專題20 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與面積問題）（原卷版）

專題20二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與面積問題）1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點（點A在點的左側(cè)），直線是對稱軸．點在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4，連接，過點作，垂足為，以點為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點為．

(1)求點的坐標(biāo)；(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過點，求長的取值范圍．2．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點是坐標(biāo)原點，拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線．(1)求的值；(2)已知點在拋物線上，點的橫坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為．過點作軸的垂線交直線于點，過點作軸的垂線交直線于點．（?。┊?dāng)時，求與的面積之和；（ⅱ）在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點，使得以為頂點的四邊形的面積為？若存在，請求出點的橫坐標(biāo)的值；若不存在，請說明理由．3．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，拋物線經(jīng)過點，，對稱軸過點，，直線過點，且垂直于軸．過點的直線交拋物線于點、，交直線于點，其中點、Q在拋物線對稱軸的左側(cè)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；(3)如圖2，當(dāng)點恰好在軸上時，為直線下方的拋物線上一動點，連接、，其中交于點，設(shè)的面積為，的面積為．求的最大值．4.（2022·江蘇連云港）已知二次函數(shù)，其中．(1)當(dāng)該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點，求此時函數(shù)圖像的頂點的坐標(biāo)；(2)求證：二次函數(shù)的頂點在第三象限；(3)如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點在直線上運動，平移后所得函數(shù)的圖像與軸的負(fù)半軸的交點為，求面積的最大值．5．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點．

(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點是直線上方拋物線上一點，求出的最大面積及此時點的坐標(biāo)；(3)若點是拋物線對稱軸上一動點，點為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，是否存在以為邊，點為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6.（2021·湖北中考真題）如圖，直線與，軸分別交于，，頂點為的拋物線過點．（1）求出點，的坐標(biāo)及的值；（2）若函數(shù)在時有最大值為，求的值；（3）連接，過點作的垂線交軸于點．設(shè)的面積為．①直接寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及的取值范圍；②結(jié)合與的函數(shù)圖象，直接寫出時的取值范圍．7．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐問題提出：某興趣小組開展綜合實踐活動：在中，，D為上一點，，動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運動，到達(dá)點A時停止，以為邊作正方形設(shè)點P的運動時間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系

(1)初步感知：如圖1，當(dāng)點P由點C運動到點B時，①當(dāng)時，_______．②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．(2)當(dāng)點P由點B運動到點A時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長．(3)延伸探究：若存在3個時刻（）對應(yīng)的正方形的面積均相等．①_______；②當(dāng)時，求正方形的面積．8．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．O為坐標(biāo)原點，．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求四邊形的面積；(3)P是拋物線上的一點，且在第一象限內(nèi)，若，求P點的坐標(biāo)．9.（2021·福建中考真題）已知拋物線與x軸只有一個公共點．（1）若拋物線過點，求的最小值；（2）已知點中恰有兩點在拋物線上．①求拋物線的解析式；②設(shè)直線l：與拋物線交于M，N兩點，點A在直線上，且，過點A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和于點B，C．求證：與的面積相等．10．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點A，經(jīng)過點A的直線與該函數(shù)圖象交于點，與軸交于點C．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式及點C的坐標(biāo)；(2)點是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點作直線軸于點，與直線交于點D，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)時，求的值；②當(dāng)點在直線上方時，連接，過點作軸于點，與交于點，連接．設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值．11.（2021·廣西中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：交x軸于兩點，與y軸交于點．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖1，點D為第四象限拋物線上一點，連接，過點B作，垂足為E，若，求點D的坐標(biāo)；（3）如圖2，點M為第四象限拋物線上一動點，連接，交于點N，連接，記的面積為，的面程為，求的最大值．12．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C，連接AC，BC.點P是x軸上任意一點．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點Q在拋物線上，若以點A，C，P，Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐標(biāo)；(3)如圖②，當(dāng)點從點A出發(fā)沿x軸向點B運動時（點P與點A，B不重合），自點P分別作，交AC于點E，作，垂足為點D．當(dāng)m為何值時，面積最大，并求出最大值．13.（2021·山東中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線交軸于，兩點，交軸于點．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點為第四象限內(nèi)拋物線上一點，連接，過點作交軸于點，連接，求面積的最大值及此時點的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將拋物線向右平移經(jīng)過點時，得到新拋物線，點在新拋物線的對稱軸上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點，使得以、、、為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．參考：若點、，則線段的中點的坐標(biāo)為．14．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個公共點，且，則的值是___________；(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個公共點，，并與動直線交于點，連接，，，，其中交軸于點，交于點．設(shè)的面積為，的面積為．①當(dāng)點為拋物線頂點時，求的面積；②探究直線在運動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．15.（2021·湖北中考真題）拋物線（）與軸相交于點，且拋物線的對稱軸為，為對稱軸與軸的交點．（1）求拋物線的解析式；（2）在軸上方且平行于軸的直線與拋物線從左到右依次交于、兩點，若是等腰直角三角形，求的面積；（3）若是對稱軸上一定點，是拋物線上的動點，求的最小值（用含的代數(shù)式表示）．16．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線交軸于兩點，為拋物線的頂點，為拋物線上不與重合的相異兩點，記中點為，直線的交點為．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若，且，求證：三點共線；(3)小明研究發(fā)現(xiàn)：無論在拋物線上如何運動，只要三點共線，中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．17.（2021·黑龍江中考真題）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接BC，，對稱軸為，點D為此拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上C，D兩點之間的距離是__________；（3）點E是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接BE和CE．求面積的最大值；（4）點P在拋物線對稱軸上，平面內(nèi)存在點Q，使以點B、C、P、Q為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出點Q的坐標(biāo)．18．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，求周長的最小值；(3)如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時，求點P的坐標(biāo)，并求出此時S的最大值．19.（2020?武威）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣2交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，且OA＝2OC＝8OB．點P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動點．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）若PC∥AB，求點P的坐標(biāo)；（3）連接AC，求△PAC面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)．20．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點為坐標(biāo)原點，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點．點的坐標(biāo)為，點在該拋物線上，橫坐標(biāo)為．其中．

