押新高考第17題 導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用（解答題）-備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押題（全解全析）

第第頁押新高考17題導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用（解答題）考點(diǎn)4年考題考情分析導(dǎo)數(shù)綜合2023年新高考Ⅰ卷第19題2023年新高考Ⅱ卷第22題2022年新高考Ⅰ卷第22題2022年新高考Ⅱ卷第22題2021年新高考Ⅰ卷第22題2021年新高考Ⅱ卷第22題2020年新高考Ⅰ卷第21題2020年新高考Ⅱ卷第22題導(dǎo)數(shù)大題難度中等或較難，縱觀近幾年的新高考試題，主要求極值最值、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題及參數(shù)范圍求解、不等式證明問題、零點(diǎn)及恒成立問題等知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也是高考沖刺復(fù)習(xí)的重點(diǎn)復(fù)習(xí)內(nèi)容?？梢灶A(yù)測(cè)2024年新高考命題方向?qū)⒗^續(xù)以導(dǎo)數(shù)綜合問題之單調(diào)性、極值最值、求解及證明問題為背景展開命題，難度會(huì)降低．1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真題第19題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真題第22題）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解（2）【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.【詳解】（1）構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.當(dāng)時(shí)，令因?yàn)椋?，所以函?shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時(shí)，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點(diǎn)，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對(duì)恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，且，則，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮；2.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮.3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真題第22題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)時(shí)，的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無最小值，故.的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈担?，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無根，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且①時(shí)，此時(shí)，顯然與兩條曲線和共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；②時(shí)，此時(shí)，故與兩條曲線和共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；③時(shí)，首先，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為其次，證明與曲線和有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為再次，證明存在b，使得因?yàn)?，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，此時(shí)取則此時(shí)存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，最后證明，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，因?yàn)樗?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，即，所以，同理，因?yàn)?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，，所以，又因?yàn)椋?，即直線與兩條曲線和從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)注意對(duì)參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真題第22題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號(hào)后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號(hào)，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對(duì)任意的恒成立，從而可得對(duì)任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對(duì)任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對(duì)任意的恒成立.所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號(hào)合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真題第22題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進(jìn)行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)的定義域?yàn)椋傻?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)椋谑敲}轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因?yàn)?，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即又因?yàn)椋?，即．因?yàn)椋?，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對(duì)稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識(shí)和技能.方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真題第22題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)①；②．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：，當(dāng)時(shí)，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系單調(diào)遞增，單調(diào)遞減極值極值的定義在處先↗后↘，在處取得極大值在處先↘后↗，在處取得極小值兩招破解不等式的恒成立問題(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.(1)分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．(2)函數(shù)思想法第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．常用函數(shù)不等式：①，其加強(qiáng)不等式；②，其加強(qiáng)不等式.③，，放縮，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）轉(zhuǎn)化為證不等式（或），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明（），因此只需在所給區(qū)間內(nèi)判斷的符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的最小值即可.證明極值點(diǎn)偏移的相關(guān)問題，一般有以下幾種方法：（1）證明（或）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；（2）證明（或）（、都為正數(shù)）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；（3）應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù)；②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；③利用對(duì)數(shù)平均不等式來證明相應(yīng)的問題.1．（2024·湖南衡陽·二模）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極值．(1)求的解析式；(2)求在區(qū)間上的最值．【答案】(1)(2)的最小值為，最大值為.【分析】（1）利用極值定義可求得，可得解析式；（2）利用導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，比較端點(diǎn)處的值可得結(jié)論.【詳解】（1）依題意可得，又當(dāng)時(shí)，取得極值，所以，即；解得；所以；（2）由（1）可知，令，可得或，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表所示：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，在區(qū)間上，的最小值為，最大值為.2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處的切線為軸．(1)求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)，(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得且，即可得到方程組，解得即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，即可求出的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，依題意且，所以，解得.（2）由（1）可得函數(shù)的定義域?yàn)?，又，令，則，所以（）在定義域上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.3．