（人教A版2019必修第二冊）數(shù)學(xué)6.1平面向量的概念單元教學(xué)設(shè)計

6.1平面向量的概念(單元教學(xué)設(shè)計)

一、【單元目標(biāo)】

通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景，能理解平面向量的意義和兩個向量相等

的含義.掌握平面向量的幾何表示，促進(jìn)思維發(fā)展.

(1)構(gòu)造四個情境，回顧物理知識，由具體到抽象，讓學(xué)生通過類比歸納總結(jié)出平面向量的兩要素.

從具體到抽象，特殊到一般，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生的類比推理素養(yǎng)；

(2)從學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，探究向量的表示，讓學(xué)生充分了解向量的表示，更好的理解向量的概

念，提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)；

(3)根據(jù)所學(xué)新舊知識，讓學(xué)生體驗、探究、發(fā)現(xiàn)平面向量之間的關(guān)系；

(4)由特殊情況引入，通過講解與師生互動的方式，猜測推理兩個平面向量相等的充要條件.

二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】

1.有向線段

平面向量的幾何表示2.零向量與單位向量

3.平面向量的兩種表示

實際背景平面向量的概念

1.平行向量

相等向量與共線向量2相等向量

3.共線向量

三、【學(xué)情分析】

1.認(rèn)知基礎(chǔ)

本節(jié)內(nèi)容是本章的基礎(chǔ)，也是學(xué)好平面向量的關(guān)鍵.在學(xué)習(xí)本節(jié)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了物理中矢量的概

念，對于大小和方向有一定的了解，且清楚平行與相等的一般含義，為介紹平面向量的概念，向量相等，

向量共線奠定了基礎(chǔ).

2.認(rèn)知障礙

一方面，學(xué)生對于知識的把握是零碎、分散的.對向量概念是不了解的，需要在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下探究

體會向量的兩要素：另一方面，學(xué)生相等的問題常常會默認(rèn)為是數(shù)量上的相等，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣.

四、【教學(xué)設(shè)計思路/過程】

課時安排：約1課時

教學(xué)重點：向量的概念，向量的幾何表示，相等向量和共線向量的概念

教學(xué)難點：向量的概念和共線向量的概念

教學(xué)方法/過程:

課前預(yù)習(xí)

位移與距離

引入新課

'T力的作用

向量的概念

平面向量的概念

課堂檢測

課后作業(yè)

五、【教學(xué)問題診斷分析】

6.1.1向量的實際背景與概念

問題1：今天老師想做個調(diào)查，你們每個人距離學(xué)校有多遠(yuǎn)？老師每天下班開車28公里回到家，那請

大家猜猜我家住哪里？

【破解方法】通過學(xué)生熟悉的身邊環(huán)境，引發(fā)學(xué)生思考，只有大小，沒有方向的距離，并不能確定具

體的位置，從而引出物理意義上的位移是一個既有大小又有方向的量.

問題2：那如何才能猜出老師住在哪里？如果給你一副深圳市區(qū)地圖，你能如何定位你家的具體位置

嗎？

【破解方法】在現(xiàn)實生活中，我們會遇到很多量，其中一些量在取定單位后只用一個實數(shù)就可以表示

出來，如長度、質(zhì)量、年齡等.還有一些量則不是，例如老師家到學(xué)校的位移，老師每天開車上班的車速，

書桌上水杯受到的支撐力等等.

問題3：給出下列量:①面積；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨溫度;

⑩角度.用你所學(xué)的知識請你將它們分成兩類，并指出它們有什么不同.

【破解方法】通過物理量中的矢量和標(biāo)量的對比，凸顯向量的方向和大小這兩大要素.

【教學(xué)過程】引導(dǎo)學(xué)生回顧己學(xué)過的數(shù)的概念，從“一支筆”、“一棵樹”、“一本書”……中抽象出只有大

小的數(shù)量“1”.類似地，我們可以對力、位移、速度……這些既有大小又有方向的量進(jìn)行抽象，形成一種新的

量.進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到把這種既有大小又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小沒有方向的量稱為數(shù)

量.向量在物理中常稱為矢量，數(shù)量在物理中常稱為標(biāo)量.

