山東省濟南市2023年各地區(qū)中考數學模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編（13套）-03解答題（提升題）①

山東省濟南市2023年各地區(qū)中考數學模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編（13套）-03解答題（提升題）①一．實數的運算（共1小題）1．（2023?萊蕪區(qū)二模）計算：．二．整式的混合運算—化簡求值（共1小題）2．（2023?萊蕪區(qū)二模）先化簡，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣3）（x﹣1），其中．三．分式方程的應用（共2小題）3．（2023?萊蕪區(qū)二模）生態(tài)優(yōu)先，綠色發(fā)展，讓美麗的地球添上更多“中國綠”．某小區(qū)為抓好“園區(qū)綠化”，購買了甲、乙兩種樹苗，購買甲種樹苗花了1200元，購買乙種樹苗花了900元，甲種樹苗的單價是乙種樹苗的1.5倍，購買甲種樹苗的數量比購買乙種樹苗的數量少10棵．（1）求甲、乙兩種樹苗單價分別是多少元？（2）為擴大園區(qū)綠化面積，該小區(qū)準備再次購進甲、乙兩種樹苗共100棵，若總金額不超過1314元，問最少購進多少棵乙種樹苗？4．（2023?槐蔭區(qū)二模）為有效防控甲型流感，小明的媽媽讓他到藥店購買口罩和酒精濕巾，已知一包口罩的價格比一包酒精濕巾多2元，用100元可以購買的口罩的數量和用60元可以購買的酒精濕巾的數量相同．（1）求每包口罩和每包酒精濕巾的單價．（2）媽媽給了小明60元錢全部用于購買此口罩和酒精濕巾（且都要購買），請問小明有哪幾種購買方案？四．反比例函數與一次函數的交點問題（共1小題）5．（2023?槐蔭區(qū)二模）如圖，直線y＝x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點，與雙曲線交于C、D兩點．過點C作CE⊥x軸于點E，已知OE＝1，?（1）求雙曲線的表達式；（2）求不等式的解集；（3）設點F是y軸上異于原點的一點，滿足S△ACF＝S△AOC，求點F的坐標．五．反比例函數綜合題（共1小題）6．（2023?萊蕪區(qū)二模）如圖，一次函數y＝﹣x+3的圖象與反比例函數在第一象限的圖象交于A（1，a）和B兩點，與y軸交于點C．（1）求反比例函數的解析式；（2）若點M在y軸上，且△BMC的面積為4，求點M的坐標；（3）將線段AB在平面內平移，當AB一個端點的對應點P在x軸上，另一個端點的對應點Q是平面內一點，是否存在以A、B、P、Q為頂點的四邊形為矩形？若存在，求出所有符合條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．六．二次函數綜合題（共3小題）7．（2023?萊蕪區(qū)二模）拋物線的頂點坐標為D（1，4），與x軸交于A（﹣1，0），B兩點，與y軸交于點C．（1）求這條拋物線的函數表達式；（2）如圖1，點M是直線BC上的一個動點，連接AM，OM，求AM+OM的最小值，并求出此時M點的坐標；（3）如圖2，點P在第四象限的拋物線上，連接CD，PD與BC相交于點Q，與x軸交于點G，是否存在點P，使∠PQC＝∠ACD．若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．8．（2023?槐蔭區(qū)二模）如圖1，已知以D為頂點的拋物線y＝ax2+bx+3經過A（﹣3，0）、B兩點，與y軸交于C點，對稱軸為x＝﹣2．（1）求拋物線的解析式；（2）連接BC，∠BCO和∠ACD有怎樣的數量關系，請說明理由；（3）如圖2，已知點M（﹣4，0），若P為拋物線位于x軸下方部分上一點，以PO為邊在PO的上方作等邊三角形POQ，連接MQ，N為線段MQ中點，直接寫出MN的最小值．9．（2023?濟陽區(qū)二模）拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于C點．?