2023-2024學(xué)年四川省廣安市友實學(xué)校、鄰水縣正大實驗學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年四川省廣安市友實學(xué)校、鄰水縣正大實驗學(xué)校高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)(i+1)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列命題中正確的是(

)A.零向量沒有方向

B.共線向量一定是相等向量

C.若向量a,b同向，且|a|>3.若圓柱的底面半徑是1，其側(cè)面展開是一個正方形，則這個圓柱的側(cè)面積是(

)A.2α+β B.△ABD4.已知三角形的邊長分別為1，2，5，則它的最大內(nèi)角的度數(shù)是(

)A.90° B.120° C.135°5.已知向量a=(?2,1)，bA.8 B.?8 C.2 D.6.在△ABC中，若sin2C+A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.不能確定7.衡量鉆石價值的4C標(biāo)準(zhǔn)之一是切工.理想切工是一種高雅且杰出的切工，它使鉆石幾乎反射了所有進(jìn)入鉆石的光線.現(xiàn)有一理想切工的鉆石，其橫截面如圖所示，其中△ABC為等腰直角三角形，四邊形BCDE為等腰梯形，且BC=2

A.14CA+2CD B.8.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，過點A.42+45

B.4

二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量a=(1,A.(a+b)⊥a B.向量a在向量b上的投影向量是?12a10.若復(fù)數(shù)z滿足：z(1?i)=i2013(其中i是虛數(shù)單位A.z的虛部是?12 B.z?=?111.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點O，G，H分別為三角形ABC的外心、重心、垂心，且M為BC的中點，則A.AH=2OM B.GA12.“牟合方蓋”是由我國古代數(shù)學(xué)家劉徽首先發(fā)現(xiàn)并采用的一種用于計算球體體積的方法，當(dāng)一個正方體用圓柱從縱橫兩側(cè)面作內(nèi)切圓柱體時，兩圓柱體的公共部分即為“牟合方蓋”，他提出“牟合方蓋”的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積比為定值.南北朝時期祖暅提出理論：“緣冪勢既同，則積不容異”，即“在等高處的截面面積總是相等的幾何體，它們的體積也相等”，并算出了“牟合方蓋”和球的體積.其大體思想可用如圖表示，其中圖1為棱長為2r的正方體截得的“牟合方蓋”的八分之一，圖2為棱長為2r的正方體的八分之一，圖3是以底面邊長為r的正方體的一個底面和底面以外的一個頂點作的四棱錐，則根據(jù)祖暅原理，下列結(jié)論正確的是(

)

A.若以一個平行于正方體上下底面的平面，截“牟合方蓋”，截面是一個圓形

B.圖2中陰影部分的面積為h2

C.“牟合方蓋”的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積比為π：4

D.由棱長為2r三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知向量a=(m,2)，b=(314.如圖所示，水平放置的一個平面圖形的直觀圖是邊長為2cm的正方形O′A′B

15.在△ABC中，AB=23，AC16.已知球與圓臺的底面、側(cè)面都相切，且圓臺母線與底面所成角為60°，則球表面積與圓臺側(cè)面積之比為______．四、解答題：本題共5小題，共58分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

設(shè)復(fù)數(shù)z1=2+ai(其中a∈R)，z2=4?3i，i18.(本小題12分)

如圖，在△ABC中AD=3AB，點E是CD的中點，AE與BC相交于F，設(shè)AB=a，AC=b．

(1)用a，b表示19.(本小題12分)

如圖是一個正四棱臺ABCD?A1B1C1D1的石料，上、下底面的邊長分別為20cm和40cm，高3020.(本小題12分)

在①3(a?bcosC)=csinB，②S△ABC=BA?BC?21.(本小題12分)

如圖，設(shè)△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知c=1且2csinAcosB=asinA?bsinB+14bsinC，cos

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：(i+1)i=?1+i，

所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為2.【答案】D

【解析】解：對于選項A，由零向量的定義知，零向量方向任意，所以選項A錯誤，

對于選項B，當(dāng)共線向量方向相反時，它們肯定不是相等向量，所以選項B錯誤，

對于選項C，向量不能比較大小，所以選項C錯誤，

對于選項D，單位向量的模長均為1個單位長，所以選項D正確．

故選：D．

利用向量、零向量、單位向量及共線向量的定義，逐一對各個選項分析判斷，即可得出結(jié)果．

本題考查向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】A

【解析】解：由題意側(cè)面展開圖的邊長不2π×1=2π，面積為(2π)4.【答案】C

【解析】解：設(shè)最大角θ，

由大邊對大角得cosθ=1+2?52×1×2=5.【答案】B

【解析】解：∵a=(?2,1)，b=(m,4)，且a/?6.【答案】A

【解析】解：因為sin2C+sin2B<sin2A，

由正弦定理得c2+b2<a2，

7.【答案】C

【解析】解：分別過D，E作DF，EG與BC垂直，垂足為F，G，

因為DE=2CD，BC=2DE，

所以CF=12DE=22CD，

所以∠DCF=45°

8.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，如圖：延長EF分別交DA，DC于點G，I，連接D1G，D1I分別交A1A，CC1于點H，J，

