2019年人教A版高二數(shù)學選修4-5全冊預習案導學案匯編

人教A版高中數(shù)學選修4-5

全冊學案

目錄

1.1.1不等式的基本性質(zhì)

1.1.2基本不等式

1.1.3三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式

1.2.1絕對值三角不等式

1.2.2絕對值不等式的解法

2.1比較法

2.2證明不等式的基本方法

2.3反證法與放縮法

3.1二維形式的柯西不等式

3.2一般形式的柯西不等式

3.3排序不等式

4.1數(shù)學歸納法

4.2用數(shù)學歸納法證明不等式舉例

第一講總復習

第二講章末復習

2018-2019高二數(shù)學人教A版選修4-5學案

1.1.1不等式的基本性質(zhì)

預習目標

1.理解實數(shù)大小與實數(shù)運算性質(zhì)間的關系.

2.理解不等式的性質(zhì)，能用不等式的性質(zhì)比較大小和證明簡單的不等式.

一、預習要點

教材整理1兩實數(shù)的大小比較

閱讀教材P2?P3"探究”以上部分，完成下列問題.

a>boa—b___0：a—b<^>a—b=Oi<0.

教材整理2不等式的基本性質(zhì)

閱讀教材P3?P5第一行，完成下列問題.

性質(zhì)1對稱性a>b<^>b<a

性質(zhì)2傳遞性如果a>b,b>c,那么

可加性如果a>h,那么a+c>h+c

性質(zhì)3

推論如果a>h,c>d,那么_____>h+d

如果a>b,c>0,那么_______；

可乘性

如果cob,c〈0,那么

性質(zhì)4

推論如果c>d>0,那么

性質(zhì)5乘方性質(zhì)如果a>h>Of那么a"__b"(n￡N,n>2)

性質(zhì)6開方性質(zhì)如果a>b>0,那么y[a___y[h(n￡N,n>2)

1

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二、預習檢測

1.已知數(shù)軸上兩點4,B對應的實數(shù)分別為x,若x<y<0,則㈤與|j|對應的點尸，。的位置

關系是（）

A.P在。的左邊B.P在。的.右邊

C.P,Q兩點重合D.不能確定

2.已知a,b,cGR,且”6>0,則下面推理中正確的是（）

22

A.a>b=>am>bm

cc

12

C.?3>/?3=>"<TD.a>b=>a>b

ab

3.己知a<0,-]<b<0f那么()

A.a>ah>ah2B.ab2>ab>a

C.ab>a>ab1D.ah>ab1>a

4.如果且下+4<0,那么a,42,~a,一/的大小關系是()

22

A.a>a>~a>~a

B.-Q2>〃

C.-a>cT>a>—a

D.cT>—a>a>—a2

5.若*x)=3d—x+1,^(x)=2x2+x—1,則7U)與g(x)的大小關系是#x)g(x).

三、思學質(zhì)疑

把你在本次課程學習中的困惑與建議填寫在下面，與同學交流后，由組長整理后并拍照上傳平臺

討論區(qū)。

2

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參考答案

一、預習要點

1.>a-b

2.a>ca+c

3.ac>bcac<bcac>bd>>

二、預習檢測

1.B2.C

3.解析：選Dab2—ab=ab(b—1),

Vi?<0,-l<Z?<0,

：.b~l<0,。/?>0.???。匕2一。人<0.即ahr<ab,

又ab1—a=a(b1—\

V-l</?<0,J從VI,即/一IVO.又aVO,

/.ah2—a>0,HPah2>a.^ah>al^>a.

4解析:選BVa2+a<0,即a(a+l)V0可得,-l<a<0,

：.-a>a>0,：.0>~a>a.

綜上有一a〉/〉一〃2>q

5.解析：./(x)—g(x)=(3f—x+1)—(2x2+x_1)=X2-~2X+2=(X—1)2+1>1>0,.\/(x)>g(x).

答案：〉

3

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1.1.1不等式的基本性質(zhì)

學習目標

I.理解實數(shù)大小與實數(shù)運算性質(zhì)間的關系.

2.理解不等式的性質(zhì)，能用不等式的性質(zhì)比較大小和證明簡單的不等式.

