2021-2022學年河南省鶴壁市?？h九年級（上）期末數(shù)學試卷

2021-2022學年河南省鶴壁市浚縣九年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.（3分）一元二次方程*-2%=0的根是（）

A.xi=0,X2=-2B.xi=1,X2=2C.x\=\,X2=~2D.xi=0,X2=2

2.（3分）下列計算：

①（點產(chǎn)=2；

②Q（-2產(chǎn)=2；

③（-W§）2=12；

@（V2-H/3）（V2-V3）=-l-

其中結(jié)果正確的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（3分）式子Y￡in45°+J正sin60°

-2tan45"的值是（）

2

A.2y-2B.旦C.2A/3D.2

2

4.（3分）如圖，點P在△ABC的邊4c上，要判斷添加一個條件，不正

確的是（）

B

二4

1pA

A.NABP=NCB.ZAPB=ZABCC.星=嶇D.曲=里

ABACBPCB

5.（3分）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向，距離燈塔60ww淞的A處，它沿

正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處，這時，8處與

燈塔P的距離為（）

B

A.60A/3nmileB.60A/2nmileC.30>/3nmileD.30A/2nmile

6.（3分）已知。2+。-1=0,■+人-1=0且則〃/?+〃+/?=（）

A.2B.-2C.-1D.0

7.（3分）如圖，在oABCQ中，E為CD上一點、,連接AE、BD,且4E、BD交于點F,S

△DEF：SAABF=4：25,則DE：EC=（）

A.2：5B.2：3C.3：5D.3：2

8.（3分）同時擲兩個質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù)，則

兩個骰子向上的一面的點數(shù)和為8的概率為（）

A.AB.-LC.AD.J—

936636

9.（3分）如圖，在正方形ABC。中，△BPC是等邊三角形，BP、C尸的延長線分別交AO

于點E、F,連接B。、DP,B3與CF相交于點4,給出下列結(jié)論：

@BE=2AE；②△DFPS^BPH：③/\PFDs4PDB；?DP2=PH-PC

其中正確的是（）

A.①②③④B.②③C.①②④D.①③④

10.（3分）定義運算：小-機〃-i.例如：4i!r2=4X22-4X2-1=7,則方程1

☆x=0的根的情況為（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根D.只有一個實數(shù)根

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.（3分）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：?-6x=.

12.（3分）己知（x-y+3）2+V2x+y=0,則（x+y）2021=.

13.（3分）如圖，△ABC中，NC=90°，點。在AC上，己知NBOC=45°,BD=lCh/2.

43=20,則/A的度數(shù)是

14.(3分)如圖所示的轉(zhuǎn)盤，被分成面積相等的四個扇形，分別涂有紅、黃、藍、綠四種

顏色.固定指針，自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，每次停止后，記下指針所指區(qū)域(指針指向區(qū)域

分界線時，忽略不計)的顏色，則兩次顏色相同的概率是.

15.(3分)如圖，等腰直角三角形ABC頂點A在》軸上，NBC4=90°,AC=BC=2近,

反比例函數(shù)y=3(x>0)的圖象分別與AB,BC交于點。，E.連接力E,當ABDEs^

x

16.(10分)計算:

(1)5(x+3)2=2(x+3)；

(2)x12-10x+9=0.

18.(8分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知AABC和△￡)￡產(chǎn)的頂點坐標分別為A(1,

0),B(3,0),C(2,1),D(4,3),E(6,5),F(4,7).按下列要求畫圖：以點。

為位似中心，將AABC向），軸左側(cè)放大2倍得到△ABC的位似圖形AAi81cl.并解決下

列問題：

（1）頂點4的坐標為,Bi的坐標為,Ci的坐標為.

（2）請你利用旋轉(zhuǎn)、平移兩種變換，使△A18C1通過變換后得到AAzB2c2,且282c2

恰與△QEF拼成個平行四邊形（非正方形）.寫出符合要求的變換過程.

19.（9分）已知xi,"是一元二次方程（a-6）/+2分+a=0的兩個實數(shù)根.

