2024屆浙江省樂清外國語學(xué)院高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆浙江省樂清外國語學(xué)院高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像A．向左平移個長度單位 B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位2．已知底面半徑為1，體積為的圓柱，內(nèi)接于一個高為圓錐（如圖），線段AB為圓錐底面的一條直徑，則從點A繞圓錐的側(cè)面到點B的最短距離為（）A．8 B． C． D．43．不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為（）A．1 B． C． D．4．定義在R上的函數(shù)fx既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若fx的最小正周期是π，且當x∈0,π2A．-12 B．32 C．5．曲線與過原點的直線沒有交點，則的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．6．在數(shù)列中，，，則的值為：A．52 B．51 C．50 D．497．《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作．其中的一道題“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．問：得幾何？”意思是：“有一塊棱長為3尺的正方體方木，要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭，可作多少個？”現(xiàn)有這樣的一個正方體木料，其外周已涂上油漆，則從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率為()A． B． C． D．8．已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和如圖2所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取的學(xué)生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（）A．， B．， C．， D．，9．等比數(shù)列,…的第四項等于(

)A．-24 B．0 C．12 D．2410．已知，，且，則實數(shù)等于（）A．-1 B．-9 C．3 D．9二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)，，，則，，從小到大排列為______12．住在同一城市的甲、乙兩位合伙人,約定在當天下午4.00-5：00間在某個咖啡館相見商談合作事宜，他們約好當其中一人先到后最多等對方10分鐘,若等不到則可以離去,則這兩人能相見的概率為__________．13．不等式的解為_______．14．隨機抽取100名年齡在[10，20），[20，30），…，[50，60）年齡段的市民進行問卷調(diào)查，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機抽取12人，則在[50，60）年齡段抽取的人數(shù)為______.15．已知向量，，則______.16．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，b=1,則_____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖．在四棱錐中，，，平面ABCD，且．，，M、N分別為棱PC，PB的中點.（1）證明：A，D，M，N四點共面，且平面ADMN；（2）求直線BD與平面ADMN所成角的正弦值．18．某質(zhì)檢機構(gòu)檢測某產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，在甲、乙兩廠勻速運行的自動包裝傳送帶上每隔10分鐘抽一包產(chǎn)品，稱其質(zhì)量（單位：克），分別記錄抽查數(shù)據(jù)，獲得質(zhì)量數(shù)據(jù)莖葉圖（如圖）.（1）該質(zhì)檢機構(gòu)采用了哪種抽樣方法抽取的產(chǎn)品？根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，求甲、乙兩廠產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）若從甲廠6件樣品中隨機抽取兩件.①列舉出所有可能的抽取結(jié)果；②記它們的質(zhì)量分別是克，克，求的概率.19．已知數(shù)列滿足：，（1）求，的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）設(shè)，數(shù)列的前n項和，求證：20．如圖，某廣場中間有一塊綠地，扇形所在圓的圓心為，半徑為,，廣場管理部門欲在綠地上修建觀光小路：在上選一點，過修建與平行的小路，與平行的小路，設(shè)所修建的小路與的總長為，.（1）試將表示成的函數(shù)；（2）當取何值時，取最大值？求出的最大值.21．如圖，在平行四邊形中，，，，與的夾角為．（1）若，求、的值；（2）求的值；（3）求與的夾角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】試題分析：記函數(shù)，則函數(shù)∵函數(shù)f（x）圖象向右平移單位，可得函數(shù)的圖象∴把函數(shù)的圖象右平移單位，得到函數(shù)的圖象,故選B.考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．2、C【解析】

先求解圓錐的底面半徑,再根據(jù)側(cè)面展開圖的結(jié)構(gòu)計算扇形中間的距離即可.【詳解】設(shè)圓柱的高為,則,得.因為,所以為的中位線,所以,則.即圓錐的底面半徑為1,母線長為4,則展開后所得扇形的弧長為,圓心角為.所以從點A繞圓錐的側(cè)面到點B的最短距離為.故選：C.【點睛】本題主要考查了圓柱與圓錐內(nèi)切求解有關(guān)量的問題以及圓錐的側(cè)面積展開求距離最小值的問題.屬于中檔題.3、D【解析】