（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接BC，D是線段BC上一點，BD＝3DC，作射線OD交拋物線于點E，H是拋物線上一點，連接OH，若OE平分∠COH，求H點的坐標；??（3）在（2）的條件下，如圖2，過點E作EF垂直于x軸于點F，在直線EF上存在點M，使得∠DMB＝45°，請直接寫出點M的坐標．??七．平行四邊形的性質（共2小題）10．（2023?萊蕪區(qū)二模）如圖，在?ABCD中，點M、N分別是對角線BD上的兩點，且BM＝DN，連接AN，CM．求證：∠ANM＝∠CMN．11．（2023?濟陽區(qū)二模）如圖，E，F是?ABCD的對角線AC上兩點，且AF＝CE，求證：DF∥BE．八．切線的性質（共3小題）12．（2023?萊蕪區(qū)二模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∠ACB的平分線交⊙O于點D，PD是⊙O的切線，D為切點，交CA的延長線于點P．連接AD，BD．（1）求證：PD∥AB；（2）若⊙O的半徑為1，，求BC的長．13．（2023?槐蔭區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，過點C的切線交DA的延長線于點E，DE⊥CE，連接CD，BC．?（1）求證：∠DAB＝2∠ABC；（2）若tan∠ADC＝，BC＝12，求AE的長．14．（2023?歷下區(qū)二模）如圖，在△ABC中，以BC為直徑作⊙O交AC于點D，且點D為AC中點，過點D作⊙O的切線DE交BC的延長線于點E．（1）求證：AB＝BC；（2）若AB＝8，，求CE的長．九．幾何變換綜合題（共1小題）15．（2023?萊蕪區(qū)二模）如圖，在同一平面內的△ABC和△ADE，連接CE、BD，點P、Q分別是線段CE、BD的中點，△ADE繞點A自由旋轉時，B、P、D三點會在同一條直線上．（1）如圖1，當△ABC和△ADE都是等邊三角形時，判斷線段PA、PB、PC的數量關系，并給出證明；（2）如圖2，當△ABC和△ADE都是等腰直角三角形時，請直接寫出線段PA、PB、PC的數量關系；（3）如圖3，當∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，時，求點A到直線PB的距離．一十．相似三角形的判定與性質（共1小題）16．（2023?濟陽區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O在斜邊AB上，以O為圓心，OB的長為半徑的圓交BC于點D，交AB于點E，AD為⊙O的切線．（1）求證：∠B＝∠CAD；（2）若CD＝4，BD＝12，求⊙O的半徑的長．一十一．解直角三角形的應用（共1小題）17．（2023?槐蔭區(qū)二模）桑梯是我國古代發(fā)明的一種采桑工具．圖1是明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖2所示，已知AB＝AC＝1.5米，AD＝1.2米，AC與AB的張角為α，為保證安全，α的調整范圍是30°≤a≤60°，BC為固定張角α大小的繩索．（1）求繩索BC長的最大值．（2）若α＝40°時，求桑梯頂端D到地面BC的距離．（參考數據：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，最后結果精確到0.01米）一十二．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共2小題）18．（2023?萊蕪區(qū)二模）某景區(qū)在建筑物BE附近新建了一座200m高的建筑物AD，小明在此建筑物底端的點D處測得建筑物BE的頂端B的仰角是30°，當他到達建筑物AD的頂端A時，測得B點的俯角是45°．（1）求∠ABD的度數；（2）請你幫小明計算建筑物BE的高（結果精確到1m）．（參考數據：≈1.732）19．（2023?