一、自學釋疑

根據(jù)線上提交的自學檢測，生生、師生交流討論，糾正共性問題。

二、合作探究

不等式的基本性質(zhì)

探究1甲同學認為4＞從=＞宗，乙同學認為丙同學認為請你

思考一下，他們誰說的正確？

探究2不等式兩邊同乘以（或除以）同一個數(shù)時，要注意什么？

探究3.若x>y,a>h,則在①“一%>〃-y,?a+x>b-\-y,③?x-h>y—a,>§

這五個不等式中，恒成立的不等式有哪些?

4

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探究4.已知三個不等式：ah>0,hc-ad>0,§一,>0（其中a,b,c,d均為實數(shù)）,用其中兩

個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結論組成一個命題，可組成的.正確命題有幾個？

例1xWR,比較與2f-2x的大小.

變式練習1.xWR,比較（x+1）僅+91）與的大小.

例2下列命題中正確的是（）

（1）若c>b,則〃>c；

5

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(2)若a>b,則1*>0；

(3)若a>b,c>dy則ac>hd；

(4)若〃>b>0,則!

(5)若則ad>bc\

(6)若a>b,c>d,則a—d>b—c.

A.⑴⑵B.⑷(6)

C.⑶(6)D.⑶⑷⑸

變式練習2.(廣州二模)設“，〃為正實數(shù)，貝『為?！笔?一!。一成立的"()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分又不必要條件

例3已知一pxV6音，求gA的范圍.

［再練一題］

3.已知一6<。<8,2<6<3,分別求。一b,，的取值范圍.

利用性質(zhì)證明簡單不等式

ah

例4已知c>a>b>0,求證：>7.

c-ac—b

6

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［再練一題］

4.已知心Q0,c>d>0,求證：黑>吊

7

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參考答案

不等式的基本性質(zhì)

探究1【提示】他們說的都不正確.

探究2【提示】要先判斷這個數(shù)是否為零，決定是否可以乘以(或除以)這個數(shù)，再判斷是正還

是負，決定不等號的方向是否改變，特別注意不等式兩邊同乘以(或除以)同一個負數(shù)時，不等號方向

改變.

探究3提示：令x=-2,y=-3,a=3,b=2,

符合題設條件x>y,a>b,

則..Z_x=3_(_2)=5,h-y=2-(~3)=5,

.,.a-x=b-y,因此①不成立.

又'.'ax=-6,by=-6,.'.ax=by,因此③也不正確.

因此⑤不正確.

由不等式的性質(zhì)可推出②④恒成立.

即恒成立的不等式有②④.

探究4.提示：由己知可組成三個命題.

①若成>0,bc—ad>0,則'—此命題正確，只需在不等式。c—兩側同除以加，

根據(jù)不等式性質(zhì)，整理即得結論；

②若外>0,；d>0,則歷一加>0,此命題正確，只需在不等式；一卜0兩側同乘以"，根

據(jù)不等式性質(zhì)，整理即得結論；

③若^一g>0,bc—ad>0f則ab>3此命題正確，

e浦cdbc-ad

因為一一工>0=-----;—>0,

abab

又因為bc—ad>0,故ab>0.

即可組成的正確命題有3個.

例1［解析］(d—1)—(2?—2x)

=(x3—x2)—(x2—2x+l)

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=X2(X-1)-(X—1)2

Vx2—x+l=(^x-￡)+|>|>0,

.,.當x>l時，。-1)(小一天+1)>0.即*3-1>2?—2》；

當x=l時，(X—l)(x2—x+l)=0,即f—i=2?—2x；

當xVl時，(x—l)(f—x+l)V0,即/一1V2f—2x.

變式練習：解：因為(x+1)僅+；+l)=(x+l).仗+x+L?

=(x+l)(x2+x+1)一5(1+1)，

-￡)(/+%+1)

?,?作差，得(x+1)^?+/+1)—G+g)(f+x+1)

=(x+1)(^+^+1)—^(x+1)—(x+l)(x2+x+l)+^(x2+x+l)=^(x2+x+l)—1(x2+x)=^>0,

/.(x+1)g+1)>G+2)"+X+1).

例2［解析］(1)錯誤.因為當取a=4,b=2,c=6時，有a>b,c>b成立，但a>c不成立.

(2)錯誤.因為a、b符號不確定，所以無法確定￡>1是否成立，從而無法確定1點>0是否成立.

