則函數(shù)八2/—5)的傅里葉變換為
寤級(jí)數(shù)I1一產(chǎn)二的收斂半徑是
44.”7v?!
(3、
(1,2,3)2=.
46.
?Tt
由夕=5111%,直線x=一及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積
2
是一
sin6x
極限lim
47.tan2.r
(jr3—x+l)sin2.
48.」-
49.
設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間(YO,8)內(nèi)連續(xù),且/(x)=3-—乙4>o),則/(0)=
X
limqin(〃+1)-In=°
50.____
三、計(jì)算題(15題)
設(shè)函數(shù)了=.y(久)由參數(shù)方程,一“‘所確定,求空及舞.
drdr
51N=c"-
pl—12—13+力=0,
解線性方程組V?一才2+4一3.心=0.
力一q-2工3+3力=0.
52.
53.
求”?dy,其中D={(/,_y)|了》J2+<4}.
.D2戶十)V
求極限lim理二
x-?ox-smx
54.
----?x>0,
求fJ(x)dx.
已知1+x
---,x<0,
ll+e”
55.
31)2”
56求幕級(jí)數(shù)指工:的收斂域.
57.
設(shè)之=fCry.x2+/),且/具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),求上.
58.
計(jì)算曲線積分I=[J/+y)d.r+(.r+>/7)d_y,其中L為從點(diǎn)0(0.0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)
到點(diǎn)8(1,1)的一段折線.
59.
設(shè)2=/(%+乂y2一必),其中z=/(〃,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求宜上.
dydx
求定積分jln,zd.r.
60.J1
61.
設(shè)函數(shù)f(x)在(-8,+8)上連續(xù),且滿足f(x)=lnx+,f(x)dx,求/(x).
計(jì)算不定積分[c1r.
62.
P(1-cos/)dr
求極限lim蟲(chóng)-----5-----.
63.2。%
64.
計(jì)算曲線積分](三-2zy)d#+(y=-2中)心,其中L是拋物線y=〃上從點(diǎn)(-1,1)
到點(diǎn)(LD的一段弧.
65.
$+2小-力+h=2,
19.已知線性方程組:卜q+4及一八+3右=*當(dāng)。取何值時(shí),方程組有解?并求
13q+6T2-2T3+44=5,
出通解.
四、證明題(10題)
66.
求由拋物線:y=IT及其在點(diǎn)(i,o)的切線和y軸所圍成的平面圖形的面積.
67.
,設(shè)函數(shù)/Gr)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且/⑴=1,證明,在(0.D內(nèi)至少存在
一點(diǎn)&使得/(£)+&'(《)-2£=0成立.
68證明:當(dāng)0V”WK時(shí),4siniI2cosx<2.
69.
已知方程1"一x7—T3+彳=0有一正根才=1.證明方程11110—7.r6-3〃+1=0
必有一個(gè)小于1的正根.
設(shè)0<a4〃,證明不等式與且<ln-<”三
70.ba
71.
設(shè)函數(shù)/(.r)在[1,3]上連續(xù),在(1,3)內(nèi)可導(dǎo),且八3)=0,證明:至少存在一點(diǎn)
三6(1,3),使占'(幻1成+/(5)=0.
72.
已知方程4.r+3-V=o有一負(fù)根下=—2.證明方程4+9彳2—5Z=0必有一個(gè)
大于一2的負(fù)根.
證明:當(dāng)7>0時(shí),有(1+〉arclan.r.
73.
74.
證明:當(dāng)z〉0時(shí),一—>ln(1+JT).
75.
設(shè)函數(shù)/(x)在口,31上連續(xù),在(1.3)內(nèi)可導(dǎo).且八3)=0.證明:至少存在一點(diǎn)
£6(1,3),使占'(切1成+/(3)=0.
五、應(yīng)用題(10題)
76.
曲線y=./(]>0),直線r+?=2以及),軸圍成一平面圖形D,試求平面圖形D繞
》軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.
77.
求平面高+++看=1和柱面產(chǎn)+丁=1的交線上與Qy平面距離最短的點(diǎn).
oTD
78.
假麻企業(yè)在酎互相輔的市場(chǎng)上雌同一種穌,酎市堀幡耨分睚
Q二竽Q廣12-族中工施弗栩飾躺偏(旗怫怖觸野財(cái)產(chǎn)
L
跳毓本微以二2(Q-QJ+5,頻御雌,蛭山麒耿橢,井榔聯(lián)
脆
79.
