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廣東省珠海市珠海二中、斗門一中2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.一個(gè)學(xué)校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)之比為2:3:5,若用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本,則應(yīng)從高三學(xué)生中抽取的人數(shù)為:A.100 B.80 C.60 D.402.若直線的傾斜角為,則的值為()A. B. C. D.3.化簡(jiǎn)的結(jié)果是()A. B. C. D.4.下列說法正確的是()A.命題“若,則.”的否命題是“若,則.”B.是函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增的充分不必要條件C.D.若命題,則5.根據(jù)頻數(shù)分布表,可以估計(jì)在這堆蘋果中,質(zhì)量大于130克的蘋果數(shù)約占蘋果總數(shù)的()分組頻數(shù)13462A. B. C. D.6.化簡(jiǎn)()A. B. C. D.7.如圖,是圓的直徑,,假設(shè)你往圓內(nèi)隨機(jī)撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率為()A. B. C. D.8.把一個(gè)已知圓錐截成個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)小圓錐,已知圓臺(tái)的上、下底面半徑之比為,母線長(zhǎng)為,則己知圓錐的母線長(zhǎng)為().A. B. C. D.9.如圖,為正方體,下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.異面直線與所成的角為45° B.平面C.平面平面 D.異面直線與所成的角為45°10.如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖,在這個(gè)正方體中①②③與為異面直線④以上四個(gè)命題中,正確的序號(hào)是()A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知三個(gè)事件A,B,C兩兩互斥且,則P(A∪B∪C)=__________.12.在上,滿足的的取值范圍是______.13.已知都是銳角,,則=_____14.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”,設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,面積為S,則“三斜公式”為.若,,則用“三斜公式”求得的面積為______.15.函數(shù)的定義域________.16.己知為數(shù)列的前項(xiàng)和,且,則_____.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為x.(1)求出其表面積S(x)和體積V(x);(2)設(shè),求出函數(shù)的定義域,并判斷其單調(diào)性(無需證明).18.如圖,在四棱錐P‐ABCD中,四邊形ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).求證:(1)PB∥平面AEC;(2)平面PCD⊥平面PAD.19.如圖,在中,點(diǎn)在邊上,,,.(1)求邊的長(zhǎng);(2)若的面積是,求的值.20.為了了解四川省各景點(diǎn)在大眾中的熟知度,隨機(jī)對(duì)歲的人群抽樣了人,回答問題“四川省有哪幾個(gè)著名的旅游景點(diǎn)?”統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表.組號(hào)分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第組第組第組第組第組(1)分別求出的值;(2)從第,,組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取人,求第,,組每組各抽取多少人?(3)通過直方圖求出年齡的眾數(shù),平均數(shù).21.已知直線l經(jīng)過點(diǎn),并且其傾斜角等于直線的傾斜角的2倍.求直線l的方程.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】
根據(jù)分層抽樣的方法,得到高三學(xué)生抽取的人數(shù)為,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,學(xué)校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)之比為2:3:5,采用分層抽樣的方法抽取容量為200的樣本,所以高三學(xué)生抽取的人數(shù)為人,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的應(yīng)用,其中解答中熟記分層抽樣的方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
根據(jù)題意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,將代入計(jì)算即可求出值.【詳解】由于直線的傾斜角為,所以,則故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.3、A【解析】
根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義,即可求解,得到答案.【詳解】根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義,可得,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的加法法則的應(yīng)用,其中解答中熟記平面向量的加法法則是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】“若p則q”的否命題是“若則”,所以A錯(cuò)。在定義上并不是單調(diào)遞增函數(shù),所以B錯(cuò)。不存在,C錯(cuò)。全稱性命題的否定是特稱性命題,D對(duì),選D.5、C【解析】
根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算出質(zhì)量大于130克的蘋果的頻率,由此得出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)頻數(shù)分布表可知,所以質(zhì)量大于克的蘋果數(shù)約占蘋果總數(shù)的.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查頻數(shù)分析表的閱讀與應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
減法先變?yōu)榧臃ǎ孟蛄康娜切畏▌t得到答案.【詳解】故答案選A【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加減法,屬于簡(jiǎn)單題.7、B【解析】
先根據(jù)條件計(jì)算出陰影部分的面積,然后計(jì)算出整個(gè)圓的面積,利用幾何概型中的面積模型即可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率.【詳解】設(shè)圓的半徑為,因?yàn)椋?,又因?yàn)?,所以落到陰影部分的概率?故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型中的面積模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用,難度較易.注意幾何概型的常見概率公式:.8、B【解析】