易得截面為五邊形D1HEFJ就是要求截面Ω，

正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，易得△BEF為等腰直角三角形，

同時，△AEG也是等腰直角三角形且AE=1，則AG=1，

設(shè)9.【答案】AC【解析】解：因為向量a=(1,2),b=(1,?3)，

則a+b=(2,?1),(a+b)?a=2×1+(?1)10.【答案】CD【解析】解：∵i2013=i4×503+1=i，∴z=i1?i=i(1+i)(1?i)(1+i)=?1+i2=?12+11.【答案】AB【解析】解：因為G是△ABC的重心，O是△ABC的外心，H是△ABC的垂心，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，所以GO=12HG．

對于A，AH=AG?HG=2GM?2GO=2OM，故A正確；

對于B，因為G是△ABC的重心，M為BC的中點，所以AG=2GM，

又因為GB12.【答案】BC【解析】解：牟盒方蓋是由兩個直徑相等且相互垂直的圓柱體相交得到的，那么只要用水平面去截它們，所得的截面比為正方形，故A錯誤；

根據(jù)祖暅原理，圖2中正方體與“牟合方蓋”的八分之一之間空隙的截面面積與圖3中正四棱錐中陰影部分的面積相等，故B正確；

由牟盒方蓋是由兩個直徑相等且相互垂直的圓柱體相交得到的，存在內(nèi)切球，只要用水平面去截它們，

那么所得的正方形和圓，也是相切在一起的，對于直徑為2r的球和高為2r的牟合方蓋，使用同一高度處的水平面來截它們，

所得的截面積之比正好總是相切的圓和正方形的面積之比，即為π：4，故C正確；

由圖中正方體與牟合方蓋的八分之一之間空隙的體積與正四棱錐體的體積相等，而正四棱錐體的體積V=13r3．

則八分之一牟合方蓋的體積等于正方體的體積減去正四棱錐的體積，即V18牟合方蓋=r3?13r3=23r313.【答案】?2【解析】解：∵a=(m,2)，b=(3,m+5)，a⊥b，14.【答案】8【解析】解：把直觀圖還原為原圖形，如圖所示：

則四邊形OABC是平行四邊形，且OA=O′A′=2，OB=2O′B15.【答案】3或2【解析】解：設(shè)BC=x，

利用余弦定理：AC2=CB2+AB2?2?BC?AB?cos30°，

整理得：4=x2+1216.【答案】34【解析】解：設(shè)圓臺上下底面圓的半徑為r1，r2，母線為l，球的半徑為R，

取圓臺的軸截面ABCD，則四邊形ABCD為等腰梯形，

圓臺的外接球球心為O，則球心O在截面ABCD內(nèi)，

在截面ABCD內(nèi)，設(shè)圓O切梯形ABCD的邊AB、BC、CD、DA分別于點E、F、G、H，

由切線長定理可得AE=AH，DG=D17.【答案】解：(1)∵z1=2+ai(其中a∈R)，z2=4?3i，

∴z1+z2=6+(a?【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于中檔題．

(1)利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運算化簡，再由虛部為0求得a值，可得z1，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算求z1?z2的值；

(2)利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡【解答】

解：(1)∵z1=2+ai(其中a∈R)，z2=4?3i，

∴z1+z2=6+(a18.【答案】解：(1)E為CD中點，所以AE=12(AC+AD)=12(b+3a)，

DE=12DC=12【解析】(1)利用平面向量基本定理，向量的加減法，即可解出；

(2)用坐標(biāo)表示出向量AF19.【答案】解：(1)如下圖，正四棱臺側(cè)面是全等的等腰梯形，分別取B1C1，BC中點M，N，

連接O1M，ON，MN，則O1O=MH=30cm，O1M=10cm，ON=20cm，HN=10cm，

∴MN=MH2+【解析】(1)根據(jù)表棱臺的表面積公式及體積公式，即可求解；

(220.【答案】解：(1)若選①：

由正弦定理及3(a?bcosC)=csinB，得3(sinA?sinBcosC)=sinCsinB，

∴3[sin(B+C)?sinBcosC]=sinCsinB，

∴3(sinBcosC+cosBsinC?sinBcosC)【解析】(1)若選①：利用正弦定理化邊為角，并結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得tanB=3，從而求出角B；

若選②：根據(jù)三角形的面積公式與平面向量數(shù)量積的定義，可得cosB=12，從而求出角B；

若選③21.【答案】解：