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2023-2024學(xué)年資陽(yáng)市重點(diǎn)中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.在中,角,,所對(duì)的邊分別為,,,若,且,則的面積的最大值為()A. B. C. D.2.邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域.向正方形中隨機(jī)地撒200粒芝麻,大約有80粒落在陰影區(qū)域內(nèi),則此陰影區(qū)域的面積約為()A. B. C. D.3.在中,角的對(duì)邊分別是,若,則()A. B.或 C.或 D.4.在ΔABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,A=45°,B=30°,b=2,則a=()A.2 B.63 C.225.若關(guān)于的不等式的解集為,則的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知,且,則實(shí)數(shù)的值為()A.2 B. C.3 D.7.某廠家生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同類型的飲品?產(chǎn)量之比為2:3:4.為檢驗(yàn)該廠家產(chǎn)品質(zhì)量,用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為72的樣本,則樣本中乙類型飲品的數(shù)量為A.16 B.24 C.32 D.488.已知x,y為正實(shí)數(shù),則()A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy B.2lg(x+y)=2lgx?2lgyC.2lgx?lgy=2lgx+2lgy D.2lg(xy)=2lgx?2lgy9.在中,,,角的平分線,則長(zhǎng)為()A. B. C. D.10.設(shè)函數(shù),則滿足的的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,,則它的前項(xiàng)和為_(kāi)_____.12.若,則______.13.設(shè)ω為正實(shí)數(shù).若存在a、b(π≤a<b≤2π),使得14.設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈.若直線與D有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____________.15.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對(duì)稱軸為x=1,已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=121-x,則有下列結(jié)論:①2是函數(shù)fx的周期;②函數(shù)fx在1,2上遞減,在2,3上遞增;③函數(shù)f16.設(shè),則函數(shù)是__________函數(shù)(奇偶性).三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.已知圓與直線相切(1)若直線與圓交于兩點(diǎn),求(2)已知,設(shè)為圓上任意一點(diǎn),證明:為定值18.已知向量,向量為單位向量,向量與的夾角為.(1)若向量與向量共線,求;(2)若與垂直,求.19.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AC=AB=AA1,E是BC的中點(diǎn).(1)求證:AE⊥B1C;(2)求異面直線AE與A1C所成的角的大??;(3)若G為C1C中點(diǎn),求二面角C-AG-E的正切值.20.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知.(Ⅰ)求通項(xiàng);(Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21.已知函數(shù)(1)求的最值、單調(diào)遞減區(qū)間;(2)先把的圖象向左平移個(gè)單位,再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,求的值.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】
由以及,結(jié)合二倍角的正切公式,可得,根據(jù)三角形的內(nèi)角的范圍可得,由余弦定理以及基本不等式可得,再根據(jù)面積公式可得答案.【詳解】因?yàn)?,且,所以,所以,則.由于為定值,由余弦定理得,即.根據(jù)基本不等式得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角的正切公式,考查了余弦定理,考查了基本不等式,考查了三角形的面積公式,屬于中檔題.2、B【解析】
依題意得,豆子落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率等于陰影部分面積與正方形面積之比,即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)陰影區(qū)域的面積為,由題意可得,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn),根據(jù)幾何概型的意義進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)計(jì)算陰影部分面積,關(guān)鍵在于掌握幾何概型的計(jì)算公式.3、D【解析】
直接利用正弦定理,即可得到本題答案,記得要檢驗(yàn),大邊對(duì)大角.【詳解】因?yàn)?,所以,又,所以?故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理求角.4、C【解析】
利用正弦定理得到答案.【詳解】asin故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5、C【解析】