（2024·廣東韶關(guān)·二模）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線平行于軸．(1)求實(shí)數(shù)；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】(1)1(2)答案見解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，依題意只需使即可求得實(shí)數(shù)；（2）利用（1）寫出函數(shù)解析式，求導(dǎo)并分解因式，在定義域內(nèi)分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即得單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的極值.【詳解】（1）由可得：，由題意，，解得；（2）由（1）得，，則，當(dāng)時(shí)，，則在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù).故時(shí)，函數(shù)有極小值為，無極大值.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，函數(shù)有極小值為，無極大值.4．（2024·廣東·一模）已知，函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)討論方程的根的個(gè)數(shù).【答案】(1)減區(qū)間為：，；增區(qū)間為：.(2)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)值的符號(hào)和最值，可確定方程零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)椋ǎ?所以：.由，又函數(shù)定義域?yàn)椋院瘮?shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)?，所以：?dāng)時(shí)，，方程無解；當(dāng)，函數(shù)在上遞減，在遞增，所以，所以方程無解.綜上可知：方程的根的個(gè)數(shù)為.5．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)方法判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由，得，所以，，函數(shù)在處的切線方程（2）令，當(dāng)時(shí)，，則，所以，所以，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為6．（2024·江蘇徐州·一模）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍：(2)若直線與的圖象相切，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，得出導(dǎo)函數(shù)的恒成立關(guān)系，利用分離參數(shù)和基本不等式即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切點(diǎn)的位置關(guān)系，建立方程組即可求解.【詳解】（1）記在上單調(diào)遞減，對(duì)恒成立，，而，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.所以a的取值范圍為（2）設(shè)直線與的圖象相切于，，由題意可知，代入，，左邊式子關(guān)于單調(diào)遞減且時(shí)，左邊7．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得方程有兩個(gè)根，則問題轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，即可得到的極值與函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解；（2）由（1）可得，即可得到，結(jié)合及二次函數(shù)的性質(zhì)即可證明.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，函?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)相當(dāng)于方程有兩個(gè)根，顯然當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以問題轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，由，，得，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且，作出的大致圖像如圖所示：則由圖可知，當(dāng)時(shí)，圖像與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）因?yàn)椋?，又由?）知，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以.8．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；(2)討論的極值.【答案】(1)；(2)極大值為，無極小值.【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）求出的導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性求出極值即得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，所以的方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值.9．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.【答案】(1)(2)單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極大值為，極小值為.【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，利用直線垂直列式求解即可；（2）求出導(dǎo)數(shù)方程的根，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系列表即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，故，解得；（2）因?yàn)?，所以，令，解得或，令得或，令得，列表如下?0+0↘極小值↗極大值↘故的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極大值為，極小值為.10．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求證：的極大值恒為正數(shù)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；（2）分，和三種情況討論，再結(jié)合極大值的定義即可得出結(jié)論.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，，又，故曲線在處的切線方程為；（2），解得知，，若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，遞減，遞增，故極大值為；若，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減，無極大值；若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，遞減，遞增，故極大值，綜上，的極大值恒為正數(shù)．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟如下：（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)；（3）解方程，當(dāng)；（4）列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，求極值：①如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值；②如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值.11．（2024·廣東廣州·一模）已知函數(shù)，.(1)求的單調(diào)區(qū)間和極小值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，極小值為1；(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間及極值.（2）根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合基本不等式推理即得.【詳解】（1）函數(shù)，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為，的極小值為.（2）證明：當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，在上單調(diào)遞增，因此，所以.12．（2024·湖南·二模）已函數(shù)，其圖象的對(duì)稱中心為.(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由的圖象關(guān)于對(duì)稱，得到，列出方程組即可求解；（2）由（1）得到函數(shù)的解析式，求出，利用判斷根的情況，分類討論確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故為奇函數(shù)，從而有，即，，，所以，解得，所以；（2）由（1）可知，，，，①當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，，，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，，有兩個(gè)正根，不妨設(shè)，則，函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，令，解得或，有兩個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，，，有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，不妨設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).13．（2024·湖南邵陽·二模）設(shè)函數(shù).(1)求的極值；(2)若對(duì)任意，有恒成立，求的最大值.【答案】(1)極小值，無極大值；(2).【分析】（1）求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性即可確定極值;（2）分離參數(shù)并構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性求出最小值即可求解.【詳解】（1）.令，得，令，得.故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.在處取得極小值，無極大值.（2）對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立.令，則只需即可..