（1）是否存在實數(shù)“，使-Xl+XlX2=4+X2成立？若存在，求出“的值；若不存在，請你

說明理由；

（2）求使（xi+1）（X2+1）為負整數(shù)的實數(shù)”的整數(shù)值.

20.（9分）開鑿于北魏孝文帝年間的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)瑰寶，盧舍那佛像是石窟中

最大的佛像.某數(shù)學活動小組到龍門石窟景區(qū)測量這尊佛像的高度.如圖，他們選取的

測量點A與佛像8。的底部。在同一水平線上.已知佛像頭部BC為4m，在A處測得佛

像頭頂部8的仰角為45°,頭底部C的仰角為37.5°,求佛像8。的高度（結(jié)果精確到

0.1m.參考數(shù)據(jù)：sin37.5°—0.61,cos37.5°20.79,tan37.5°-0.77）.

21.（9分）為進一步促進義務教育均衡發(fā)展，某市加大了基礎(chǔ)教育經(jīng)費的投入，已知2015

年該市投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費5000萬元，2017年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費7200萬元.

（1）求該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費的年平均增長率；

（2）如果按（1）中基礎(chǔ)教育經(jīng)費投入的年平均增長率計算，該市計劃2018年用不超過

當年基礎(chǔ)教育經(jīng)費的5%購買電腦和實物投影儀共1500臺，調(diào)配給農(nóng)村學校，若購買一

臺電腦需3500元，購買一臺實物投影需2000元，則最多可購買電腦多少臺？

22.（9分）墊球是排球隊常規(guī)訓練的重要項目之一.下列圖表中的數(shù)據(jù)是甲、乙、丙三人

每人十次墊球測試的成績.測試規(guī)則為連續(xù)接球10個，每墊球到位1個記1分.

運動員甲測試成績表

測試序號12345678910

成績（分）7687758787

運動員乙測試成績統(tǒng)計圖運動員丙測試成績統(tǒng)計圖

（1）寫出運動員甲測試成績的眾數(shù)和中位數(shù);

（2）在他們?nèi)酥羞x擇一位墊球成績優(yōu)秀且較為穩(wěn)定的接球能手作為自由人，你認為選

誰更合適？為什么？（參考數(shù)據(jù)：三人成績的方差分別為S甲2=0.8、S乙2=0.4、S丙2=

0.8）

（3）甲、乙、丙三人相互之間進行墊球練習，每個人的球都等可能的傳給其他兩人，球

最先從甲手中傳出，第三輪結(jié)束時球回到甲手中的概率是多少？（用樹狀圖或列表法解

答）

23.（11分）將正方形A8CZ）的邊A8繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至記旋轉(zhuǎn)角為a,連接B&,

過點。作OE垂直于直線垂足為點E,連接。Bi,CE.

（1）如圖1,當a=60°時，ADEBi的形狀為，連接BD,可求出一BBL.的值

CE

為;

（2）當0°<a<360°且aW90°時，（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請

僅就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由.

圖1圖2

2021-2022學年河南省鶴壁市?？h九年級（上）期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.【考點】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.

【解答】解：7-2%=0,

x（%-2）=0,

x=0,x-2=0,

xi=:0?<V2==2,

故選：D.

【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成

一元一次方程，難度適中.

2.【考點】二次根式的混合運算.

【分析】利用二次根式的性質(zhì)對①②③進行判斷；根據(jù)平方差公式對④進行判斷.

【解答】解：（&）2=2,所以①正確：

7（-2）2=21所以②正確；

③（-2如）2=4X3=12,所以③正確；

④（&W3）（V2-V3）=2-3=-1,所以④正確.

故選：D.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算：在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特

點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

3.【考點】特殊角的三角函數(shù)值.

【分析】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值代入計算即可.

【解答】解：原式=YZx?+2而X近-2X1

222

=>1+3-2

2

-_3-->

2

故選:B.

【點評】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，掌握特殊銳角三角函數(shù)值是正確計算的前提.

4.【考點】相似三角形的判定.

【分析】分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可.

