2024年高考數(shù)學(xué)終極押題密卷1（全國甲卷文科）含答案

2024年高考數(shù)學(xué)終極押題密卷1（全國甲卷文科）一．選擇題（共12小題）1．若集合M＝{x|log2x＜4}，N＝{x|2x≥1}，則M∩N＝（）A．{x|0≤x＜8} B． C．{x|2≤x＜16} D．2．已知m∈R，且，其中i是虛數(shù)單位，則|m﹣2i|等于（）A．5 B． C． D．13．某校高三年級的700名學(xué)生中，男生有385名，女生有315名．從中抽取一個容量為60的樣本，則抽取男生和女生的人數(shù)分別為（）A．31，29 B．32，28 C．33，27 D．34，264．正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5，4a3，﹣2a4成等差數(shù)列，若，則a1a7＝（）A．4 B．8 C．32 D．645．已知p：?x∈R，x2+x﹣1＞0；q：?x∈R，2x＞3x，則真命題是（）A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）6．如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則＝（）A． B． C． D．7．已知直線m，n與平面α，β，γ，下列命題中正確的是（）A．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，則m∥n B．若m∥α，m⊥β，則α⊥β C．若α∥β，m⊥α，β⊥γ，則m∥γ D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥α8．△ABC中，角A、B，C的對邊分別為a，b，c，若，則A＝（）A． B． C． D．9．若函數(shù)f（x）＝2ax2+3x﹣1在區(qū)間[﹣1，1]內(nèi)恰有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）A．{a|﹣1＜a＜2} B．{a|a＝﹣，或﹣1＜a＜2} C．{a|﹣1≤a≤2} D．{a|a＝﹣，或﹣1≤a≤2}10．已知函數(shù)f（x）＝（ax+1）ex，給出下列4個圖象（）其中，可以作為函數(shù)f（x）的大致圖象的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若過F1的直線與圓相切，與C在第一象限交于點(diǎn)P，且PF2⊥x軸，則C的離心率為（）A． B．3 C． D．12．已知a，b，c均為正數(shù)，且，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a(chǎn)＜c＜b D．a(chǎn)＜b＜c二．填空題（共4小題）13．如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為14，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16，則x+y的值為．14．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則z＝2x+y的最小值為．15．已知奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若當(dāng)x＜0時f（x）＝x2﹣，且f′（﹣1）＝0．則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為．16．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在直線x＝5上．當(dāng)∠F1PF2取最大值時，＝．三．解答題（共7小題）17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an是Sn與2的等差中項(xiàng)．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．18．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，M，N分別是BC，CC1的中點(diǎn)，AB1⊥MN．（1）證明：MN⊥平面AB1M；（2）求四棱錐A﹣B1MNC1的體積．19．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的離心率為，且過點(diǎn)A（2，1）．（1）求C的方程；（2）點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．20．在①2csinBcosA＝b（sinAcosB+cosAsinB）；②sin2B+sin2C+cos2A﹣1＝sin（A+B）sin（A+C）；③；這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面對問題中，并解答問題．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足_____．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若△ABC的面積為，D為AC的中點(diǎn)，求BD的最小值．21．已知函數(shù)f（x）＝（2x2﹣x3）e1﹣x，其中x＞0．（1）求f（x）的最大值；（2）若不等式ax2e1﹣x+|lnx|≥a對于任意的x∈（0，3）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1：（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2：ρ＝2acosθ（a＞0）．（1）求曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)射線與C1相交于A，B兩點(diǎn)，與C2相交于M點(diǎn)（異于O），若|OM|＝|AB|，求a．23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣2|+|x﹣t|（t＞0）的最小值為2．（Ⅰ）求不等式f（x）+|x﹣t|≥8的解集；（Ⅱ）若ct+1＞0，且4a2+3b2+2c3＝2t+1，求2ab+bc+2ca的最大值．

2024年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)終極押題密卷1（全國甲卷文科）參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）1．若集合M＝{x|log2x＜4}，N＝{x|2x≥1}，則M∩N＝（）A．{x|0≤x＜8} B． C．{x|2≤x＜16} D．【考點(diǎn)】指、對數(shù)不等式的解法；交集及其運(yùn)算．【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】直接解出集合M，N，再求交集即可．【解答】解：M＝{x|log2x＜4}＝{x|0＜x＜16}，，則．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．已知m∈R，且，其中i是虛數(shù)單位，則|m﹣2i|等于（）A．5 B． C． D．1【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算，得到m＝﹣1，再使用模長公式求解．【解答】解：由得（1+2i）（1+i）＝m+3i，即﹣1+3i＝m+3i，解得m＝﹣1，故．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．3．某校高三年級的700名學(xué)生中，男生有385名，女生有315名．從中抽取一個容量為60的樣本，則抽取男生和女生的人數(shù)分別為（）A．31，29 B．32，28 C．33，27 D．34，26【考點(diǎn)】分層抽樣方法．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)據(jù)分析．【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣原理求出抽取的人數(shù)．【解答】解：根據(jù)分層抽樣原理知，60×＝33，60×＝27，所以抽取男生33人，女生27人．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了分層抽樣原理應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．4．正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a5，4a3，﹣2a4成等差數(shù)列，若，則a1a7＝（）A．4 B．8 C．32 D．64【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】由等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比，即可得到所求值．【解答】解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，a1＞0，q＞0，由a5，4a3，﹣2a4成等差數(shù)列，可得8a3＝a5﹣2a4，即8a1q2＝a1q4﹣2a1q3，即有q2﹣2q﹣8＝0，解得q＝4（﹣2舍去），又a2＝，即4a1＝，解得a1＝，所以a1a7＝××46＝64．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．已知p：?x∈R，x2+x﹣1＞0；q：?x∈R，2x＞3x，則真命題是（）A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）【考點(diǎn)】復(fù)合命題及其真假．【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)合命題以及二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可解．【解答】解：q：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，x＜0時，2x＞3x，∴?x∈R，2x＞3x，為真命題，p：x2+x﹣1＞0，Δ＝1+4＝5＞0，∴y＝x2+x﹣1在＝0時有解，∴?x∈R不能使x2﹣x﹣1＞0成立，∴p為假命題，∴p∧q中，p為假命題，A不選，故A錯誤；p∨（?q）中，p、?q都為假命題，B不選，故B錯誤；（?p）∨q中，兩者都是真命題，∴選C，故C正確；（?p）∧（?q），?p為真命題，?q為假命題，D不選，故D錯誤．