歷下區(qū)二模）如圖，在河流的右岸邊有一高樓AB，左岸邊有一坡度i＝1：2（坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度）的山坡CF，點E、點C與點B在同一水平面上，CF與AB在同一平面內．某數學興趣小組為了測量樓AB的高度，在坡底C處測得樓頂A的仰角為45°，然后沿坡面CF上行了20米到達點D處，此時在D處測得樓頂A的仰角為14°．（測角器的高度忽略不計，結果精確到0.1米，參考數據：，，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）（1）求點D到地面的垂直高度DE的長；（2）求樓AB的高度．一十三．頻數（率）分布直方圖（共1小題）20．（2023?萊蕪區(qū)二模）根據國家教育部和體育總局頒發(fā)的《學生體質健康標準》精神，為提高學生的自我保健能力和體質健康水平，近日，某校開展了學生體能測試活動中的一項：女生一分鐘跳繩比賽，并隨機抽取了60名女生一分鐘跳繩次數進行調查統(tǒng)計，根據調查統(tǒng)計結果繪制了如下表格和統(tǒng)計圖：等級次數頻數不合格100≤x＜120a合格120≤x＜140良好140≤x＜160優(yōu)秀160≤x＜180b請結合上述信息完成下列問題：（1）a＝，b＝；（2）請補全頻數分布直方圖；（3）在扇形統(tǒng)計圖中，“良好”等級對應的圓心角的度數是；（4）若該校有3000名學生，根據抽樣調查結果，請估計該校學生一分鐘跳繩次數達到合格及以上的人數．

山東省濟南市2023年各地區(qū)中考數學模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編（13套）-03解答題（提升題）①參考答案與試題解析一．實數的運算（共1小題）1．（2023?萊蕪區(qū)二模）計算：．【答案】5．【解答】解：＝3+1﹣+1+2×＝3+1﹣+1+＝5．二．整式的混合運算—化簡求值（共1小題）2．（2023?萊蕪區(qū)二模）先化簡，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣3）（x﹣1），其中．【答案】3x﹣6，﹣5．【解答】解：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣2x+1+x2﹣4﹣2x2+2x+3x﹣3＝3x﹣6，當x＝時，原式＝3×﹣6＝﹣5．三．分式方程的應用（共2小題）3．（2023?萊蕪區(qū)二模）生態(tài)優(yōu)先，綠色發(fā)展，讓美麗的地球添上更多“中國綠”．某小區(qū)為抓好“園區(qū)綠化”，購買了甲、乙兩種樹苗，購買甲種樹苗花了1200元，購買乙種樹苗花了900元，甲種樹苗的單價是乙種樹苗的1.5倍，購買甲種樹苗的數量比購買乙種樹苗的數量少10棵．（1）求甲、乙兩種樹苗單價分別是多少元？（2）為擴大園區(qū)綠化面積，該小區(qū)準備再次購進甲、乙兩種樹苗共100棵，若總金額不超過1314元，問最少購進多少棵乙種樹苗？【答案】（1）甲種樹苗單價是15元，乙種樹苗單價是10元；（2）最少購進38棵乙種樹苗．【解答】解：（1）設乙種樹苗單價是x元，則甲種樹苗單價是1.5x元，依題意得：＝﹣10，解得：x＝10，經檢驗，x＝10是原方程的解，且符合題意，∴1.5x＝1.5×10＝15，答：甲種樹苗單價是15元，乙種樹苗單價是10元；（2）設購進乙種樹苗m棵，則購進甲種樹苗（100﹣m）棵，依題意得：10m+15（100﹣m）≤1314，解得：m≥37.2，又∵m為整數，∴m的最，小值為38，答：最少購進38棵乙種樹苗．4．（2023?槐蔭區(qū)二模）為有效防控甲型流感，小明的媽媽讓他到藥店購買口罩和酒精濕巾，已知一包口罩的價格比一包酒精濕巾多2元，用100元可以購買的口罩的數量和用60元可以購買的酒精濕巾的數量相同．（1）求每包口罩和每包酒精濕巾的單價．（2）媽媽給了小明60元錢全部用于購買此口罩和酒精濕巾（且都要購買），請問小明有哪幾種購買方案？