專題06 幾何模型之倍長中線模型專練（解析版）-【考點培優(yōu)尖子生專用】2021-2022學年七年級數(shù)學下冊專題訓練（滬教版）

編者小k君小注：本專輯專為2022年初中滬教版數(shù)學第二學期研發(fā)，供中等及以上學生使用。思路設計：重在培優(yōu)訓練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識難度層層遞進，由中等到壓軸，基礎差的學生選做每種類型題的前4題；基礎中等的學生必做前4題、選做5-8題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。專題06幾何模型之倍長中線模型專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．如圖，己知AD是△ABC中BC邊上的中線，AB＝5，AC＝3，則AD的取值范圍是（）A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8【標準答案】B【思路指引】如圖所示，延長AD到E，使，連接CE，先證，得，再由三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍．【詳解詳析】如圖所示，延長AD到E，使，連接CE，AD是△ABC中BC邊上的中線，，在與中，，，，在中，由三角形三邊關系得：，，，，．【名師指路】本題考查了三角形三邊的關系，全等三角形的判定與性質(zhì)，做輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．2．如圖，是的邊上的中線，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【標準答案】C【思路指引】延長至點E，使，連接，證明，可得，然后運用三角形三邊關系可得結果．【詳解詳析】如圖，延長至點E，使，連接．∵為的邊上的中線，∴，在和中，∴，∴．在中，，即，∴，故選：C．【名師指路】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關系，根據(jù)中點倍長法構造全等三角形是解題的關鍵．3．在學完八上《三角形》一章后，某班組織了一次數(shù)學活動課，老師讓同學們自己談談對三角形相關知識的理解．小峰說：“存在這樣的三角形，他的三條高的比為1：2：3”．小慧說：“存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半”．對以上兩位同學的說法，你認為（）A．兩人都不正確 B．小慧正確，小峰不正確C．小峰正確，小慧不正確 D．兩人都正確【標準答案】A【思路指引】先分別假設這兩個說法正確，先根據(jù)三角形高和中線的性質(zhì)即可判斷正誤．【詳解詳析】解：假設存在這樣的三角形，他的三條高的比為1：2：3，根據(jù)等積法，得到此三角形三邊比為6：3：2，這與三角形三邊關系相矛盾，故假設錯誤，所以這樣的三角形不存在；假設存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其他兩邊和的一半，延長中線成2倍，利用三角形全等，可得到三角形中線的2倍不小于（大于等于）其他兩邊之和，這與三角形三邊關系矛盾，故假設錯誤，所以這樣的三角形不存在；故選A．【名師指路】本題考查了三角形的高及中線、等積法、三角形三邊關系．等積法：兩個三角形等底等高，則面積相等，由此可以推得：兩個三角形高相等，底成倍數(shù)，面積也成同樣的倍數(shù)關系；同理，兩個三角形底相等、高成倍數(shù)關系、面積也成同樣的倍數(shù)關系；三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．4．如圖，在中，為的中點，若．則的長不可能是（）A．5 B．7 C．8 D．9【標準答案】A【思路指引】延長AD到E，使AD=DE，證明△ADC≌△EDB，然后利用三邊關系即可得出結論．【詳解詳析】解：延長AD到E，使AD=DE=4，連接BE，∵D是BC的中點，∴BD=CD又∠BDE=∠CDA∴△ADC≌△EDB，∴BE=AC=3由三角形三邊關系得，即：故選：A【名師指路】此題主要考查了三角形三邊關系以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關鍵．5．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC邊上的中線，AD的取值范圍是（）A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4【標準答案】B【思路指引】先延長到，且，并連接，由于，，利用易證，從而可得，在中，再利用三角形三邊的關系，可得，從而易求．【詳解詳析】解：延長到，使，連接，則AE=2AD，∵，，，∴，，在中，，即，∴．故選：．【名師指路】此題主要考查三角形三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．6．在Δ中，是邊上的中線，則的取值范圍是()A． B．C． D．【標準答案】B【思路指引】如圖，延長AD到E，使DE=DA，連接CE，則可得△ABD≌△ECD，得出AB=CE，在△ACE中，由三角形三邊關系，即可求解結論．【詳解詳析】解：延長AD到E，使DE=DA，連接CE，如圖，∵AD是△ABC中BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，在△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，即AC-AB＜AE＜AC+AB，∴，即，∴；故選擇：B.【名師指路】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形三邊關系問題，能夠熟練運用是解此題的關鍵．7．如圖AB=7，AC=3，則中線AD的取值范圍是：()A．4<AD<11 B．2<AD<5.5 C．2<AD<5 D．4<AD<10【標準答案】C【思路指引】延長AD到E，使DE=AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CE=AB，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍，然后即可得解．【詳解詳析】解：如圖，延長AD到E，使DE=AD，

