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2023-2024學(xué)年湖北省武漢市鋼城第四中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.等差數(shù)列{}中,=2,=7,則=()A.10 B.20 C.16 D.122.在等差數(shù)列中,若前項的和,,則()A. B. C. D.3.在中,若,則的面積為().A.8 B.2 C. D.44.已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù)),則的大致圖象為()A. B. C. D.5.設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則下列命題不正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則6.甲、乙兩名運動員分別進(jìn)行了5次射擊訓(xùn)練,成績?nèi)缦拢杭祝?,7,8,8,1;乙:8,9,9,9,1.若甲、乙兩名運動員的平均成績分別用,表示,方差分別用,表示,則()A., B.,C., D.,7.的展開式中含的項的系數(shù)為()A.-1560 B.-600 C.600 D.15608.已知圓錐的高為3,底面半徑為,若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上,則這個球的體積等于()A.π B.πC.16π D.32π9.某校有高一學(xué)生人,高二學(xué)生人,高三學(xué)生人,現(xiàn)教育局督導(dǎo)組欲用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,則下列判斷正確的是()A.高一學(xué)生被抽到的可能性最大 B.高二學(xué)生被抽到的可能性最大C.高三學(xué)生被抽到的可能性最大 D.每位學(xué)生被抽到的可能性相等10.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作之一,其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為:弧田面積(弦矢矢),弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差,現(xiàn)有圓心角為,半徑等于6米的弧田,按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積約為()A.12平方米 B.16平方米 C.20平方米 D.24平方米二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.?dāng)?shù)列中,其前n項和,則的通項公式為______________..12.平面四邊形中,,則=_______.13.已知與的夾角為,,,則________.14.設(shè),則的值是____.15.當(dāng)時,的最大值為__________.16.已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等,在底面內(nèi)的射影為的中心,則與底面所成角的正弦值等于.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知函數(shù).(I)求的最小正周期;(II)求在上的最大值與最小值.18.等差數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前n項和.19.已知等差數(shù)列的首項為,公差為,前n項和為,且滿足,.(1)證明;(2)若,,當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最小值,求首項的取值范圍.20.已知圓:.(1)過的直線與圓:交于,兩點,若,求直線的方程;(2)過的直線與圓:交于,兩點,直接寫出面積取值范圍;(3)已知,,圓上是否存在點,使得,請說明理由.21.對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計,隨機抽取名學(xué)生作為樣本,得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖:分組頻數(shù)頻率2440.120.05合計1(1)求出表中,及圖中的值;(2)若該校高三學(xué)生有240人,試估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù);(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知第五項減去第三項等于公差的2倍,由=+5得到2d等于5,然后再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到第七項等于第五項加上公差的2倍,把的值和2d的值代入即可求出的值,即可知=,故選D.2、C【解析】試題分析:.考點:等差數(shù)列的基本概念.3、C【解析】
由正弦定理結(jié)合已知,可以得到的關(guān)系,再根據(jù)余弦定理結(jié)合,可以求出的值,再利用三角形面積公式求出三角形的面積即可.【詳解】由正弦定理可知:,而,所以有,由余弦定理可知:,所以,因此的面積為,故本題選C.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式,考查了數(shù)學(xué)運算能力.4、D【解析】令,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又令,所以有兩個零點,因為,,所以,且當(dāng)時,,,當(dāng)時,,,當(dāng)時,,,選項C滿足條件.故選C.點睛:本題考查函數(shù)的解析式和圖象的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;已知函數(shù)的解析式識別函數(shù)圖象是高考常見題型,往往從定義域、奇偶性(對稱性)、單調(diào)性、最值及特殊點的符號進(jìn)行驗證,逐一驗證進(jìn)行排除.5、D【解析】
對于A,利用線面平行的判定可得A正確.對于B,利用線面垂直的性質(zhì)可得B正確.對于C,利用面面垂直的判定可得C正確.根據(jù)平面與平面的位置關(guān)系即可判斷D不正確.【詳解】對于A,根據(jù)平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行,則這條直線平行于這個平面,可判定A正確.對于B,根據(jù)垂直于同一個平面的兩條直線平行,判定B正確.對于C,根據(jù)一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直,可判定C正確.對于D,若,則或相交,所以D不正確.故選:D【點睛】本題主要考查了線面平行和面面垂直的判定,同時考查了線面垂直的性質(zhì),屬于中檔題.6、D【解析】
分別計算出他們的平均數(shù)和方差,比較即得解.【詳解】由題意可得,,,.故,.故選D【點睛】本題主要考查平均數(shù)和方差的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】的項可以由或的乘積得到,所以含的項的系數(shù)為,故選A.8、B【解析】