(3)錯誤.此命題當a、b、c、d均為正數(shù)時才正確.

(4)正確.因為a>b>0,

所以必>0,兩邊同乘以上得沁.

(5)錯誤.只有當cd>0時，結論才成立.

(6)正確.因為c>d,所以一d>—c,又a>b,

所以a—(T>b—c.綜上可知(4)(6)正確.

答案：B

變式練習2：解析：選C若4Vb且公>0,方>0,

11

則￡*臺--

apr

9

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且〃>0,/?>0=>c^h——h<ah2——onc^h——a序——b+a<0,

ab（a一b）+伍-b）<0=（a—b）（ab+1）<O=>a—Z?<0=>a<b.

利用不等式的性質(zhì)求范圍

例3【解析】?.?一*（（脛，

,,4S2^4,4P41

?,222,

「71邛71.兀BK

又一?.一百不

._TIa—pTi

??-2<2<2'

又；a<夕，.?.因右。,

???告*0，

即（音,。/豆一看0）

［再練一題］

3.【解】-6<a<8,2<Z?<3.

—3<—b<—2,/.—9<〃一b<6,

則a—h的取值范圍是（一9,6）.

1

又K鏟汽1

⑴當0%<8時，0<|<4；

（2）當一6<“<0時，-3<|<0.

由⑴⑵得一3學<4.

因此月的取值范圍是（一3,4）.

利用性質(zhì)證明簡單不等式

例4【解析】'：d>b,：.-a<-b.

又c>a>b>Of

11

0<c—a<c—bf>>0.

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ab

又比>0,~c=^~c~i)

［再練--題］

4.【證明】'：a>b>0,c>d>0,

-44>o>①

dc

①+②得：+力*+90,

b+da+c

即>

~bd~h°，**a+cb-\-d

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1.1.2基本不等式

預習目標

1.了解兩個正數(shù)的算術平均與幾何平均.

2.理解定理1和定理2.

3.掌握利用基本不等式求一些函數(shù)的最值及解決實際的應用問題.

一、預習要點

教材整理1兩個定理及算數(shù)平均與幾何平均

閱讀教材P5~P6“例3”以上部分，完成下列問題.

1.兩個定理

定理內(nèi)容等號成立的條件

定理I/+tr>____（。，加R）當且僅當_____時，等號成立

a+b

定理22N____3,。＞0）當且僅當_____時，等號成立

教材整理2利用基本不等式求最值

閱讀教材P6~P8,完成下列問題.

已知X,y為正數(shù)，X+y=S,芽=P，貝U

(1)如果。是那么當且僅當時，S取得最小值

(2)如果S是那么當且僅當x=)?時，P取得最大值—.

二、預習檢測

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1.設x、y為正實數(shù)，且xy-（x+y）=1,則（）

A.x+y>2（V2+1）B.x+y<2（yf2+\）

C.x+y<（y[2+\）2D.x+y>（yj2+I）2

5x2-4x+5

2..已知后5,貝=---------有（）

"2x-4

A.最大值:B.最小值七

C.最大值1D.最小值1

19

3.（湖南高考）若實數(shù)a,6滿足2+官=4而,則"的最小值為（）

A.&B.2

C.2吸D.4

4.（陜西高考）設0<。<匕，則下列不等式中正確的是（）

-a+b-a+b

A.a<b<y]ab<B.a<yjab<~—<b

—a+b_a+b

C.a<y]ab<b<.D.yjab<a<?<b

5.已知x,用R+,且滿足升;=1,則孫的最大值為.

三、思學質(zhì)疑

把你在本次課程學習中的困惑與建議填寫在下面，與同學交流后，由組長整理后并拍照上傳平臺

討論區(qū)。

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參考答案

一、預習要點

1.2aba=ba=b

a+b

2.-------

2

g

3.定值x=y定值

4

二、預習檢測

1.解析：選Ax>0,y>0,xy-(x+y)=1nxy=1+(%+y)n1+(x+y)<=>x+>->2(^2+1)

2.解析：選D：x>^，:-r-22.

(x-2)2+1?1lx-2~

=-------------------=-2)+--------------->2A/-5—?---------------=1,

2(x-2)22(x-2)\j22(x-2)

x-21

當且僅當亍=——!——，即x=3時,等號成立.

