2024年白山市第二次高三模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試卷及答案

絕密★啟用前

2024年白山市第二次高三模擬考試

數(shù)學(xué)試卷

試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1,將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列如下：12,15,17,4,23,25,27,31,36,37,若該組數(shù)據(jù)的30%分位數(shù)

為19,則a=()

A.19B.20C.21D.22

2.若直線Z：x+y=0與圓C：(x—2?+/=4交于43兩點(diǎn)，則|45|=()

A.272B.2C.y/2D.l

3.記等差數(shù)列｛4｝的前及項(xiàng)和為S“，若514=483,%=12,則｛風(fēng)｝的公差為()

A.5B.6C,7D.8

4.已知/,機(jī)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，且/，?心1,，則下列說法正確的是()

A."http:///7%”是“a//的充分不必要條件

B“/，加”是“a1￡”的必要不充分條件

C.若/，步異面，則生尸有公共點(diǎn)

D.若名萬有公共點(diǎn)，則/,7〃有公共點(diǎn)

(71)

cos—\-oc(、

5.若一｛=3,則tan2a-/=()

cos——a

(4)

11

A.-7B.7C.——D.-

77

6.如圖所示，一種兒童儲蓄罐有6個(gè)密碼格，由購買者設(shè)定密碼后方可使用，其中密碼的數(shù)字只能在0,1,2中

進(jìn)行選擇，且每個(gè)密碼格都必須設(shè)定數(shù)字，則數(shù)字力”出現(xiàn)奇數(shù)次的不同密碼個(gè)數(shù)為()

A.172B.204C.352D.364

7.阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出，有著很多重要的應(yīng)用，如在化學(xué)中作為一種穩(wěn)定的

幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計(jì)中用于裝飾燈等.在圓惟曲線中，稱圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三

角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線C:/=8x的焦點(diǎn)為尸，頂點(diǎn)為。，斜率為g的直線/過點(diǎn)廠且與拋

物線。交于兩點(diǎn)，若口「初”為阿基米德三角形，則|。?|=()

A.而B,273C.V13D.714

8.已知四面體/BCD中，N3ZC=NZ)NC=ND43=90°,/5=3=2NC=4,點(diǎn)E在線段N3上，過

點(diǎn)4作/尸，。E,垂足為尸，則當(dāng)DCD產(chǎn)的面積最大時(shí)，四面體NCZ)打外接球的表面積與四面體

4BCD外接球的表面積之比為()

343713

A.-B.-C.—D.—

554515

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

(7兀、

9.已知函數(shù)/(x)=cos2x+—，則(：)

A./1x—點(diǎn)J的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

B./(x)的圖象關(guān)于直線x=：■對稱

C./(X)在4,上單調(diào)遞增

I3)

D.g(x)=2/(x)-夜在(0,2兀)上有4個(gè)零點(diǎn)

10.已知馬/2為復(fù)數(shù),則()

A.右Z]-z?=Z]—z2,則Z]—z?A實(shí)數(shù)

B.忖一空2卜|訃區(qū)一zj

C.若z；-z2,則4=z；

D.若z；=下，則復(fù)數(shù)Z1在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上

11.已知函數(shù)/'(x)的定義域?yàn)镽,其圖象關(guān)于0,2)中心對稱，若f("x)=2—x,則()

A./(2-3x)+/(3x)=4B./(x)=/(x-4)

20

C.1(2025)=-4046D.^/(Z)=-340

/=1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合4={x|工一幾＜0},3=1|y=lg(2x—3)},若Zc3=0,則實(shí)數(shù)4的取值范圍為

13.已知「/0C中，角4民。所對的邊分別為a1,c,其中2bcosC+2ccos5=/，則。=；若

2coUsin5sinC=3sin2^.則當(dāng)n/LBC的面積取得最大值時(shí)，cos/=.(第一空2分，若第二空

3分)

14.已知點(diǎn)是橢圓。:=+4=1(。＞6＞0)上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)尸是橢圓C上異于M，N

ab

的一點(diǎn)，且以NP為直徑的圓過點(diǎn)"，點(diǎn)。在y軸上，且尸,N,。三點(diǎn)共線，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

^\ON\,\OQ\,\OQ\cosZNOQ成等比數(shù)列，則橢圓C的離心率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知函數(shù)/(x)=21nx-7Hx+2.

⑴若相=3,求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程；

(2)若Vxe(O,+8)J(x),,O,求實(shí)數(shù)7〃的取值范圍.

16.(15分)現(xiàn)有兩組數(shù)據(jù)，/組：1,2,3,4;3組：1,2,3,4,5.先從2組數(shù)據(jù)中任取3個(gè)，構(gòu)成數(shù)組，再

從8組數(shù)據(jù)中任取3個(gè)，構(gòu)成數(shù)組。2,兩組抽取的結(jié)果互不影響.