【解答】解：A、當NABP=NC時，又.?.△ABPSAACB,故此選項不符

合題意；

B、當NAPB=NABC時，又,.?/A=NA,A^ABP^AACB,故此選項不符合題意；

C、當空立時，又.?.△ABPSAACB,故此選項不符合題意；

ABAC

。、無法得到△A8PsZ\ACB,故此選項符合題意.

故選：D.

【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵.

5.【考點】解直角三角形的應用-方向角問題；勾股定理的應用.

【分析】如圖作PE_LA8于￡在中，求出PE,在RtZ\PBE中，根據(jù)尸B=2PE

即可解決問題.

【解答】解：如圖作PELAB于E.

在Rt△布E中，VZB4E=45°,PA^60nmile,

：.PE=AE=^-X60=30&〃〃〃7e,

2

在中，VZB=30°,

PB=2PE=60-j2nmile,

故選:B.

【點評】本題考查方向角、直角三角形、銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識.解一般三角形的問

題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線.

6.【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.

【分析】根據(jù)/+〃-1=0,l^+h-1=0,且得出a,6是/+x-1=0的兩個實數(shù)

根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，Xl+X2=一旦X1X2=￡進而求出即可.

aa

【解答】解：,.?/+a-1=0,必+b-l=o,且

.?.可以得出。，人是，+x-1=0的兩個實數(shù)根,

:.ab=-1,a+b=-1,

貝!Jab+a+b=-1-1=-2.

故選：B.

【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)已知得出a,匕是/+x-1=0的兩個實

數(shù)根是解題關(guān)鍵.

7.【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì).

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理得出△DEFsasAF,再根

據(jù)SADEF：SAABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性質(zhì)即可求出DE：AB的

值，由AB=CQ即可得出結(jié)論.

【解答】解：???四邊形48C。是平行四邊形，

：.AB//CDf

；?NEAB=NDEF,NAFB=/DFE,

:.△DEFSLBAF,

?：S^DEF：SAABF=4：25,

：.DE：AB=2：5,

?:AB=CD,

：.DE：EC=2：3.

故選：B.

【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟知相似三角形

邊長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵.

8.【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】列舉出所有情況，看兩個骰子向上的一面的點數(shù)和為8的情況占總情況的多少

即可.

【解答】解：列表得：

(1,6)（2,6）（3,6）（4,6）（5,6）（6,6）

(1,5)（2,5）（3,5）（4,5）（5,5）（6,5）

(1,4)（2,4）（3,4）（4,4）（5,4）（6,4）

(1,3)（2,3）（3,3）（4,3）（5,3）（6,3）

(1,2)（2,2）（3,2）（4,2）（5,2）（6,2）

(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

???兩個骰子向上的一面的點數(shù)和為8的概率為故選B.

36

【點評】列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件.樹

狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件.解題時還要注意是放回實驗還是不放回實

驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

9.【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【分析】由正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，即可得出結(jié)論.

【解答】解：是等邊三角形，

：.BP=PC=BC,NPBC=NPCB=NBPC=60°,

在正方形4BCO中，

'：AB=BC=-CD,ZA=ZADC=ZBC￡>=90°

.../A2E=/OCF=30°,

：.BE=2AE；故①正確；

,:PC=CD,NPC￡>=30°,

AZPDC=75°,

：.ZFDP=\5°,

'：ZDBA=45°,

:.NPBD=15°,

:.NFDP=NPBD,

；/￡>FP=/BPC=60°,

:./XDFPsABPH；故②正確；

?；NFDP=NPBD=T5°,ZADB=45°,

；.NPDB=30°,而/OFP=60°,

：.ZPFD^ZPDB,

...△PFD與△PD8不相似；故③錯誤；

:NPDH=NPCD=30°,/DPH=NDPC,

:./XDPHs/xCPD,

.DPPH

PCDP

:.DP2=PH,PC,故④正確；

故選：C.

【點評】本題考查的正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，

解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)和定理.

10.【考點】根的判別式；實數(shù)的運算.

【分析】根據(jù)新定義運算法則以及一元二次方程的判別式即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：1=0,

△=1-4X1X(-1)=5>0,

.?.有兩個不相等的實數(shù)根

故選：A.

【點評】本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義運算法則，本題屬于基礎(chǔ)

題型.