故選C．【點(diǎn)評】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)判斷復(fù)合命題真假，屬于基礎(chǔ)題．6．如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則＝（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【答案】D【分析】運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義以及性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到所求值．【解答】解：四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，可得?＝2×2×cos60°＝2，則＝（+）?＝（+）?（﹣）＝（×4﹣4+×2）＝﹣，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查向量的加減運(yùn)算和向量數(shù)量積的定義以及性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．7．已知直線m，n與平面α，β，γ，下列命題中正確的是（）A．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，則m∥n B．若m∥α，m⊥β，則α⊥β C．若α∥β，m⊥α，β⊥γ，則m∥γ D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥α【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)抽象．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由直線與平面垂直的性質(zhì)分析A、C，由平面與平面垂直的判定定理分析B、D，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，直線m、n都在平面γ內(nèi)，兩直線可能相交，A錯誤；對于B，由平面與平面垂直的判定定理，B正確；對于C，若α∥β，m⊥α，則m⊥β，若β⊥γ，則m∥γ或m?γ，C錯誤；對于D，當(dāng)m?β時，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，才有m⊥α，D錯誤．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．8．△ABC中，角A、B，C的對邊分別為a，b，c，若，則A＝（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理．【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】由已知結(jié)合二倍角公式，正弦定理及輔助角公式進(jìn)行化簡即可求解．【解答】解：因?yàn)椋絚（1+cosA），所以sinAsinC＝sinC+sinCcosA，因?yàn)閟inC＞0，所以sinA＝1+cosA，即sinA﹣cosA＝1，所以2sin（A﹣）＝1，所以sin（A﹣）＝，因?yàn)?＜A＜π，則A＝．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了二倍角公式，正弦定理，輔助角公式在三角求值中的應(yīng)用，屬于中檔題．9．若函數(shù)f（x）＝2ax2+3x﹣1在區(qū)間[﹣1，1]內(nèi)恰有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）A．{a|﹣1＜a＜2} B．{a|a＝﹣，或﹣1＜a＜2} C．{a|﹣1≤a≤2} D．{a|a＝﹣，或﹣1≤a≤2}【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專題】分類討論；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)題意，分a＝0和a≠0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，以及零點(diǎn)存在性定理，列出不等式，即可求解．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝2ax2+3x﹣1，若a＝0，可得f（x）＝3x﹣1，令f（x）＝0，即3x﹣1＝0，解得，符合題意；若a≠0，令f（x）＝0，即2ax2+3x﹣1＝0，可得Δ＝9+8a，當(dāng)Δ＝0時，即9+8a＝0，解得，此時f（x）＝﹣2x2+3x﹣1，解得，符合題意；當(dāng)△＞0時，即a＞﹣且a≠0，則滿足f（﹣1）?f（1）＝（2a﹣4）（2a+2）≤0，解得﹣1≤a≤2且a≠0，若a＝﹣1，可得f（x）＝﹣2x2+3x﹣1，令f（x）＝0，即2x2﹣3x+1＝0，解得x＝1或，兩根均在[﹣1，1]內(nèi)，符合題意；若a＝2，可得f（x）＝4x2+3x﹣1，令f（x）＝0，即4x2+3x﹣1＝0，解得x＝﹣1或，兩根均在[﹣1，1]內(nèi)，符合題意；綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為或﹣1≤a≤2}．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、分類討論思想及函數(shù)的零點(diǎn)，屬于中檔題．10．已知函數(shù)f（x）＝（ax+1）ex，給出下列4個圖象（）其中，可以作為函數(shù)f（x）的大致圖象的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的圖象與圖象的變換．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象．【答案】D【分析】根據(jù)題意，首先分析a＝0時的圖象，當(dāng)a≠0時，分析f（x）的零點(diǎn)，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出其導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，分3種情況討論不同a的值對應(yīng)的圖象，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，f（x）＝（ax+1）ex，當(dāng)a＝0時，f（x）＝ex，其圖象與①對應(yīng)，當(dāng)a≠0時，其導(dǎo)數(shù)f′（x）＝aex+（ax+1）ex＝（ax+a+1）ex，若f′（x）＝0，解可得x＝﹣，若f（x）＝（ax+1）ex＝0，則x＝﹣，分3種情況討論：①a＞0時，有﹣＜﹣＜0，對于f（x）＝（ax+1）ex，在區(qū)間（﹣∞，﹣）上，ax+1＜0，有f（x）＜0，在區(qū)間（﹣，+∞），ax+1＞0，有f（x）＞0，對于f′（x）＝（ax+a+1）ex，在區(qū)間（﹣∞，﹣）上，ax+a+1＜0，有f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，在區(qū)間（﹣，+∞）上，ax+a+1＞0，有f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，其圖象與②對應(yīng)；②當(dāng)﹣1＜a＜0時，有﹣＜0＜﹣，對于f（x）＝（ax+1）ex，在區(qū)間（﹣∞，﹣）上，ax+1＞0，有f（x）＞0，在區(qū)間（﹣，+∞），ax+1＜0，有f（x）＜0，對于f′（x）＝（ax+a+1）ex，在區(qū)間（﹣∞，﹣）上，ax+a+1＞0，有f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，在區(qū)間（﹣，+∞）上，ax+a+1＜0，有f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，其圖象與③對應(yīng)；③當(dāng)a≤﹣1時，有0≤﹣＜﹣，對于f（x）＝（ax+1）ex，在區(qū)間（﹣∞，﹣）上，ax+1＞0，有f（x）＞0，在區(qū)間（﹣，+∞），ax+1＜0，有f（x）＜0，對于f′（x）＝（ax+a+1）ex，在區(qū)間（﹣∞，﹣）上，ax+a+1＞0，有f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，在區(qū)間（﹣，+∞）上，ax+a+1＜0，有f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，其圖象與④對應(yīng)，綜合可得：可以作為函數(shù)f（x）的大致圖象的有4個．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，屬于中檔題．11．已知F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，若過F1的直線與圓相切，與C在第一象限交于點(diǎn)P，且PF2⊥x軸，則C的離心率為（）A． B．3 C． D．【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】由PF2⊥x軸，結(jié)合雙曲線的方程，求得P的坐標(biāo)，直線PF1的方程，圓的圓心和半徑，由直線和圓相切的條件，化簡整理，解方程可得所求離心率．【解答】解：設(shè)F2（c，0），令x＝c，可得y2＝b2（﹣1），解得y＝±，可得P（c，），直線PF1的方程為y＝（x+c），又圓的圓心為（c，0），半徑為c，直線PF1與圓相切，可得＝c，化為b2＝4ac，即（c2﹣a2）＝4ac，可得e2﹣4e﹣＝0，解得e＝（舍去）．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．12．已知a，b，c均為正數(shù)，且，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a(chǎn)＜c＜b D．a(chǎn)＜b＜c【考點(diǎn)】對數(shù)值大小的比較．