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2023-2024學(xué)年甘肅省武威第十八中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.如圖,長(zhǎng)方體中,,,,分別過,的兩個(gè)平行截面將長(zhǎng)方體分成三個(gè)部分,其體積分別記為,,,.若,則截面的面積為()A. B. C. D.2.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A. B. C. D.3.在正方體中,,分別為棱,的中點(diǎn),則異面直線與所成的角為A. B. C. D.4.在中,,,則()A. B. C. D.5.已知,且,把底數(shù)相同的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)稱為(或)的“亮點(diǎn)”.當(dāng)時(shí),在下列四點(diǎn),,,中,能成為的“亮點(diǎn)”有()A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)6.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則()A.63 B.62 C.61 D.607.某公司計(jì)劃在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告,廣告費(fèi)用不超過9萬元,甲、乙電視臺(tái)的廣告費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別是500元/分鐘和200元/分鐘,假設(shè)甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司做的廣告能給公司帶來的收益分別為0.4萬元/分鐘和0.2萬元/分鐘,那么該公司合理分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間,能使公司獲得最大的收益是()萬元A.72 B.80 C.84 D.908.函數(shù)的最小正周期是()A. B. C. D.9.己知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別內(nèi),,若,則數(shù)列中最小項(xiàng)的值為()A. B.24 C.6 D.710.圓與直線的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切 C.相離 D.直線過圓心二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知與的夾角為,,,則________.12.在中,三個(gè)角所對(duì)的邊分別為.若角成等差數(shù)列,且邊成等比數(shù)列,則的形狀為_______.13.若直線:與直線的交點(diǎn)位于第一象限,則直線的傾斜角的取值范圍是___________.14.函數(shù)的最小正周期是________.15.設(shè)表示不超過的最大整數(shù),則________16.若是三角形的內(nèi)角,且,則等于_____________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè),是數(shù)列的前項(xiàng)和,求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù).18.在四棱錐中,底面,,,,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn).(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.19.在等差數(shù)列中,,,等比數(shù)列中,,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20.某校為創(chuàng)建“綠色校園”,在校園內(nèi)種植樹木,有A、B、C三種樹木可供選擇,已知這三種樹木6年內(nèi)的生長(zhǎng)規(guī)律如下:A樹木:種植前樹木高0.84米,第一年能長(zhǎng)高0.1米,以后每年比上一年多長(zhǎng)高0.2米;B樹木:種植前樹木高0.84米,第一年能長(zhǎng)高0.04米,以后每年生長(zhǎng)的高度是上一年生長(zhǎng)高度的2倍;C樹木:樹木的高度(單位:米)與生長(zhǎng)年限(單位:年,)滿足如下函數(shù):(表示種植前樹木的高度,?。?)若要求6年內(nèi)樹木的高度超過5米,你會(huì)選擇哪種樹木?為什么?(2)若選C樹木,從種植起的6年內(nèi),第幾年內(nèi)生長(zhǎng)最快?21.已知分別是數(shù)列的前項(xiàng)和,且.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】
解:由題意知,截面是一個(gè)矩形,并且長(zhǎng)方體的體積V=6×4×3=72,∵V1:V2:V3=1:4:1,∴V1=VAEA1-DFD1=×72=12,則12=×AE×A1A×AD,解得AE=2,在直角△AEA1中,EA1=故截面的面積是EF×EA1=42、C【解析】
分別將選項(xiàng)中的區(qū)間端點(diǎn)值代回,利用零點(diǎn)存在性定理判斷即可【詳解】由題函數(shù)單調(diào)遞增,,,則,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間,屬于基礎(chǔ)題3、A【解析】
如圖做輔助線,正方體中,且,P,M為和中點(diǎn),,則即為所求角,設(shè)邊長(zhǎng)即可求得.【詳解】如圖,取的中點(diǎn),連接,,.因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn),為的中點(diǎn),所以,所以,則是異面直線與所成角的平面角.設(shè),在中,,,則,即.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角,解題關(guān)鍵在于構(gòu)造包含異面直線所成角的三角形.4、A【解析】
本題首先可根據(jù)計(jì)算出的值,然后根據(jù)正弦定理以及即可計(jì)算出的值,最后得出結(jié)果。【詳解】因?yàn)?,所?由正弦定理可知,即,解得,故選A。【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)解三角形的相關(guān)公式計(jì)算的值,考查同角三角函數(shù)的相關(guān)公式,考查正弦定理的使用,是簡(jiǎn)單題。5、C【解析】
利用“亮點(diǎn)”的定義對(duì)每一個(gè)點(diǎn)逐一分析得解.【詳解】由題得,,由于,所以點(diǎn)不在函數(shù)f(x)的圖像上,所以點(diǎn)不是“亮點(diǎn)”;由于,所以點(diǎn)不在函數(shù)f(x)的圖像上,所以點(diǎn)不是“亮點(diǎn)”;由于,所以點(diǎn)在函數(shù)f(x)和g(x)的圖像上,所以點(diǎn)是“亮點(diǎn)”;由于,所以點(diǎn)在函數(shù)f(x)和g(x)的圖像上,所以點(diǎn)是“亮點(diǎn)”.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算,考查指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?,,成等比?shù)列,即3,12,成等比數(shù)列,所以,解得.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)與前項(xiàng)和的計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力.7、B【解析】