【答案】（1）每包口罩的單價為5元，每包酒精濕巾的單價為3元；（2）小明有3種購買方案：①購買口罩9包，酒精濕巾5包；②購買口罩6包，酒精濕巾10包；③購買口罩3包，酒精濕巾15包．【解答】解：（1）（1）設每包酒精濕中的單價為x元，依題意得：＝，即100x＝60（x+2），100x＝60x+120x＝3，經檢驗，x＝3是原分式方程的解，則x+2＝5，答：每包口罩的單價為5元，每包酒精濕巾的單價為3元．（2）設小明購買口罩m包，酒精濕巾n包，由題意得：5m+3n＝60，∴m＝12﹣n，∵m、n為正整數，∴或或，∴小明有3種購買方案：①購買口罩9包，酒精濕巾5包；②購買口罩6包，酒精濕巾10包；③購買口罩3包，酒精濕巾15包．四．反比例函數與一次函數的交點問題（共1小題）5．（2023?槐蔭區(qū)二模）如圖，直線y＝x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點，與雙曲線交于C、D兩點．過點C作CE⊥x軸于點E，已知OE＝1，?（1）求雙曲線的表達式；（2）求不等式的解集；（3）設點F是y軸上異于原點的一點，滿足S△ACF＝S△AOC，求點F的坐標．【答案】（1）雙曲線的表達式；（2）﹣2＜x＜0或x＞1；（3）F（0，2）．【解答】解：（1）由題意可知點C的坐標為1，將x＝1代入y＝x+1得：y＝1+1＝2，∴C（1，2），∵點C（1，2）在雙曲線上，∴k＝1×2＝2，∴雙曲線的表達式；（2）由，解得，，∴D（﹣2，﹣1），觀察圖象可得不等式的解集為：﹣2＜x＜0或x＞1；（3）把y＝0代入y＝x+1得：x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，，設F（0，a），則BF＝|1﹣a|，∴S△ACF＝S△ABF+S△CBF＝+＝＝1，∴|1﹣a|＝1，∴a＝0（舍）或a＝2，∴F（0，2）．五．反比例函數綜合題（共1小題）6．（2023?萊蕪區(qū)二模）如圖，一次函數y＝﹣x+3的圖象與反比例函數在第一象限的圖象交于A（1，a）和B兩點，與y軸交于點C．（1）求反比例函數的解析式；（2）若點M在y軸上，且△BMC的面積為4，求點M的坐標；（3）將線段AB在平面內平移，當AB一個端點的對應點P在x軸上，另一個端點的對應點Q是平面內一點，是否存在以A、B、P、Q為頂點的四邊形為矩形？若存在，求出所有符合條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝；（2）點M的坐標為：（0，7）或（0，﹣1）；（3）存在，點P的坐標為：（1，0）或（﹣1，0）．【解答】解：（1）當x＝1時，y＝﹣x+3＝2，即點A（1，2），將點A的坐標代入反比例函數表達式得：k＝2，即房比例函數表達式為：y＝；（2）聯立一次函數和反比例函數表達式得：＝﹣x+3，解得：x＝1或2，即點B（2，1）；設點M的坐標為：（0，y），則△BMC的面積＝4＝CM?xB＝|3﹣y|×2，解得：y＝7或﹣1，即點M的坐標為：（0，7）或（0，﹣1）；（3）存在，理由：設點P（x，0），點Q（s，t），當AP是對角線時，由中點坐標公式和AP＝BQ得：，解得：，即點P（1，0）；當AQ是對角線時，由中點坐標公式和AQ＝BP得：，解得：，即點P的坐標為：（﹣1，0）；綜上，點P的坐標為：（1，0）或（﹣1，0）．六．二次函數綜合題（共3小題）7．（2023?萊蕪區(qū)二模）拋物線的頂點坐標為D（1，4），與x軸交于A（﹣1，0），B兩點，與y軸交于點C．（1）求這條拋物線的函數表達式；（2）如圖1，點M是直線BC上的一個動點，連接AM，OM，求AM+OM的最小值，并求出此時M點的坐標；（3）如圖2，點P在第四象限的拋物線上，連接CD，PD與BC相交于點Q，與x軸交于點G，是否存在點P，使∠PQC＝∠ACD．若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）M（，）；（3）存在點P，使∠PQC＝∠ACD，P（4，﹣5）．