2023-2024學年北京市東城第50中高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2023-2024學年北京市東城第50中高一數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知變量x與y負相關，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)=1.5，=5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是（）A． B．C． D．2．設，若，則數(shù)列是（）A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．奇數(shù)項遞增，偶數(shù)項遞減的數(shù)列 D．偶數(shù)項遞增，奇數(shù)項遞減的數(shù)列3．將函數(shù)的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象的函數(shù)解析式是()A． B．C． D．4．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前10項和為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的最小正周期是，其圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù).有下列結(jié)論：①函數(shù)的圖象關于點對稱；②函數(shù)的圖象關于直線對稱；③函數(shù)在上是減函數(shù)；④函數(shù)在上的值域為.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．46．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則7．等差數(shù)列中，，則數(shù)列前9項的和等于（）A．66 B．99 C．144 D．2978．已知某7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為4，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù)5，此時這8個數(shù)的方差為（）A． B．3 C． D．49．已知函數(shù)，正實數(shù)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，且滿足，若實數(shù)是方程的一個解，那么下列四個判斷：①；②；③；④中一定不成立的是（）A．① B．②③ C．①④ D．④10．在公比為2的等比數(shù)列中，，則等于（）A．4 B．8 C．12 D．24二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設是等差數(shù)列的前項和，若，，則公差（___）．12．據(jù)兩個變量、之間的觀測數(shù)據(jù)畫成散點圖如圖，這兩個變量是否具有線性相關關系_____（答是與否）.13．若在區(qū)間（且）上至少含有30個零點，則的最小值為_____．14．若數(shù)列滿足，，，則______.15．如圖，海岸線上有相距海里的兩座燈塔A，B，燈塔B位于燈塔A的正南方向．海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔A的北偏西，與A相距海里的D處；乙船位于燈塔B的北偏西方向，與B相距海里的C處，此時乙船與燈塔A之間的距離為海里，兩艘輪船之間的距離為海里．16．若，則______（用表示）.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）在中，若，且，求的值.18．已知數(shù)列的前項和為，且，.（1）求證：數(shù)列的通項公式；（2）設，，求.19．已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)增區(qū)間；（3）若，求的最大值與最小值.20．在等比數(shù)列中，.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.21．某地合作農(nóng)場的果園進入盛果期，果農(nóng)利用互聯(lián)網(wǎng)電商渠道銷售蘋果，蘋果單果直徑不同則單價不同，為了更好的銷售，現(xiàn)從該合作農(nóng)場果園的蘋果樹上隨機摘下了50個蘋果測量其直徑，經(jīng)統(tǒng)計，其單果直徑分布在區(qū)間內(nèi)（單位：)，統(tǒng)計的莖葉圖如圖所示：（Ⅰ)按分層抽樣的方法從單果直徑落在，的蘋果中隨機抽取6個，則從，的蘋果中各抽取幾個？（Ⅱ)從（Ⅰ)中選出的6個蘋果中隨機抽取2個，求這兩個蘋果單果直徑均在內(nèi)的概率；（Ⅲ)以此莖葉圖中單果直徑出現(xiàn)的頻率代表概率，若該合作農(nóng)場的果園有20萬個蘋果約5萬千克待出售，某電商提出兩種收購方案：方案：所有蘋果均以5.5元/千克收購；方案：按蘋果單果直徑大小分3類裝箱收購，每箱裝25個蘋果，定價收購方式為：單果直徑在內(nèi)按35元/箱收購，在內(nèi)按45元/箱收購，在內(nèi)按55元/箱收購.包裝箱與分揀裝箱費用為5元/箱（該費用由合作農(nóng)場承擔).請你通過計算為該合作農(nóng)場推薦收益最好的方案.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

先由變量負相關，可排除D；再由回歸直線過樣本中心，即可得出結(jié)果.【詳解】因為變量x與y負相關，所以排除D；又回歸直線過樣本中心，A選項，過點，所以A正確；B選項，不過點，所以B不正確；C選項，不過點，所以C不正確；故選A【點睛】本題主要考查線性回歸直線，熟記回歸直線的意義即可，屬于?？碱}型.2、C【解析】