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】將所求拆分成，令，q（x）＝﹣log4（x+3），且x＞0，a，b，c可看作函數(shù)f（x）與g（x），h（x），q（x）的交點(diǎn)，通過函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)的增長速度結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可比較出a，b，c的大?。窘獯稹拷猓嚎勺冃螢椋嚎勺冃螢椋嚎勺冃螢椋?，令，且x＞0，可知a，b，c分別為函數(shù)f（x）與g（x），h（x），q（x）的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，當(dāng)x＞0時，f（x）單調(diào)遞增且f（1）＝﹣3，f（2）＝0，g（x），h（x），q（x）這三個函數(shù)全部單調(diào)遞減，且g（1）＝h（1）＝q（1）＝﹣1＞﹣3，g（2）＝﹣3＜0，h（2）＝﹣7＜0，q（2）＝﹣log45＜﹣1＜0，由零點(diǎn)存在性定理可知：a，b，c∈（1，2），所以只需判斷g（x），h（x），q（x）這三個函數(shù)的單調(diào)性，在x∈（1，2）范圍內(nèi)下降速度快的，交點(diǎn)橫坐標(biāo)小，下降速度慢的交點(diǎn)橫坐標(biāo)大，由圖象可知，q（x）＝﹣log4（x+3）下降速度最慢，所以c最大，g′（x）＝﹣2xln2，h′（x）＝﹣3xln3，x＞0時，g′（x）＞h′（x），所以交點(diǎn)a＞b，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查對數(shù)值大小的比較，屬于中檔題．二．填空題（共4小題）13．如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分）．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為14，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16，則x+y的值為9．【考點(diǎn)】莖葉圖．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為14，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16，由莖葉圖列出方程組求出x，y，由此能求出x+y的值．【解答】解：根據(jù)莖葉圖知，甲組數(shù)據(jù)是9，12，10+x，24，27；它的中位數(shù)為14，∴x＝4；乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為＝16，∴y＝5；∴x+y＝4+5＝9；故答案為：9．【點(diǎn)評】本題考查代數(shù)式的值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意中位數(shù)、平均數(shù)、莖葉圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用，14．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則z＝2x+y的最小值為2．【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】對應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】2．【分析】根據(jù)不等式組可作出可行域，將問題轉(zhuǎn)化為直線y＝﹣2x+z在y軸截距最小值的求解，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果．【解答】解：根據(jù)不等式組可得可行域如下圖陰影部分所示，當(dāng)z＝2x+y取得最小值時，直線y＝﹣2x+z在y軸截距最小，由圖象可知：當(dāng)y＝﹣2x+z過A（0，2）時，在y軸截距最小，所以zmin＝0+2＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了簡單線性規(guī)劃、數(shù)形結(jié)合思想，作出圖象是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15．已知奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若當(dāng)x＜0時f（x）＝x2﹣，且f′（﹣1）＝0．則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣1，0），（0，1）．．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理．【答案】（﹣1，0），（0，1）．【分析】根據(jù)題意可得f′（x）＝2x+，f′（﹣1）﹣2+a＝0，解得a，分析f（x）的單調(diào)性，再由奇函數(shù)的對稱性可得答案．【解答】解：當(dāng)x＜0時，f（x）＝x2﹣，f′（x）＝2x+，因?yàn)閒′（﹣1）＝0，所以﹣2+a＝0，解得a＝2，所以當(dāng)x＜0時，f（x）＝x2﹣，f′（x）＝2x+＝2（x+）＝2?，令f′（x）＝0得x＝﹣1，所以在（﹣1，0）上f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，在（﹣∞，﹣1）上f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，又函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，所以在（0，1）上f（x）單調(diào)遞增，在（1，+∞）上f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣1，0），（0，1）．故答案為：（﹣1，0），（0，1）．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意在轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．16．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在直線x＝5上．當(dāng)∠F1PF2取最大值時，＝．【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；不等式的解法及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】．【分析】設(shè)出P的坐標(biāo)，利用兩角和與差的正切函數(shù)，結(jié)合基本不等式，求解P的坐標(biāo)，然后求解結(jié)果即可．【解答】解：雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，可得F1（﹣3，0），F(xiàn)2（3，0）．點(diǎn)P在直線x＝5上．設(shè)∠F1PF2＝α，P（5，t），t＞0，可得tanα＝＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)t＝4時取等號，此時tanα取得最大值，即∠F1PF2取最大值，此時P（5，4），＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，是中檔題．三．解答題（共7小題）17．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an是Sn與2的等差中項(xiàng)．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系求遞推關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列定義以及通項(xiàng)公式即可求解；（2）先拆項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法求和．【解答】解：（1）由2an＝Sn+2得，2an﹣1＝Sn﹣1+2（n≥2），兩式相減得an＝2an﹣1（n≥2），當(dāng)n＝1時，a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，則；（2）由（1）知，bn＝n，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和＝＝，即．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．18．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，M，N分別是BC，CC1的中點(diǎn)，AB1⊥MN．（1）證明：MN⊥平面AB1M；（2）求四棱錐A﹣B1MNC1的體積．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）證明過程見解答；（2）．【分析】（1）推導(dǎo)出AM⊥BC，AM⊥CC1，從而AM⊥平面BCC1B1，MN⊥AM，由此能證明MN⊥平面AB1M；（2）設(shè)BC＝2a，由MN⊥平面AB1M，得MB1⊥MN，利用勾股定理求出BC＝2，由AM⊥平面BCC1B1，得四棱錐A﹣B1MNC1的高為AM＝，求出＝﹣﹣S△CMN＝，由此能求出四棱錐A﹣B1MNC1的體積．【解答】解：（1）證明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，M，N分別是BC，CC1的中點(diǎn)，AB1⊥MN，∴AM⊥BC，AM⊥CC1，∵BC∩CC1＝C，∴AM⊥平面BCC1B1，∵M(jìn)N?平面BCC1B1，∴MN⊥AM，∵AB1∩AM＝A，∴MN⊥平面AB1M；（2）設(shè)BC＝2a，∵M(jìn)N⊥平面AB1M，∴MB1⊥MN，∴+MN2＝B1N2，∴4+a2+1+a2＝4a2+1，解得a＝，∴BC＝2，∵AM⊥平面BCC1B1，∴四棱錐A﹣B1MNC1的高為AM＝＝，＝﹣﹣S△CMN＝＝，∴四棱錐A﹣B1MNC1的體積為：V＝＝＝．【點(diǎn)評】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理、四棱錐的體積等基礎(chǔ)知識，運(yùn)算求解能力，是中檔題．19．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的離心率為，且過點(diǎn)A（2，1）．