(1)求數(shù)組的數(shù)據(jù)之和不大于8且數(shù)組^2的數(shù)據(jù)之和大于8的概率;

(2)記X=maxC2-minQ],其中minQ1表示數(shù)組中最小的數(shù)，maxC2表示數(shù)組曜2中最大的數(shù)，求

X的分布列以及數(shù)學(xué)期望石(X).

17.(15分)如圖在四棱錐S—4BCD中，/BCD為菱形，ZABC=120°,ZSDC=9Q°,SB=SD.

(1)證明：SC工BD；

(2)若/4SC=90°，求平面S45與平面SSC所成二面角的正弦值.

18.(17分)已知雙曲線。：/一匕=1的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸(%,%)(%=0)在雙曲線。上，Q-,y().

312J

(1)若為=3,且點(diǎn)尸在第一象限，點(diǎn)0關(guān)于“軸的對稱點(diǎn)為R,求直線尸&與雙曲線C相交所得的弦

長；

(2)探究：口尸。尸的外心是否落在雙曲線。在點(diǎn)P處的切線上，若是，請給出證明過程；若不是，請說明

理由.

19.(17分)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，若數(shù)列｛4｝滿足：①數(shù)列｛4｝項(xiàng)數(shù)有限為N；②與=0；③

N

ZM=1,則稱數(shù)列｛4｝為“N階可控?fù)u擺數(shù)列”.

i=\

(1)若等比數(shù)列｛%｝(L,7?”10)為“10階可控?fù)u擺數(shù)列"，求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若等差數(shù)列｛4｝,7原2加,7"GN*)為“2機(jī)階可控?fù)u擺數(shù)列"，且勺＞4+1，求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公

式；

N

(3)已知數(shù)列｛凡｝為“N階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在L,%N，使得Z向l=2S?,,探究：數(shù)列｛S.｝能否為

/=1

N階可控?fù)u擺數(shù)列“，若能，請給出證明過程；若不能，請說明理由.

2024年白山市第二次高三模擬考試

數(shù)學(xué)參考答案及評分細(xì)則

1.【答案】c

【解析】該組數(shù)據(jù)的30%分位數(shù)為空2，故"2=19,解得。=21.故選C.

22

2.【答案】A

2

【解析】圓心。（2,0）到直線Z:x+y=0的距離d=%=應(yīng)，貝4/5|=2、4工=2后.故選人.

3.【答案】A

【解析】設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,依題意，￡=（1+；）14=73+@）=483,得/+。12=69,故

%=57,則1=崔半=5.故選A.

4.【答案】C

【解析】“/〃7"”是〃夕”的充要條件，故工錯(cuò)誤；”_LW是的充要條件,故B錯(cuò)誤；若

/，機(jī)異面，則a,￡相交，即見，有公共點(diǎn)，故C正確；若a,/有公共點(diǎn)，則a,￡相交，但口〃未必相

交，故。錯(cuò)誤.故選C.

5.【答案】B

cosa-smal-tana今乜1

--------：—=-------=3,故tana=--,則

cosa+sma1+tana2

故tan12a一；

=7.故選B.

6.【答案】D

【解析】若數(shù)字T出現(xiàn)1次，則有C%x25=192種可能；若數(shù)字T出現(xiàn)3次，有C：x2?=160種可能；若

數(shù)字力”出現(xiàn)5次，則有C；x2=12種可能，故數(shù)字“1”出現(xiàn)奇數(shù)次的不同密碼個(gè)數(shù)為364.故選D.

7.【答案】C

【解析】依題意，尸(2,0),設(shè)直線/:y=2(x—2),聯(lián)立〃=?卜一2)',則/一6丁—16=0,解得

33=8招

、,故直線加的斜率4=!，故直線盛：N=,丫+4,直線

、=8或y=—2,不妨設(shè)

IN722

1I/,I

的斜率〃=一2,故直線PN:y=-2x-L聯(lián)立〈2'解得x=-2,y=3,即尸(—2,3),則

y=-2x—1,

|。尸|=癡.故選c.

8.【答案】C

4x

【解析】設(shè)4E=x,則Z)E=J16+X2,由等面積法可知，/斤=,16；-2.由已知得ZC，平面

故4C_L4產(chǎn),CF=)4+當(dāng)J；因?yàn)?。尸J.4尸,4Cc/尸=4,故平面4尸。.故

V16+x2

DF1FC,DF=J16--1%，故S「8F=：-CR,,工.二*Z匚=5,當(dāng)且僅當(dāng)

V16+x222

L16x214+」工，即必=史時(shí)取等號，此時(shí)四面體NCDE外

16一記壽

16+x25

接球的半徑R滿足(27?)2=AD2+AC2+AE2=^,而四面體ABCD外接球的半徑必滿足

14837

(2R'Y9=AB2+AC2+AD2=36,故所求比值為-----=—.故選C.

