2023年新教材高考數(shù)學(xué)微34含解析

專練34空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積和體積

［基礎(chǔ)強化］

一、選擇題

1.［2021?全國新高考I卷］已知圓錐的底面半徑為地,其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.2m

C.4D.4小

2.［2022?江蘇省學(xué)情調(diào)研］用一平面截正方體，所得截面的面積最大時;截面的幾何形狀為（）

A.正六邊形B.五邊形

C.長方形D.三角形

3.棱長為2的正方體4成浦一48G"中，M,N分別為棱能，45的中點，則三棱錐4一ZUW的體積為（）

A.1B.2C.3D.4

4.在梯形45（力中，AABC=^,AD//BC,a'=240=248=2.將梯形/版繞4〃所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面

所圍成的幾何體的體積為（）

2n4n

A--B--

5n

C.D,2n

5.［2020?全國卷I］已知4B,。為球0的球面上的三個點，。。為△48。的外接圓.若。。的面積為4n,AB

=BC=AC=00\,則球。的表面積為（）

A.64nB.48n

C.36nD.32n

6.［2022?全國甲卷（文），10］甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S

甲和S乙，體積分別為/甲和/乙,若伊=2,貝呼=（）

3乙，乙

A./B.2*72

c.VioD.邛^

7.［2022?河北省六校聯(lián)考］已知小〃是球。的表面上兩點，ZAOB=90°,。為該球面上的動點.若三棱錐行

/回體積的最大值為36,則球。的表面積為（）

A.124nB.144n

C.156nD.196Ji

8.

［2022?云貴川桂四省聯(lián)考］如圖所示的某糧倉（糧倉的底部位于地面上）是由圓柱和圓錐構(gòu)成的，若圓柱的高是圓

錐高的2倍，且圓錐的母線長是4,側(cè)面積是4",則制作這樣一個糧倉的用料面積為（）

A.（V15+4）JiB.（2^15+4）n

C.（3標(biāo)+4）JtD.（4標(biāo)+4）JT

9.［2022?新高考I卷，4］南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知

該水庫水位為海拔148.5nl時，相應(yīng)水面的面積為140.0kn?；水位為海拔157.5m時，相應(yīng)水面的面積為180.0km2.

將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時，增加的水量約為（小

比2.65）（）

A.1.0X109m：（B.1.2X109m：，

C.1.4X109m3D.1.6X109m3

二、填空題

10.［2020?全國卷HI］已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________.

11.已知圓錐的頂點為S,母線倒，的互相垂直，相與圓錐底面所成角為30°.若的面積為8,則該圓錐的

體積為.

12.如圖，己知正方體480一48c〃的棱長為1,則四棱錐4一期〃〃的體積為—

［能力提升］

13.［2020?全國卷I］埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的

高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值

為（）

A后!B木7

A.4b-2

r:+]n也+]

L-42

14.（多選）[2021?全國新高考I卷]在正三棱柱應(yīng)為1—44G中，49=44=1,點尸滿足法=ABC+〃；，其中

Ae[0,1],〃e[0,1],則（）

A.當(dāng)4=1時，△46/的周長為定值

B.當(dāng)〃=1時，三棱錐戶一4%的體積為定值

C.當(dāng)兒=^時，有且僅有一個點只使得4RL外

D.當(dāng)時，有且僅有一個點只使得46,平面45P

2

15.[2022?山東威海模擬]在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱之為蹩膈，在體積為勺的鱉席

ABCD中,48人平面比2且4?=2,CD=\,則該鱉腌外接球的表面積為

16.[2022?山東濰坊階段性監(jiān)測]在棱長為6的正方體/戈力一4844中，M是回的中點，點P是所在平面

PD

內(nèi)的動點，且滿足/加沙=/物匕則*,三棱錐尸一靦的體積最大值是

專練34空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積和體積

1.B設(shè)圓錐的母線長為1,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則n/=2nX/,解得1=2小.

故選B.

2.C由題意用一平面截正方體，所得截面可以為正六邊形、五邊形、正方形、長方形、梯形、三角形.而當(dāng)截

面是以面對角線為長、正方體棱長為寬的長方形時，可知該截面的面積最大，故選C.

3.

A如圖，易知，三棱錐4一幾腳=/三棱錐4阿，由正方體的結(jié)構(gòu)特征，知〃4J_平面4版V,所以44為三棱

1113

錐以一4掰V的高.因為M,N分別為棱煙，46的中點，所以必4曲y2義2—5*1*1-5）<1*2-5><1義2=5，所以，

113

三棱錐A、一氏MN=/三棱錐隊一AM￥=&XS/\A、MNX%A、=qX3X2=l.