（1）求C的方程；（2）點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點(diǎn)Q，使得|DQ|為定值．【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】分類討論；分類法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由題可知，，解出a2和b2的值即可；（2）分兩大類進(jìn)行討論：①當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝kx+m，與橢圓方程聯(lián)立，消去y，寫出韋達(dá)定理，結(jié)合＝0可得m＝1﹣2k或m＝，分別找出兩種情形下直線MN所過的定點(diǎn)，并利用圓的幾何性質(zhì)可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②當(dāng)直線MN的斜率不存在時，此時D為（，1），驗(yàn)證Q（，）是否符合題意即可．【解答】解：（1）∵離心率，∴a＝c，又a2＝b2+c2，∴b＝c，a＝b，把點(diǎn)A（2，1）代入橢圓方程得，，解得b2＝3，故橢圓C的方程為．（2）①當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝kx+m，聯(lián)立，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，由Δ＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣6）＞0，知m2＜6k2+3，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2＝，x1x2＝，∵AM⊥AN，∴＝（x1﹣2，y1﹣1）?（x2﹣2，y2﹣1）＝0，即（k2+1）x1x2+（km﹣k﹣2）（x1+x2）+m2﹣2m+5＝0，∴（k2+1）?+（km﹣k﹣2）（）+m2﹣2m+5＝0，化簡整理得，4k2+8km+3m2﹣2m﹣1＝（2k+m﹣1）（2k+3m+1）＝0，∴m＝1﹣2k或m＝，當(dāng)m＝1﹣2k時，y＝kx﹣2k+1，過定點(diǎn)A（2，1），不符合題意，舍去；當(dāng)m＝時，y＝kx，過定點(diǎn)B．∵AD⊥MN，∴點(diǎn)D在以AB為直徑的圓上，故當(dāng)點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，即Q（，）時，|DQ|＝，為定值；②當(dāng)直線MN的斜率不存在時，設(shè)其方程為x＝t，M（t，s），N（t，﹣s），且，∵AM⊥AN，∴＝（t﹣2，s﹣1）?（t﹣2，﹣s﹣1）＝t2﹣4t﹣s2+5＝＝0，解得t＝或2（舍2），∴D（，1），此時|DQ|＝，為定值．綜上所述，存在定點(diǎn)Q（，），使得|DQ|為定值，且該定值為．【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的求法、直線與橢圓的位置關(guān)系中的定值問題，涉及分類討論的思想和先猜后證的方法，有一定的計(jì)算量，考查學(xué)生的邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和運(yùn)算能力，屬于難題．20．在①2csinBcosA＝b（sinAcosB+cosAsinB）；②sin2B+sin2C+cos2A﹣1＝sin（A+B）sin（A+C）；③；這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面對問題中，并解答問題．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足_____．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若△ABC的面積為，D為AC的中點(diǎn)，求BD的最小值．【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理；余弦定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4．【分析】（Ⅰ）選擇①：由正弦定理，余弦定理可得cosA的值，再由角A的范圍，可得角A的大??；選擇②：由正弦定理和余弦定理可得cosA的值，再由角A的范圍，可得角A的大小；若選擇③：由正弦定理和余弦定理可得tanA的值，再由角A的范圍，可得角A的大??；（Ⅱ）由三角形的面積公式及余弦定理，基本不等式可得BD的最小值．【解答】解：（Ⅰ）若選擇①：2csinBcosA＝b（sinAcosB+cosAsinB），由正弦定理可得：2sinCsinBcosA＝sinBsin（A+B）＝sinBsinC，因C∈（0，π），B∈（0，π），故sinC≠0，sinB≠0，解得，又因?yàn)锳∈（0，π），所以；若選擇②：sin2B+sin2C+cos2A﹣1＝sin（A+B）sin（A+C），則sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinCsinB，由正弦定理可得：b2+c2﹣a2＝bc，而由余弦定理可得：b2+c2﹣a2＝2bccosA，所以cosA＝，因A∈（0，π），所以A＝；若選擇③：，由正弦定理可得：，再由余弦定理得：，即，因?yàn)锳∈（0，π），所以；（Ⅱ），又，所以bc＝64，在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝BA2+AD2﹣2BA?DAcosA＝c2+（）2﹣2c??＝c2+﹣bc≥2﹣bc＝bc＝32，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以BD的最小值為．【點(diǎn)評】本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．21．已知函數(shù)f（x）＝（2x2﹣x3）e1﹣x，其中x＞0．（1）求f（x）的最大值；（2）若不等式ax2e1﹣x+|lnx|≥a對于任意的x∈（0，3）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）1；（2）[﹣1，1]．【分析】（1）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，極值最值情況，求出最大值；（2）先考慮x＝1時滿足題意，再分0＜x＜1與x＞1兩種情況，求導(dǎo)后變形，與題干中的f（x）建立聯(lián)系，分類討論求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）f'（x）＝（x3﹣5x2+4x）e1﹣x＝x（x﹣1）（x﹣4）e1﹣x，x＞0，令f'（x）＝x（x﹣1）（x﹣4）e1﹣x＞0，解得：x＞4或0＜x＜1，令f'（x）＝x（x﹣1）（x﹣4）e1﹣x＜0，解得：1＜x＜4，故f（x）＝（2x2﹣x3）e1﹣x在（0，1）和（4，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，4）上單調(diào)遞減，故f（x）＝（2x2﹣x3）e1﹣x在x＝1處取得極大值，f（1）＝e1﹣1＝1，令f（x）＝（2x2﹣x3）e1﹣x＝x2（2﹣x）e1﹣x，即當(dāng)x＞2時，f（x）＜0恒成立，故f（x）＝（2x2﹣x3）e1﹣x在x＝1處取得最大值，f（x）max＝1；（2）設(shè)g（x）＝ax2e1﹣x+|lnx|﹣a，其中x＞0，①當(dāng)x＝1時，g（1）＝0，符合題意，②當(dāng)0＜x＜1時，g（x）＝ax2e1﹣x﹣lnx﹣a，且，由（1）知：f（x）在（0，1）單調(diào)遞增，故f（x）∈（f（0），f（1））＝（0，1），若a＜0，g'（x）＜0，則g（x）單調(diào)遞減，有g(shù)（x）＞g（1）＝0，符合題意，若a＝0，g（x）＝﹣lnx＞0，符合題意，若，即0＜a≤1時，g'（x）＜0，則g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，有g(shù)（x）＞g（1）＝0，符合題意，若，即a＞1時，存在x0∈（0，1）使得，當(dāng)x∈（x0，1）時，，故g'（x）＞0，則g（x）單調(diào)遞增，可得g（x）＜g（1）＝0，不合題意，因此當(dāng)0＜x＜1時，滿足題意得a∈（﹣∞，1]，③當(dāng)x＞1時，g（x）＝ax2e1﹣x+lnx﹣a，且，由②可知：只需考慮a≤1，若，即a＜﹣1時，由（1）知f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，故f（x）∈（f（2），f（1））＝（0，1），存在x1∈（1，2），使得，當(dāng)x∈（1，x1）時，，得g'（x）＜0，則g（x）單調(diào)遞減，可得：g（x）＜g（1）＝0，不合題意，若，即﹣1≤a＜0時，由（1）可知：當(dāng)x＞1時，f（x）＜1，，故g'（x）＞0，則g（x）在（1，3）上單調(diào)遞增，有g(shù)（x）＞g（1）＝0，符合題意，若a＝0，g（x）＝lnx＞0，符合題意，若0＜a≤1，下面證明0＜a≤1符合題意，當(dāng)x≥e時，ax2e1﹣x＞0，故g（x）＞lnx﹣a≥lnx﹣1≥0，當(dāng)1≤x＜e時，設(shè)h（x）＝x2e1﹣x﹣1，則h'（x）＝x（2﹣x）e1﹣x，可得h（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，在（2，e）上單調(diào)遞減，故h（x）＞min{h（1），h（e）}＝min{0，e3﹣e﹣1}＝0，從而g（x）＝a?h（x）+lnx＞0，符合題意，綜上：a∈[﹣1，1]．【點(diǎn)評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了函數(shù)恒成立問題，同時考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于難題．22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1：（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2：ρ＝2acosθ（a＞0）．