∵AD是BC邊上的中線，

∴BD=CD，

在△ABD和△ECD中，，

∴△ABD≌△ECD（SAS），

∴CE=AB，

∵AB=7，AC=3，

∴7-3＜AE＜7+3，

即4＜AE＜10，

∴2＜AD＜5．

故選：C．【名師指路】本題考查了三角形的三邊關系，全等三角形的判定與性質(zhì)，遇中點加倍延，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．8．已知：AD是的中線，，，則AD的取值范圍是（）．A． B． C． D．【標準答案】C【思路指引】延長AD至點E，使DE=AD，連接EC，先證明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三邊關系定理得出答案．【詳解詳析】解：延長AD至點E，使DE=AD，連接EC，

∵AD是的中線，∴BD=CD在△ADB和△EDC中∴△ADB≌△EDC（SAS），

∴CE=AB，

∵AB=5，AC=7，

∴CE=5，

設AD=x，則AE=2x，

∴7-5＜2x＜7+5，

∴1＜x＜6，

∴1＜AD＜6，故選：C．【名師指路】本題考查了三角形的三邊關系定理和全等三角形的判定和性質(zhì)的應用，注意：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊．9．如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點，延長BE交AC于F，若BE=AC，BF=9，CF=6，則AF的長度為（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【標準答案】B【思路指引】延長AD到G使DG=AD，連接BG，通過SAS證明△ACD≌△GBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到∠CAD=∠G，AC=BG，等量代換得到BE=BG，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠G=∠BEG，推出EF=AF即可得解決問題．【詳解詳析】解：如圖，延長AD到G使DG=AD，連接BG，

∵AD是△ABC的中線，

∴CD=BD，

在△ACD與△GBD中，，

∴△ACD≌△GBD（SAS），

∴∠CAD=∠G，AC=BG，∵BE=AC，

∴BE=BG，

∴∠G=∠BEG，

∵∠BEG=∠AEF，

∴∠AEF=∠EAF．

∴EF=AF，

∴AF+CF=BF-EF=BF-AF，

即AF+6=9-AF，

∴AF=1.5．

故選：B．【名師指路】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，利用中點作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．10．如圖，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點，若AB＝5，CD＝3，則EF的長為（）A．2.5 B．2 C．1.5 D．1【標準答案】D【思路指引】連接DE并延長交AB于H，證明△DCE≌△HAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DE＝HE，DC＝AH，則EF是△DHB的中位線，再根據(jù)中位線的性質(zhì)可得答案．【詳解詳析】解：連接DE并延長交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C＝∠A，∵E是AC中點，∴CE＝EA，在△DCE和△HAE中，，∴△DCE≌△HAE（ASA），∴DE＝HE，DC＝AH，∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣DC＝2，∵F是BD中點，∴EF是△DHB的中位線，∴EF＝BH，∴EF＝1，故選：D．【名師指路】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形中位線性質(zhì)，關鍵是正確畫出輔助線，證明△DCE≌△HAE，得出EF是中位線．二、填空題11．AD是△ABC的邊BC上的中線，AB＝6，AC＝4，則中線AD的取值范圍是______【標準答案】1<AD<5【思路指引】延長AD到E，使AD=DE，連接BE，證三角形全等，推出BE=AC=4，在三角形ABE中，根據(jù)三角形的三邊關系定理求出即可．【詳解詳析】解：延長AD到E，使AD=DE，連接BE，如圖所示：∵AD為中線，∴BD=DC，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，在△ABE中，AB=6，BE=4，∴64＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5．【名師指路】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的三邊關系定理的應用等知識，通過作輔助線構建三角形全等是解決問題的關鍵．12．在中，AB＝6，AC＝10，那么中線AD邊的取值范圍是___．【標準答案】【思路指引】延長到點，使，連接，得出，推出，再根據(jù)三角形三邊關系定理即可得出答案．【詳解詳析】解：如圖，延長到點，使，連接，是中線，，在和中，，，，∵在中，，∴，，，故答案為：．【名師指路】本題考查了三角形三邊關系定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生的推理能力．13．如圖，在中，是邊上的中線，，，則的取值范圍是________．