二、填空題(每小題3分，共15分)

11.【考點】實數(shù)范圍內(nèi)分解因式.

【分析】原式提取x后，利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=工(X2-6)=x(x+Vs)(x-A/6)-

故答案為：x(X+A/6)(x-V6)

【點評】此題考查了實數(shù)范圍內(nèi)分解因式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵.

12.【考點】解二元一次方程組；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根.

【分析】利用非負數(shù)的性質(zhì)列出方程組，求出方程組的解得到x與y的值，代入原式計

算即可得到結(jié)果.

【解答】解：；(x-y+3)2+V2x+y=0,

.fx-y=-3

12x+y=0

解得：卜二T，

ly=2

則原式=(-1+2)2021=原

故答案為：1.

【點評】此題考查了解二元一次方程組，以及非負數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握方程組的解法及

非負數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

13.【考點】解直角三角形.

【分析】先在RtAADC中利用正弦的定義可計算出BC=10V2Xsin45°=10,然后在

8△ABC中，利用正弦定義得到sin/A=A，=」，再利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到

AB2

ZA的度數(shù).

【解答】解：在RtZ\AOC中，；sin/8DC=匹，

BD

，BC=10&Xsin45°=10弧*匹=10,

2

在RtZVLBC中，?.?sin/A=坨=J^l=上，

AB202

.?.乙4=30°.

故答案為30°.

【點評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，利用勾股定理、三角形內(nèi)角和和

三角函數(shù)，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.

14.【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】用樹狀圖或列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，進而求出相應的概率.

【解答】解：自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，指針所指區(qū)域所有可能出現(xiàn)的情況如下：

次林

紅黃皿綠

紅紅紅黃紅藍紅綠紅

黃紅黃黃黃x模xa蓄K綠黃

藍紅藍黃藍籃籃綠藍

綠紅綠黃綠藍綠綠綠

共有16種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩次顏色相同的有4種，

：.p（兩次顏色相同）=_￡=」，

164

故答案為：1.

4

【點評】考查樹狀圖或列表法求隨機事件發(fā)生的概率，列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是解

決問題的關(guān)鍵.

15.【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【分析】首先設(shè)點。的坐標是（，〃，旦），點E的坐標是（〃，2）,應用待定系數(shù)法求出

mn

直線A8的解析式是多少；然后根據(jù)可得/BOE=N2CA=90°,推得

直線y=x與直線OE垂直，再根據(jù)點。、E關(guān)于直線y=x對稱，推得加7=3；最后根據(jù)

點。在直線AB上，求出點，的值是多少，即可判斷出點E的坐標是多少.

【解答】解：如圖1.

圖1

?.?點。、E是反比例函數(shù)）=3（x>0）的圖象上的點,

設(shè)點。的坐標是（如旦），點E的坐標是（小3）,

mn

又,.?NBC4=90°,AC=BC=2近,

：.C(〃，0),B(〃，2近),A(n-2A/2>0),

設(shè)直線4B的解析式是：y=ax+b,

貝Ja(n-2\[2)+b=0

1an+b=2近

解得廣1

Ib=2v2-n

直線AB的解析式是：y=x+2-/2-n.

又,：△BDEsgCA,

:.NBDE=NBCA=90°,

，直線y=x與直線DE垂直，

，點。、后關(guān)于直線y=x對稱，

33

一+—

??--m--t-n-_m-----n-，

22

???加7=3,或機+〃=0（舍去），

又???點。在直線AB上，

=/W+2^/2-拉,"?〃=3,

m

整理，可得

2"2-2點"-3=0,

解得〃=慨"&或〃=-（舍去），

...點E的坐標是（■!、歷，V2）.

故答案為：（?!/，V2）.

【點評】（1）此題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應用，要熟練掌握，解答此題

的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；②兩邊及其夾角

法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；③兩角法：有兩組角對應

相等的兩個三角形相似.