根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)列不等式,根據(jù)一元二次不等式恒成立時(shí),判別式和開(kāi)口方向的要求列不等式組,解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由得,即恒成立,由于時(shí),在上不恒成立,故,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查一元二次不等式恒成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
根據(jù)二角和與差的正弦公式化簡(jiǎn),,再切化弦,即可求解.【詳解】由題意又解得故選:【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正弦公式,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)分層抽樣各層在總體的比例與在樣本的比例相同求解.【詳解】因?yàn)榉謱映闃涌傮w和各層的抽樣比例相同,所以各層在總體的比例與在樣本的比例相同,所以樣本中乙類型飲品的數(shù)量為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣,依據(jù)分層抽樣總體和各層的抽樣比例相同.8、D【解析】因?yàn)閍s+t=as?at,lg(xy)=lgx+lgy(x,y為正實(shí)數(shù)),所以2lg(xy)=2lgx+lgy=2lgx?2lgy,滿足上述兩個(gè)公式,故選D.9、B【解析】
在中利用正弦定理可求,從而可求,再根據(jù)內(nèi)角和為可得,從而得到為等腰三角形,故可求的長(zhǎng).【詳解】在中,由正弦定理有即,所以,因?yàn)椋?,故,所以,故,為等腰三角形,?故選B.【點(diǎn)睛】在解三角形中,我們有時(shí)需要找出不同三角形之間相關(guān)聯(lián)的邊或角,由它們溝通分散在不同三角形的幾何量.10、C【解析】
利用特殊值,對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除,由此得到正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí),,由此排除D選項(xiàng).當(dāng)時(shí),,由此排除B選項(xiàng).當(dāng)時(shí),,由此排除A選項(xiàng).綜上所述,本小題選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)求值,考查利用特殊值法解選擇題,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比,由此能求出它的前項(xiàng)和.【詳解】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為,由,得,且,解得,它的前項(xiàng)和為.故答案:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和的求法,考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】
由誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題主要考查了利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值,屬于基礎(chǔ)題.13、ω∈[【解析】
由sinωa+sinωb=2?sinωa=sinωb=1.而[ωa,ωb]?[ωπ,2ωπ]【詳解】由sinωa+而[ωa,ωb]?[ωπ,2ωπ],故已知條件等價(jià)于:存在整數(shù)ωπ當(dāng)ω≥4時(shí),區(qū)間[ωπ,2ωπ]的長(zhǎng)度不小于4π當(dāng)0<ω<4時(shí),注意到,[ωπ故只要考慮如下幾種情形:(1)ωπ≤π2<(2)ωπ≤5(3)ωπ≤9綜上,并注意到ω≥4也滿足條件,知ω∈[9故答案為:ω∈[【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.14、【解析】
畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域,直線過(guò)定點(diǎn),根據(jù)圖像確定直線斜率的取值范圍.【詳解】畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示,直線過(guò)定點(diǎn),由圖可知,而,所以.故填:.【點(diǎn)睛】本小題主要考查不等式表示區(qū)域的畫(huà)法,考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,考查直線斜率的取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.15、①②④【解析】
依據(jù)題意作出函數(shù)f(x)的圖像,通過(guò)圖像可以判斷以下結(jié)論是否正確?!驹斀狻孔鞒龊瘮?shù)f(x)的圖像,由圖像可知2是函數(shù)fx的周期,函數(shù)fx在1,2上遞減,在2,3上遞增,函數(shù)當(dāng)x∈3,4時(shí),f(x)=f(x-4)=f(4-x)=故正確的結(jié)論有①②④?!军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想,意在考查學(xué)生的邏輯推理能力。16、偶【解析】
利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn),即可判斷出函數(shù)的奇偶性.【詳解】,因此,函數(shù)為偶函數(shù).故答案為:偶.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)奇偶性的判斷,解題的關(guān)鍵就是利用誘導(dǎo)公式對(duì)三角函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn),考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)4;(2)詳見(jiàn)解析.【解析】