4.C

過點c作〃垂直所在直線于點E,梯形ABCD繞4〃所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段的長為底

面圓半徑，線段形為母線的圓柱挖去以線段龍的長為底面圓半徑，切為高的圓錐，如圖所示.

由于/圓柱=n?4??BC=五X12X2=2n,＞圓錐=；n?6^?DE=gnX12X(2—1)=f~，

JT5冗

所以該幾何體的體積V=/ms—，IW=2n-.

oo

5.A如圖，由題知△48C為等邊三角形，圓Q的半徑r=2,即QB=2,：.BC=2事=0Q,

在RtZkOQS中，兇=面+44=16,.?.球0的半徑左=仍=4,則S網(wǎng)"=4故選A.

6.C設(shè)甲、乙兩個圓錐的母線長都為/,甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為C，12,高分別為力,4.因為兩圓

V^O.故選C.

7.B

如圖所示，當(dāng)點C位于垂直平面4切的直徑端點時，三棱錐”一4%的體積最大，設(shè)球。的半徑為凡此時心.

=%-,KB=JXJX*X月=：〃=36,故7?=6,則球。的表面積為4n「=144”.

J40

8.D設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,則4nr=4n,解得r=l,所以仁#42T=炳圓柱的側(cè)面積為2nr?2力

=4^15n,故制作這樣一個糧倉的用料面積為(4標(biāo)+4)n.

9.C由棱臺的體積公式，得增加的水量約為)義(157.5—148.5)X(140X106+180X10“+4140義10‘X180X10，)

O

=3X106X(140+180+60巾)*3X10，X(140+180+60X2.65)*1.4XlOYn?).故選C.

]。凈

解析：如圖為圓錐內(nèi)球半徑最大時的軸截面圖.

其中球心為0,設(shè)其半徑為r,4c=3,QC=1,

Aa川萬一0d=2立

,：0a=04r,:.AgA。-0Q=2阻一r,

nifAnr2、歷一rr-'歷4

又,二△4M9s△/a。，.?.無；=”即彳=二^，故3r=2:一八?,?該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積V=-

V\CnL1OZo

”?圉34

11.8n

解析：

由題意畫出圖形，如圖，設(shè)小是底面圓。的直徑，連接SO,則SO是圓錐的高.設(shè)圓錐的母線長為1,則由相，的,

11r

得-8

△弘占的面枳為8,2-得，=4.在RtAJSO中，由題意知/弘3=30°,所以*]/=2,切=號/=2鎘.故該

圓錐的體積XA(^XSO=^X(2^/3)2X2=8n.

oo

1

12-

o

解析：四棱錐的底面做〃〃為矩形，其面積為

又點4到底面防。。的距離，即四棱錐4—冏?！ǖ母邽?4G=半,所以四棱錐4—防山。的體積為

1

3,

13.C如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長BC=a,側(cè)面等腰三角形底邊上的高PM=h,則正四棱錐的高

p

2

???以I也為邊長的正方形面積為

一個側(cè)面三角形面積為去汾,

2才1

:?h—-=-ah,

A4A2—2aA—a2=0,

2

兩邊同除以a?可得4（，|-2-1-l=0

解得（=耳1

「hh、/^+1

又:一＞0,—.故選C.

aa4

14.BD易知，點P在矩形式T心內(nèi)部（含邊界）.

對于A,當(dāng)4=1時，~BP=Hc+u；=瓦:+〃；，即此時0G線段CG,△四Z周長不是定值，故A錯誤；

對于B,當(dāng)〃=1時，~BP^ABC+；=;+八丁二，故此時尸點軌跡為線段5G，而AC〃BC,6G〃平面

48G則有尸到平面4玄的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確；

對于C,當(dāng)時，BP=^BC+u；,MXBC,為G中點分別為。，H,則麗=加+〃就所以尸點軌跡為線段

他不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，4償，0,1）,尸（0,0,“），40,0）,則F=（一乎，0,〃一1

F?游=〃（〃-1）=0，所以〃=0或〃=1.故〃0均滿足，故C錯誤;

對于D,當(dāng)〃斗寸，尻/I瓦4輛，取網(wǎng)CG中點為屏詼+為欣所以。點軌跡為線段的M設(shè)d0,先，

因為4Gg,0,0）,所以蘇=（一坐，加］）,一7=（—乎，2,—1），所以