上海市八校2024年高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析

上海市八校2024年高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

2.如圖，在正四棱柱ABCD—A4G。中，AB=y[2AAl,E,b分別為AB的中點(diǎn)，異面直線人用與C/所

成角的余弦值為相，貝（1（）

A.直線4E與直線異面，且m=也B.直線4E與直線共面，且加=也

33

C.直線AE與直線異面，且m=3D.直線4E與直線GF共面，且機(jī)=走

33

3.設(shè)“2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)/（九）=e'—二―1,若/⑷=1,貝ij/（—“）=（）

A.-1B.1C.3D.-3

4.若復(fù)數(shù)z滿足(1+謳=1+2"則|z|=()

V22「Vio

A.

222

5.已知定義在H上函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且/(l+x)+/(2—力=。，若=則

”1)+/⑵+〃3)++/(2020)=()

A.0B.1C.673D.674

51

6.函數(shù)/(%)=sin2x+—0<x<的值域?yàn)?)

372

A.B.C.[0,1]D.

4』4°

7.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，為該拋物線上一點(diǎn)，以“為圓心的圓與。的準(zhǔn)線

相切于點(diǎn)A,ZAMF=120°,則拋物線方程為()

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x

22

8.若雙曲線E：L—上=1(m〃>0)繞其對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)g后可得某一函數(shù)的圖象，則￡的離心率等于()

mn3

A.B.6C.2或3^D.2或6

33

9.設(shè)a,b,c為正數(shù)，貝！J"a+b>c"是>。2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不修要條件

l-r2

10.函數(shù)/(*)=一匚的圖象大致為()

11.函數(shù)/(x)=，*logjx|(0<a<l)的圖象的大致形狀是()

12.“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系，

共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019

年，我國對(duì)“一帶一路”沿線國家進(jìn)出口情況統(tǒng)計(jì)圖，下列描述錯(cuò)誤的是()

=的口目一運(yùn)口由“■"出口增1￡一龍口埸9

A.這五年，出口總額之和比進(jìn)口總額之和大

B.這五年，2015年出口額最少

C.這五年，2019年進(jìn)口增速最快

D.這五年，出口增速前四年逐年下降

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在長方體ABCD—中，AD=DDI=T,AB=5E,F,G分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在

平面A3C。內(nèi)，若直線，尸//平面E尸G,則線段2P長度的最小值是.

14.袋中裝有兩個(gè)紅球、三個(gè)白球，四個(gè)黃球，從中任取四個(gè)球，則其中三種顏色的球均有的概率為.

15.在區(qū)間［-6,2］內(nèi)任意取一個(gè)數(shù)5,則與恰好為非負(fù)數(shù)的概率是.

16.設(shè)/（九）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)％<0時(shí)，"力=2、+加（加為常數(shù)），若"I）',則實(shí)數(shù)的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在長方體A3。一4月GA中，43=230=244=4,E為4。的中點(diǎn)，N為8C的中點(diǎn)，

〃為線段G2上一點(diǎn)，且滿足尸為加。的中點(diǎn).

（1）求證：EF〃平面4。。；

（2）求二面角N—AC—E的余弦值.

18.（12分）已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)尸（0，。），（。>0）關(guān)于直線l:x-y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)為M,S.\FM\=372.

若點(diǎn)P為C的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作C的兩條切線K4,PB,其中48為切點(diǎn).

（1）求拋物線。的方程；

（2）求證：直線恒過定點(diǎn)，并求鉆面積的最小值.

19.（12分）某機(jī)構(gòu)組織的家庭教育活動(dòng)上有一個(gè)游戲，每次由一個(gè)小孩與其一位家長參與，測試家長對(duì)小孩飲食習(xí)

慣的了解程度.在每一輪游戲中，主持人給出A,B,C,。四種食物，要求小孩根據(jù)自己的喜愛程度對(duì)其排序，然后

由家長猜測小孩的排序結(jié)果.設(shè)小孩對(duì)四種食物排除的序號(hào)依次為XAXBXCXD,家長猜測的序號(hào)依次為其中

XAXBXCXD和明叫:了。。都是1,2,3,4四個(gè)數(shù)字的一種排列.定義隨機(jī)變量X=（XA-JA）2+（切-股）2+（xc-jc）2+

（切-"）2,用X來衡量家長對(duì)小孩飲食習(xí)慣的了解程度.

（1）若參與游戲的家長對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解.