畫出可行域，根據(jù)邊界點的坐標計算出平面區(qū)域的面積.【詳解】畫出可行域如下圖所示，其中，故平面區(qū)域為三角形，且三角形面積為，故選D.【點睛】本小題主要考查線性規(guī)劃可行域面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】分析：要求f(5π3)，則必須用f(x)=詳解：∵f(x)的最小正周期是π∴f∵f(x)是偶函數(shù)∴f-π∵當x∈[0，π2則f故選B點睛：本題是一道關(guān)于正弦函數(shù)的題目，掌握正弦函數(shù)的周期性是解題的關(guān)鍵，考查了函數(shù)的周期性和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．5、A【解析】

作出曲線的圖形，得出各射線所在直線的傾斜角，觀察直線在繞著原點旋轉(zhuǎn)時，直線與曲線沒有交點時，直線的傾斜角的變化，由此得出的取值范圍.【詳解】當，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當，時，由得，該射線所在直線的傾斜角為.作出曲線的圖象如下圖所示：由圖象可知，要使得過原點的直線與曲線沒有交點，則直線的傾斜角的取值范圍是，故選：A.【點睛】本題考查直線傾斜角的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合思想，解題的關(guān)鍵就是作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想進行求解，屬于中等題.6、A【解析】

由，得到，進而得到數(shù)列首項為2，公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，數(shù)列滿足，即，又由，所以數(shù)列首項為2，公差為的等差數(shù)列，所以，故選A．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的通項公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

有一塊棱長為3尺的正方體方木，要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭，可作216個，由正方體的結(jié)構(gòu)及鋸木塊的方法，可知一面帶有紅漆的木塊是每個面的中間那16塊，共有6×16＝96個，由此能求出從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率．【詳解】有一塊棱長為3尺的正方體方木，要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭，可作216個，由正方體的結(jié)構(gòu)及鋸木塊的方法，可知一面帶有紅漆的木塊是每個面的中間那16塊，共有6×16＝96個，∴從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率：p．故選C．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、正方體的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．對于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個數(shù)除以總的事件個數(shù)即可.8、B【解析】

試題分析：由題意知，樣本容量為，其中高中生人數(shù)為，高中生的近視人數(shù)為，故選B.【考點定位】本題考查分層抽樣與統(tǒng)計圖，屬于中等題.9、A【解析】由x，3x+3，6x+6成等比數(shù)列得選A.考點：該題主要考查等比數(shù)列的概念和通項公式，考查計算能力.10、C【解析】

由可知,再利用坐標公式求解.【詳解】因為,,且,所以,即,解得,故選:C.【點睛】本題考查向量的坐標運算,解題關(guān)鍵是明確.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

首先利用輔助角公式，半角公式，誘導(dǎo)公式分別求出，，的值，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性對，，排序即可.【詳解】由題知，，，因為正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了輔助角公式，半角公式，誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

將甲、乙到達時間設(shè)為（以為0時刻，單位為分鐘）.則相見需要滿足：畫出圖像，根據(jù)幾何概型公式得到答案.【詳解】根據(jù)題意：將甲、乙到達時間設(shè)為（以為0時刻，單位為分鐘）則相見需要滿足：畫出圖像：根據(jù)幾何概型公式：【點睛】本題考查了幾何概型的應(yīng)用，意在考查學(xué)生解決問題的能力.13、【解析】

把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解．【詳解】由題意，不等式，等價于，解得．即不等式的解為故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟記分式不等式的解法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．14、3【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖，求得不小于40歲的人的頻率及人數(shù)，再利用分層抽樣的方法，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得樣本中不小于40歲的人的頻率是0.015×10+0.005×10=0.2，所以不小于40歲的人的頻數(shù)是100×0.2=20；從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機抽取12人，在[50，60）年齡段抽取的人數(shù)為．【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及頻率分布直方圖中概率的計算方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