作軸截面,圓錐的軸截面是等腰三角形,外接球的截面是圓為球的大圓是的外接圓,由圖可得球的半徑與圓錐的關(guān)系.【詳解】如圖,作軸截面,圓錐的軸截面是等腰三角形,的外接圓是球的大圓,設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R,依題意得,R2=(3-R)2+()2,解得R=2,所以所求球的體積V=πR3=π×23=π,故選B.【點睛】本題考查球的體積,關(guān)鍵是確定圓錐的外接球與圓錐之間的關(guān)系,即球半徑與圓錐的高和底面半徑之間的聯(lián)系,而這個聯(lián)系在其軸截面中正好體現(xiàn).9、D【解析】
根據(jù)分層抽樣是等可能的選出正確答案.【詳解】由于分層抽樣是等可能的,所以每位學(xué)生被抽到的可能性相等,故選D.【點睛】本小題主要考查隨機抽樣的公平性,考查分層抽樣的知識,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
在中,由題意OA=4,∠DAO=,即可求得OD,AD的值,根據(jù)題意可求矢和弦的值,即可利用公式計算求值得解.【詳解】如圖,由題意可得:∠AOB=,OA=6,在中,可得:∠AOD=,∠DAO=,OD=AO=×6=3,可得:矢=6﹣3=3,由AD=AO=6×=3,可得:弦=2AD=2×3=6,所以:弧田面積=(弦×矢+矢2)=(6×3+32)=9+4.5≈20平方米.故選:C【點睛】本題考查扇形的面積公式,考查數(shù)學(xué)閱讀能力和數(shù)學(xué)運算能力,屬于中檔題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】
利用遞推關(guān)系,當(dāng)時,,當(dāng)時,,即可求出.【詳解】由題知:當(dāng)時,.當(dāng)時,.檢驗當(dāng)時,,所以.故答案為:【點睛】本題主要考查根據(jù)數(shù)列的前項和求數(shù)列的通項公式,體現(xiàn)了分類討論的思想,屬于簡單題.12、【解析】
先求出,再求出,再利用余弦定理求出AD得解.【詳解】依題意得中,,故.在中,由正弦定理可知,,得.在中,因為,故.則.在中,由余弦定理可知,,即.得.【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于中檔題.13、3【解析】
將平方再利用數(shù)量積公式求解即可.【詳解】因為,故.化簡得.因為,故.故答案為:3【點睛】本題主要考查了模長與數(shù)量積的綜合運用,經(jīng)常利用平方去處理.屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
根據(jù)二倍角公式得出,再根據(jù)誘導(dǎo)公式即可得解.【詳解】解:由題意知:故,即.故答案為.【點睛】本題考查了二倍角公式和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、-3.【解析】
將函數(shù)的表達(dá)式改寫為:利用均值不等式得到答案.【詳解】當(dāng)時,故答案為-3【點睛】本題考查了均值不等式,利用一正二定三相等將函數(shù)變形是解題的關(guān)鍵.16、【解析】試題分析:由題意得,不妨設(shè)棱長為,如圖,在底面內(nèi)的射影為的中心,故,由勾股定理得,過作平面,則為與底面所成角,且,作于中點,所以,所以,所以與底面所成角的正弦值為.考點:直線與平面所成的角.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(I);(II)3,.【解析】
(I)利用降次公式和輔助角公式化簡解析式,由此求得的最小正周期.(II)根據(jù)函數(shù)的解析式,以及的取值范圍,結(jié)合三角函數(shù)值域的求法,求得在區(qū)間上的最大值與最小值.【詳解】(I)的最小正周期.(Ⅱ),.【點睛】本小題主要考查降次公式和輔助角公式,考查三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)等差數(shù)列公式得到方程組,計算得到答案.(2)先求出,再利用裂項求和求得.【詳解】(1)等差數(shù)列中,,解得:(2)數(shù)列的前n項和.【點睛】本題考查了數(shù)列的通項公式,裂項求和,意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式的靈活運用及計算能力.19、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式,變形可證明為等差數(shù)列.結(jié)合條件,,可得,進(jìn)而表示出.由為等差數(shù)列,表示出,化簡變形后結(jié)合不等式性質(zhì)即可證明.(2)將三角函數(shù)式分組,提公因式后結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡.再由平方差公式及正弦的和角與差角公式合并.根據(jù)條件等式,結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì),即可求得.由,即可確定.當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最小值,可得不等式組,即可得首項的取值范圍.【詳解】(1)證明:等差數(shù)列的前n項和為,則所以,,故為等差數(shù)列,因為,,所以,解得,因為,得故,從而.(2)而.由條件又由等差數(shù)列性質(zhì)知:所以,因為,所以,那么.等差數(shù)列,當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最小值.,所以.【點睛】本題考查了等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用,等差數(shù)列通項公式定義及變形式應(yīng)用.三角函數(shù)式變形,正弦和角與差角公式的應(yīng)用,不等式組的解法,綜合性強,屬于難題.20、(1)或;(2);(3)存在,理由見解析【解析】
求得圓的圓心和半徑.(1)設(shè)出直線的方程,利用弦長、勾股定理和點到直線距離列方程,解方程求得直線的斜率,進(jìn)而求得直線的方程.(2)利用三角形的面積公式列式,由此求得面積取值范圍.(3)求得三角形外接圓的方程,根據(jù)圓和圓的位置關(guān)系,判斷出點存在.【詳解】圓心為,半徑為.(1)直線有斜率,設(shè):,圓心到直線的距離為,∵,則由,得,直線的方程為或(2)依題意可知,三角形的面積為,由于,所以,所以.(3)設(shè)三角形的外接圓圓心為(),半徑為,由正弦定理得,,所以,所以圓的圓心為,所以圓的方程為,圓與圓滿足圓心距:,∴圓與圓相交于兩點,圓上存在兩個這樣的點,滿足題意.【點睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系,考查圓和圓的位置關(guān)系,考查三角形的面積公式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.21、(1);;;(2)60人.(3)【解析】
(1)根據(jù)頻率,頻數(shù)和樣本容量之間的關(guān)系即頻率等于頻數(shù)除以樣本容量,寫出算式,求出式子中的字母的值;(2)該校高三學(xué)生有240人,分組內(nèi)的頻率是0.25,估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為60人;(3)設(shè)在區(qū)間內(nèi)的人為,,,,在區(qū)間內(nèi)的人為,,寫出任選2人的所有基本事件,利用對立事件求得答案.【詳解】(1)
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