（1）求曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)射線與C1相交于A，B兩點(diǎn)，與C2相交于M點(diǎn)（異于O），若|OM|＝|AB|，求a．【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）；（x﹣a）2+y2＝a2．（2）．【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，在參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；（2）利用極徑的應(yīng)用和三角函數(shù)的值的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：（1）已知曲線C1：（t為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：，根據(jù)轉(zhuǎn)換為曲線C1的極坐標(biāo)方程為：；曲線C2：ρ＝2acosθ（a＞0）．根據(jù)轉(zhuǎn)換為曲線C2的直角坐標(biāo)方程為：（x﹣a）2+y2＝a2．（2）將代入，得，即，解得ρ1＝1，，所以．又，而|OM|＝|AB|，所以．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，極徑的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣2|+|x﹣t|（t＞0）的最小值為2．（Ⅰ）求不等式f（x）+|x﹣t|≥8的解集；（Ⅱ）若ct+1＞0，且4a2+3b2+2c3＝2t+1，求2ab+bc+2ca的最大值．【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；絕對值不等式的解法．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（Ⅰ）或x≥6}；（Ⅱ）5．【分析】（Ⅰ）由f（x）的最小值為2，可得t＝4，將函數(shù)寫成分段函數(shù)，求解即可；（Ⅱ）由題意可得c＞﹣，從而得2c+1＞0，（2c+1）（c﹣1）2≥0，進(jìn)一步得2c3+1≥3c2，于是有10＝4a2+3b2+2c3+1≥4a2+3b2+3c2，再結(jié)合重要不等式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣2|+|x﹣t|≥|（x﹣2）﹣（x﹣t）|＝|t﹣2|，∴f（x）min＝|t﹣2|，又f（x）＝|x﹣2|+|x﹣t|（t＞0）的最小值為2，∴|t﹣2|＝2，∴t＝4（t＝0舍去）．∴f（x）+|x﹣t|＝|x﹣2|+2|x﹣4|＝，當(dāng)x＜2時，令10﹣3x≥8，得，∴x≤；當(dāng)2≤x≤4時，令6﹣x≥8，得x≤﹣2，無解；當(dāng)x＞4時，令3x﹣10≥8，得x≥6，∴x≥6．綜上，不等式的解集為或x≥6}．（Ⅱ）∵ct+1＞0?4c+1＞0，解得c＞﹣，所以2c+1＞﹣+1＝＞0，∴（2c+1）（c﹣1）2＝2c3﹣3c2+1≥0，當(dāng)c＝1時，等號成立，∴2c3+1≥3c2，又∵4a2+3b2+2c3＝2t+1＝9，于是10＝4a2+3b2+2c3+1≥4a2+3b2+3c2，而2a2+2b2≥4ab，2a2+2c2≥4ac，b2+c2≥2bc，將以上三個式子相加，得（2a2+2b2）+（2a2+2c2）+（b2+c2）≥4ab+4ac+2bc，即4a2+3b2+3c2≥4ab+4ac+2bc，∴10≥4a2+3b2+3c2≥4ab+4ac+2bc，∴4ab+4ac+2bc≤10，2ab+bc+2ca≤5，∴2ab+bc+2ca的最大值為5，取等號條件為a＝b＝c＝1．【點(diǎn)評】本題考查了含絕對值不等式的解法、重要不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．交集及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運(yùn)算形狀：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．2．復(fù)合命題及其真假【知識點(diǎn)的認(rèn)識】含有邏輯連接詞“或”“且”“非”的命題不一定是復(fù)合命題．若此命題的真假滿足真值表，就是復(fù)合命題，否則就是簡單命題．邏輯中的“或”“且”“非”與日常用語中的“或”“且”“非”含義不盡相同．判斷復(fù)合命題的真假要根據(jù)真值表來判定．【解題方法點(diǎn)撥】能判斷真假的、陳述句、反詰疑問句都是命題，而不能判斷真假的陳述句、疑問句以及祈使句都不是命題．能判斷真假的不等式、集合運(yùn)算式也是命題．寫命題P的否定形式，不能一概在關(guān)鍵詞前、加“不”，而要搞清一個命題研究的對象是個體還是全體，如果研究的對象是個體，只須將“是”改成“不是”，將“不是”改成“是”即可．如果命題研究的對象不是一個個體，就不能簡單地將“是”改成“不是”，將“不是”改成“是”，而要分清命題是全稱命題還是存在性命題（所謂全稱命題是指含有“所有”“全部”“任意”這一類全稱量訶的命題；所謂存在性命題是指含有“某些”“某個”“至少有一個”這一類存在性量詞的命題，全稱命題的否定形式是存在性命題，存在性命題的否定形式是全稱命題．因此，在表述一個命題的否定形式的時候，不僅“是”與“不是”要發(fā)生變化，有關(guān)命題的關(guān)鍵詞也應(yīng)發(fā)生相應(yīng)的變化，常見關(guān)鍵詞及其否定形式附表如下：關(guān)鍵詞等于（＝）大于（＞）小于（＜）是能都是沒有至多有一個至少有一個至少有n個至多有n個任意的任兩個P且QP或Q否定詞不等于（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不能不都是至少有一個至少有兩個一個都沒有至多有n﹣1個至少有n+1個某個某兩個?P或?Q?P且?Q若原命題P為真，則?P必定為假，但否命題可真可假，與原命題的真假無關(guān)，否命題與逆命題是等價命題，同真同假．3．指、對數(shù)不等式的解法【知識點(diǎn)的認(rèn)識】指、對數(shù)不等式的解法其實(shí)最主要的就是兩點(diǎn)，第一點(diǎn)是判斷指、對數(shù)的單調(diào)性，第二點(diǎn)就是學(xué)會指數(shù)和指數(shù)，對數(shù)和對數(shù)之間的運(yùn)算，下面以例題為講解．【解題方法點(diǎn)撥】例1：已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．證明：對任意的實(shí)數(shù)x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）設(shè)h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，當(dāng)x＞1時，h'（x）＞0，h（x）為增，當(dāng)x＜1時，h'（x）＜0，h（x）為減，當(dāng)x＝1時，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．這里面是一個綜合題，解題的思路主要還是判斷函數(shù)的單調(diào)性，尤其是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查的重點(diǎn)其實(shí)是大家的計(jì)算能力．例2：已知函數(shù)f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．解：∵不等式f（x）≥g（x），即loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），∴當(dāng)a＞1時，有，解得2＜x＜3．當(dāng)1＞a＞0時，有，解得1＜x＜2．綜上可得，當(dāng)a＞1時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（2，3）；當(dāng)1＞a＞0時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（1，2）．這個題考查的就是對數(shù)函數(shù)不等式的求解，可以看出主要還是求單調(diào)性，當(dāng)然也可以右邊移到左邊，然后變成一個對數(shù)函數(shù)來求解也可以．【命題方向】本考點(diǎn)其實(shí)主要是學(xué)會判斷各函數(shù)的單調(diào)性，然后重點(diǎn)考察學(xué)生的運(yùn)算能力，也是一個比較重要的考點(diǎn)，希望大家好好學(xué)習(xí)．4．簡單線性規(guī)劃【知識點(diǎn)的認(rèn)識】線性規(guī)劃主要用于解決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題，它是一種重要的數(shù)學(xué)模型．簡單的線性規(guī)劃指的是目標(biāo)函數(shù)含兩個自變量的線性規(guī)劃，其最優(yōu)解可以用數(shù)形結(jié)合方法求出．我們高中階段接觸的主要是由三個二元一次不等式組限制的可行域，然后在這個可行域上面求某函數(shù)的最值或者是斜率的最值．【解題方法點(diǎn)撥】1．畫出平面區(qū)域．避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化．2．在通過求直線的截距的最值間接求出z的最值時，要注意：當(dāng)b＞0時，截距取最大值時，z也取最大值；截距取最小值時，z也取最小值；當(dāng)b＜0時，截距取最大值時，z取最小值；截距取最小值時，z取最大值．【命題方向】例：若目標(biāo)函數(shù)z＝x+y中變量x，y滿足約束條件．（1）試確定可行域的面積；（2）求出該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解．解：（1）作出可行域如圖：對應(yīng)得區(qū)域?yàn)橹苯侨切蜛BC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），則可行域的面積S＝＝．