求出，然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方，利用數(shù)量積的運算計算．【詳解】由題意得，.，.，，.故答案為：．【點睛】本題考查求向量的模，掌握數(shù)量積的定義與運算律是解題基礎(chǔ)．本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算．16、2【解析】

根據(jù)條件，利用余弦定理可建立關(guān)于c的方程，即可解出c.【詳解】由余弦定理得，即，解得或（舍去）.故填2.【點睛】本題主要考查了利用余弦定理求三角形的邊，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)【解析】

（1）先證，再證，即可得證；要證平面ADMN，可通過求證PB垂直于ADMN中的兩條交線來證明（2）求直線BD與平面ADMN所成角，需要找出BD在平面ADMN的射影，可通過三垂線定理去進行證明【詳解】解：（1）證明因為M，N分別為PC，PB的中點，所以；又因為，所以．從而A，D，M，N四點共面；因為平面ABCD，平面ABCD．所以，又因為，，所以平面PAB，從而，因為，且N為PB的中點，所以；又因為，所以平面ADMN；（2）如圖，連結(jié)DN；由（1）知平面ADMN，所以，DN為直線BD在平面ADMN內(nèi)的射影，且，所以，即為直線BD與平面ADMN所成的角：在直角梯形ABCD內(nèi)，過C作于H，則四邊形ABCH為矩形；，在中，；所以，，，在中，，，，所以.綜上，直線BD與平面ADMN所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理，考查了線面角的求解方法，考查了運算能力及空間想象能力，屬于中檔題.18、（1）系統(tǒng)抽樣；乙廠產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)，乙廠質(zhì)量的中位數(shù)是113；甲廠質(zhì)量的平均數(shù)，甲廠質(zhì)量的中位數(shù)是113（2）①詳見解析②【解析】

（1）根據(jù)抽樣方式即可確定抽樣方法；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，即可分別求得兩組的平均數(shù)與中位數(shù)；（2）由甲廠的樣品數(shù)據(jù)，即可由列舉法得所有可能；根據(jù)列舉的數(shù)據(jù)，即可得滿足的情況，即可求得復(fù)合要求的概率.【詳解】（1）由題意該質(zhì)檢機構(gòu)抽取產(chǎn)品采用的抽樣方法為系統(tǒng)抽樣，甲廠質(zhì)量的平均數(shù)，甲廠質(zhì)量的中位數(shù)是113，乙廠產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)，乙廠質(zhì)量的中位數(shù)是113.（2）①從甲廠6件樣品中隨機抽取兩件，分別為：，，，共15個.②設(shè)“”為事件，則事件共有5個結(jié)果：.所以的概率.【點睛】本題考查了莖葉圖的簡單應(yīng)用，由莖葉圖求平均值與中位數(shù)，列舉法求古典概型概率的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、(1)；；(2)(3)見證明；【解析】

（1）令可求得；（2）在已知等式基礎(chǔ)上，用代得另一等式，然后相減，可求得，并檢驗一下是否適合此表達式；（3）用裂項相消法求和．【詳解】解：（1）由已知得，∴(2)由，①得時，，②①-②得∴，也適合此式，∴（）．（3）由（2）得，∴∴∵，∴∴【點睛】本題考查由數(shù)列的通項公式，考查裂項相消法求和．求通項公式時的方法與已知求的方法一樣，本題就相當于已知數(shù)列的前項和，要求．注意首項求法的區(qū)別．20、（1），；（2）時，.【解析】

（1）由扇形的半徑為，在中，，則，利用正弦定理求出、，從而可得出函數(shù)；（2）利用三角恒等變換思想，可得出，，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求出的最大值.【詳解】（1）由于扇形的半徑為，，在中，，由正弦定理，，同理.，；（2），.，，當，即時，.【點睛】本題考查三角函數(shù)的實際應(yīng)用，考查正弦定理與三角恒等變換思想的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是利用三角恒等變換思想將三角函數(shù)解析式化簡，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.21、（1），；（2）；（3）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)向量的運算有，可知，由模長即可求得、的值；（2）先求得向量,再