（2）此題還考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是

要明確：①圖象上的點（x,y）的橫縱坐標的積是定值k,即“=魚②雙曲線是關(guān)于原

點對稱的，兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱；③在圖象中任取一點，過這一個點向x

軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|乩

三、解答題（共75分）

16.【考點】二次根式的混合運算；零指數(shù)累；負整數(shù)指數(shù)累

【分析】（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)累、零指數(shù)幕和分母有理化,可以將題目中的式子化簡，

然后再合并同類項即可；

（2）先化簡，然后合并同類二次根式即可.

【解答】解：（1）3舊+（3-V3）°

33

=1；

⑵口-伊居x,

=3&需料

=3&-返'2百

4

=3&

_2

=372_

2

【點評】本題考查二次根式的混合運算、負整數(shù)指數(shù)基、零指數(shù)幕，熟練掌握運算法則

是解答本題的關(guān)鍵.

17.【考點】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】（1）先移項得到5（x+3）2-2（x+3）=0,然后利用因式分解法解方程;

(2)利用因式分解法解方程.

【解答】解：(D5(x+3)2-2(x+3)=0,

(x+3)(5x+15-2)=0,

x+3=0或5x+15-2=0,

所以xi=-3,X2=--：

5

(2)?-10x+9=0,

(x-9)(x-1)=0,

x-9=0或x-1=0,

所以Xl=9,X2=l.

【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

18.【考點】作圖-位似變換；平行四邊形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；作圖-平移變換；坐標

與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：幾何變換的類型.

【分析】(1)把A、B、C的橫縱坐標都乘以-2得到Ai、Bi、Ci的坐標；

(2)把△AIBICI先繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)90°,然后把旋轉(zhuǎn)后的三角形平移可使282c2

恰與△OEF拼成個平行四邊形(非正方形).

【解答】解：(1)如圖，Al(-2,0),Bi(-6,0),Ci(-4,-2)；

故答案為：(-2,0),(-6,0),(-4,-2)；

(2)如圖，把先繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90°,然后把旋轉(zhuǎn)后的三角形向上平移1

單位，再向右平移8個單位得到282c2.

【點評】本題考查了作圖-位似變換：熟練掌握畫位似圖形的一般步驟(先確定位似中

心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；接著根據(jù)位似比，確定能代表

所作的位似圖形的關(guān)鍵點；然后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形).也考查了

平移變換.

19.【考點】根與系數(shù)的關(guān)系；根的判別式.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得xu2=」_，為+屹=-2；根據(jù)一元二次方程的根

a-6a-6

的判別式求得。的取值范圍；

(1)將已知等式變形為X1X2=4+(X2+XI),即—_=4+2_,通過解該關(guān)于〃的方程即

a-6a-6

可求得4的值；

(2)根據(jù)限制性條件"(xi+1)(X2+1)為負整數(shù)”求得a的取值范圍，然后在取值范圍

內(nèi)取a的整數(shù)值.

【解答】解：:Xi,m是一元二次方程(a-6)/+2ax+a=0的兩個實數(shù)根，

由根與系數(shù)的關(guān)系可知，尤1%2=一一,xi+x2=--2a_；

a-6a-6

???一元二次方程(a-6)/+2ar+a=0有兩個實數(shù)根，

△=4。2-4(4-6)?心0,且a-6W0,

解得，且〃W6；

(1)*/-X]+XIX2=4+X29

.*.XIX2=4+(XI+X2),即a=4-,

a-6a-6

詢用得，〃=24>0；

?,?存在實數(shù)4,使-X1+XU2=4+X2成立，。的值是24;

(2)(xi+l)(X2+1)=x\x2+(xi+%2)+1=a-.2a_+i=-6一,

a-6a-6a-6

工當(xi+1)(^2+1)為負整數(shù)時，a-6>0,且a-6是6的約數(shù)，

?.a-6=6,a-6=3,a-6=2,a-6=1,

???〃=12,9,8,7；

...使(xi+1)GC2+1)為負整數(shù)的實數(shù)。的整數(shù)值有12,9,8,7.

【點評】本題綜合考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式.注意：一元二次方程—+bx+c

=0(a、6、c是常數(shù))的二次項系數(shù)a#0.

20.【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【分析】根據(jù)tan/D4C=J&=tan37.5°七0.77,列出方程即可解決問題.

