2.4.3向量與夾角(1)教學(xué)設(shè)計(jì)-2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

2.4.3向量與夾角(1)教學(xué)設(shè)計(jì)-2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）選擇性必修第二冊(cè)主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱(chēng)：向量與夾角

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：2023-2024學(xué)年高二（1）班

3.授課時(shí)間：2023年3月15日

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)（45分鐘）教學(xué)目標(biāo)分析1.知識(shí)與技能：使學(xué)生理解向量的概念，掌握向量與夾角的關(guān)系，能夠運(yùn)用向量解決實(shí)際問(wèn)題。

2.過(guò)程與方法：通過(guò)實(shí)例分析，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)生的邏輯思維能力。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生的探究精神，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.向量的概念及其表示方法。

2.向量與夾角的關(guān)系及其應(yīng)用。

3.向量運(yùn)算的性質(zhì)和法則。

難點(diǎn)：

1.向量夾角的計(jì)算方法及應(yīng)用。

2.向量數(shù)量積的定義及其應(yīng)用。

3.向量與坐標(biāo)的關(guān)系及其應(yīng)用。

解決辦法：

1.通過(guò)實(shí)例引入，幫助學(xué)生理解向量的概念及其表示方法。

2.通過(guò)幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算，幫助學(xué)生掌握向量與夾角的關(guān)系。

3.通過(guò)練習(xí)和例題講解，幫助學(xué)生熟悉向量運(yùn)算的性質(zhì)和法則。

4.通過(guò)分組討論和互動(dòng)，幫助學(xué)生解決向量夾角的計(jì)算方法及應(yīng)用問(wèn)題。

5.通過(guò)幾何直觀和坐標(biāo)系，幫助學(xué)生理解向量數(shù)量積的定義及其應(yīng)用。

6.通過(guò)實(shí)例分析和練習(xí)，幫助學(xué)生掌握向量與坐標(biāo)的關(guān)系及其應(yīng)用。學(xué)具準(zhǔn)備Xxx課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有本節(jié)課所需的教材或?qū)W習(xí)資料，即湘教版（2019）選擇性必修第二冊(cè)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，包括向量的表示方法、向量與夾角的關(guān)系、向量運(yùn)算的性質(zhì)和法則等。

3.實(shí)驗(yàn)器材：如果涉及實(shí)驗(yàn)，確保實(shí)驗(yàn)器材的完整性和安全性，包括向量夾角測(cè)量?jī)x、向量運(yùn)算演示工具等。

4.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，布置教室環(huán)境，如分組討論區(qū)、實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)等。在教室的前方設(shè)置黑板或投影儀，方便展示教材內(nèi)容和輔助材料。在教室的兩側(cè)設(shè)置展示板，供學(xué)生分組討論和展示實(shí)驗(yàn)結(jié)果。在教室的中央設(shè)置實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)，供學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。

5.教學(xué)軟件：準(zhǔn)備相應(yīng)的教學(xué)軟件，如幾何畫(huà)板、向量計(jì)算器等，幫助學(xué)生直觀地理解向量的概念和運(yùn)算。

6.網(wǎng)絡(luò)資源：收集與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的網(wǎng)絡(luò)資源，如向量知識(shí)講解視頻、向量應(yīng)用實(shí)例等，供學(xué)生課后學(xué)習(xí)和拓展。

7.學(xué)習(xí)資料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的學(xué)習(xí)資料，如向量習(xí)題集、向量應(yīng)用案例等，供學(xué)生課后練習(xí)和應(yīng)用。

8.教師備課資料：教師需提前準(zhǔn)備備課資料，包括教材、輔助材料、實(shí)驗(yàn)器材、教學(xué)軟件等，確保教學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確性和完整性。

9.學(xué)生學(xué)習(xí)資料：提前為學(xué)生準(zhǔn)備好學(xué)習(xí)資料，包括教材、輔助材料、學(xué)習(xí)資料等，確保學(xué)生能夠及時(shí)了解和掌握教學(xué)內(nèi)容。