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點坐標(biāo)；(2)當(dāng)點在軸上時，求點的坐標(biāo)；(3)該拋物線與軸的左交點為，當(dāng)拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點與最低點的縱坐標(biāo)之差為時，求的值．(4)當(dāng)點在軸上方時，過點作軸于點，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個交點（不包括四邊形的頂點），設(shè)這兩個交點分別為點、點，線段的中點為．當(dāng)以點、、、（或以點、、、）為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的的值．21.（2020?樂山）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，C為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸交x軸于點D，連結(jié)BC，且tan∠CBD=4（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一個動點．①過點P作x軸的平行線交線段BC于點E，過點E作EF⊥PE交拋物線于點F，連結(jié)FB、FC，求△BCF的面積的最大值；②連結(jié)PB，求3522.（2019·海南）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過A（–5，0），B（–4，–3）兩點，與x軸的另一個交點為C，頂點為D，連結(jié)CD．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點P為該拋物線上一動點（與點B、C不重合），設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t．①當(dāng)點P在直線BC的下方運動時，求△PBC的面積的最大值；②該拋物線上是否存在點P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．23.（2019?廣西南寧）如果拋物線C1的頂點在拋物線C2上，拋物線C2的頂點也在拋物線C1上時，那么我們稱拋物線C1與C2“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．如圖1，已知拋物線C1：y1=x2+x與C2：y2=ax2+x+c是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點A，B分別是拋物線C1，C2的頂點，拋物線C2經(jīng)過點D（6，–1）．（1）直接寫出A，B的坐標(biāo)和拋物線C2的解析式；（2）拋物線C2上是否存在點E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，請求出點E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）如圖2，點F（–6，3）在拋物線C1上，點M，N分別是拋物線C1，C2上的動點，且點M，N的橫坐標(biāo)相同，記△AFM面積為S1（當(dāng)點M與點A，F(xiàn)重合時S1=0），△ABN的面積為S2（當(dāng)點N與點A，B重合時，S2=0），令S=S1+S2，觀察圖象，當(dāng)y1≤y2時，寫出x的取值范圍，并求出在此范圍內(nèi)S的最大值．24．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點P到定點的距離，始終等于它到定直線l：的距離（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線l與y軸的交點為H．其中原點O為的中點，．例如，拋物線，其焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為l：，其中，．

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】(1)請分別直接寫出拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：___________，___________；【技能訓(xùn)練】(2)如圖2，已知拋物線上一點到焦點F的距離是它到x軸距離的3倍，求點P的坐標(biāo)；【能力提升】(3)如圖