(i)求他們?cè)谝惠営螒蛑?，?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率；

(ii)求X的分布列(簡要說明方法，不用寫出詳細(xì)計(jì)算過程)；

(2)若有一組小孩和家長進(jìn)行來三輪游戲，三輪的結(jié)果都滿足XV4,請(qǐng)判斷這位家長對(duì)小孩飲食習(xí)慣是否了解，說

明理由.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=e*+sinx-ox2-2x.

(1)當(dāng)。=0時(shí)，判斷/(x)在［0,+8)上的單調(diào)性并加以證明；

(2)若龍之0,/(%)>1,求。的取值范圍.

21.(12分)在一ABC中，角A,瓦。所對(duì)的邊分別為q,b,c,sin2A+sin2B+sinAsinB=2csinC,ABC的面積

S=abc?

(I)求角c；

(2)求ABC周長的取值范圍.

冗

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=sin2元+sinxcos(九---).

6

(1)求函數(shù)大力的最小正周期；

(2)求在0,-上的最大值和最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得；

【詳解】

sin(-x)+(-x)2cos(-x)sinxX1cosx

解：依題意，f(—X)=-----+=/(%),故函數(shù)/(X)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸

—X20X20

對(duì)稱，排除G

jrTT

而/(〃)=—太<0,排除B；y(2^-)=y>0,排除D.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

連接防，AG，G。，DF,由正四棱柱的特征可知防尸4G，再由平面的基本性質(zhì)可知，直線4E與直線GP共

面.，同理易得A與CQ,由異面直線所成的角的定義可知，異面直線A4與GE所成角為/DGE，然后再利用

余弦定理求解.

【詳解】

如圖所示:

AEB

連接EE,AG，C[D,DF,由正方體的特征得跖P4G，

所以直線AE與直線G歹共面.

由正四棱柱的特征得AgC}D,

所以異面直線A片與qp所成角為/DGF.

設(shè)A4,=拒，貝！IAB=應(yīng)⑨=2,則DF=6，C1F=6Cp=&,

由余弦定理，得〃？=cosN￡>C/="二一5

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì)，還考查了推理論證和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

3、D

【解析】

利用/(a)與/(—。)的關(guān)系，求得了(—。)的值.

【詳解】

依題意/(a)=—1=1,e"—〃=2,

所以/(-a)=-e"-]=-(e"-e-")-1=—2—1=—3

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

4、C

【解析】

1313

化簡得到彳=-彳+7，，z=----z,再計(jì)算復(fù)數(shù)模得到答案.

2222

【詳解】

故彳=產(chǎn)(l+2z)(l+z)—1+3，13.

(l+i)z=l+2i,----=--1—I

l+i(i+O(i-O222

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的化簡，共朝復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

5、B

【解析】

由題知“X)為奇函數(shù)，且/(l+x)+/(2-x)=O可得函數(shù)/(%)的周期為3,分別求出

/(O)=O,/(1)=L/(2)=-1,知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的和是0,利用函數(shù)周期性對(duì)所求式子進(jìn)行化簡可得.

【詳解】

因?yàn)椤?為奇函數(shù)，故"0)=0；

因?yàn)?(l+x)+/(2—X)=0,故/(l+x)=—y(2—%)=/(%—2),

可知函數(shù)/(%)的周期為3；

在/(l+x)+/(2—%)=。中,令％=1,故〃2)=—〃1)=-L,

故函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值和為0,

故/(1)+/(2)+/(3)++/(2020)=/(I)=1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用

奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.

6、A

【解析】

由xe計(jì)算出2x+工的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)y=/(x)的值域.

【詳解】

八5萬]石1.(?1

L12j3L36J2I3)

因此,函數(shù)/(x)=sin[2x+m1[o<xw/|的值域?yàn)?j-,1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解，解答的關(guān)鍵就是求出對(duì)象角的取值范圍，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、C

【解析】

根據(jù)拋物線方程求得"點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)MA//X軸、/4MF=120。列方程，解方程求得夕的值.

【詳解】

不妨設(shè)M在第一象限，由于〃在拋物線上，所以由于以〃為圓心的圓與C的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)A,根據(jù)

拋物線的定義可知，|肱4|=|凹、MA//x軸，且產(chǎn)已0；由于N/M=120。，所以直線板的傾斜角e為120,

所以％=tanl20=田)=一百，解得。=3,或p=g(由于g"<0,p>l,故舍去).所以拋物線的方程

為/=6%.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查拋物線的定義，考查直線的斜率，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

8、C

【解析】

由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為60，所以2=石或走，由離心率公式

a3

I胃丫

e=1+-即可算出結(jié)果.