6.1.2向量的幾何表示

問題4：實數(shù)在數(shù)軸上是如何表示出來的？

【破解方法】類比數(shù)量用實數(shù)表示，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，尋求平面向量的幾何表示.用“帶箭頭

的線段”表示浮力，是初中物理已經(jīng)學(xué)習(xí)過的內(nèi)容，根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論，將這一內(nèi)容再次進(jìn)行條理化、

系統(tǒng)化，讓舊知自然地遷移出新知；類比實數(shù)絕對值的幾何意義，尋求向量模的表示及幾何意義.

【教學(xué)過程】在學(xué)生回答問題4之后追問：數(shù)量可以用數(shù)軸上的點表示，那么向量呢？我們能不能找

到一種幾何圖形來表示平面向量呢？引導(dǎo)學(xué)生回顧物理學(xué)科中力和位移的表示方式，回顧實數(shù)中絕對值符

號的使用，讓學(xué)生探究平面向量的凡何表示和字母表示，探究向量的大小的表示方式，即向量的模的概念.

通常，在線段的兩個端點中，規(guī)定一個順序，假設(shè)A為起點，8為終點，我們就說線段AB具有方向，

具有方向的線段叫做有向線段.通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以A為起點、8為終點的有

向線段記作AB，線段AB的長度也叫做有向線段AB的長度，記作|.

向量也可以用字母Q、b、c……表示

問題5：在數(shù)軸上，哪些實數(shù)比較特殊？那在你畫的有向線段中，哪些有向線段比較特殊呢？

【破解方法】引導(dǎo)學(xué)生類比實數(shù)集，挖掘向量集中的特殊元素.通過0、1這兩個特殊實數(shù)類比出零向量

和單位向量的概念.

【教學(xué)過程】在學(xué)生找出0、1這兩個特殊實數(shù)之后，引導(dǎo)學(xué)生類比發(fā)現(xiàn)向量集合中兩個特殊的向量,

一個是長度為零的向量，叫做零向量.一個是長度為1個單位的向量，叫做單位向量.明確向量是既有大小又

有方向的量.研究向量需要將代數(shù)形式和幾何形式相結(jié)合.

6.1.3相等向量與共線向量||..........

AB

--。~~r

問題6：如圖，分別指出方格紙（由邊長為1的正方形格拼成）上向量A3、

CD——0------------------

CD、Eb的方向和大小，并說明這三個向量的方向和大小的關(guān)系.

【破解方法】通過探索我們發(fā)現(xiàn)：向量A3與CD具有大小相等方向相反

的特征，從而總結(jié)得出長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.A3與方向相同，線段所在的直線相

互平行，得出平行向量的概念：方向相同或相反的向量.記作AB規(guī)定：零向量與任意向量平行.

a、仄c是一組平行向量，任作一條與a所在直線平行的直線，，在I上任取一點0,在I上分別作出O4=a,OB

=b,OC=c,這組平行向量可以平移到一條直線上，因此，平行向量也叫共線向量.

問題7：下列說法中正確的是

①非零向量。與非零向量入共線，向量b與非零向量c共線，則向量。與向量c共線；

②任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四個頂點；

③向量a與〃不共線，則a與〃所在直線的夾角為銳角：

④零向量模為0,沒有方向；

⑤始點相同的兩個非零向量不平行；

⑥兩個向量相等，它們的長度就相等；

⑦若非零向量AB與CD是共線向量，則A、B、C、D四點共線.

【答案】①⑥

【解析】①向量共線即方向相同或相反，故非零向量間的共線關(guān)系是可以傳遞的；

②相等向量是共線的，故四點可能在同一直線上；

③向量不共線，僅指其所在直線不平行或不重合，夾角可能是直角或銳角；

④零向量不是沒有方向，它的方向是任意的；

⑤向量是否共線與始點位置無關(guān)；

⑥兩個向量相等，它們的長度相等，方向相同；

⑦共線向量即平行向量，非零向量與CB是共線向量，可能A、B、C、D四點共線，也可能AB、

CD平行.