易知均在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增且.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增..故，故的最大值為.14．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)答案見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，又，所以，由，解得，此時(shí)單調(diào)遞增；由，解得，此時(shí)單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由題意知，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，即極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；當(dāng)時(shí)，易知，故解關(guān)于的方程得，，，所以，又，，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，即極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè).綜上，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè).15．（2024·山東青島·一模）已知函數(shù)．(1)若，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，求該切線的方程；(2)討論的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)可得，即可利用點(diǎn)斜式求解，（2）求導(dǎo)，結(jié)合分類討論求解導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，結(jié)合二次方程根的情況，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得又因?yàn)?，所以切線方程為：，即（2）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，得恒成立，在單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，令，（i）當(dāng)即時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增（ii）當(dāng)即時(shí)，由得，或，由得，所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減綜上：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減16．（2024·福建漳州·一模）已知函數(shù)，且．(1)證明：曲線在點(diǎn)處的切線方程過坐標(biāo)原點(diǎn)．(2)討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在處的切線方程，從而得證；（2）分類討論與，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，則，，所以在處的切線方程為:，當(dāng)時(shí)，，故，所以曲線在點(diǎn)處切線的方程過坐標(biāo)原點(diǎn).（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，則，故單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.17．（2024·江蘇南通·二模）設(shè)函數(shù).已知的圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸間的距離為，且.(1)若在區(qū)間上有最大值無最小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)設(shè)l為曲線在處的切線，證明：l與曲線有唯一的公共點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)周期以及可求解，進(jìn)而根據(jù)整體法即可求解，（2）求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】（1）由題意可得周期，故，，由于，故，故，當(dāng)時(shí)，，由于在區(qū)間上有最大值無最小值，故，解得，故.（2），，，故直線方程為，令，則，故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又，因此有唯一的的零點(diǎn)，故l與曲線有唯一的交點(diǎn)，得證.18．（2024·重慶·一模）（1）已知函數(shù)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），記的最小值為，求證：；（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值，即，然后得到，進(jìn)而證明不等式；（2）將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性和最值，證明恒成立，求出的取值范圍.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，所以，因?yàn)?，所以，?綜上，.（2），即，所以，即，令，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，即，即，即，即，令，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，，所以，所以，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將原不等式進(jìn)行構(gòu)造，利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用分離參數(shù)思想再求最值即可.19．（2024·河北唐山·一模）已知函數(shù)，，(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程：(2)當(dāng)時(shí)，求的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，（2）分類討論和時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）由得，所以，所以所求切線方程為，即（2）時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，接下來證明：當(dāng)時(shí)，，令又，故當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，故有最小值，因此，即，，令，故單調(diào)遞增，即，所以，故在單調(diào)遞增，綜上可得在單調(diào)遞增，，當(dāng)而，因此，所以的值域?yàn)椤军c(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．20．（2024·遼寧大連·一模）已知函數(shù)．(1)若恒成立，求a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）參變分離，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最值，得到答案；（2）法一：在（1）的基礎(chǔ)上得到，，再構(gòu)造函數(shù)得到，得到，從而得到結(jié)論；法二：即證，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后再對(duì)分子求導(dǎo)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，得到，證明出結(jié)論.【詳解】（1）由已知得，在上恒成立，設(shè)，解得，，解得，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，即，；（2）法一：由（1）知時(shí)，恒成立，取，得成立，時(shí)取等號(hào)．所以當(dāng)時(shí)，，設(shè)，故時(shí)，，在上為增函數(shù)，，．所以時(shí)，，即．由此可證，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論得證．法二：當(dāng)時(shí)，若證成立．即證，設(shè)，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)．，在上為增函數(shù)，，由此可證，當(dāng)時(shí)，成立．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.21．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分類討論判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；（2）先利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，分離變量可得恒成立，進(jìn)而，即可求解.【詳解】（1）函數(shù)，的定義域?yàn)椋遥?dāng)時(shí)，，恒成立，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．（2）設(shè)，則，在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．依題意，，恒成立，即恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，，，所以存在，使得成立．所以，即a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的恒成立問題的求解策略：形如的恒成立的求解策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；3，數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進(jìn)而得到不等式恒成立.22．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明：是其定義域上的增函數(shù)；(3)若，其中且，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)證明過程見解析(3)【分析】（1）首先代入到函數(shù)表達(dá)式得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值得切線斜率，由此即可得解.（2）對(duì)求導(dǎo)后，令，對(duì)繼續(xù)求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于任意的有，故只需要證明時(shí)，，時(shí)，即可.（3）由（2）得，進(jìn)一步令，，結(jié)合題意知時(shí)，，時(shí)，，對(duì)分類討論即可求解.【詳解】（1）由題意，即切點(diǎn)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）由，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以對(duì)于任意的有，即，因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，即，則，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即，即，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，即，所以是其定義域上的增函數(shù).（3）由（2）可知，時(shí)，，所以，故，令，，由題意時(shí)，，時(shí)，，若，則當(dāng)時(shí)，，不滿足條件，所以，而，令，則