;a";2'i...一?二薩“,:笥滋?心,.;1轉(zhuǎn)口.1
一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,3)且在任一點(diǎn)處的切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù),求:
(1)該曲線的方程;
(2)該曲線與7軸及直線工=e?所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積.
80.
設(shè)Di是由拋物線v=2.r2和直線.r=a,z=2及_y=0所圍成的平面區(qū)域;D?是由
拋物線y=2x2和直線y=O,x=a所圍成的平面區(qū)域.其中0Va<2.
(1)試求以繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積V”Q繞},軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積V?;
(2)問(wèn)當(dāng)a為何值時(shí)匕十匕取得最大值?試求此最大值.
81.
求曲線y=Int在區(qū)間(2,6)內(nèi)的一點(diǎn),使該點(diǎn)的切線與直線x=2,x—6以及
y=ln.r所圍成的平面圖形面積最小.
82.
平面圖形由拋物線=2a?與該曲線在點(diǎn)(;,1)處的法線圍成.試求:
(1)該平面圖形的面積;
(2)該平面圖形繞1軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積.
83.
求由拋物線y=F與直線y=x所圍成的平面圖形的面積及該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周
所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.
84.
求曲線y=6z與.y=合所圍成圖形的面積.
85.
要建造一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方形水池,其底和壁的總面積為192m2,問(wèn)水池的尺寸如何設(shè)計(jì)
時(shí),水池的容積最大?
六、綜合題(2題)
求/(.r);
86.
87.
?過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=e,的切線/.切線/與曲線y=e”及y軸圍成的平面圖形記為
G.求:
切線/的方程;
參考答案
l.D
[答案]D
【精析】由導(dǎo)數(shù)定義可得,KmW】r)=1lim八1_:)_/(1)=-^-/(l)=-l.
所以/(D=—2,乂函數(shù)周期為l,故/(5)=/(I)=-2.
2.D
L答案」D
【精析】^(0)-lim/(r)-{(o)lim"r)一八°).因?yàn)椴淮_定f(0)是否等于0.
所以不一定有了'?))-lim
J-*-01
B
1
【評(píng)注】y=-,在x=e處的法線的斜率為-=-e.
y(e)
3.BX
4.B
[答案]B
【精析】因?yàn)閥=(1—工/=,所以y'—e*l°n_'r,Qxln(l—x)J*=(1—h)*口n(l
—x)—丁^—1.故dy=(1—7)lln(1—1)一丁^—,故選B.
1-x1—JC
5.D
【精析】由于jy=a2siru?為[一式,用上的奇函數(shù).故|Msirwdr=0,本題選D.
6.B
[答案1B
【精析】f(.r)的定義域?yàn)椋?,1],對(duì)于來(lái)說(shuō)應(yīng)滿足O&lnx&l,即
故應(yīng)選B.
7.D
【精析】因?yàn)?(外一/(一外在[-a,川上是奇函數(shù),所以「L/(x)-/(-x)]cLr=0,
J-a
故應(yīng)選D.
A項(xiàng)中若&=」",結(jié)論不成立;
8.Cn
B項(xiàng)中若u?=(—D",結(jié)論不成立;
D項(xiàng)中若〃“=(―1)"",結(jié)論不成立;
n
由絕對(duì)收斂的定義知?C項(xiàng)正確.
,19ri2
2J,3e-Jd.r=Md(—e-J)
0J0
=—j2e-^2+|2je-r2d.r
9.CoJo
10D【精析】由原函數(shù)及不定積分的定義知,應(yīng)選D.
11.C
【精析】。?/(I-x2)d.r=-^-[/(l-x2)d(l-x2)=-J(1—7+C.
12.C
[答案]C
fsin2j.,
---十e,x<o,
【精析】/(T)=J]在工=0處的左極限lim+門(mén)=2+
Jf-*Q
4x2—3x—3x>0
1=3,右極限limEx2-3]1R)=4.因?yàn)?(*)在H=0處連續(xù),則左右極限相等?所
J-01
以4=3.故選C.
13.A
[答案]A
1精機(jī)J:-(]+爐+i-(i+M(I+-zu+i)+i(2i)<2i)(l+i)+1
—5+4i=—1-32i
-3-4i~—25-,
14.D
【精析】因?yàn)楫?dāng)zf0時(shí)sin2j*?2N,ln(l+2M)?2x,
所以當(dāng)n-??0時(shí)ln(l+2M)?sin2],故應(yīng)選D.
15.B
[精析]lim-2—=——2“(47+1+12——
二;=:(/^TT-i)(vGyTT+D
=Hm2.心(,<v十1+1)
LOxy
y-*O
=41
故選B.