設(shè)公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間分別為分鐘,總收益為元,根據(jù)題意得到約束條件,目標(biāo)函數(shù),平行目標(biāo)函數(shù)圖象找到在縱軸上截距最大時(shí)所經(jīng)過的點(diǎn),把點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中即可.【詳解】設(shè)公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間分別為分鐘,總收益為元,則由題意可得可行解域:,目標(biāo)函數(shù)為可行解域化簡(jiǎn)得,,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),畫出可行解域,如下圖所示:作直線,即,平行移動(dòng)直線,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值,聯(lián)立,解得,所以點(diǎn)坐標(biāo)為,因此目標(biāo)函數(shù)最大值為,故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用線性規(guī)劃知識(shí)解決實(shí)際問題的能力,正確列出約束條件,畫出可行解域是解題的關(guān)鍵.8、A【解析】
作出函數(shù)的圖象可得出該函數(shù)的最小正周期?!驹斀狻孔鞒龊瘮?shù)的圖象如下圖所示,由圖象可知,函數(shù)的最小正周期為,故選:A?!军c(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)周期的求解,一般而言,三角函數(shù)最小正周期的求解方法有如下幾種:(1)定義法:即;(2)公式法:當(dāng)時(shí),函數(shù)或的最小正周期為,函數(shù)最小正周期為;(3)圖象法。9、D【解析】
根據(jù)兩個(gè)數(shù)列的單調(diào)性,可確定數(shù)列,也就確定了其中的最小項(xiàng).【詳解】由已知數(shù)列是遞增數(shù)列,數(shù)列是遞減數(shù)列,且計(jì)算后知,又,∴數(shù)列中最小項(xiàng)的值是1.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性,數(shù)列的最值.解題時(shí)依據(jù)題意確定大小即可.本題難度一般.10、B【解析】
求出圓心到直線的距離與半徑比較.【詳解】圓的圓心是,半徑為1,圓心到直線即的距離為,直線與圓相切.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓人位置關(guān)系,判斷方法是:利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系判斷.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、3【解析】
將平方再利用數(shù)量積公式求解即可.【詳解】因?yàn)?故.化簡(jiǎn)得.因?yàn)?,?故答案為:3【點(diǎn)睛】本題主要考查了模長(zhǎng)與數(shù)量積的綜合運(yùn)用,經(jīng)常利用平方去處理.屬于基礎(chǔ)題.12、等邊三角形【解析】
分析:角成等差數(shù)列解得,邊成等比數(shù)列,則,再根據(jù)余弦定理得出的關(guān)系式.詳解:角成等差數(shù)列,則解得,邊成等比數(shù)列,則,余弦定理可知故為等邊三角形.點(diǎn)睛:判斷三角形形狀,是根據(jù)題意推導(dǎo)邊角關(guān)系的恒等式.13、【解析】若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限,如圖所示:則兩直線的交點(diǎn)應(yīng)在線段上(不包含點(diǎn)),當(dāng)交點(diǎn)為時(shí),直線的傾斜角為,當(dāng)交點(diǎn)為時(shí),斜率,直線的傾斜角為∴直線的傾斜角的取值范圍是.故答案為14、【解析】
根據(jù)函數(shù)的周期公式計(jì)算即可.【詳解】函數(shù)的最小正周期是.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了正切函數(shù)周期公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)1弧度約等于且正弦函數(shù)值域?yàn)?故可分別計(jì)算求和中的每項(xiàng)的正負(fù)即可.【詳解】故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題型.16、【解析】∵是三角形的內(nèi)角,且,∴故答案為點(diǎn)睛:本題是一道易錯(cuò)題,在上,,分兩種情況:若,則;若,則有兩種情況銳角或鈍角.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)10【解析】
解:(I)依題意得,即.當(dāng)n≥2時(shí),;當(dāng)所以.(II)由(I)得,故=.因此,使得<成立的m必須滿足,故滿足要求的最小正整數(shù)m為10.18、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)取中點(diǎn),連接,可得四邊形為平行四邊形.再證明平面得到,進(jìn)而得到即可.(2)利用等體積法,求出三棱錐的體積,進(jìn)而求得到平面的距離,再得出直線與平面所成角的正弦值即可.【詳解】(1)取中點(diǎn),連接,則.又,故.故四邊形為平行四邊形.故.又,故,又底面,平面,故.又,,故,又,故平面.又平面,故.又,,故(2)因?yàn)榈酌?故.又,,.故.設(shè)到平面的距離為,則,解得.故直線與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了線線垂直的證明以及利用等體積法求點(diǎn)到面的距離以及線面角的求解,需要根據(jù)題意利用線面線線垂直的判定與性質(zhì)證明,同時(shí)也需要在等體積法時(shí)求解對(duì)應(yīng)的面的面積等.屬于中檔題.19、(1),(2)【解析】
(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng),公差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng),公比即可.
(2)由用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】(1)在等差數(shù)列中,設(shè)首項(xiàng)為,公差為.由,有,解得:所以又設(shè)的公比為,由,,得所以.(2)…………………①……………②由①-②得所以【點(diǎn)睛】本題考查求等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和用錯(cuò)位相減法求和,屬于中檔題.20、(1)選擇C;(2)第4或第5年.【解析】
(1)根據(jù)已知求出三種樹木六年末的高度,判斷得解;(2)設(shè)為第年內(nèi)樹木生長(zhǎng)的高度,先求出,設(shè),則,.再利用分析函數(shù)的單調(diào)性,分析函數(shù)的圖像得解.【詳解】(1)由題意可知,A、B、C三種樹木隨著時(shí)間的增加,高度也在增加,6年末:A樹木的高度為(米):B樹木的高度為(米):C樹木的高度為(米),所以選擇C樹木.(2)設(shè)為第年內(nèi)樹木生長(zhǎng)的高度,則,所以,,.設(shè),則,.令,因?yàn)樵趨^(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),取得最小值,從而取得最大值,此時(shí),解得,因?yàn)?,,故的可能值?或4,又,,即.因此,種植后第4或第5年內(nèi)該樹木生長(zhǎng)最快.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列求和,考
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