（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，則平移直線y＝﹣x+z，則由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（2，3）時，直線y＝﹣x+z得截距最小，此時z最小為z＝2+3＝5，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B（4，3）時，直線y＝﹣x+z得截距最大，此時z最大為z＝4+3＝7，故該線性規(guī)劃問題中所有的最優(yōu)解為（4，3），（2，3）這是高中階段接觸最多的關(guān)于線性規(guī)劃的題型，解這種題一律先畫圖，把每條直線在同一個坐標(biāo)系中表示出來，然后確定所表示的可行域，也即范圍；最后通過目標(biāo)函數(shù)的平移去找到它的最值．題型一：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域典例1：若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx+分為面積相等的兩部分，則k的值是（）A．B．C．D．分析：畫出平面區(qū)域，顯然點(diǎn)（0，）在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線系過定點(diǎn)（0，），結(jié)合圖形尋找直線平分平面區(qū)域面積的條件即可．解答：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．由于直線y＝kx+過定點(diǎn)（0，）．因此只有直線過AB中點(diǎn)時，直線y＝kx+能平分平面區(qū)域．因?yàn)锳（1，1），B（0，4），所以AB中點(diǎn)D（，）．當(dāng)y＝kx+過點(diǎn)（，）時，＝+，所以k＝．答案：A．點(diǎn)評：二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測試點(diǎn)定域．注意不等式中不等號有無等號，無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實(shí)線．測試點(diǎn)可以選一個，也可以選多個，若直線不過原點(diǎn)，則測試點(diǎn)常選取原點(diǎn)．題型二：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值典例2：設(shè)x，y滿足約束條件：，求z＝x+y的最大值與最小值．分析：作可行域后，通過平移直線l0：x+y＝0來尋找最優(yōu)解，求出目標(biāo)函數(shù)的最值．解答：先作可行域，如圖所示中△ABC的區(qū)域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直線l0：x+y＝0，再將直線l0平移，當(dāng)l0的平行線l1過點(diǎn)B時，可使z＝x+y達(dá)到最小值；當(dāng)l0的平行線l2過點(diǎn)A時，可使z＝x+y達(dá)到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．點(diǎn)評：（1）線性目標(biāo)函數(shù)的最大（小）值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，也可能在邊界處取得．（2）求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，明確和直線的縱截距的關(guān)系．題型三：實(shí)際生活中的線性規(guī)劃問題典例3：某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表：年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤（總利潤＝總銷售收入﹣總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為（）A．50，0B．30，20C．20，30D．0，50分析：根據(jù)線性規(guī)劃解決實(shí)際問題，要先用字母表示變量，找出各量的關(guān)系列出約束條件，設(shè)出目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題．解析設(shè)種植黃瓜x畝，韭菜y畝，則由題意可知求目標(biāo)函數(shù)z＝x+0.9y的最大值，根據(jù)題意畫可行域如圖陰影所示．當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線l向右平移，移至點(diǎn)A（30，20）處時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即當(dāng)黃瓜種植30畝，韭菜種植20畝時，種植總利潤最大．故答案為：B點(diǎn)評：線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，最好是列成表格，找出線性約束條件，寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡單的線性規(guī)劃問題，再按如下步驟完成：（1）作圖﹣﹣畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點(diǎn)的那一條l；（2）平移﹣﹣將l平行移動，以確定最優(yōu)解的對應(yīng)點(diǎn)A的位置；（3）求值﹣﹣解方程組求出A點(diǎn)坐標(biāo)（即最優(yōu)解），代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值．題型四：求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值典例4：（1）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為．（2）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1，0），若點(diǎn)M（x，y）為平面區(qū)域上的一個動點(diǎn)，則|+|的最小值是．分析：與二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域有關(guān)的非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題的求解一般要結(jié)合給定代數(shù)式的幾何意義來完成．解答：（1）表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)（0，0）連線的斜率，在點(diǎn)（1，）處取到最大值．（2）依題意得，+＝（x+1，y），|+|＝可視為點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（﹣1，0）間的距離，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形可知，在該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)中，由點(diǎn)（﹣1，0）向直線x+y＝2引垂線的垂足位于該平面區(qū)域內(nèi)，且與點(diǎn)（﹣1，0）的距離最小，因此|+|的最小值是＝．故答案為：（1）（2）．點(diǎn)評：常見代數(shù)式的幾何意義有（1）表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)（0，0）的距離；（2）表示點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（a，b）之間的距離；（3）表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)（0，0）連線的斜率；（4）表示點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（a，b）連線的斜率．5．函數(shù)的圖象與圖象的變換【知識點(diǎn)的認(rèn)識】函數(shù)圖象的作法：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點(diǎn)；（3）連線．解題方法點(diǎn)撥：一般情況下，函數(shù)需要同解變形后，結(jié)合函數(shù)的定義域，通過函數(shù)的對應(yīng)法則，列出表格，然后在直角坐標(biāo)系中，準(zhǔn)確描點(diǎn)，然后連線（平滑曲線）．命題方向：一般考試是以小題形式出現(xiàn)，或大題中的一問，常見考題是，常見函數(shù)的圖象，有時結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性知識結(jié)合命題．圖象的變換1．利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線．首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等）．其次：列表（尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等），描點(diǎn)，連線．2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象（1）平移變換：y＝f（x）a＞0，右移a個單位（a＜0，左移|a|個單位）?y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b個單位（b＜0，下移|b|個單位）?y＝f（x）+b．（2）伸縮變換：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸為原來的A倍（0＜A＜1，縮為原來的A倍）?y＝Af（x）．（3）對稱變換：y＝f（x）關(guān)于x軸對稱?y＝﹣f（x）；y＝f（x）關(guān)于y軸對稱?y＝f（﹣x）；y＝f（x）關(guān)于原點(diǎn)對稱?y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折變換：y＝f（x）去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖，將y軸右邊的圖象翻折到左邊?y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x軸上方圖將x軸下方圖翻折上去y＝|f（x）|．【解題方法點(diǎn)撥】1、畫函數(shù)圖象的一般方法（1）直接法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式（或變形后的表達(dá)式）是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的曲線時，可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出．