22(x-2)

?式K)min-1.

I2__

3..解析：選C由z+g=y[ab，知〃>0,/?>0,

即ab>2y[2,

即4=版，b=2%時取“=”,

所以ab的最小值為2吸.

,—廠a+b

4.解析：選B代入a=1，/?=2,則有0v〃=1<V^=V2<^—=1.5</?=2,我們知道算術

a+b._

平均數(shù)亍與幾何平均數(shù)M不的大小關系，其余各式作差(作商)比較即可，答案為B.

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5.解析：因為尤>0,y>0,

所%+加2y*?即2^1，

解得x)W3,所以其最大值為3.

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1.1.2基本不等式

學習目標

1.了解兩個正數(shù)的算術平均與幾何平均.

2.理解定理1和定理2.

3.掌握利用基本不等式求一些函數(shù)的最值及解決實際的應用問題.

一、自學釋疑

根據(jù)線上提交的自學檢測，生生、師生交流討論，糾正共性問題。

二、合作探究

探究I函數(shù)代r)=x+f的最小值是2嗎？

a+b.-

探究2在基本不等式-^-汽/7中，為什么要求a>0，力>0?

a+h._

探究3利用M必勵求最值的條件是怎樣的？

探究4你能給出基本不等式的幾何解釋嗎？

名師點撥

1.常用基本不等式

(1)((?-b)2>0^>a2+b2>2ah(a,beR).

a+b._

(2)均值不等式2~壬河(〃，反R+).

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這兩個不等式都是在時，等號成立.而(1)只要求a,加R，而公式(2)條件加強了，要求a>0,

6>0.注意區(qū)別.

(3)利用基本不等式還可以得到以下不等式：

a+^2(<z>0,當且僅當a-1時取等號).

當">0時，如金2(當且僅當?！鰰r取等號).

a+b2

cr+b^>----2---->2ab(a,Z;eR,當且僅當〃二人時，等號成立).

2.均值不等式的應用

應用均值不等式中等號成立的條件，可以求最值.

(l)x,yeR+,且xy="?("z為定值)，那么當x=y時，x+y有最小值2、佃；

(2)x,yeR+,且x+y=為定值)，那么當x=y時，不：有最大值了.

在應用均值不等式求最值時，應強調(diào)“一正、二定、三相等”.否則會得出錯誤的結果.

例1已知a,〃，c為正實數(shù)，

(2)a+/?+c>\[cib+y[bc+y[ca.

變式練習

1.設a,/?,ccR+,求證:yjcr+b2+\jb2+c2+yjc2+a2>\[2(a+b+c).

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_10

例2已知x>0,y>0,且《+;=1,求x+y的最小值.

變式練習

_-2x2+x-3

2.求函數(shù)｛x)=------------(x>0)的最大值及此時尤的值.

例3某單位決定投資3200元建一倉庫(長方體)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面

用鐵柵，每米長造價40元，兩側用磚墻，每米長造價45元，頂部每平方米造價20元.倉庫底面積

S的最大允許值是多少？為使S達到最大，而實際投資又不超過預算，那么正面鐵柵應設計為多長？

變式練習

3.某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1800元，面粉的

保管等其他費用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需支付運費900元.

(1)求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？

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(2)某提供面粉的公司規(guī)定：當一次購買面粉不少于210噸時，其價格可享受9折優(yōu)惠，問該廠

是否考慮利用此優(yōu)惠條件？請說明理由.

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參考答案

探究1【提示】函數(shù)/(x)=x+：的最小值不是2.

當x>0時，/x)=x+^>2yjx^.=2；

(當且僅當x=l時取等號)

當x<0時,J(x)=x+-=-(-X)4--<-2.

xL-x_

(當且僅當X二-1時取等號)

顯然7U)無最小值，也無最大值.

a+b._

探究2【提示】對于不等式-y-即，如果〃，。中有兩個或一個為0,雖然不等式仍成立，

但是研究的意義不大，當a,6都為負數(shù)時，不等式不成立；當a,6中有一個為負數(shù)，另一個為正

數(shù)，不等式無意義.

探究3【提示】利用基本不等式求最值的條件是“一正、二定、三相等"，即(1)各項或各因式

為正；(2)和或積為定值；(3)各項或各因式能取得相等的值.