【詳解】

由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為60,又雙曲線的焦點(diǎn)既可在x軸，又可在y

軸上，所以：=6或g,.、=/+及；=2或用

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，函數(shù)的概念，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

9、B

【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：a,b,c為正數(shù)，

，當(dāng)a=2,b=2,c=3時(shí)，滿足a+b>c,但/+萬2>不成立，即充分性不成立,

221

若〃2+/>/,則(。+6)2>c,即(Q+Z?)2>C+2ab>c,

即"bf>后，即a+A>c,成立，即必要性成立，

則“a+"c”是+/>°2”的必要不充分條件，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

10、D

【解析】

根據(jù)函數(shù)為非偶函數(shù)可排除兩個(gè)選項(xiàng)，再根據(jù)特殊值/(2)可區(qū)分剩余兩個(gè)選項(xiàng).

【詳解】

1-r2

因?yàn)?(-x)=L4#(x)知/(x)的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱，排除選項(xiàng)B,C.

—X

1-43

又｛2)=一1=7<。?排除A,故選D.

ee~

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)圖象的對(duì)稱性及特值法區(qū)分函數(shù)圖象，屬于中檔題.

11、C

【解析】

對(duì)x分類討論，去掉絕對(duì)值，即可作出圖象.

【詳解】

x<-l,

logfl(-x),

[0g小1=10go—1<x<0,

log/,x>0.

故選C.

【點(diǎn)睛】

識(shí)圖常用的方法

⑴定性分析法：通過對(duì)問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題;

⑵定量計(jì)算法：通過定量的計(jì)算來分析解決問題；

(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題.

12、D

【解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)的含義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

對(duì)A項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年出口額和進(jìn)口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進(jìn)口額，則A正確;

對(duì)B項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年出口額最少，則B正確；

對(duì)C項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2019年進(jìn)口增速都超過其余年份，則C正確；

對(duì)D項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯(cuò)誤；

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、—

2

【解析】

如圖，連接2AAe證明平面AC，//平面E尸G.因?yàn)橹本€。尸//平面E尸G,所以點(diǎn)尸在直線AC上.當(dāng)

2P，AC時(shí).線段4P的長度最小，再求此時(shí)的2P得解.

【詳解】

如圖，連接2AAe

因?yàn)镋,F,G分別為A3,BC,GA的中點(diǎn),

所以AC//E尸，跖a平面AC2，

則EE//平面AC，.因?yàn)镋GHAD,,

所以同理得EG//平面AC。1，又EFEG=E.

所以平面ACDJ/平面EFG.

因?yàn)橹本€。P//平面EFG,所以點(diǎn)尸在直線AC上.

在中，妝="心2,—(x0x

幣

故當(dāng)。pJ.AC時(shí).線段2P的長度最小，最小值為I2—=".

—x2之

2

故答案為：昱

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

4

14、-

7

【解析】

基本事件總數(shù)n=C^=126,其中三種顏色的球都有包含的基本事件個(gè)數(shù)m=+C；C；C；+=72,由此

能求出其中三種顏色的球都有的概率.

【詳解】

解：袋中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黃球，從中任取4個(gè)球，

基本事件總數(shù)"=C；=126,

其中三種顏色的球都有，可能是2個(gè)紅球，1個(gè)白球和1個(gè)黃球或1個(gè)紅球，2個(gè)白球和1個(gè)黃球或1個(gè)紅球，1個(gè)白

球和2個(gè)黃球，

所以包含的基本事件個(gè)數(shù)m=C\C\Cl+C\ClC\+ClC\C\=72,

vn724

...其中三種顏色的球都有的概率是P=—=k=—.

n1267

4

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

1

15、-

4

【解析】

先分析非負(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的區(qū)間長度，然后根據(jù)幾何概型中的長度模型，即可求解出“X。恰好為非負(fù)數(shù)”的概率.

【詳解】

當(dāng)無。是非負(fù)數(shù)時(shí)，/e[0,2],區(qū)間長度是2—0=2,

又因?yàn)閇-6,2]對(duì)應(yīng)的區(qū)間長度是2-(-6)=8,

所以“X。恰好為非負(fù)數(shù)”的概率是P41

o4

故答案為：一.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型中的長度模型，難度較易.解答問題的關(guān)鍵是能判斷出目標(biāo)事件對(duì)應(yīng)的區(qū)間長度.

16、1

【解析】

根據(jù)/(九)為定義在R上的偶函數(shù)，得"1)=〃T),再根據(jù)當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=2v+m(加為常數(shù))求解.