（2）圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響．（3）描點(diǎn)法：當(dāng)上面兩種方法都失效時，則可采用描點(diǎn)法．為了通過描少量點(diǎn)，就能得到比較準(zhǔn)確的圖象，常常需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)討論．2、尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對應(yīng)關(guān)系的方法（1）知圖選式：①從圖象的左右、上下分布，觀察函數(shù)的定義域、值域；②從圖象的變化趨勢，觀察函數(shù)的單調(diào)性；③從圖象的對稱性方面，觀察函數(shù)的奇偶性；④從圖象的循環(huán)往復(fù)，觀察函數(shù)的周期性．利用上述方法，排除錯誤選項(xiàng)，篩選正確的選項(xiàng)．（2）知式選圖：①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．④從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．利用上述方法，排除錯誤選項(xiàng)，篩選正確選項(xiàng)．注意聯(lián)系基本函數(shù)圖象和模型，當(dāng)選項(xiàng)無法排除時，代特殊值，或從某些量上尋找突破口．3、（1）利有函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．（2）利用函數(shù)的圖象研究方程根的個數(shù)有關(guān)方程解的個數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)；利用此法也可由解的個數(shù)求參數(shù)值．【命題方向】（1）1個易錯點(diǎn)﹣﹣圖象變換中的易錯點(diǎn)在解決函數(shù)圖象的變換問題時，要遵循“只能對函數(shù)關(guān)系式中的x，y變換”的原則，寫出每一次的變換所得圖象對應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯．（2）3個關(guān)鍵點(diǎn)﹣﹣正確作出函數(shù)圖象的三個關(guān)鍵點(diǎn)為了正確地作出函數(shù)圖象，必須做到以下三點(diǎn)：①正確求出函數(shù)的定義域；②熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y＝x+的函數(shù)；③掌握平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來幫助我們簡化作圖過程．（3）3種方法﹣﹣?zhàn)R圖的方法對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面來獲取圖中所提供的信息，解決這類問題的常用方法有：①定性分析法，也就是通過對問題進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢，利用這一特征來分析解決問題；②定量計(jì)算法，也就是通過定量的計(jì)算來分析解決問題；③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．6．函數(shù)的最值及其幾何意義【知識點(diǎn)的認(rèn)識】函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質(zhì)，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點(diǎn)的值，然后進(jìn)行比較可得．【解題方法點(diǎn)撥】①基本不等式法：如當(dāng)x＞0時，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②轉(zhuǎn)化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點(diǎn)到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；③求導(dǎo)法：通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出極值，再結(jié)合端點(diǎn)的值最后進(jìn)行比較．【命題方向】本知識點(diǎn)是常考點(diǎn)，重要性不言而喻，而且通常是以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視．本知識點(diǎn)未來將仍然以復(fù)合函數(shù)為基礎(chǔ)，添加若干個參數(shù)，然后求函數(shù)的定義域、參數(shù)范圍或者滿足一些特定要求的自變量或者參數(shù)的范圍．常用方法有分離參變量法、多次求導(dǎo)法等．7．對數(shù)值大小的比較【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、若兩對數(shù)的底數(shù)相同，真數(shù)不同，則利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較．2、若兩對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量（1，﹣1，0）進(jìn)行比較3、若兩對數(shù)的底數(shù)不同，真數(shù)也不同，則利用函數(shù)圖象或利用換底公式化為同底的再進(jìn)行比較．（畫圖的方法：在第一象限內(nèi)，函數(shù)圖象的底數(shù)由左到右逐漸增大）8．函數(shù)零點(diǎn)的判定定理【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：一般地，如果函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b）＜0，那么函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，這個c也就是f（x）＝0的根．特別提醒：（1）根據(jù)該定理，能確定f（x）在（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，但零點(diǎn)不一定唯一．（2）并不是所有的零點(diǎn)都可以用該定理來確定，也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數(shù)在（a，b）上沒有零點(diǎn)，例如，函數(shù)f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）?f（3）＞0，但函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上有兩個零點(diǎn)．（3）若f（x）在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f（a）．f（b）＜0，則f（x）在（a，b）上有唯一的零點(diǎn)．【解題方法點(diǎn)撥】函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷方法：（1）幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f（x）的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．特別提醒：①“方程的根”與“函數(shù)的零點(diǎn)”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有兩個等根，而函數(shù)f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一個零點(diǎn)；②函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)而不是數(shù)軸上的點(diǎn)．（2）代數(shù)法：求方程f（x）＝0的實(shí)數(shù)根．9．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【知識點(diǎn)的認(rèn)識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，已知等差數(shù)列的首項(xiàng)a1，公差d，那么第n項(xiàng)為an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m項(xiàng)為am，則第n項(xiàng)為an＝am+（n﹣m）d．【解題方法點(diǎn)撥】eg1：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2+1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并判斷{an}是不是等差數(shù)列解：當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝12+1＝2，當(dāng)n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴an＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{an}不是等差數(shù)列考察了對概念的理解，除掉第一項(xiàng)這個數(shù)列是等差數(shù)列，但如果把首項(xiàng)放進(jìn)去的話就不是等差數(shù)列，題中an的求法是數(shù)列當(dāng)中常用到的方式，大家可以熟記一下．eg2：已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為a﹣1，2a+1，a+7則這個數(shù)列的通項(xiàng)公式為解：∵等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．這個題很好的考察了的呢公差數(shù)列的一個重要性質(zhì)，即等差中項(xiàng)的特點(diǎn)，通過這個性質(zhì)然后解方程一樣求出首項(xiàng)和公差即可．