探究4【提示】如圖，以a+b為直徑的圓中，DC=J石,且。CL4A

a+b._a+b

因為CD為圓的半弦，。。為圓的半徑，長為一廠，根據(jù)半弦長不大于半徑，得不等式叫5丁.

顯然，上述不等式當且僅當點C與圓心重合，即當a=〃時，等號成立.因此，基本不等式的幾何意

義是圓的半弦長不大于半徑；或直角三角形斜邊的中線不小于斜邊上的高.

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例U精講詳析]本題考查基本不等式在證明不等式中的應用解答本題需要分析不等式的特點，

先對〃+力,b+c,c分別使用基本不等式，再把它們相乘或相加即可.

(1。,c為正實數(shù),:.a+b>2y[ab>0,b+c>2y[bc>0,c+a>2y[ca>0,

由上面三式相乘可得(a+b)(b+c)(c+a)>^y[ab-y[bc-y[ca=8abe.

(2)-：a,b,c為正實數(shù),

：.a+b>2y[ab,b+c>2y[bc,

c+a>2y[ca,由上面三式相加可得

3+b)+(Z?+c)+(c+a)>2y[ab+2y[bc+2y[ca.

即。+b+c>y[ab+y[bc+y[ca.

變式練習

1.證明：,.,H+z7222H,,

：.2(cr+tr)>(a+bp

又。，Z?,ceR+,

，寸d+危坐1〃+b\=等(4+b).

同理：\jb2+c2>^(b+c),

yjc2++c).三式相加，

得yjc^+b2+y/b2+c2+c2+a2>y/2(a+b+c).

當且僅當a-b-c時取等號.

例2[精講詳析]本題考查基本不等式的應用，解答本題可靈活使用力”的代換或?qū)l件進行必

要的變形，然后再利用基本不等式求得和的最小值.

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19

,,-r>0,y>0,-+-=1,

xy

.5+/=(：+凱+y)=++*10>6+10=16.

當且僅當、=曳，又，+2=1,

xy'xy，

即x=4,y=12時，上式取等號.

故當x=4,y=12時，(x+y)min=16.

變式練習

2.解：yu)=1-(2x+§.

因為x>0,所以2x+『2加，

得-(2r+^)<-2#,因此火x)W-2#,

323

當

當

僅

時

且

即-

=一X=2

2X九

式子中的等號成立.

由于x>0,因而x=半時，等號成立.

因此?max=1-2#,此時尤=坐

例3［精講詳析］本題考查基本不等式的應用，解答此題需要設出鐵柵和磚墻的長，然后根據(jù)

投資費用列出關系式，借助基本不等式即可解決.

設鐵柵長為xm,一堵磚墻長為ym,則有S=xy,由題意，得

40x+2x45y+20xy-=3200,

由基本不等式，得3200卻40*90），+20町

=12（h/^+20x），=120V5+20S，

.-.5+6^5<160,

即（小+16）（小-10）<0.

:鄧+16>0,

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二小-10<0,從而5<100.

因此S的最大允許值是100m2，取得此最大值的條件是40x=90.y,而肛=100，由此求得r=15,

即鐵柵的長應是15m.

變式練習

3.解：(1)設該廠應每隔x天購買一次面粉，其購買量為6A-噸，由題意可知，面粉的保管等其

他費用為

3[6x+6a-1)+6(x-2)+...+6x1J=9x(x+1),

設平均每天所支付的總費用為乃元，則

9x(x+1)+900900/900-

%=---------------+1800x6=—+9^-+10809>2A/--9x+10809=10989,

當且僅當9x=*,

(2)因為不少于210噸，每天用面粉6噸，所以至少每隔35天購買一次面粉，設該廠利用此優(yōu)

惠條件后，每隔底史35)天購買一次面粉.

平均每天支付的總費用為兆元，則

y2=59x(x+1)+900]+6x1800x0.9

=絆+9%+9729佗35),

令7(x)=x+半(xN35),X2>X|N35,

則曲)-式乃)=￡+詈)-(J2+詈)

(應7])(1007陽)

一即M

：X2>X|>35,：JC2->0,X\X2>0,100-X]X2V0,

??於1)?於2)V。，於1)<於2),

即yu)=x+半

23

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當於35時為增函數(shù)，

..當x=35時，於）有最小值,此時72=10069.7<10989.