【詳解】

因?yàn)?(%)為定義在R上的偶函數(shù)，

所以〃1)=〃T),

又因?yàn)楫?dāng)尤<0時(shí)，f(x)=2x+m,

所以F(l)=/(T)=2T+m=￡,

所以實(shí)數(shù)力的值為L

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析(2)—

35

【解析】

(1)解法一：作的中點(diǎn)〃，連接EH,EH.利用三角形的中位線證得利用梯形中位線證得

由此證得平面ADC〃平面EHF,進(jìn)而證得Ef7/平面4DC.解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，通過證明直線政的方

向向量和平面ADC的法向量垂直，證得所〃平面ADC.

(2)利用平面4CN和平面4歹。法向量，計(jì)算出二面角N-4C-E的余弦值.

【詳解】

(1)法一：作OQ的中點(diǎn)〃，連接見，切.又￡為4。的中點(diǎn)，,即為例。2的中位線，二￡〃〃4。，又

斤為的中點(diǎn)，...為梯形D.DCM的中位線，,FH//CD，在平面4。。中，4。CD=D,在平面EHF

中，EH=.?.平面[DC〃平面E7/F,又EFu平面EHF,；?EF〃平面&DC.

另解：(法二)???在長方體A3CD-A4C。中，DA,DC,兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z如

圖所示,

則。(0,0,0),A(2,0,0),5(2,4,0),

C(0,4,0),。(0,0,2),AQ,0,2),

4(2,4,2),￡(0,4,2),￡(1,0,2),

N(l,4,0),M(0,3,2),rfo,1,lj

(1)設(shè)平面4。。的一個(gè)法向量為加=(x,y,z),

fm-AD=0[(x,y,z)?(-2,0,-2)=0[x+z=0

則〈='='，

m?\C=0[(x,y,2)?(-2,4,-2)=0[x-2y+z=Q

令x=l,貝(lz=-1,y=。.???加=(1,0,-1),又E/=1—I,],—1,

?；EFm=0,EFl.m，又跖(Z平面￡尸〃平面

(2)設(shè)平面A0N的一個(gè)法向量為〃=(玉,％,馬),

]〃?AN=0f(x,y,z)-(-l,4,-2)=0x-4y+2z=0

111=＞《

人n-A^C=0(玉，％*])?(—2,4,—2)=0x-2y+z=0

令y=l,則z=2,x=O.Azz=(0,l,2).

同理可算得平面\FC的一個(gè)法向量為嗎=(3,2,1)

2^/70

35

又由圖可知二面角N-A.C-F的平面角為一個(gè)鈍角，

故二面角D-A.C-N的余弦值為一獨(dú)。.

35

【點(diǎn)睛】

本小題考查線面的位置關(guān)系，空間向量與線面角，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，推理論證能力，運(yùn)算求解

能力，數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.

18、(1)x2=4y(2)見解析，最小值為4

【解析】

(1)根據(jù)焦點(diǎn)尸到直線/的距離列方程，求得。的值，由此求得拋物線的方程.

(2)設(shè)出A,B,P的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線PA,PB的方程，由此判斷出直線AB恒過拋物線焦點(diǎn)F.求得三角形PAB

面積的表達(dá)式，進(jìn)而求得面積的最小值.

【詳解】

(1)依題意一二21=羋,解得。=1(負(fù)根舍去)

A/22

...拋物線C的方程為好=4>

(2)設(shè)點(diǎn)A(項(xiàng),弘),8(范,、2),尸由尤2=4y,

即得=

二拋物線C在點(diǎn)A處的切線的方程為y-%=](》-xj,

即■無+%一：尤;

1

???%=1x；,y=mXX-%點(diǎn)尸億—1)在切線PA±.，

-1=jr-%①，同理，-l=￡t-%②

綜合①、②得，點(diǎn)4(4%),5(9，%)的坐標(biāo)都滿足方程-1=卞-%

即直線AB：y=gx+l恒過拋物線焦點(diǎn)/(0,1)

當(dāng)t=0時(shí)，此時(shí)P(0,—l),可知：PF±AB

2

當(dāng)twO,此時(shí)直線。戶直線的斜率為原尸=-：，得

于是S△即^-\PF\-\AB\,而IPF1=?—0)2+(—1—I)2〃+4

把直線y=”l代入爐=分中消去x得/一(2+/卜+1=0

222

AB=|y1+y2+2|=4+/,即：5=|(4+r)^477=|(4+r)^

當(dāng)t=0時(shí)，S"B最小，且最小值為4

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查拋物線方程的求法，考查拋物線的切線方程的求法，考查直線過定點(diǎn)問題，

考查拋物線中三角形面積的最值的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.