【破解方法】從向量的定義可以看出，向量既有代數(shù)特征又有幾何特征，因此借助于向量可將代數(shù)問

題與兒何問題相互轉(zhuǎn)化.零向量是一特殊向量，它似乎很不起眼，但又處處存在.因此，正確理解和處理零向

量與非零向量之間的關(guān)系值得我們重視.對于平行向量或共線向量，它們可以在同一直線上，也可以所在直

線互相平行，方向可以相同也可以相反；相等向量則必須大小相等、方向相同.

問題8：如圖，。是正六邊形A8CDEF的中心，分別寫出圖中與向量殖，彷，沈相等的向量，與

向量力共線的向量;

B

Q

DE

【解析】與殖相等的向量有N，前，肆；

與防相等的向量有成，劭，成；

與求相等的向量有9,Fb,Eb.

與向量動共線的向量有9個：DX,Ep,Fk,Ab,0X,0b,Db,Bt,Ch.

【破解方法】本題考查了共線向量與相等向量的判斷；方法：

1、如果兩個向量所在的直線平行或重合，那么這兩個向量是共線向量；

2、共線向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共線向量；

3、非零向量的共線具有傳遞性，即向量a,b,c為非零向量，若?！?。，h//c,則可推出。〃c；

六、【教學(xué)成果自我檢測】

1.課前預(yù)習(xí)

設(shè)計意圖：落實與理解教材要求的基本教學(xué)內(nèi)容.

1、判斷下列命題的真假（真命題用：4表示；假命題用：x表示）

（1）如果那么AB>C。；（）

（2）若a,b都是單位向量，則。=人；（）

（3）若a=",且。與Z?的起點相同，則終點也相同；（）

（4）零向量的大小為0,沒有方向；（）

【答案】（1）x；（2）x；（3）{（4）x；

【解析】對于（1）；向量的模可以比較大小，但向量不能比較大小，所以，（1）是假命題；

對于（2）：。與b都是單位向量，則|a|=|6|=l,但a與石方向可能不同；所以，（2）是假命題；

對于（3）；是真命題；

對于（4）；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的：所以，（4）是假命題：

2、下列判斷正確的是（）

A.長度為0的向量都是零向量B.零向量是最小的向量

C.單位向量都相等D.單位向量都是同方向向量

【答案】A

【解析】由零向量的定義知A正確；由于向量是不能比較大小的，故B不正確；顯然由于不注意方向所以

C錯因，D不正確；故選A；

3、下列說法正確的是（）

A.若則B.若|〃|=|）|,則。=Z?

C?若Q=人，則?！╖?D.則〃，〃不是共線向量

【答案】C；

【解析】向量不能比較大小，所以A不正確；。=人需滿足兩個條件：a,〃同向且|=誨所以B不

正確；a,b是共線向量只需方向相同或相反，所以D不正確，故選C：

4、下列命題中正確的有（）

A.溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量B.向量的模是一個正實數(shù)

C.向量a與人不共線，則。與b都是非零向量D.若|a|>|b|,貝ija>6

【答案】C；

【解析】溫度沒有方向，所以不是向量，故A錯；向量的模也可以為0,故B錯；向量不可以比較大小，

故D錯；若￡,心中有一個為零向量，則3與方必共線，故若3與各不共線，則應(yīng)均為非零向量，故C對；

5、己知在平面內(nèi)點O固定，且10Al=2,則A點構(gòu)成的圖形是（）

A.一個點B.一條直線C.一個圓D.不能確定

【答案】C；

【解析】由于|次|=2,所以A點構(gòu)成一個以。為圓心，半徑為2的圓；故選C；

6、在如圖所示的半圓中，AB為直徑，點。為圓心，C為半圓上一點，且NOCB=30。，|屈|=2,則|祀尸

【答案】1:

【解析】連接AC,由|灰1=|彷|得/A8C=NOCB=30。，又NACB=90。，則|祀1=；|融|=京2=1（宜角三

角形