AD

【解答】解：根據(jù)題意可知：ZDAB=45°,

：.BD=AD,

在RtZVLDC中，DC=BD-BC=CAD-4'）m,N￡>AC=37.5°,

,/tanZDAC=^~,

AD

.,.tan37.5o=^z￡^0.77,

AD

解得4。七17.4〃3

：.BD=AD^llAm,

答：佛像的高度約為17.4m.

【點評】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，銳角三角函數(shù)等知識，解題的

關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學會用構(gòu)建方程的思想思考問

題.

21.【考點】一元二次方程的應用；一元一次不等式的應用.

【分析】（1）設(shè)該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費的年平均增長率為x,根據(jù)2015年及2017

年投入的基礎(chǔ)教育經(jīng)費金額，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出

結(jié)論；

（2）根據(jù)年平均增長率求出2018年基礎(chǔ)教育經(jīng)費投入的金額，再根據(jù)總價=單價X數(shù)

量，即可得出關(guān)于〃，的一元一次不等式，解之即可得出團的取值范圍，取其中的最大值

即可.

【解答】解：（1）設(shè)該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費的年平均增長率為X,

根據(jù)題意得:5000（1+x）2=7200,

解得：xi=0.2=20%,XI--2.2（舍去）.

答：該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費的年平均增長率為20%.

（2）2018年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費為7200X（1+20%）=8640（萬元），

設(shè)購買電腦小臺，則購買實物投影儀（1500-%）臺，

根據(jù)題意得：3500^+2000（1500-/?）^86400000X5%,

解得：，"W880.

答：2018年最多可購買電腦880臺.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關(guān)鍵是：（1）

根據(jù)2015年及2017年投入的基礎(chǔ)教育經(jīng)費金額，列出關(guān)于x的一元二次方程；（2）根

據(jù)總價=單價X數(shù)量，列出關(guān)于根的一元一次不等式.

22.【考點】列表法與樹狀圖法；條形統(tǒng)計圖；折線統(tǒng)計圖；中位數(shù)；眾數(shù)；方差.

【分析】（1）觀察表格可知甲運動員測試成績的眾數(shù)和中位數(shù)都是7分；

（2）易知x甲=7（分），x乙=7（分），x丙=6.3（分），根據(jù)題意不難判斷；

（3）畫出樹狀圖，即可解決問題；

【解答】解：（1）甲運動員測試成績的眾數(shù)和中位數(shù)都是7分.

（2）.?.麗=7（分），豆=7（分），布=6.3（分），

%甲=乂乙>乂丙，S甲2>S乙2

，選乙運動員更合適.

（3）樹狀圖如圖所示，

乙一^丙

更顯更女

乙丙畝NN畝畝丙

第三輪結(jié)束時球回到甲手中的概率是D2」.

【點評】本題考查列表法、條形圖、折線圖、中位數(shù)、平均數(shù)、方差等知識，熟練掌握

基本概念是解題的關(guān)鍵.

23.【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB=AB',ZBAB'=60°,證得△ABB，是等邊三角形，

可得出是等腰直角三角形；連接BD,由正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)可得N

BDC=NB'DE=45°,毀普3=料，根據(jù)角的和差可得NCDE,由相似

DCDE

三角形的判定可證明△8。8s即可求解；

（2）得出NEC8=/E8Q=45°,則△QE8是等腰直角三角形，得出眼①_^=&,

DCDE

ZB,DB=ZEDC,由相似三角形的判定可證明△⑶。8s△EDC,即可求解.

【解答】解：（1）如圖1,

D

BC

圖1

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至A8',

\AB=AB',ZBAB,=a=60°,

...△A88'是等邊三角形，

.,.N8B'A=60°,

：.ZDAB'=ZBAD-ZBAB'=900-60°=30°,

'：AB'=AB=AD,

：.ZAB'D^ZADB',

：.ZAg'D=18Q°~30°=75°,

2

.*./￡>8'E=180°-60°-75°=45°,

:DELB'E,

：.ZB'DE=90°-45°=45°,

/XOE⑶是等腰直角三角形；

連接BD,

?.?四邊形ABC。是正方形，

:.NBDC=45°,

但外

DCv

同理支工小巧，

DEv

?BDBzD

"DC=DE

；NBDB*NB，DC=45°,ZEDC+ZB'DC=45°,

:.NBDB'=NEDC,

:.△BDB，s/\CDE,

.嗎=股=&,

CECD

故答案為：等腰直角三角形，加；

(3)(1)中的兩個結(jié)論仍然成立.