【解答】解：（1）∵拋物線的頂點坐標為D（1，4），∴設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+4，將點A（﹣1，0）代入，得：4a+4＝0，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，故該拋物線的函數表達式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖，作點O關于直線BC的對稱點K，連接AK交BC于點M，連接BK，由對稱性可知，OM＝KM，∴AM+OM＝AM+KM≥AK，當O、M、K三點共線時，AM+OM有最小值，∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC，∴∠CBO＝45°，由對稱性可知∠KBM＝45°，∴BK⊥BO，∴K（3，3），設直線AK的解析式為y＝kx+b，∴，解得：，∴直線AK的解析式為y＝x+，設直線BC的解析式為y＝mx+3，∴3m+3＝0，∴m＝﹣1，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，聯立方程組，解得：，∴M（，）；（3）存在點P，使∠PQC＝∠ACD．理由如下：如圖2，過點D作y軸的平行線交過點C與x軸的平行線于點E，則DE＝CE＝1，即∠DCE＝45°，則∠OCD＝90°+45°＝135°，則∠ACD＝135°+∠ACO；過點Q作QT⊥x軸于點T，則∠CQT＝135°，則∠PQC＝∠CQT+∠TQP＝135°+∠TQP＝∠ACD＝135°+∠ACO，∴∠TQP＝∠ACO，過點P作PN∥y軸交過點D與x軸的平行線于點N，∵PN⊥x軸，QT⊥x軸，∴PN∥QT，∴∠NPD＝∠TQP＝∠ACO，在Rt△AOC中，tan∠ACO＝＝＝tan∠NPD，設點P（t，﹣t2+2t+3），則tan∠NPD＝＝＝，解得：t＝1（舍去）或t＝4，經檢驗，t＝4是方程的根，∴P（4，﹣5）．8．（2023?槐蔭區(qū)二模）如圖1，已知以D為頂點的拋物線y＝ax2+bx+3經過A（﹣3，0）、B兩點，與y軸交于C點，對稱軸為x＝﹣2．（1）求拋物線的解析式；（2）連接BC，∠BCO和∠ACD有怎樣的數量關系，請說明理由；（3）如圖2，已知點M（﹣4，0），若P為拋物線位于x軸下方部分上一點，以PO為邊在PO的上方作等邊三角形POQ，連接MQ，N為線段MQ中點，直接寫出MN的最小值．【答案】（1）y＝x2+4x+3；（2）∠ACD＝∠BCO；理由見解析；（3）．【解答】解：（1）∵拋物線對稱軸為x＝﹣2，經過A（﹣3，0），，解得a＝1，b＝4，∴拋物線的解析式為y＝x2+4x+3；（2）∠ACD＝∠BCO．理由：∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴拋物線頂點坐標為D（﹣2，﹣1），∵拋物線對稱軸為x＝﹣2，經過A（﹣3，0），則B（﹣1，0），又x＝0時，y＝3，則C（0，3），∴OB＝1，OC＝3，Rt△OBC中，tan∠BCO＝，又∵A（﹣3，0），D（﹣2，﹣1），C（0，3），∴AD＝＝，同理，，在△ACD，AD2+AC2＝CD2，∴∠CAD＝90°，在Rt△CAD中，，∴∠ACD＝∠BCO；（3）作等邊三角形OMH，則H（﹣2，﹣2），∵△POQ為等邊三角形，△OMH為等邊三角形，∴∠HOM＝∠POQ＝60°，OQ＝OP，∴∠MOQ＝∠HOP，∴△MQO≌△HPO（SAS），∴MQ＝HP，∴當HP⊥x軸時，即P，D重合時，HP最短，∵D（﹣2，﹣1），此時HD＝HP＝﹣1﹣（﹣2）＝2﹣1，∴MQ的最小值為2﹣1，∵N為MQ的中點，∴MN的最小值為．9．（2023?濟陽區(qū)二模）拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于C點．?（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接BC，D是線段BC上一點，BD＝3DC，作射線OD交拋物線于點E，H是拋物線上一點，連接OH，若OE平分∠COH，求H點的坐標；??