..該廠應接受此優(yōu)惠條件.

24

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1.1.3三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式

學習目標

1.探索并了解三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式的證明過程.

2.會用平均不等式求一些特定函數(shù)的最大(小)值.

3.會建立函數(shù)不等式模型，利用其解決實際生活中的最值問題.

一、自學釋疑

根據(jù)線上提交的自學檢測，生生、師生交流討論，糾正共性問題。

二、合作探究

探究1.滿足不等式*?上之標成立的a,b,c的范圍是什么？

探究2.應用三個正數(shù)的算術一幾何平均不等式，求最值應注意什么？

探究3利用不等式嗎上之仍應求最值的條件是什么？

探究4如何求的最小值?

例I已知xGR+,求函數(shù)y=x(l-r2)的最大值.

25

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變式練習1.已知x《R+,求函數(shù)y=P（l—x）的最大值.

例2設〃、b、c￡R+,求證:

(1)(十+表+/)(“+b+c住27；

（2）（“+'+c）E而不月

變式練習2.設0cx1,0<c<l,

求證：abc(1一4)(1—/?)(!—c)W(；J.

例3已知圓錐的底面半徑為R,高為H,求圓錐的內(nèi)接圓柱體的高〃為何值時，圓柱的體積最

大？并求出這個最大的體積.

26

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變式練習3.制作一個圓柱形的飲料盒，如果容積一定，怎樣設計它的尺寸，才能使所用的材

料最少？

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參考答案

探究1【提示】a,b,c的范圍為“K),b>0,c>0.

探究2【提示】三個正數(shù)的和為定值，積有最大值；積為定值，和有最小值.當且僅當三個正

數(shù)相等時取得.

探究3【提示】“一正、二定、三相等“，即(1)各項或各因式為正；(2)和或積為定值；(3)各項

或各因式能取到相等的值.

44r，v"3口~r，JAJ_

探究4【提示】y=-T+x2=7+y+y>3-\/-5-y-y=:3,當且僅當/=亍即》=±^時，等號

成立，

*,ymin—3,

22

其中把f拆成與和與兩個數(shù)，這樣可滿足不等式成立的條件.

2

若這樣變形：y=*+f=[+H￥，雖然滿足了乘積是定值這個要求，但“三相等”不能成立，

4x23O

因為$=5=*時入無解，不能求出y的最小值.

例1【解析】Vy=x(l—x2),

A/=?(l-x2)2

=2X2(1—X2)(1—X2)-^.

V2?+(l-f)+(1—f)=2,

.JJ/.+T+L喬_4

-2<3J~2T

當且僅當2X2=1—X2=1—X2,

即尸坐時取“=”號.

2V5.,,?-2V5

??><9.??y的瑯大值為9.

變式練習1.解：y=f(l—x)="x(l—x)="x-(2—2x)xfw娶上二號一耳=2XZ7=T7,

24

當且僅當％=2—2%,即4=,時取等號.此時，>^=27?

例2【解析】b,c￡R+,?*.a+b+c>3y[abc>0f

從而(a+b+C)2>9>0,

又5+/+加:/焉>。，

28

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〃=6=c時，等號成立.

(2);小b,c￡R+,

.'.(〃+b)+(/?+c)+(c+a)>37(4+/?)(b+c)(c+〃)>0,

1113/[]丁

a+hb+c6z+c-Aja+hb+ca+c'

當且僅當。=b=c時，等號成立.

變式練習2.證明：VO<?<1,

：.l-a>0.

?八J~a+(1—a)"J21

.?0<〃(1一〃耳----5--------J=1

同理0<伙1—b)A,0<c(l—(?)三.

當且僅?當a=h=c=^\,

以上三個式子等號成立.將以上三個不等式相乘得

3

abc(1—a)(1—Z>)(1—^<(4)?

例3【解析】

設圓柱體的底面半徑為r,

H-hr

如圖，由相似三角形的性質(zhì)可得一萬一=3

R

?>=/"一〃）.

J入柱=兀辦=器（”一/7力2（0</7<//）.

29

2018-2019高二數(shù)學人教A版選修4-5學案

根據(jù)平均不等式可得

4成2H-hH-h,4加倒3

47

=萬兀

H-h

當且僅當一廠=九

即時，

Z_42

VBSHMA=2jnR~H.