理由如下：連接8。，

B'

NBAB'=a,

：.ZAB'B=90°-

2

"：ZB'AD=a-90°,AD=AB',

.'.NAB'E>=135°--,

2

.'.NEB'O=NAB'。-/AB'8=135°---(90°--)=45°,

22

■:DELBB',

：.ZEDB'=ZEB'D=45°,

.??△OEB，是等腰直角三角形;

???四邊形ABC。是正方形,

??黑班,ZBDC=45°,

CDV

-BD=B'D

"'DC=DE

；NEDB'=NBDC,

：.NEDB'+NEDB=NBDC+NEDB,

即NB'OB=NE￡>C,

:.△B'DBs^EDC,

當=股=&,

CECD

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊

三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點卡片

1.非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方

偶次方具有非負性.

任意一個數(shù)的偶次方都是非負數(shù)，當幾個數(shù)或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都

必須等于0.

2.非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根

（1）非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根具有非負性.

（2）利用算術(shù)平方根的非負性求值的問題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負數(shù)，開方的結(jié)果也

是非負數(shù)列出不等式求解.非負數(shù)之和等于0時，各項都等于0利用此性質(zhì)列方程解決求值

問題.

3.實數(shù)的運算

（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關(guān)鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、幕的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

4.實數(shù)范圍內(nèi)分解因式

實數(shù)范圍內(nèi)分解因式是指可以把因式分解到實數(shù)的范圍（可用無理數(shù)的形式來表示），

一些式子在有理數(shù)的范圍內(nèi)無法分解因式，可是在實數(shù)范圍內(nèi)就可以繼續(xù)分解因式.

例如：7-2在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解，如果把數(shù)的范圍擴大到實數(shù)范圍則可分解

212

%-2—x-（V2）—（x+V2）（JC-V2）

5.零指數(shù)第

零指數(shù)累：“°=1（aWO）

由""+""=1,可推出a°=l（aWO）

注意：o°ri.

6.負整數(shù)指數(shù)幕

負整數(shù)指數(shù)基：ap=\ap（aWO,p為正整數(shù)）

注意:①aWO；

②計算負整數(shù)指數(shù)尋時，一定要根據(jù)負整數(shù)指數(shù)辱的意義計算，避免出現(xiàn)（-3）（-3）

X（-2）的錯誤.

③當?shù)讛?shù)是分數(shù)時，只要把分子、分母顛倒，負指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).

④在混合運算中，始終要注意運算的順序.

7.二次根式的混合運算

（1）二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用.學習二次

根式的混合運算應注意以下幾點：

①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多

項式

（2）二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式.

（3）在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當

的解題途徑，往往能事半功倍.

8.解二元一次方程組

（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，

將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.②將變形后的關(guān)系式代

入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程.③解這個一元一次方程，求出x

（或〉）的值.④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤

把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解.

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)

的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相

等或互為相反數(shù).②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一

次方程.③解這個一元一次方程，求得未知數(shù)的值.④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的

任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤把所求得的兩個未知數(shù)的值寫在一起，就得到

原方程組的解，用［x=a的形式表示.

Iy=b

9.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形

式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學轉(zhuǎn)化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式

分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

10.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△=/-4ac)判斷方程的根的情況.

一元二次方程af+bx+cu。(aWO)的根與△=/??-4ac有如下關(guān)系：

①當時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當時，方程無實數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

11.根與系數(shù)的關(guān)系

(1)若二次項系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：力，垃是方程/+px+q=O的兩根時，Xl+X2=",

x\X2=q,反過來可得P=-(X1+X2),q=x\X2,前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是

已知兩根確定方程中未知系數(shù).