16.A
【精析】
故應(yīng)選A.
C解析:考查函數(shù)定義域.解不等式組["7:°八即得.
I”16-x2>0
1/.c、
18.C
【評(píng)注】本題考查的是駐點(diǎn)與極值點(diǎn)及可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.關(guān)于極值點(diǎn),我們有如下
結(jié)論:極值點(diǎn)可能在駐點(diǎn)或者不可導(dǎo)點(diǎn)處取得;如果函數(shù)可導(dǎo),則極值點(diǎn)一定為駐點(diǎn);
駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)都不一定是極值點(diǎn),我們需要根據(jù)駐點(diǎn)(或者是不可導(dǎo)點(diǎn))左右兩側(cè)
導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)進(jìn)一步判斷駐點(diǎn)(不可導(dǎo)點(diǎn))是否是極值點(diǎn).
19.C
[答案]C
【精析】該題需要按定理的三個(gè)條件“連續(xù)”“可導(dǎo)”“相等”逐一驗(yàn)證.
A.在]=土1時(shí)ln(l-三)無(wú)定義.從而函數(shù)在閉區(qū)間1―1,口上不連續(xù),不滿足羅爾定理
的第一個(gè)條件,不合要求;
B.J,=|才|在[一1,口上處處連續(xù)是滿足的,但是函數(shù)在工=0處不可導(dǎo),從而函數(shù)在
(—1,1)內(nèi)不是處處可導(dǎo)的,不滿足羅爾定理的第二個(gè)條件,不合要求;
C./(x)=擰=1在(一]」)內(nèi)處處可導(dǎo),在[-1,門(mén)上處處連續(xù),且八一1)="1),
故該函數(shù)在區(qū)間二一L1]上滿足羅爾定理的各個(gè)條件,符合要求;
D.顯然八一1)所以不滿足羅爾定理的第三個(gè)條件,不合要求.
故選C.
20.A
匚答案]A
【精析】若點(diǎn)(詼./(工。))為曲線y=f("的拐點(diǎn),則/(J-O)=0或,QG不存在.
_y=ar3—&r:處處二階可導(dǎo),_y'=3ar2—2/tr,y'r=6az—2b.
由題意y(l)=-2,/(l)=0.
ta—b=-2,
即.解得a=1,6=3,故選A.
]6a-26=0.
【評(píng)注】平面曲線。的參數(shù)方程可記作|(l<x<2),
y=2x~l,
21BJc2xdx+(y-x)dy=j;[2x+(2x-l-x>2]dx=4,所以,選B.
22.A
L答案」A
【精析】由于liin/(jr)存在?則limf(.r)「limf(.r).由題可知limCr2—1)=—1.
?ElLI」IT
lirnf(.r)=lim(21Ia)=a.故a=—1.
L<)+L<)+
23.D
【精析】|/Cr)cLr=工+C,兩邊求導(dǎo)得f⑺=一工/'Cr)=與.
JXXX
[答案1A
9,△【精析】由微分方程的概念知應(yīng)選A.
25.B
【精析】由于y=/(〃)可導(dǎo),所以dy=(![/(?)]==/'(eDde",故應(yīng)選B.
26.D
[答案]
【精析】j-3=0,故了=3.
27.A
[答案1A
【精析】1而尸(])=而1。^=1而取=4?因此了=0為/3的可去間斷點(diǎn).
LOLOXX~*0LXL
28.A
(1一々)2
【精析】陰—二咕=物+=3故應(yīng)選人?
(x-l)2(x+2)
29.C
【評(píng)注】|4-用=|a-£,-2%,2/31-2y4|=眼一4,%,%,八|=必氏%,為M-忸,八,力,九|)
由力=4-為方,一九),且ld=4易知值,72名,九|=4,由8=(人72,-,3,九),且同=1,易
知以y2,,3,/4|=-1,將上述結(jié)果代入,可得|/-a=8值72,,3,九|-忸,72,,3,九|)=40.所
以選C.
30.C
31.
7V,
鏟
[答案]92
4
【精析】設(shè)x=。5儲(chǔ)1/.貝1」cb=acosfdz,
'o_________rf,2f-r
,一—./dr=a'cos'tdt=—z(cos2?+1)dz
J0J0/Jo
=與〃2:]sin2「與十,"2一)=?k1.
Z\Zo()/4
或根據(jù)定積分幾何意義可知
jy/a--.rd.r=ySpq=?:
32.
■K
n
x=—cosa?