，令，得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)，不滿足題意；若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，此時(shí)，不滿足題意；若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)，滿足題意，所以，解得，綜上所述，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵是在得到在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，之后還要繼續(xù)說明“左邊的函數(shù)值”小于“右邊的函數(shù)值”，由此即可順利得解.23．（2024·山東棗莊·一模）已知．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)得，分兩種情況當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，求方程的解，分析的符號(hào)，進(jìn)而可得的單調(diào)性．（2）方法一：化簡不等式，證明，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，由此證明，證明時(shí)，滿足條件，時(shí)不滿足條件即可；方法二：化簡不等式，并分離變量可得，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性及最小值，由此可求的取值范圍.【詳解】（1）由題意知定義域?yàn)榍遥?，①?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．②當(dāng)時(shí)，，記的兩根為，則，且．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）方法一：，化簡得．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．又因?yàn)椋源嬖谖ㄒ?，使得①，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．①當(dāng)時(shí)，成立．②當(dāng)時(shí)，由①知，．所以與恒成立矛盾，不符合題意．綜上．方法二：不等式，可化為，所以．令則．令，則．所以在上單調(diào)遞增．又，所以，使，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由得，即．設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增．由，得，所以，即有，且所以，所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：(1)恒成立?；(2)恒成立?.24．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：；(3)若且，求證：．【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞減(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求，令，求，討論的大小可證得，即，即可得出的單調(diào)性；（2）法一：要證，即證，記，討論的單調(diào)性和最值即可證明；法二：通過構(gòu)造函數(shù)結(jié)合已知條件放縮要證即證即可.（3）法一：由（1）可知為減函數(shù)，所以，要證即證，構(gòu)造函數(shù)證明即可；法二：先證，即，則，再結(jié)合基本不等式即可證明.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，記，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．（2）法一：先證，記，則，記，則，所以時(shí)，遞增；時(shí)，遞減．所以，所以，又，所以，故．再證，即證，記，則，記，則，所以在遞增，所以，所以，即，所以.法二：構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，所以，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以，即，即成立．所以，所以，則只需證明，即，而顯然成立，所以．（3）法一：由（2）知的最大值為0．因?yàn)榍?，則之中至少有一個(gè)大于1，不妨設(shè)，則，由（1）可知為減函數(shù)，所以，所以，因?yàn)?，記，則，因?yàn)?，所以，所以，所以．法二：先證，記，則，記，則，所以時(shí)，遞增；時(shí)，遞減．所以，所以，又，所以，故．所以，因?yàn)榍?，所以，所以，所以，則．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).25．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，易得在上單調(diào)遞增求解；（2）方法一：分，，，，由求解；方法二：當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為恒成立，由求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，在上單調(diào)遞增又，的值域是.（2）方法一：①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，成立.③當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，，使得當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減，則，④當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，，即在上遞增，則成立.綜上所述，若函數(shù)恒成立，則.方法二當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則，又，令，，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增.，，故，，又，，故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問題，法一：由求解；法二：轉(zhuǎn)化為由求解.26．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)如果1和是的兩個(gè)極值點(diǎn)，且的極大值為3，求的極小值；(2)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，且函數(shù)在區(qū)間上最大值為2，最小值為．求的值．【答案】(1)(2)答案見解析(3)18【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得和是方程的兩根，利用韋達(dá)定理求出、的值，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的極大值，從而求出的值，最后求出極小值；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）依題意，即可求出、的范圍，再求出導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合特殊值可得有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，即可得到是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，則，，結(jié)合韋達(dá)定理得到，再由，即可求出、的值，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)楹褪堑膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以和是方程的兩根，故，解得，即，所以，因?yàn)闀r(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)增，在區(qū)間上單調(diào)減，所以，解得，所以．（2）當(dāng)時(shí)定義域?yàn)?，又，令，解得或，若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，則恒成立，所以在區(qū)間單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上可得：當(dāng)時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（3）當(dāng)時(shí)，，由題意得：，即，①，即，②由①、②可知，，．③因?yàn)椋?，，，所以有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)．由題意得，，即，兩式同向相加得：，④注意到，，，代入④得，由③可知，，則，，所以，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，又，所以時(shí)成立，所以，從而．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問的關(guān)鍵是首先得到、的取值范圍，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，從而推導(dǎo)出.27．（2024·江蘇宿遷·一模）已知函數(shù)．(1)若，求的極小值；(2)若過原點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，即可求得答案；（2）設(shè)切點(diǎn)分別為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，表示出切線方程，將原問題轉(zhuǎn)化為方程兩個(gè)不同的根的問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值的表達(dá)式，分類討論，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可求得答案.【詳解】（1）由，得，令得，則在上單調(diào)遞減，令得，則在上單調(diào)遞增，則的極小值為;（2），設(shè)切點(diǎn)分別為，則在處的切線方程為，又切點(diǎn)過原點(diǎn)，所以，即，同理，所以為方程兩個(gè)不同的根，設(shè)，則，若，則在單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)不同的根，不符合題意；若，令得，在單調(diào)遞減，令得在單調(diào)遞增，所以，