(2)若二次項系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系：xi,%2是一元二次方程a?+bx+c=O(a#0)

的兩根時，Xl+X2=X\X2=—,反過來也成立，即也?=-(XI+JC2),—=XIX2.

aaaa

(3)常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：

①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根.②已知方程及方程的一個根，求另

一個根及未知數(shù).③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，^12+X22等等.④判斷兩根的符

號.⑤求作新方程.⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值.這類問題比較綜合，解

題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮“W0,△>()這兩個前提條件.

12.一元二次方程的應用

1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，檢驗和作答.

2、列一元二次方程解應用題中常見問題：

(1)數(shù)字問題：個位數(shù)為4,十位數(shù)是4則這個兩位數(shù)表示為10/7+G

(2)增長率問題：增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量X100%.如：若原數(shù)是m每次增長的百分率

為X,則第一次增長后為a(1+x)；第二次增長后為〃(1+x)2,即原數(shù)X(1+增長百分率)

2=后來數(shù).

(3)形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③利用相

似三角形的對應比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程.

(4)運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會

構(gòu)成直角三角形，可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應用題的“六字訣”

1.審：理解題意，明確未知量、己知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.

2.設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù).

3.歹IJ：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程.

4.解：準確求出方程的解.

5.驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題.

6.答：寫出答案.

13.一元一次不等式的應用

(1)由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問題的數(shù)學模型，通過解不等式可以

得到實際問題的答案.

(2)列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現(xiàn)問題中

的不等關(guān)系.因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵.

(3)列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：

①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù).

②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④寫出符合題意的解.

14.反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征

反比例函數(shù)y=0x儀為常數(shù)，30）的圖象是雙曲線，

①圖象上的點（x,y）的橫縱坐標的積是定值k,即孫=公

②雙曲線是關(guān)于原點對稱的，兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱；

③在y=〃r圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的

面積是定值國.

15.等邊三角形的性質(zhì)

（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等

腰三角形.

①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，

腰和底、頂角和底角是相對而言的.

（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊

的垂直平分線是對稱軸.

16.勾股定理的應用

（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.

（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，

關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖.領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應

用.

（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線

段的長度.

②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為

邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和.

③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數(shù)學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題.

④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正

整數(shù)的直角三角形的斜邊.

17.平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

（2）平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.

（3）平行線間的距離處處相等.

（4）平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積.

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.

18.正方形的性質(zhì)

（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

（2）正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有

四條對稱軸.

19.作圖-平移變換

（1）確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離.

（2）作圖時要先找到圖形的關(guān)鍵點，分別把這幾個關(guān)鍵點按照平移的方向和距離確定對應

點后，再順次連接對應點即可得到平移后的圖形.

20.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

—①對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.—②對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等

于旋轉(zhuǎn)角.—③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.—（2）旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心；②旋

轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度.—注意：三要素中只要任意改變一個，圖形就會不一樣.

21.坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)

（1）關(guān)于原點對稱的點的坐標

P（x,y）=尸（-x,-y）

（2）旋轉(zhuǎn)圖形的坐標

圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標.常

見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°.

22.幾何變換的類型

（1）平移變換：在平移變換下，對應線段平行且相等.兩對應點連線段與給定的有向線段

平行（共線）且相等.—（2）軸對稱變換：在軸對稱變換下，對應線段相等，對應直線

（段）或者平行，或者交于對稱軸，且這兩條直線的夾角被對稱軸平分.（3）旋

轉(zhuǎn)變換：在旋轉(zhuǎn)變換下，對應線段相等，對應直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.—（4）位似變換:

在位似變換下，一對位似對應點與位似中心共線；一條線上的點變到一條線上，且保持順序,

即共線點變?yōu)楣簿€點，共點線變?yōu)楣颤c線；對應線段的比等于位似比的絕對值，對應圖形面

積的比等于位似比的平方;不經(jīng)過位似中心的對應線段平行，即一直線變?yōu)榕c它平行的直線;

任何兩條直線的平行、相交位置關(guān)系保持不變；圓變?yōu)閳A，且兩圓心為對應點；兩對應圓相

切時切點為位似中心.

23.相似三角形的判定

（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形

相似；

這是判定三角形相似的一種基本方法.相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如

圖所示在應用時要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖

（2）三