10.教學(xué)反饋：準(zhǔn)備相應(yīng)的教學(xué)反饋工具，如學(xué)習(xí)進(jìn)度表、學(xué)生反饋表等，及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和反饋意見(jiàn)，調(diào)整教學(xué)方法和策略。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

2.新課講授（用時(shí)20分鐘）

（1）向量的概念及其表示方法（用時(shí)5分鐘）

（2）向量與夾角的關(guān)系及其應(yīng)用（用時(shí)10分鐘）

（3）向量運(yùn)算的性質(zhì)和法則（用時(shí)5分鐘）

講解向量運(yùn)算的性質(zhì)和法則，如向量加法、向量減法、向量數(shù)乘、向量點(diǎn)乘、向量叉乘等。通過(guò)實(shí)例分析和練習(xí)，幫助學(xué)生熟悉向量運(yùn)算的性質(zhì)和法則。

3.實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)10分鐘）

（1）向量夾角的計(jì)算方法及應(yīng)用（用時(shí)5分鐘）

分組讓學(xué)生使用向量夾角測(cè)量?jī)x，測(cè)量不同向量之間的夾角，并計(jì)算出夾角的度數(shù)。通過(guò)實(shí)踐，讓學(xué)生理解和掌握向量夾角的計(jì)算方法及其應(yīng)用。

（2）向量數(shù)量積的定義及其應(yīng)用（用時(shí)5分鐘）

讓學(xué)生通過(guò)實(shí)例分析，理解向量數(shù)量積的定義及其應(yīng)用，如計(jì)算兩個(gè)向量的乘積、向量的長(zhǎng)度等。通過(guò)練習(xí)，幫助學(xué)生掌握向量數(shù)量積的定義及其應(yīng)用。

（3）向量與坐標(biāo)的關(guān)系及其應(yīng)用（用時(shí)5分鐘）

讓學(xué)生通過(guò)坐標(biāo)系，分析向量與坐標(biāo)的關(guān)系，如向量的坐標(biāo)表示、向量的長(zhǎng)度和方向等。通過(guò)實(shí)例分析和練習(xí)，幫助學(xué)生掌握向量與坐標(biāo)的關(guān)系及其應(yīng)用。

4.學(xué)生小組討論（用時(shí)5分鐘）

分組討論以下三個(gè)問(wèn)題：

（1）向量夾角的計(jì)算方法及其在實(shí)際中的應(yīng)用。

（2）向量數(shù)量積的定義及其在實(shí)際中的應(yīng)用。

（3）向量與坐標(biāo)的關(guān)系及其在實(shí)際中的應(yīng)用。

每個(gè)小組討論后，由小組代表進(jìn)行匯報(bào)，其他小組進(jìn)行評(píng)價(jià)和補(bǔ)充。

5.總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

回顧本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，包括向量的概念、向量與夾角的關(guān)系、向量運(yùn)算的性質(zhì)和法則等。強(qiáng)調(diào)本節(jié)課的重難點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生課后進(jìn)行鞏固和拓展。