【標準答案】【思路指引】延長AD至點E，使DE=AD，證明,由全等性質(zhì)求出相關的線段長度，在中，由，代入數(shù)值即可得到答案．【詳解詳析】解：延長AD至點E，使DE=AD，如下圖：∵D是BC的中點∴BD=CD在和中：∴∴∵AD=5∴AE=10在中，由得：即：故答案為：【名師指路】本題考查三角形的全等判定和性質(zhì)，三角形的三邊關系，牢記相關知識點并靈活應用是解題關鍵．14．已知AD是△ABC的中線，AD=6，CA=5，則邊AB的取值范圍是______．【標準答案】7<AB<17【思路指引】作出圖形，延長AD至E，使DE=AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AB=CE，再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊求出CE的取值范圍，即為AB的取值范圍．【詳解詳析】解：如圖，延長AD至E，使DE=AD，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=6，∴AE=6+6=12，∵12+5=17，12-5=7，∴7＜CE＜17，即7＜AB＜17．故答案為：7＜AB＜17．【名師指路】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊，“遇中線，加倍延”構造出全等三角形是解題的關鍵．15．如圖所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC邊上的中線AD＝6，∠BAD＝________．【標準答案】90°【思路指引】延長AD到M，使DM＝AD，易得△ABD≌△MCD，CM＝AB＝5，AM＝2AD＝12∠AMC＝∠BAD，再根據(jù)勾股定理逆定理即可得到答案.【詳解詳析】解：如圖所示：延長AD到M，使DM＝AD，∵BC邊上的中線為AD∴BD=CD∵∠ADB=∠MDC，DM＝AD∴△ABD≌△MCD．∴CM＝AB＝5，AM＝2AD＝12在△ACM中，，∴∴∠AMC＝90°∴∠BAD＝90°【名師指路】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的逆定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.16．已知，如圖1，若是中的內(nèi)角平分線，通過證明可得，同理，若是中的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖2，在中，是的內(nèi)角平分線，則的邊上的中線長的取值范圍是________

【標準答案】【思路指引】根據(jù)題意得到，設AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三邊關系可求出k的范圍，反向延長中線至，使得，連接，最后根據(jù)三角形三邊關系解題．【詳解詳析】如圖，反向延長中線至，使得，連接，是的內(nèi)角平分線，可設AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，BC＝5，∴5k＞5，k＜5，∴1＜k＜5，由三角形三邊關系可知，∴故答案為：．

【名師指路】本題考查角平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關系等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵．17．如圖，AD是ABC中BC邊上的中線，若AB＝5，AC＝8，則AD的取值范圍是_____．【標準答案】1.5<AD<6.5．【思路指引】延長AD到E，使DE=AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CE=AB，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍，然后即可得解．【詳解詳析】解：如圖，延長AD到E，使DE=AD，