設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為,根據(jù)圓錐的軸截面三角形的相似性,通過圓臺(tái)的上、下底面半徑之比為來求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為,因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面半徑之比為,所以,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)體軸截面中的比例關(guān)系,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
根據(jù)正方體性質(zhì),依次證明線面平行和面面平行,根據(jù)直線的平行關(guān)系求異面直線的夾角.【詳解】根據(jù)正方體性質(zhì),,所以異面直線與所成的角等于,,,所以不等于45°,所以A選項(xiàng)說法不正確;,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,所以平面,所以B選項(xiàng)說法正確;同理可證:平面,是平面內(nèi)兩條相交直線,所以平面平面,所以C選項(xiàng)說法正確;,異面直線與所成的角等于,所以D選項(xiàng)說法正確.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查線面平行和面面平行的判定,根據(jù)平行關(guān)系求異面直線的夾角,考查空間線線平行和線面平行關(guān)系的掌握10、D【解析】
作出直觀圖,根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行判斷.【詳解】作出正方體得到直觀圖如圖所示:由直觀圖可知,與為互相垂直的異面直線,故①不正確;,故②正確;與為異面直線,故③正確;由正方體性質(zhì)可知平面,故,故④正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征,直線,平面的平行于垂直,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、0.9【解析】
先計(jì)算,再計(jì)算【詳解】故答案為0.9【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件的概率計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題型.12、【解析】
由,結(jié)合三角函數(shù)線,即可求解,得到答案.【詳解】如圖所示,因?yàn)?,所以滿足的的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值,以及三角函數(shù)線的應(yīng)用,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】
由已知求出,再由兩角差的正弦公式計(jì)算.【詳解】∵都是銳角,∴,又,∴,,∴.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正弦公式.考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系.解題關(guān)鍵是角的變換,即.這在三角函數(shù)恒等變換中很重要,即解題時(shí)要觀察“已知角”和“未知角”的關(guān)系,根據(jù)這個(gè)關(guān)系選用相應(yīng)的公式計(jì)算.14、【解析】
先由,根據(jù)余弦定理,求出,再由,結(jié)合余弦定理,求出,再由題意即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,因此;又,由余弦定理可得,所以,因?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形,熟記正弦定理與余弦定理即可,屬于??碱}型.15、.【解析】
根據(jù)反正弦函數(shù)的定義得出,解出可得出所求函數(shù)的定義域.【詳解】由反正弦的定義可得,解得,因此,函數(shù)的定義域?yàn)?,故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查反正弦函數(shù)的定義域,解題的關(guān)鍵就是正弦值域的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
根據(jù)可知,得到數(shù)列為等差數(shù)列;利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式構(gòu)造方程可求得;利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果.【詳解】由得:,即:數(shù)列是公差為的等差數(shù)列又,解得:本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,關(guān)鍵是能夠利用判斷出數(shù)列為等差數(shù)列,進(jìn)而利用等差數(shù)列中的相關(guān)公式來進(jìn)行求解.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2)x>,是減函數(shù).【解析】
(1)畫出圖形,分別求出四棱錐的高,及側(cè)面的高的表達(dá)式,即可求出表面積與體積的表達(dá)式;(2)結(jié)合表達(dá)式,可求出的范圍,即定義域,然后判斷其為減函數(shù).【詳解】(1)過點(diǎn)作平面的垂線,垂足為,取的中點(diǎn),連結(jié),因?yàn)闉檎睦忮F,所以,,,,所以四棱錐的表面積為,體積.(2),解得,是減函數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查了表面積與體積的計(jì)算,考查了學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.18、(1)詳證見解析;(2)詳證見解析.【解析】
(1)可通過連接交于,通過中位線證明和平行得證平面.(2)可通過正方形得證,通過平面得證,然后通過線面垂直得證面面垂直.【詳解】(1)證明:連交于O,因?yàn)樗倪呅问钦叫?所以,連,則是三角形的中位線,,平面,平面所以平面.(2)因?yàn)槠矫?所以,因?yàn)槭钦叫危?所以平面,所以平面平面.【點(diǎn)睛】證明線面平行可通過線線平行得證,證明面面垂直可通過線面垂直得證.19、(1)2;(2)【解析】
(1)設(shè),利用余弦定理列方程可得:,解方程即可(2)利用(1)中結(jié)果即可判斷為等邊三角形,即可求得中邊上的高為,再利用的面積是即可求得:,結(jié)合余弦定理可得:,再利用正弦定理可得:,問題得解【詳解】(1)在中,設(shè),則,由余弦定理得:即:解之得:,即邊的長(zhǎng)為2.(2)由(1)得為等邊三角形,作于,則∴,故在中,由余弦定理得:∴在中,由正弦定理得:,即:∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正、余弦定理解三角形,還考查了三角形面積公式的應(yīng)用及計(jì)算能力,屬于中檔題20、(1);(2)第組抽取人,第組抽取人,第組抽取人;(3)40,.【解析】
(1)由頻率分布表得第四組人數(shù)為25人,由頻率分布直方圖得第四組的頻率為0.25,從而求出.由此求出各組人數(shù),進(jìn)而能求出,,,的值.(2)由第2,3,4組回答正確的人分別有18、27、9人,從中用分層抽樣的方法抽取6人,由此能求出第2,3,4組每組各抽取多少人.(3)由頻率分布直方圖能求出年齡的眾數(shù),平均數(shù).【詳解】(1)由頻率分布表得第四組人數(shù)為:人,由頻率分布直方圖得第四組的頻率為,.第一組抽取的人數(shù)為:人,第二組抽取的人數(shù)為:人,第三組抽取的人數(shù)為:人,第五組抽取的人數(shù)為:人,.(2)第,,組回答正確的人分別有、、人,從中用分層抽樣的方法抽取人,第組抽?。喝?,第組抽?。喝?,第組抽取:人.(3)由頻率分布直方圖得:年齡的眾數(shù)為:
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