變式練習3.解：設圓柱形飲料盒的體積為M定值），底面半徑為〃

高為力，表面積為S

則V="h,

???〃=5

、12V

S—2兀/+2nrh=2nr+~

=2兀/+孑+言3yj2nV~.

即當27n2,=：V,

《^時表面積最小.

此時h=2r.

即飲料盒的底面半徑為r

高為2,用料最省.

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2018-2019高二數(shù)學人教A版選修4-5學案

1.1.3三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式

預習目標

1.探索并了解三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式的證明過程.

2.會用平均不等式求一些特定函數(shù)的最大（?。┲?

3.會建立函數(shù)不等式模型，利用其解決實際生活中的最值問題.

一、預習要點

教材整理1三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式

閱讀教材P8?P9定理3,完成下列問題.

1.如果a,b,c6R+,那么3abc,當且僅當_____時，等號成立.

2.定理3：如果a,cGR上,那么，土?土’31abc,當且僅當________時，等號成立.

即三個正數(shù)的算術平均它們的幾何平均.

教材整理2基本不等式的推廣

閱讀教材P9?P9“例5”以上部分，完成下列問題.

對于〃個正數(shù)a””2,…，％，它們的算術平均它們的幾何平均，即心寧土義

%闋2…當且僅當"1=42=<..=""時.，等號成立.

教材整理3利用基本不等式求最值

閱讀教材P9?P9”習題1.1”以上部分，完成下列問題.

若a,b,c均為正數(shù)，①如果a+6+c是定值S,那么時，積abc有_____值；②如果

積abc是定值P,那么當a=b=c1時，和有最小值.

二、預習檢測

4

1.設x>0,則y=x+7的最小值為（）

A.2B.2^2

C.3啦D.3

2.設x,y,zGR+且x+y+z=6,則Igx+lgy+lgz的取值范圍是（）

A.（-co,1g6JB.（—00,31g2J

C.[Ig6,+oo）D.[31g2,+oo）

3.若實數(shù)-y滿足孫>0,.且fy=2,則孫的最小值是（）

A.1-B.2

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C.3D.4

,o+b+c3/H+b?+c2

z=

4.已知a,b,c￡R十，x=----j----,y=y[abcf\------3------，貝火)

A.x<y<zB.y<x<z

C.y<z<xD.”環(huán)

5-若">2,?3,則』+(1J"1)的最小值為—

三、思學質(zhì)疑

把你在本次課程學習中的困惑與建議填寫在下面，與同學交流后面組長整理后并拍照上傳平臺

討論區(qū)。

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2018-2019高二數(shù)學人教A版選修4-5學案

參考答案

一、預習要點

教材整理1三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式

1.>a=b=c

2.>a=b=c不小于

教材整理2基本不等式的推廣

不小于N

教材整理3利用基本不等式求最值

a=b=c最大a+b+c

二、預習檢測

1.解析：選D產(chǎn)工+*=5+5+33?守|^^=3,當且僅當5=千時取“=”號.

2.解析:選BVIgx+lgy+lgz=lg(xjz),

Jx+y+z^

而xyz<\——I，

.??Ig(?z)Wlg8=31g2(當且僅當x=y=z=2時，等號成立).

3魂軍析：選C孫+?=3孫+$)，+》2出\^5^；孫?%2=3、^(dy)2=3\^=3(當且僅當/V=

x2,即x=l,y=2時，等號成立).

4.解析：選BTa,b,CGR4.,

.a+b+c31—

j>\cibc,

2

.2_4+〃+c?+2〃。+2bc+Zac

??x^,y，乂9,

222

236r+3/?+3c

z=9，

*.*cT+t^^Zab,b1+c1>2bc,c2+屋2cle,

三式相加得6Z2+/?2+cI>ab-\-bc-\-ca,

3/+3/?2+3c1>(a+b+c)?,

z>xiAz>x.HPy<x<z,

5.解析：??Z>2,b>3,Aa-2>0,力一3>0.

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2018-2019高二數(shù)學人教A版選修4-5學案

二"1+(a-2)(b—3)

=(a-2)+S-3)+(?_2)，—3)+§

>3…(~3)32)1-3)+5=3+5=8.

（當且僅當。=3,匕=4時等號成立）.

答案：8

34