根據(jù)題意，由三角函數(shù)的性質(zhì)分析可得，進而可得函數(shù)為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)與數(shù)列的關系分析可得答案。【詳解】根據(jù)題意，，則，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)即即即即，數(shù)列是奇數(shù)項遞增，偶數(shù)項遞減的數(shù)列，故選：C.【點睛】本題涉及數(shù)列的函數(shù)特性，利用函數(shù)單調(diào)性，通過函數(shù)的大小，反推變量的大小，是一道中檔題目。3、C【解析】

將函數(shù)的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，所得函數(shù)圖象的解析式為y＝sin(x－);再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象的函數(shù)解析式是.故選C.4、C【解析】

由判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，再求出，利用等比數(shù)列前項和公式求解即可.【詳解】由，得，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，又，所以，由等比數(shù)列前項和公式，.故選：C【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列前項和公式的應用，考查學生的計算能力，屬于基礎題.5、C【解析】

根據(jù)函數(shù)最小正周期可求得,由函數(shù)圖象平移后為奇函數(shù),可求得,即可得函數(shù)的解析式.再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性判斷①②,利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷③,由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷④即可.【詳解】函數(shù)的最小正周期是則,即向右平移個單位可得由為奇函數(shù),可知解得因為所以當時,則對于①,當時,代入解析式可得,即點不為對稱中心,所以①錯誤;對于②,當時帶入的解析式可得,所以函數(shù)的圖象關于直線對稱,所以②正確;對于③,的單調(diào)遞減區(qū)間為解得當時,單調(diào)遞減區(qū)間為,而,所以函數(shù)在上是減函數(shù),故③正確;對于④,當時,由正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知,,故④正確.綜上可知,正確的為②③④故選:C【點睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)和平移變換求得解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)判斷選項,屬于基礎題.6、D【解析】試題分析：，,故選D.考點：點線面的位置關系.7、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合條件可得，進而求得.再根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式表示出，即可得解.【詳解】等差數(shù)列中，，則，解得，因而，由等差數(shù)列前n項和公式可得，故選：B.【點睛】本題考查了等差數(shù)列性質(zhì)的應用，等差數(shù)列前n項和公式的用法，屬于基礎題.8、C【解析】

由平均數(shù)公式求得原有7個數(shù)的和，可得新的8個數(shù)的平均數(shù)，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．【詳解】因為7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為4，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù)5，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為，方差為，由平均數(shù)和方差的計算公式可得，.故選：C.【點睛】本題考查均值與方差的概念，掌握均值與方差的計算公式是解題關鍵．9、D【解析】

先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，分兩種情況討論：①；②．結(jié)合零點存在定理進行判斷．【詳解】在上單調(diào)減，值域為，又．（1）若，由知，③成立；（2）若，此時，①②③成立．綜上，一定不成立的是④，故選D．【點睛】本題考查零點存在定理的應用，考查自變量大小的比較，解題時要充分考查函數(shù)的單調(diào)性，對函數(shù)值符號不確定的，要進行分類討論，結(jié)合零點存在定理來進行判斷，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題．10、D【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，可求出，則答案可求解.【詳解】等比數(shù)列的公比為2，由，即，所以舍所以故選：D【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式的應用，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)兩個和的關系得到公差條件，解得結(jié)果.【詳解】由題意可知，，即，又，兩式相減得，.【點睛】本題考查等差數(shù)列和項的性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基礎題.12、否【解析】

根據(jù)散點圖的分布來判斷出兩個變量是否具有線性相關關系.【詳解】由散點圖可知，散點圖分布無任何規(guī)律，不在一條直線附近，所以，這兩個變量沒有線性相關關系，故答案為否.【點睛】本題考查利用散點圖判斷兩變量之間的線性相關關系，考查對散點圖概念的理解，屬于基礎題.13、【解析】