'75x3645

9.【答案】AD(每選對1個(gè)得3分)

7C7兀、.c,,,一最為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故工

【解析】fX----=---c-os2x--H---=-sin2x,故fx

241212)

正確；將X哈代入/(x)=cos"x+總中，得/底)=cos(2x^+總=—4,±1,故3錯(cuò)誤;

/(X)在(才刃上先增后減，故C錯(cuò)誤；g(x)=2/(x)-近在(0,2兀)上有4個(gè)零點(diǎn)，分別是

7兀5兀1971117TjkA.…—

—故。正確.故選/D.

126126

10.【答案】ABD(每選對1個(gè)得2分)

【解析】設(shè)

GR),Z；<=>ZJ=Z

Z]-a+bi.,z2-c+ch(ci,b,c,d-Z2—ZX—Z2-ZX2-Z2O2bi-2cHob-d,故

Z]—z?=。-c為實(shí)數(shù)，故Z正確；忖-2聞=卜1(Z]—Z2)|=|Z[HZ「Z2|=|Z1HZ2-ZJ,故8正確：令

Z]=l-i,Z2=2i,故婷=/，但不HZ；,故C錯(cuò)誤；若/=下，則(a+6i)2=(a—她2,故"=(),即

。=0或6=0,故D正確.故選ABD.

11.【答案】ACD(每選對1個(gè)得2分)

【解析】因?yàn)?(x)的圖象關(guān)于(1,2)中心對稱，故/正確；由/("A/l)=2—x,可得

/(X)-/(4-X)=8-4X,則/(2—X)—/(2+X)=4X,則/⑴=2,〃3)=-2,由

/(-1)+/(3)=4,得/(一1)=6。/(3),故5錯(cuò)誤；由/(2-x)-f(2+x)=4x,得

4-/(x)-f(2+x)=4x,f(x)+/(x+2)=4-4x①."(x+2)+/(x+4)=-4—4x(2),②-①得

/(x+4)-/(x)=—8,又2025=l+4x506,.■./(2025)=/(l)-8x506=2-8x506=-4046,故C正

確；又由①得

/。、5x4

/(2)+/(4)=-4,/./(1)+/(2)+/(3)+/(4)=-4,.?.￡/(/)=-4x5+丁x(-32)=-340,故D正確.

/=12

故選ACD.

(31f313

12.【答案】一”,彳(寫成之4,7；或Z,不均給分〉

I2」[2J2

'313

【解析】依題意，B=\xx>A,A={y\x<2},而Zc3=0,則4,萬.所以實(shí)數(shù)2的取值范圍為

3

13.【答案】2；-(第一空2分，第二空3分)

4

【解析】由正弦定理，2sinBcosC+2cosBsiiiC=2sin(B+C)=2SHL4=izsiiU,因?yàn)閟in4A0,故

a-2；而28》511155111。=35也2/,由正弦定理，26cccw4=3/,由余弦定理，

12,2_2

2bc-~-=3a2,得/+C2=4〃，取線段8C的中點(diǎn)為。，由平行四邊形四條邊的平方和等于對

2bc

角線的平方和可得，2(〃+。2)=4|/。|2+。2,則|/0]=近，則當(dāng)工。為3。邊上的高時(shí)，山四。的面

由余弦定理，co"=出空半駕E3

積取得最大值,

2X2V2X2>/24

14.【答案】變

2

【解析】易知MNLPM,設(shè)直線上W：_y=丘，不妨設(shè)點(diǎn)",N分別在第一象限、第三象限，則直線尸河

y=kx)

的斜率5*=-2；聯(lián)立，

x2y2］，則

k—+vr=1

lab

l加abky(ababk

N,而；|麗I，|麗I，函cos/NO。成

222，222

{>/ak+bylak+b)l加/+/，+b2J

abkabk

abk2402k2+6」y/a2k2+/2k

等比數(shù)列，則。故直線NP的斜率/>N二左坦

2y1a2k2+b2)—-。+,而2

y/a2k2+b2

由點(diǎn)差法可知，kpM?kpN~"=~~~~~~2，故所求離心率°=Jl—冬=-—■

k22a\a2

2

15.解：(1)依題意，/(x)=21nx-3x+2,^/(x)=--3,

則/⑴=-1,

/(1)=T，

故所求切線方程為歹+1=—(x—1),即x+y=O.

⑵依題意，21nx-mx+2,,0,故zn…'對任意xe(0,+8)恒成立.

令g(x)=-------，貝Ug(x)=-p-，

令g'(x)=0,解得x=l.