19、(l)(i)[(ii)分布表見解析；(2)理由見解析

O

【解析】

(1)(0若家長對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解，則家長對(duì)小孩的排序是隨意猜測的，家長的排序有用=24種等可

能結(jié)果，利用列舉法求出其中滿足“家長的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，由此能求出他們?cè)谝惠営?/p>

戲中，對(duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率.

(ii)根據(jù)(i)的分析，同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況，家長的排序一共有24種情況，由此能求出X的分布列.

(2)假設(shè)家長對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，在一輪游戲中，P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=7,三輪游戲結(jié)果

都滿足“XV4”的概率為▲</一,這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小，從而這位家長對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解.

2161000

【詳解】

(1)(i)若家長對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解，

則家長對(duì)小孩的排序是隨意猜測的，

先考慮小孩的排序?yàn)閄B,XC,XD為1234的情況，家長的排序有『=24種等可能結(jié)果，

其中滿足“家長的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，分別為：

2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,

93

二家長的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率=-.

248

基小孩對(duì)四種食物的排序是其他情況，

只需將角標(biāo)A,B,C,O按照小孩的順序調(diào)整即可，

假設(shè)小孩的排序XA,XB,XC,m為1423的情況，四種食物按1234的排列為ACZ>3,

再研究yAyBycyD的情況即可，其實(shí)這樣處理后與第一種情況的計(jì)算結(jié)果是一致的，

.??他們?cè)谝惠営螒蛑校瑢?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率為9.

O

(?)根據(jù)⑴的分析，同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況，家長的排序一共有24種情況,

列出所有情況，分別計(jì)算每種情況下的x的值，

X的分布列如下表：

X02468101214161820

1111111]_111

P

248246121212624824

(2)這位家長對(duì)小孩的飲食習(xí)慣比較了解.

理由如下：

假設(shè)家長對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，由(D可知，在一輪游戲中，

P(XV4)=P(X=0)+P(X=2)=-,

6

三輪游戲結(jié)果都滿足“X<4”的概率為(3)3=」<熹，

這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小，

.?.這位家長對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

20、(1)/'(X)在［0,+8)為增函數(shù)；證明見解析(2)

【解析】

⑴令g(x)=/'(x)="+cosx-2,求出g'(x),可推得g(x)20,故/Xx)在［0,+8)為增函數(shù)；

(2)令g(x)=7'(x),貝!Jg'(x)=e'-sinx-2a,由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

(1)當(dāng)〃=0時(shí)，/"(x)=ex+cosx-2.

記g(x)=/'(%),貝！Ig'(%)=e"—sin%,

x

當(dāng)x20時(shí)，e>19-l<sinx<l.

所以g'(x)=e、—sinxNO,所以g?)在［0,+s)單調(diào)遞增，所以g(x)2g(0)=0.

因?yàn)間(x)=/'(x)，所以/'(x)2。，所以f(x)在［0,+8)為增函數(shù).

(2)由題意，W/'(x)=ex+cosx-2ax-2,記g(x)=/'(%),貝!)g'(%)=e"-sin%-2〃，

令/z(x)=g'(%),貝(Ihr(x)=ex-cosx,

當(dāng)x20時(shí)，ex>1,所以〃(%)=e"-cos%20,

所以Mx)在［0,y)為增函數(shù)，即g［x)="-sinX-2a在［0,+<?)單調(diào)遞增，

所以g'(x)>g'(0)=e°-sin0-2a=1-2a.

①當(dāng)1—2a?0,a<1,g'(x)?0恒成立，所以g(x)為增函數(shù)，即/'(x)在［0,+s)單調(diào)遞增,

又/'(0)=。，所以/'(x)20,所以/Xx)在［0,+8)為增函數(shù)，所以/(x)N/(0)=l

所以。三工滿足題意.

2

②當(dāng)a〉g,g'(0)=1—2a<0,令M(X)=e"-x-l,x>Q,

因?yàn)椋?gt;0,所以/(x)=e<l>0,故為了)在(0,+8)單調(diào)遞增,

故a(x)>〃(0)=0,即e*>x+l.

故g'(2a)=e2fl-sin2?-2a>2a+1-sin2a-2a>0,

又g'(x)=e*-sinx-2a在(0,+°o)單調(diào)遞增，

由零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一實(shí)數(shù)加6(0,+8),g'(m)=0,

當(dāng)xe(0,m)時(shí)，g'(x)<0,g(九)單調(diào)遞減，即/'(X)單調(diào)遞減，

所以廣(九)<廣