（3）在（2）的條件下，如圖2，過點E作EF垂直于x軸于點F，在直線EF上存在點M，使得∠DMB＝45°，請直接寫出點M的坐標．??【答案】（1）解析式為：y＝﹣x2+3x+4．（2）H（3，4）．（3）M1（2，3+）；M2（2，﹣）．【解答】解：（1）將A（﹣1，0）、B（4，0）代入解析式得：；解得：．∴解析式為：y＝﹣x2+3x+4．（2）當x＝0時，y＝4得C（0，4）．設D（m，n），由BD＝3DC可得：；解得：，即D（1，3）．∴直線OD解析式為：y＝3x．記OH與BC交點G（t，﹣t+4），作GH∥OD交y軸與H．∴∠COD＝∠OHG，∠DOG＝∠OGH；∵OE平分∠COH，即∠COD＝∠DOG；∴∠OHG＝∠OGH；∴OH＝OG．∵GH∥OD，∴．∴．∴＝，解得：t1＝0（舍），t2＝．∴G（，）．∴OH的解析式為：．H為拋物線與OH的交點：；解得：（舍），；即：H（3，4）．（3）E是拋物線與射線OD的交點：；解得：（舍）；；即：E（2，6）．設M（2，m），以BD為對角線做正方形BPDQ，則P（4，3），Q（1，0）如圖2．當M在⊙P上時，∠DMB＝∠DPB＝45°；即：MP＝＝3；解得：m1＝3﹣（舍）；m2＝3+；當M在⊙Q上時，∠DMB＝∠DQB＝45°；即：MQ＝＝3；解得：m3＝（舍）；m4＝﹣；∴M1（2，3+）；M2（2，﹣）．七．平行四邊形的性質（共2小題）10．（2023?萊蕪區(qū)二模）如圖，在?ABCD中，點M、N分別是對角線BD上的兩點，且BM＝DN，連接AN，CM．求證：∠ANM＝∠CMN．【答案】證明見解析．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵BM＝DN，∴BN＝DM，在△ABN與△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（SAS），∴∠ANB＝∠CMD，∴∠ANM＝∠CMN．11．（2023?濟陽區(qū)二模）如圖，E，F是?ABCD的對角線AC上兩點，且AF＝CE，求證：DF∥BE．【答案】證明見解析．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAF＝∠BCE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴∠AFD＝∠CEB，∴∠DFC＝∠BEA，∴DF∥BE．八．切線的性質（共3小題）12．（2023?萊蕪區(qū)二模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∠ACB的平分線交⊙O于點D，PD是⊙O的切線，D為切點，交CA的延長線于點P．連接AD，BD．（1）求證：PD∥AB；（2）若⊙O的半徑為1，，求BC的長．【答案】（1）證明見解答；（2）BC的長是．【解答】（1）證明：連接OD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，∴∠BOD＝2∠BCD＝90°，∵PD是⊙O的切線，D為切點，∴PD⊥OD，∴∠ODP＝90°，∴∠ODP＝∠BOD，∴PD∥AB．（2）解：作AF⊥PD于點F，則∠AFD＝∠AFP＝90°，∴∠ODF＝90°，∠AOD＝2∠ACD＝90°，∴四邊形OAFD是矩形，∵OA＝OD＝1，∴四邊形OAFD是正方形，∴AF＝OA＝1，∵AB＝2OA＝2，AP＝，∠BAC＝∠P，∴＝sin∠BAC＝sin∠P＝＝＝，∴BC＝AB＝×2＝，∴BC的長是．13．（2023?槐蔭區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，過點C的切線交DA的延長線于點E，DE⊥CE，連接CD，BC．?（1）求證：∠DAB＝2∠ABC；（2）若tan∠ADC＝，BC＝12，求AE的長．【答案】（1）見解答；（2）．