∵AD是BC邊上的中線，

∴BD=CD，

在△ABD和△ECD中,

∵，

∴△ABD≌△ECD(SAS),

CE=AB，

∵AB=5，AC=8，

∴8-5<AE<8+5，即

3<2AD<13，

∴1.5<AD<6.5，故答案為：1.5<AD<6.5．【名師指路】本題考查了三角形的三邊關系，全等三角形的判定與性質(zhì)，遇中點加倍延，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．18．如圖所示，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB=2，AC=6，則AD的取值范圍是__________【標準答案】2＜AD＜4【思路指引】此題要倍長中線，再連接，構造全等三角形．根據(jù)三角形的三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．即可求解．【詳解詳析】解：延長AD到E，使AD=DE，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ADC與△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB=AC，根據(jù)三角形的三邊關系定理：6-2＜AE＜6+2，∴2＜AD＜4，故AD的取值范圍為2＜AD＜4．【名師指路】本題主要考查對全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關系定理等知識點的理解和掌握，能推出6-2＜AE＜6+2是解此題的關鍵．19．在ABC中，AB=3，AC=4，則BC邊上的中線AD的取值范圍是_________【標準答案】0.5＜AD＜3.5．【思路指引】延長AD到E，使DE=AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CE=AB，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍，然后即可得解．【詳解詳析】解：如圖，延長AD到E，使DE=AD，

∵AD是BC邊上的中線，

∴BD=CD，

在△ABD和△ECD中

，

∴△ABD≌△ECD（SAS），

∴CE=AB，

∵AB=3，AC=4，

∴4-3＜AE＜4+3，

即1＜AE＜7，

∴0.5＜AD＜3.5．

故答案為：0.5＜AD＜3.5．【名師指路】本題考查了三角形的三邊關系，全等三角形的判定與性質(zhì)，遇中點加倍延，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．20．已知：如圖所示，CE、CB分別是△ABC與△ADC的中線，且AC＝AB．則下列結論中：①BC＝BD；②∠ECB＝∠BCD；③∠ACE＝∠BDC；④CD＝2CE；正確結論的序號為：____________．【標準答案】②③④【思路指引】過B作BF∥AC交CE的延長線于F，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知條件可利用ASA證明△ACE≌△BFE，可得CE＝EF，AC＝BF，由AC=AB可得∠ACB＝∠ABC，進一步即可根據(jù)三角形的外角性質(zhì)推出∠DBC＝∠FBC，然后利用SAS可證△DBC≌△FBC，于是可得∠ECB＝∠BCD，DC＝CF＝2CE，∠F＝∠D，由此即可判斷②④，進而根據(jù)等量代換即可判斷③，由于∠BCD與∠D不一定相等，所以得不出BC=BD，由此可判斷①，從而可得答案．【詳解詳析】解：過B作BF∥AC交CE的延長線于F，如圖，∵CE是中線，BF∥AC，∴AE＝BE，∠A＝∠ABF，∠ACE＝∠F，∴△ACE≌△BFE（AAS），∴CE＝EF，AC＝BF，∴CF＝2CE，又∵AC=AB，∴∠ACB＝∠ABC，∵CB是△ADC的中線，∴AC＝AB＝BD＝BF，∵∠DBC＝∠A+∠ACB＝∠ABF+∠ABC，∴∠DBC＝∠FBC，又∵BC=BC，∴△DBC≌△FBC（SAS），∴∠ECB＝∠BCD，DC＝CF＝2CE，∠F＝∠D，故結論②、④正確；∴∠ACE＝∠D，故結論③正確；由于∠BCD與∠D不一定相等，所以得不出BC=BD，故結論①錯誤；綜上，正確的結論是：②③④．故答案為：②③④．【名師指路】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)等知識，正確作出輔助線、熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．三、解答題21．已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°（1）如圖1，延長DE交BC于點F，若∠BAE＝68°，則∠DFC的度數(shù)為；（2）如圖2，連接EC、BD，延長EA交BD于點M，若∠AEC＝90°，求證：點M為BD中點；（3）如圖3，連接EC、BD，點G是CE的中點，連接AG，交BD于點H，AG＝9，HG＝5，直接寫出△AEC的面積．【標準答案】（1）68°；（2）見解析；（3）36．【思路指引】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知：∠DFC=∠DAC=68°；