總用時(shí)：45分鐘教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

（1）向量知識(shí)講解視頻，包括向量的概念、向量與夾角的關(guān)系、向量運(yùn)算的性質(zhì)和法則等。

（2）向量應(yīng)用實(shí)例，如物理中的向量計(jì)算、工程中的向量應(yīng)用等。

（3）向量軟件的使用方法，如幾何畫(huà)板、向量計(jì)算器等。

（4）向量習(xí)題集，包括向量的概念、向量與夾角的關(guān)系、向量運(yùn)算的性質(zhì)和法則等。

（5）向量與坐標(biāo)的關(guān)系及其應(yīng)用的相關(guān)資料。

2.拓展建議：

（1）學(xué)生可以在課后觀看向量知識(shí)講解視頻，加深對(duì)向量知識(shí)的理解。

（2）學(xué)生可以閱讀向量應(yīng)用實(shí)例，了解向量在實(shí)際中的應(yīng)用。

（3）學(xué)生可以嘗試使用向量軟件，如幾何畫(huà)板、向量計(jì)算器等，進(jìn)行向量的計(jì)算和作圖。

（4）學(xué)生可以練習(xí)向量習(xí)題集，鞏固向量的概念、向量與夾角的關(guān)系、向量運(yùn)算的性質(zhì)和法則等。

（5）學(xué)生可以閱讀向量與坐標(biāo)的關(guān)系及其應(yīng)用的相關(guān)資料，了解向量與坐標(biāo)的關(guān)系及其應(yīng)用。

（6）學(xué)生可以參與線上向量學(xué)習(xí)社區(qū)，與其他學(xué)生一起討論向量問(wèn)題，分享學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

（7）學(xué)生可以參加向量競(jìng)賽或挑戰(zhàn)，提高自己的向量能力。

（8）學(xué)生可以嘗試將向量知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，如物理、工程等，提高自己的應(yīng)用能力。

（9）學(xué)生可以參加向量講座或研討會(huì)，與其他學(xué)生和教師一起學(xué)習(xí)向量知識(shí)。

（10）學(xué)生可以閱讀向量相關(guān)的書(shū)籍，深入了解向量的概念、向量與夾角的關(guān)系、向量運(yùn)算的性質(zhì)和法則等。教學(xué)反思與改進(jìn)1.設(shè)計(jì)反思活動(dòng)

在教學(xué)后，我計(jì)劃進(jìn)行一系列的反思活動(dòng)，以便評(píng)估教學(xué)效果并識(shí)別需要改進(jìn)的地方。首先，我將與學(xué)生進(jìn)行一對(duì)一的會(huì)談，了解他們對(duì)本節(jié)課的理解程度和存在的問(wèn)題。其次，我將收集學(xué)生的反饋，包括他們?cè)谡n堂上的表現(xiàn)、對(duì)教學(xué)內(nèi)容的掌握情況以及他們對(duì)教學(xué)方式的看法。此外，我還將觀察學(xué)生的課堂表現(xiàn)，包括他們的參與度、提問(wèn)情況和小組討論的參與度。

2.制定改進(jìn)措施

總的來(lái)說(shuō)，我希望通過(guò)反思和改進(jìn)，能夠更好地幫助學(xué)生理解向量的概念和運(yùn)算，提高他們的數(shù)學(xué)能力，并激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。板書(shū)設(shè)計(jì)1.向量概念及其表示方法

-向量定義

-向量表示

-向量運(yùn)算

2.向量與夾角的關(guān)系

-向量夾角定義

-向量夾角計(jì)算

-向量夾角應(yīng)用

3.向量運(yùn)算的性質(zhì)和法則

-向量加法

-向量減法

-向量數(shù)乘

-向量點(diǎn)乘

-向量叉乘

4.向量與坐標(biāo)的關(guān)系

-向量坐標(biāo)表示

-向量長(zhǎng)度和方向

-向量與坐標(biāo)應(yīng)用課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了向量的概念及其表示方法，向量與夾角的關(guān)系，向量運(yùn)算的性質(zhì)和法則，以及向量與坐標(biāo)的關(guān)系。

2.向量的概念及其表示方法是向量學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，我們需要理解向量的定義和表示方式，掌握向量的基本運(yùn)算。

3.向量與夾角的關(guān)系是我們學(xué)習(xí)向量的重要內(nèi)容，我們需要掌握向量夾角的計(jì)算方法和應(yīng)用，了解向量夾角在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

4.向量運(yùn)算的性質(zhì)和法則是我們學(xué)習(xí)向量運(yùn)算的基礎(chǔ)，我們需要熟練掌握向量加法、減法、數(shù)乘、點(diǎn)乘和叉乘的性質(zhì)和法則，能夠運(yùn)用這些性質(zhì)和法則解決實(shí)際問(wèn)題。