【精析】曲線L:/+y=亨的參數(shù)方程為a610,2用,所以
n-
y='Sina,
>(.x—sin十;/)ds=J(--cosa+1)■ysina)2+(-2-cosa)2da
2?
.2
~(與sina上告a)=1M兀,
4乙
33.
產(chǎn)+QeYC,Q為任意常數(shù))
[答案]y=Cea+Ge?G£為任意常數(shù))
【精析】已知微分方程的特征方程為產(chǎn)+2「-3=0,得特征根a:=-3.n=1.
故微分方程的通解為),=Ge儲(chǔ)+Ge,,其中GC為任意常數(shù).
34.0
0
【評(píng)注】定積分上下限關(guān)于0對(duì)稱(chēng),且被積函數(shù)為奇函數(shù),可知結(jié)果為0.
「01.01
【精析】axk=方代=-14-i)2=—i.
35.-iJ,+i1+1
36.
4A,
【精析】由于/(*)在[0,口上連續(xù),所以/(Icosz|)在(-8.+8)連續(xù),以7r為周
期,且為偶函數(shù)*則根據(jù)周期函數(shù)在任一周期上的積分相等以及偶函數(shù)的積分性質(zhì)
可得
1=2^f(|COSJT|)cLr=2j*/(ICOSH|)dz="/(|COSJ-|)dj-=4A.
37.
s2—4x+5
[答案]
(s-ir
【精析】L[(,-l)2e叮
=[.[(?-2/4-l)c叮
,+…
(f-2/+l)c-<>_n,d/
.<1
=(7-7+7)L-,.
—-4s+3_/一4s+5
(5—1);,(5—1”,
38.
[答案11
rmci-/vi,LAA+n.e^.1,0,b1X0+(-1)X3+2X4.
【精析】a在b上的投影為=-------,.=-----=1.
ibIyo2+32+42
39.
5
2
41.2
【精析】由于a,b相互垂直,所以a?方=0即;1-6+2入=0.得義=2.
42.
[答案](2.由
【精析】由于一Ie-,,令y=-e~—e-J+x^TT=0得x=2,
o
7<2時(shí)yf,<。,.r>2時(shí)y>0,故y=xe~J的拐點(diǎn)為(2,3).
43.
1-2汝,廠/\
Te2F(v)
【精析】由傅里葉變換性質(zhì)知.,⑵一5)的傅里葉變換為:
P"⑵)」二
2
凡/⑵-5)」=Ff
e-iuT
1-lu,
FreT
~乙
44.
+C.XJ
[答案]+8
【精析】p=limlim—-=0?所以此級(jí)數(shù)的收斂半徑為十°°.
(〃+l)!
【精析】(1,2,3)2=10.
1
45.10
46.
n2
~4
Jt27l2
【評(píng)注】V=?!阺in2xdx=cos2x)dx
~4x~4
47.
3
sin6xsin6.r?6w,tan2i~2x
【精析】limlim笑=3.
J-*Otan2j'等價(jià)無(wú)窮小代換LOLX
48.
1-jsin2
riririri
(x3-x+l)sin2xd^=sin2adM=2sir?3da*=(1—cos2c)dw
J-iJ-iJoJo
=--^-sin2jr^|=1—十sin2.
49.
E|
3Jln3-2xln23,
【評(píng)注】因?yàn)?(0+0)=lim=ln].所以由f(x)在(-8,+oo)上連續(xù)
XTO*1
知,/(O)=/(O+O)=ln^.
50.1
51.
【精析】因?yàn)榕?35筆=3e”.
52.
1—1—111—10—1
同解方程組為
產(chǎn)=xz?7i.
2xt,
JCZ10
取一=??可求得基礎(chǔ)解系為
.r401
11
10
?小=?
牛=02
01
才111
.r?10
所以線性方程組的通解為=kk(k.k為任意常數(shù)).
.22]2
r30
4.0,1
53.
【精析】在極坐標(biāo)系下D={(「田)|手〈夕〈,兀,1<「W2}.
『志7d…[時(shí)小等”
《??yJ彳J1/
fT.23嚴(yán).
=sinPcosOd。rdr=:—sinjdsinj
JJi2JT
o亨
=;sin28'=0.
4t
54.
5E-U????1—CoVx-1+COSXc
解:原式=hmC°sx_=]11n-----------------=lim———=2.
x-*01-cosxx-*(l-cosr)cofJCx-*°cosX
55.
解:
j:11一卜=1-ln(l+e*j:=ln(l+e)-In2
其中£3/=J-
J七改4左d(x+l)=H?2
所以J:/(“比=1n0+e).