首先求出在上的兩個零點，再根據(jù)周期性算出至少含有30個零點時的值即可【詳解】根據(jù)，即，故，或，∵在區(qū)間（且）上至少含有30個零點，∴不妨假設（此時，），則此時的最小值為，（此時，），∴的最小值為，故答案為：【點睛】本題函數(shù)零點個數(shù)的判斷，解決此類問題通常結(jié)合周期、函數(shù)圖形進行解決。屬于難題。14、【解析】

由，化簡得，則為等差數(shù)列，結(jié)合已知條件得.【詳解】由，化簡得，且，，得，所以是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以，即故答案為：【點睛】本題考查了數(shù)列的遞推式，考查了判斷數(shù)列是等差數(shù)列的方法，屬于中檔題.15、5,【解析】

為等邊三角形，所以算出，,再在中根據(jù)余弦定理易得CD的長．【詳解】因為為等邊三角形，所以．在中根據(jù)余弦定理解得．【點睛】此題考查余弦定理的實際應用，關鍵點通過已知條件轉(zhuǎn)換為數(shù)學模型再通過余弦定理求解即可，屬于較易題目．16、【解析】

直接利用誘導公式化簡求解即可．【詳解】解：，則，故答案為：．【點睛】本題考查誘導公式的應用，三角函數(shù)化簡求值，考查計算能力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）先將函數(shù)化簡整理，得到，根據(jù)，得到，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果；（2）令，得到或，根據(jù)，，得出，，求出，根據(jù)正定理，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以，因此；故函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）因為，由（1），令，所以或，解得：或，因為，所以，，因此，由正弦定理可得：.【點睛】本題主要考查求正弦型復合函數(shù)在給定區(qū)間的最值，以及正弦定理的應用，熟記正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及正弦定理即可，屬于?？碱}型.18、（1）；（2）．【解析】

（1）利用即可求出答案；（2）利用裂項相消法即可求出答案．【詳解】解：（1）∵，當時，，當時，，∴，；（2）∵，∴．【點睛】本題主要考查數(shù)列已知求，考查裂項相消法求和，屬于中檔題．19、（1）；（2）[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（3）f（x）=2，f（x）=﹣1【解析】

（1）利用三角恒等變換，化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性，得出結(jié)論；（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（3）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得當時，f（x）的最大值與最小值．【詳解】（1）∵函數(shù)f（x）＝sin4x+2sinxcosx﹣cos4x＝（sin4x﹣cos4x）+sin2x＝﹣cos2x+sin2x＝2sin（2x﹣），∴f（x）的最小正周期為＝π．（2）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（3）若，則2x﹣∈，當2x﹣＝時，f（x）=2；當2x﹣=﹣時，f（x）=．【點睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．20、（1）（2）【解析】

（1）將已知條件化為和后，聯(lián)立解出和后即可得到通項公式；（2）根據(jù)錯位相減法可得結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以解得故的通項公式為.（2）由（1）可得，則，①，②①-②得.所以故.【點睛】本題考查了等比數(shù)列通項公式基本量的計算，考查了錯位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題.21、（Ⅰ)4個；（Ⅱ)；（Ⅲ）方案是【解析】

（Ⅰ）單果直徑落在，，，的蘋果個數(shù)分別為6，12，分層抽樣的方法從單果直徑落在，，，的蘋果中隨機抽取6個，單果直徑落在，，，的蘋果分別抽取2個和4個；（Ⅱ）從這6個蘋果中隨機抽取2個，基本事件總數(shù)，這兩個蘋果單果直徑均在，內(nèi)包含的基本事件個數(shù)，由此能求出這兩個蘋果單果直徑均在，內(nèi)的概率；（Ⅲ）分別求出按方案與方案該合作農(nóng)場收益，比較大小得結(jié)論．【詳解】（Ⅰ)由莖葉圖可知，單果直徑落在，的蘋果分別為6個，12個，依題意知抽樣比為，所以單果直徑落在的蘋果抽取個數(shù)為個，單果直徑落在的蘋果抽取個