(1)利用直線與圓相切,結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求出半徑,從而得到圓的方程;根據(jù)直線被圓截得弦長(zhǎng)的求解方法可求得結(jié)果;(2)設(shè),則,利用兩點(diǎn)間距離公式表示出,化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】(1)由題意知,圓心到直線的距離:圓與直線相切圓方程為:圓心到直線的距離:,(2)證明:設(shè),則即為定值【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題,涉及到直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用、直線被圓截得弦長(zhǎng)的求解、兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用、定值問(wèn)題的求解.解決定值問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠用變量表示出所求量,通過(guò)化簡(jiǎn)、消元整理出結(jié)果.18、(1)(2)【解析】
(1)共線向量夾角為0°或180°,由此根據(jù)定義可求得兩向量數(shù)量積.(2)由向量垂直轉(zhuǎn)化為向量的當(dāng)量積為0,從而求得,也就求得,再由余弦的二倍角公式可得.【詳解】法一(1),故或向量,向量法二(1),設(shè)即或或(2)法一:依題意,,故法二:設(shè)即,又或【點(diǎn)睛】本題考查向量共線,向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算.解題時(shí)按向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可.19、(1)見(jiàn)解析;(2);(3)【解析】
(1)由BB1⊥面ABC及線面垂直的性質(zhì)可得AE⊥BB1,由AC=AB,E是BC的中點(diǎn),及等腰三角形三線合一,可得AE⊥BC,結(jié)合線面垂直的判定定理可證得AE⊥面BB1C1C,進(jìn)而由線面垂直的性質(zhì)得到AE⊥B1C;(2)取B1C1的中點(diǎn)E1,連A1E1,E1C,根據(jù)異面直線夾角定義可得,∠E1A1C是異面直線A與A1C所成的角,設(shè)AC=AB=AA1=2,解三角形E1A1C可得答案.(3)連接AG,設(shè)P是AC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AG于Q,連EP,EQ,則EP⊥AC,由直三棱錐的側(cè)面與底面垂直,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理,可得EP⊥平面ACC1A1,進(jìn)而由二面角的定義可得∠PQE是二面角C-AG-E的平面角.【詳解】證明:(1)因?yàn)锽B1⊥面ABC,AE?面ABC,所以AE⊥BB1由AB=AC,E為BC的中點(diǎn)得到AE⊥BC∵BC∩BB1=B∴AE⊥面BB1C1C∴AE⊥B1C解:(2)取B1C1的中點(diǎn)E1,連A1E1,E1C,則AE∥A1E1,∴∠E1A1C是異面直線AE與A1C所成的角.設(shè)AC=AB=AA1=2,則由∠BAC=90°,可得A1E1=AE=,A1C=2,E1C1=EC=BC=∴E1C==∵在△E1A1C中,cos∠E1A1C==所以異面直線AE與A1C所成的角為.(3)連接AG,設(shè)P是AC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AG于Q,連EP,EQ,則EP⊥AC又∵平面ABC⊥平面ACC1A1∴EP⊥平面ACC1A1而PQ⊥AG∴EQ⊥AG.∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角.由EP=1,AP=1,PQ=,得tan∠PQE==所以二面角C-AG-E的平面角正切值是【點(diǎn)睛】本題是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,主要考查了異面直線的夾角,線線垂直的判定,二面角等知識(shí)點(diǎn),難度中檔,熟練掌握線面垂直,線線垂直與面面垂直之間的轉(zhuǎn)化及異面直線夾角及二面角的定義,是解答本題的關(guān)鍵.20、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),根據(jù),構(gòu)造,利用,兩式相減得到,然后驗(yàn)證,得到數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)由上一問(wèn)可知.根據(jù)零點(diǎn)分和討論去絕對(duì)值,利用分組轉(zhuǎn)化求數(shù)列的和.試題解析:(Ⅰ)因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),,兩式相減得:當(dāng)時(shí),,因?yàn)?得到,解得,,所以數(shù)列是首項(xiàng),公比為5的等比數(shù)列,則;(Ⅱ)由題意知,,易知當(dāng)時(shí),;時(shí),所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以,,……當(dāng)時(shí),又因?yàn)椴粷M足滿足上式,所以.考點(diǎn):1.已知求;2.分組轉(zhuǎn)化法求和.【方法點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列求和,一般數(shù)列求和方法(1)分組轉(zhuǎn)化法,一般適用于等差數(shù)列加等比數(shù)列,(2)裂項(xiàng)相消法求和,,等的形式,(3)錯(cuò)位相減法求和,一般適用于等差數(shù)列乘以等比數(shù)列,(4)倒序相加法求和,一般距首末兩項(xiàng)的和是一個(gè)常數(shù),這樣可以正著寫(xiě)和和倒著寫(xiě)和
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