【解答】（1）證明：∵CE是⊙O的切線，∴OC⊥CE，∵DE⊥CE，∴OC∥DE，∴∠DAB＝∠AOC，∵∠AOC＝2∠ABC，∴∠DAB＝2∠ABC；（2）解：連接AC，如圖，∵∠ABC＝∠ADC，∴tan∠ABC＝tan∠ADC＝，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵tan∠ABC＝＝，∴AC＝BC＝×12＝9，∴AB＝＝＝15，∵OC∥AE，∴∠CAE＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠CAE＝∠OAC，∵∠ACB＝∠AEC，∴△ACE∽△ABC，∴AC：AB＝AE：AC，即9：15＝AE：9，解得AE＝，即AE的長為．14．（2023?歷下區(qū)二模）如圖，在△ABC中，以BC為直徑作⊙O交AC于點D，且點D為AC中點，過點D作⊙O的切線DE交BC的延長線于點E．（1）求證：AB＝BC；（2）若AB＝8，，求CE的長．【答案】（1）見解析；（2）6．【解答】（1）證明：連接BD，∵BC為⊙O的直徑，∴BD⊥AC，∵點D為AC中點，∴AD＝CD，∴AB＝BC；（2）解：連接OD，∵DE是⊙O的切線，∴∠ODE＝90°，∵AB＝BC＝8，∴OD＝4，∵AD＝CD，BO＝OC，∴OD∥AB，∴∠DOE＝∠ABC，∵，∴cos∠DOE＝＝＝，∴OE＝10，∴CE＝OE﹣OC＝6．九．幾何變換綜合題（共1小題）15．（2023?萊蕪區(qū)二模）如圖，在同一平面內的△ABC和△ADE，連接CE、BD，點P、Q分別是線段CE、BD的中點，△ADE繞點A自由旋轉時，B、P、D三點會在同一條直線上．（1）如圖1，當△ABC和△ADE都是等邊三角形時，判斷線段PA、PB、PC的數量關系，并給出證明；（2）如圖2，當△ABC和△ADE都是等腰直角三角形時，請直接寫出線段PA、PB、PC的數量關系PB＝CP+AP；（3）如圖3，當∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，時，求點A到直線PB的距離．【答案】（1）PA+PC＝PB，理由見解析過程；（2）PB＝CP+AP，理由見解析過程；（3）點A到直線PB的距離2．【解答】解：（1）PA+PC＝PB，理由如下：如圖1，連接AQ，∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵點P、Q分別是線段CE、BD的中點，∴BQ＝DQ，CP＝PE，∴BQ＝CP，∴△ACP≌△ABQ（SAS），∴AQ＝AP，∠BAQ＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAQ＝60°，∴△PAQ是等邊三角形，∴PQ＝AP，∴PB＝BQ+PQ＝AP+CP；（2）PB＝CP+AP，理由如下：如圖2，連接AQ，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠BAD＝∠ACE，∵點P、Q分別是線段CE、BD的中點，∴BQ＝DQ，CP＝PE，∴BQ＝CP，∴△ACP≌△ABQ（SAS），∴AQ＝AP，∠BAQ＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAQ＝90°，∴△PAQ都是等腰直角三角形，∴PQ＝AP，∴PB＝CP+AP，故答案為：PB＝CP+AP；（3）如圖3，過點A作AH⊥BP于H，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，∴點A，點B，點E三點共線，EA＝AD，AC＝AB，∴＝，∴△ABD∽△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，又∵∠BDA＝∠CDP，∴∠BAC＝∠BPC＝90°，又∵CP＝PE，∴BC＝BE，CD＝DE，∵∠DCP＝∠DEP，∵∠ADE＝90°﹣∠AED＝60°，∴∠DCP＝∠DEP＝30°，∴∠BCE＝∠BEC＝60°，∴△BCE是等邊三角形，∴BE＝CE，∵CP＝PE，∠CAE＝90°，∴AP＝CP＝PE＝4，∵∠BCA＝∠ECA＝30°，∴AB＝AE＝4，∠PBE＝∠ACE＝30°，∴AH＝AH＝2，∴點A到直線PB的距離2．