【命題方向】求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是一種很常見的題型，這里面往往用的最多的就是等差中項(xiàng)的性質(zhì)，這也是學(xué)習(xí)或者復(fù)習(xí)時應(yīng)重點(diǎn)掌握的知識點(diǎn)．10．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，公比q也是非零常數(shù)．2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝a1?qn﹣13．等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．G2＝a?b（ab≠0）4．等比數(shù)列的常用性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動數(shù)列．11．?dāng)?shù)列的求和【知識點(diǎn)的認(rèn)識】就是求出這個數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：③幾個常用數(shù)列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，即＝（）．（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．分析：形如的求和，可使用裂項(xiàng)相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝．點(diǎn)評：該題的第二問用的關(guān)鍵方法就是裂項(xiàng)求和法，這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項(xiàng)求和．【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點(diǎn)，大家要學(xué)會上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．12．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t＝2p時，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項(xiàng)開始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）．2、等比數(shù)列的性質(zhì)．（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動數(shù)列．13．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個區(qū)間，列表考察這若干個區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．【解題方法點(diǎn)撥】若在某區(qū)間上有有限個點(diǎn)使f′（x）＝0，在其余的點(diǎn)恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．【命題方向】題型一：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系典例1：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（﹣1）＝2，對任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，設(shè)g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）＝f′（x）﹣2，∵對任意x∈R，f′（x）＞2，∴對任意x∈R，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，則由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），故選：B題型二：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用典例2：已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；（Ⅲ）求證：．解：（Ⅰ）（2分）當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；當(dāng)a＝0時，f（x）不是單調(diào)函數(shù)（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）＝﹣2∴由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此時f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴l(xiāng)nx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，∴∴14．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、函數(shù)的最大值和最小值觀察圖中一個定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x）的圖象．圖中f（x1）與f（x3）是極小值，f（x2）是極大值．函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．說明：（1）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f（x）不一定有最大值與最小值．如函數(shù)f（x）＝在（0，+∞）內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；（2）函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的．（3）函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，是f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（4）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個2、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：由上面函數(shù)f（x）的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求f（x）在（a，b）內(nèi)的極值；（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數(shù)f（x）在[a，b]上的最值．【解題方法點(diǎn)撥】在理解極值概念時要注意以下幾點(diǎn)：（1）按定義，極值點(diǎn)x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點(diǎn)，不會是端點(diǎn)a，b（因?yàn)樵诙它c(diǎn)不可導(dǎo)）．（2）極值是一個局部性概念，只要在一個小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)取得．一個函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一個點(diǎn)的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值小．（3）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點(diǎn)之間必有一個極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個極小值點(diǎn)之間必有一個極大值點(diǎn)，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個極值點(diǎn)時，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的，（5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)．15．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：（1）＝＝||cosθ；（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）（3）當(dāng)，方向相同時，＝||||；當(dāng)，方向相反時，＝﹣||||；特別地：＝||2或||＝（用于計(jì)算向量的模）（4）cosθ＝（用于計(jì)算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）（5）||≤||||2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：；（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；（3）分配律：（）?≠?（）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是相同的，有些不一樣．【解題方法點(diǎn)撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是①②．解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“”，即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，即③錯誤；∵||≠|(zhì)|?||，∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；即④錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，即⑤錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴”不能類比得到，即⑥錯誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到