56.
【精析】令21+1『,級(jí)數(shù)化為£,
X2FT+-2
2
o=lim=lim.1,—=Zlim—J=產(chǎn),若級(jí)數(shù)收斂,則pV1,即產(chǎn)<1,
「wyu??-8n+1tLOOn4-1
從而一1VfVL
OO28
所以級(jí)數(shù)>yn的收斂區(qū)間為(一1.1),當(dāng),=±1時(shí),級(jí)數(shù)化為3}是發(fā)散的.
一1V2±+l<1,即一1<才<0,所以所求級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?1,0).
57.
【精析】因?yàn)橹?/(才>>+/)且/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).
所以孕=W-3
a2z_a(.y/;+2.r/2)=/"),.雪+2].華
=f\+>'(Vn+2y/12)+2-切%:+2yf^
=fl+xyfu4-2(J2+X2)/12+4^/22.
58.
【精析】1=)演+y)d.r+(1+77)dy+Q(/+》)d.r+(才+77)d.y
=j12clz+f(1+G)dy=+_+_1_尸)]
JoJo30\o/Io
=2
59.
.【評(píng)注】令x+y=〃,歹2--=v,z-f{u,v),
品£+2/,嘉"-2次+2加-4詠=<+2(y-x)£-4如
60.
原式=^-1In.rdj,2=-y,r2In.r---Jd(1nx)
=-^-/Ine—!X1XIni---[jr2?—d.r
222Ji.r
解:令(/(x)dx=<,則/(x)=lnx+4.故有[3/(%也=J:(lnx+/)ic,即
N=31n3-2+2/,得%=2-31n3,因此/(x)=lnx+2-31n3.
62.
------7+工一ln(]+d)+C
er-r1
^-r-lnd-reO+C.
十i
63.
j^(l-COS/)<k
1-COSX21
解:lim;=lim------------=lim^—-=—.
D3f6
64.
【精析】如右圖,3=萬(wàn)?dy=2dd1,1:—1f1?
則有
2
(J—2jry)(IJF-b(y2—2ry)dy
j[(x2-2x3)+(x4-2x3)2x]dz
可:(工—"一程
65.
rl2-11rl2-112
【精析】增廣矩陣B=(A")=24—13a-A0011-1
36-2450000u—3
當(dāng)a=3時(shí).r(B)=r(A)=2<4,方程組有解,此時(shí)
(12-112]ri2021
B=(A.b)f0011-1->0011-1
00000[o0000
+2J:2+2x(=1,
同解方程組為令12
J“+=-1,
則通解為,其中瓦,息為任意常數(shù).
66.
【精析】由題意知,拋物線在點(diǎn)(1,0)處切線的斜率/=,-2r|=-2,
U,0>IU.O)
故切線方程為了-0=—2(才—1),即y=一2工十2,易知切線與y軸交點(diǎn)為(0,2),故
所求面積
5=[[_—2H+2-(1—Xs)Jdx=[(x2—2x—1)dx=('「'=
JoJo3o3
67.
【證明】設(shè)F(J)=工/(I)一M,
因?yàn)?(/)在mu上連續(xù),在(。,1)內(nèi)可導(dǎo),
所以FQ)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),
又/(I)=1.
F(0)=0?/(0)—02=0,F(l)=1?/(l)-I2=0,
即F(0)=F(1).
故在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)£使尸(6=0,
即⑷-2£=0成立.
68.
【證明】令/(J)=jsitiz-+2cosz—2,
貝I1/'(JT)=sinx+JTCOSJT-2sin>r=JTCOSJ"-sinr,
=COSJT—zsiruz—COSJC=-xsinjr.
當(dāng)0〈彳〈式時(shí)./'(%)VO,于是,(I)單調(diào)遞減,
且/'(")在[Of]上連續(xù),所以7(x)</(0)=0,于是f(工)單調(diào)遞減,
所以/(J:)V,/(0)=0,即Hsinz+2cosJT—2<0.結(jié)論成立.
69.
【證明】令fix)=一—夢(mèng)一+工.則根據(jù)題意可知/(1)=0.
因?yàn)?(])在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且/(0)=/(I)=0.
故由羅爾定理可知:miG(0.1),使得/'(£)=0,即11^0-7m-35+1=0,
故方程112Kl--3/+1=0必有一個(gè)小于1的正根.
70.
71.
【證明】令F(J)=/(.r)lnj611,3].
因?yàn)镕(x)在口,3]上連續(xù),在(1,3)內(nèi)可導(dǎo),
F(l)=/(l)lnl
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