一十．相似三角形的判定與性質（共1小題）16．（2023?濟陽區(qū)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O在斜邊AB上，以O為圓心，OB的長為半徑的圓交BC于點D，交AB于點E，AD為⊙O的切線．（1）求證：∠B＝∠CAD；（2）若CD＝4，BD＝12，求⊙O的半徑的長．【答案】（1）證明見解析；（2）3．【解答】（1）證明：連接OD，如圖，∵AD為⊙O的切線，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°，∴∠ADC+∠ODB＝90°．∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠ODB．∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠B＝∠CAD．（2）解：∵∠B＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴，∴CA2＝CD?CB＝4×（4+12）＝64，∴CA＝8．過點O作OF⊥CB于點F，則DF＝FB＝BD＝6，∵∠B＝∠CAD，∠OFB＝∠C＝90°，∴△OFB∽△DCA，∴，∴OF＝BF＝3，∴OB＝＝3．∴⊙O的半徑的長為3．一十一．解直角三角形的應用（共1小題）17．（2023?槐蔭區(qū)二模）桑梯是我國古代發(fā)明的一種采桑工具．圖1是明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖2所示，已知AB＝AC＝1.5米，AD＝1.2米，AC與AB的張角為α，為保證安全，α的調整范圍是30°≤a≤60°，BC為固定張角α大小的繩索．（1）求繩索BC長的最大值．（2）若α＝40°時，求桑梯頂端D到地面BC的距離．（參考數據：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，最后結果精確到0.01米）【答案】（1）繩索BC長的最大值為1.5米；（2）桑梯頂端D到地面BC的距離約為2.54米．【解答】解：（1）由題意得：當∠BAC＝α＝60°時，繩索BC的長最大，∵AB＝AC＝1.5米，∴△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB＝AC＝1.5米，∴繩索BC長的最大值為1.5米；（2）過點D作DE⊥BC，垂足為E，∴∠DEC＝90°，∵AB＝AC＝1.5米，∠BAC＝α＝40°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝70°，∵AD＝1.2米，∴DC＝AD+AC＝2.7（米），在Rt△DEC中，DE＝DC?sin70°≈2.7×0.94≈2.54（米），∴桑梯頂端D到地面BC的距離約為2.54米．一十二．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共2小題）18．（2023?萊蕪區(qū)二模）某景區(qū)在建筑物BE附近新建了一座200m高的建筑物AD，小明在此建筑物底端的點D處測得建筑物BE的頂端B的仰角是30°，當他到達建筑物AD的頂端A時，測得B點的俯角是45°．（1）求∠ABD的度數；（2）請你幫小明計算建筑物BE的高（結果精確到1m）．（參考數據：≈1.732）【答案】（1）75°；（2）建筑物BE的高約為73m．【解答】解：（1）過點B作BH⊥AD于H，∵AF⊥AD，DE⊥AD，∴AF∥DE∥BH，∴∠ABH＝∠BAF＝45°，∠DBH＝∠BDE＝30°，∴∠ABD＝∠ABH+∠DBH＝75°；（2）∵BE⊥DE，DE⊥AD，BH⊥AD，∴四邊形BEDH是矩形，∴BH＝DE，BE＝DH，在Rt△ABH中，∠BAH＝∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝DE，在Rt△ABH中，∠BDE＝3