故當(dāng)XG(0,l)時(shí),g'(x)>o,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(L+e)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

則當(dāng)x=l時(shí)，g(x)取到極大值，也是最大值2

故實(shí)數(shù)加的取值范圍為［2,+。）

16.解：（1）記“數(shù)組Q1的數(shù)據(jù)之和不大于8”為事件M,“數(shù)組^2的數(shù)據(jù)之和大于8”為事件N,

13

則尸(M)=l-a="

C；+C；+l_3

尸儂）=

一一二父

9

故所求概率P=P(H)P(N)=詬.

（2）依題意，X的可能取值為1,2,3,4；

P(X=I)=L_L=_L二

I)CC；40'I)C3C3C3C320

尸(X=3)=G3+LC=3尸(x=4)=q.G=2

'c：CjCjC；8，IJC：Cj20

則X的分布列為

X1234

1339

p

4020820

133913

則E(X)=lx—+2x—+3x±+4x二-=2-

v740208204

17.（1）證明：記ns交/c于點(diǎn)o,連接so.

因?yàn)?BCD是菱形，所以且。為AD的中點(diǎn).

因?yàn)?5=必，所以SO_L8D,

又因?yàn)?C,SOu平面NSC,且NCcSO=O,所以助_L平面ZSC,

因?yàn)镾Cu平面ZSC,所以SC_L5D.

（2）解：取的中點(diǎn)R,連接。口交NC于點(diǎn)7?,連接5E.

因?yàn)镹/BC=120°，所以□/§￡＞是等邊三角形，所以。48.

又因?yàn)?SDC=90°,故SDLAB,SDcDF=D,SD,DFu平面SDF,

所以/3_L平面M叩.又Mu平面5Z*,所以Z3_LSE.

由(1)知BD上SE,且NBcBZ?=B,所以甌，平面4BCD.

不妨設(shè)48=2.則ZE=-^―=亞,/。=AB-cos30°=y/3.

cos30°3

在口/SC中，由月S_LSC,得甌2=/石.后。=逋乂拽=?,所以題=亞

3333

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。氏。。所在直線分別為x軸、y軸，過點(diǎn)。作垂直平面/3CD的直線為z軸，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系,

則力(o,—括,O),B(I,O,O),C(O,>/^O),S[O,_*，￥],

I33J

所以刀=(1,"0),麗=(1,-戊0),麗=。,-咚,半

\337

設(shè)平面S43的法向量為4=（玉，%,zj,

62nc

瓦?麗=0,_

一演一一—yl+——zl=0,

所以33

瓦?刀=0

產(chǎn)1+折1=o，

【國,-孚、;

令必=1得耳=

7

設(shè)平面1sBe的法向量為k2=（工2,%/2）,

布246n

萬2?麗=0,~xz--~yi+-r-z2=°，

所以■__=<33

T?2-CB=0產(chǎn)2-島2=0，

令%=1得4=出1叫.

->/3xV3+lxl-^x>/2

故cos瓦，萬2~T，

(-布丫+12+Ixj(何+4+(偽2

所以平面SAB與平面SBC所成二面角的正弦值為亞

3

18.解:（1）依題意，尸

則直線尸尺的斜率為10'

--Z

2

則直線網(wǎng)：/_3=4（丫_2）,即y=4x-5；

x2--=114

聯(lián)立'3,得13/一40%+28=0,解得x=2或工=二,

.U13

y=4x-5

12717

故所求弦長為Vl+42x2--

13

（2）口尸。尸的外心落在雙曲線C在點(diǎn)尸的切線上，證明過程如下,

設(shè)雙曲線C在點(diǎn)尸的切線斜率為無，則在點(diǎn)P處的切線方程為歹一%=A;（x-Xo）,

y-y0=k（x-x0）,

聯(lián)立,2y2得（3-廿）/_2左（%一如）》_（先_狂0）2-3=0,

13

其中左2*3,則A=4』（%-加0）2+4（3-42）［（十一%2+3=0,

2

而看一?！?：!,故只+3=3x；,代入上式可得，kyl~6kxoyo+9xl=0,

解得左=也，故雙曲線C在點(diǎn)P處的切線方程為丁一%=也（萬一/），即-*=1.

%為3

直線產(chǎn)。的斜率為原■。二一學(xué)，線段尸0的中點(diǎn)為石（"咚］,

3142）

故直線尸0的中垂線方程為>一與—|X——|,

24J

廣國=2_匕_鼻

畔在22%1社3x0+2*一6（2x°+l3/+2"-6

聯(lián)可得夕--------，故外心坐標(biāo)為,

_2x0+l4%I44%

I4

其滿足?尤-牛=1,故口PQR的外心落在雙曲線。在點(diǎn)尸處的切線上.

10

19.解：(1)若q=l,則科0=10。1=0,解得q=0,則Z|q|=0,與題設(shè)矛盾，舍去;

7=1

若夕H1，則品=%（1-，）=（）,得q=-L,