（2）過點B作BG⊥DA，交DA的延長線于G，通過AAS證明△ABG≌△ACE，得AG=AE，則AD=AG，得AM為△BDG的中位線即可證明；

（3）延長AG到點K，使GK=AG=9，連接CK，通過SAS可證明△ABE≌△ACD，有S△ABE=S△ACD，BE=CD，再通過SAS證明△AEG≌△KCG，得AE=CK，∠AEG=∠KCG，再證明△AKC≌△BDA，得BD=AK=18，∠CAK=∠DBA，證出∠AHB=90°，即可解決問題．【詳解詳析】解：（1）∵∠BAC=∠EAD=90°，

∴∠BAE=∠DAC，

∵∠BAE=68°，

∴∠DAC=68°，

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴∠C=∠D，

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知：∠DFC=∠DAC=68°；

故答案為：68°；

（2）過點B作BG⊥DA，交DA的延長線于G，

∴∠EAG=∠BAC=90°，

∴∠BAG=∠EAC，

在△ABG和△ACE中，，

∴△ABG≌△ACE（AAS），

∴AG=AE，

∵AD=AE，

∴AD=AG，

∵∠MAD=∠G=90°，

∴AM∥BG，

∴AM為△BDG的中位線，

∴點M為BD的中點；

（3）如圖，延長AG到點K，使GK=AG=9，連接CK，

∵∠BAC=∠EAD=90°，

∴∠BAE=∠CAD，

在△ABE與△ACD中，，

∴△ABE≌△ACD（SAS），

∴S△ABE=S△ACD，BE=CD，

∵點G是EC的中點，

∴EG=GC，

∵∠AGE=∠KGC，AG=GK，

∴△AEG≌△KCG（SAS），

∴AE=CK，∠AEG=∠KCG，

∴AE=KC=AD，∠ACK=∠ACB+∠KCB=45°+∠ABC+∠BAE=90°+∠BAE=∠BAD，

∵AB=AC，

∴△AKC≌△BDA（SAS），

∴BD=AK=18，∠CAK=∠DBA，

∵∠BAG+∠CAG=90°，

∴∠ABD+∠BAG=90°，

∴∠AHB=90°，

∴S△ABD＝×BD×AH=×18×4=36，

∴S△AEC=S△ACK+S△AEG-S△KCG=S△ABD=36．【名師指路】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，倍長中線構造全等三角形是解題的關鍵．22．（教材呈現(xiàn)）如圖是華師版八年級上冊數(shù)學教材第69頁的部分內(nèi)容：如圖，在中，D是邊BC的中點，過點C畫直線CE，使，交AD的延長線于點E，求證：證明∵（已知）∴，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．在與中，∵，（已證），（已知），∴，∴（全等三角形的對應邊相等）．（1）（方法應用）如圖①，在中，，，則BC邊上的中線AD長度的取值范圍是______．（2）（猜想證明）如圖②，在四邊形ABCD中，，點E是BC的中點，若AE是的平分線，試猜想線段AB、AD、DC之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；（3）（拓展延伸）如圖③，已知，點E是BC的中點，點D在線段AE上，，若，，求出線段DF的長．【標準答案】（1）1＜AD＜5；（2）AD=AB+DC．理由見解析；（3）DF=3．【思路指引】（1）延長AD到E，使AD=DE，連接BE，證△ADC≌△EDB，推出AC=BE=4，在△ABE中，根據(jù)三角形三邊關系定理得出AB-BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可；（2）結論：AD=AB+DC．延長AE，DC交于點F，證明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB=CF，再證明DA=DF即可解決問題；（3）如圖③，延長AE交CF的延長線于點G，證明AB=DF+CF，可得結論．【詳解詳析】解：（1）延長AD到E，使AD=DE，連接BE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，∴6-4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5；（2）結論：AD=AB+DC．