5.向量與坐標(biāo)的關(guān)系是我們學(xué)習(xí)向量在坐標(biāo)系中的應(yīng)用，我們需要了解向量在坐標(biāo)系中的表示方式，掌握向量長(zhǎng)度和方向的計(jì)算方法，能夠運(yùn)用向量與坐標(biāo)的關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題。

當(dāng)堂檢測(cè)：

1.向量的概念及其表示方法

（1）向量的定義是什么？

（2）向量如何表示？

（3）向量的基本運(yùn)算有哪些？

2.向量與夾角的關(guān)系

（1）向量夾角的定義是什么？

（2）如何計(jì)算向量夾角？

（3）向量夾角在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用有哪些？

3.向量運(yùn)算的性質(zhì)和法則

（1）向量加法的性質(zhì)和法則是什么？

（2）向量減法的性質(zhì)和法則是什么？

（3）向量數(shù)乘的性質(zhì)和法則是什么？

（4）向量點(diǎn)乘的性質(zhì)和法則是什么？

（5）向量叉乘的性質(zhì)和法則是什么？

4.向量與坐標(biāo)的關(guān)系

（1）向量在坐標(biāo)系中的表示方式是什么？

（2）如何計(jì)算向量的長(zhǎng)度和方向？

（3）向量與坐標(biāo)的關(guān)系在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用有哪些？

5.綜合應(yīng)用

（1）給定兩個(gè)向量，求它們的夾角。

（2）給定一個(gè)向量和一個(gè)點(diǎn)，求向量在坐標(biāo)系中的表示方式。

（3）給定一個(gè)向量和一個(gè)點(diǎn)，求向量在坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度和方向。

（4）給定一個(gè)向量和一個(gè)點(diǎn)，求向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示。典型例題講解例題1：

已知兩個(gè)向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)，求它們的夾角\(\theta\)。

解：

根據(jù)向量夾角的定義，向量夾角\(\theta\)可以通過(guò)向量的點(diǎn)乘來(lái)計(jì)算：

\[

\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}

\]

其中，\(\vec{a}\cdot\vec\)是向量的點(diǎn)乘，\(|\vec{a}|\)和\(|\vec|\)分別是向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)的模。

例題2：

已知兩個(gè)向量\(\vec{a}=(2,3)\)和\(\vec=(-1,2)\)，求它們的夾角\(\theta\)。

解：

首先，計(jì)算向量的點(diǎn)乘：

\[

\vec{a}\cdot\vec=2\times(-1)+3\times2=-2+6=4

\]

然后，計(jì)算向量的模：

\[

|\vec{a}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}

\]

\[

|\vec|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}

\]

最后，計(jì)算夾角\(\theta\)：

\[

\cos\theta=\frac{4}{\sqrt{13}\times\sqrt{5}}=\frac{4}{13\times5}=\frac{4}{65}

\]

所以，夾角\(\theta\)的度數(shù)為：

\[

\theta=\arccos\left(\frac{4}{65}\right)\approx56.06^\circ

\]

例題3：

已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)，求向量\(\vec{a}+\vec\)的坐標(biāo)。

解：

向量的加法是分量的加法，所以向量\(\vec{a}+\vec\)的坐標(biāo)可以通過(guò)將向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)分量相加得到：

\[

\vec{a}+\vec=(a_x+b_x,a_y+b_y)

\]

例題4：

已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)，求向量\(\vec{a}-\vec\)的坐標(biāo)。

解：

向量的減法是分量的減法，所以向量\(\vec{a}-\vec\)的坐標(biāo)可以通過(guò)將向量\(\vec{a}\)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)分量減去向量\(\vec\)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)分量得到：

\[

\vec{a}-\vec=(a_x-b_x,a_y-b_y)

\]

例題5：

已知向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)，求向量\(\