理由：如圖②中，延長AE，DC交于點F，∵AB∥CD，∴∠BAF=∠F，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴CF=AB，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF，∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD；（3）如圖③，延長AE交CF的延長線于點G，∵E是BC的中點，∴CE=BE，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB=GC，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=DF+CF，∵AB=5，CF=2，∴DF=AB-CF=3．【名師指路】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形三邊關系等知識點，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．23．已知：等腰和等腰中，，，．（1）如圖1，延長交于點，若，則的度數(shù)為；（2）如圖2，連接、，延長交于點，若，求證：點為中點；（3）如圖3，連接、，點是的中點，連接，交于點，，，直接寫出的面積．【標準答案】（1）；（2）見解析；（3）【思路指引】（1）由已知條件可得，對頂角，則，根據(jù)即可的；（2）過點作的垂線交的延長線于,證明，得,進而可得，再證明即可得證點為中點；（3）延長至，使得，連接，設交于點，先證明，進而證明，根據(jù)角度的計算以及三角形內(nèi)角和定理求得，進而證明，再根據(jù),證明，根據(jù)已知條件求得最后證明即可．【詳解詳析】（1）設交于，如圖1，是等腰和是等腰即故答案為（2）如圖2，過點作的垂線交的延長線于,是等腰和是等腰又又即是的中點（3）延長至，使得，連接，設交于點，如圖即是等腰和是等腰在與中，（SAS），點是的中點，（SAS）（SAS），即，【名師指路】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，構造輔助線是解題的關鍵．24．如圖，已知在中，，是邊上的中線，延長到點D，使．求證：．【標準答案】見解析【思路指引】延長到點F，使，連接，則,根據(jù)邊角邊可以判定，由全等三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)全等三角形的判定可證，由全等三角形性質(zhì)即可求證.【詳解詳析】解：如圖，延長到點F，使，連接，則．因為為中線，所以．又因為，所以，所以，，所以．又因為，所以，所以，所以．【名師指路】本題主要考查倍長中線構造全等三角形，解決本題的關鍵是要熟練掌握倍長中線構造全等三角形的方法.25．如圖，點P是∠MON內(nèi)部一點，過點P分別作PA∥ON交OM于點A，PB∥OM交ON于點B（PA≥PB），在線段OB上取一點C，連接AC，將△AOC沿直線AC翻折，得到△ADC，延長AD交PB于點E，延長CD交PB于點F．（1）如圖1，當四邊形AOBP是正方形時，求證：DF＝PF；（2）如圖2，當C為OB中點時，試探究線段AE，AO，BE之間滿足的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CE，∠ACE的平分線CH交AE于點H，設OA＝a，BE＝b，若∠CAO＝∠CEB，求△CDH的面積（用含a，b的代數(shù)式表示）．【標準答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【思路指引】（1）連接AF，根據(jù)HL證Rt△ADF≌△APF即可證明DF=PF；（2）延長AC、BF交于點G，根據(jù)AAS證△AOC≌△GBC，即可證明BE=DE，又因為AD=AO，所以可得AE=AO+BE；（3）證△ACE是等腰直角三角形，結合（2）的結論證明：即可得出△CDH的底和高，進而求出面積．【詳解詳析】解：（1）如圖1，連接AF，∵四邊形AOBP是正方形，△AOC沿直線AC翻折，得到△ADC，∴AO=AD=AP，在Rt△ADF和Rt△APF中，，∴Rt△ADF≌Rt△APF（HL），∴DF=PF；（2）AE=AO+BE，理由如下：如圖2，延長AC、BF交于點G，連接∵C為OB中點，∴OC=BC，∵AO∥BP，∴∠OAC=∠G，∠O=∠CBG，在△△AOC和△GBC中，，∴△AOC≌△GBC（AAS），∴BG=AO，∵△AOC沿直線AC翻折，得到△ADC，∴AO=AD，∠OAC=∠CAE，∴AD=BG，∠CAE=∠G，∴△AEG為等腰三角形，∴AE=EG，∵，∴AE=AO+BE；（3）∵AO∥PB，∴∠OAC+∠CAE+∠CEA+∠CEB=180°，∵∠ACH+∠ECH+∠CAE+∠CEA=180°，∴∠OAC+∠CEB=∠ACH+∠ECH，∵CH平分∠ACE，∠CAO=∠CEB，∴∠OAC=∠CEB=∠ACH=∠ECH，又∵∠OAC