2024屆廣東省執(zhí)信中學、廣州二中、廣州六中、廣雅中學四校數(shù)學高一下期末調(diào)研試題含解析

2024屆廣東省執(zhí)信中學、廣州二中、廣州六中、廣雅中學四校數(shù)學高一下期末調(diào)研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知數(shù)列的通項公式是，則該數(shù)列的第五項是（）A． B． C． D．2．已知變量滿足約束條件，則的最大值為（）A．8 B．7 C．6 D．43．已知在角終邊上，若，則（）A． B．-2 C．2 D．4．高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購被稱為中國的“新四大發(fā)明”，為評估共享單車的使用情況，選了座城市作實驗基地，這座城市共享單車的使用量（單位：人次/天）分別為，，…，，下面給出的指標中可以用來評估共享單車使用量的穩(wěn)定程度的是（）A．，，…，的標準差 B．，，…，的平均數(shù)C．，，…，的最大值 D．，，…，的中位數(shù)5．若等差數(shù)列和的公差均為，則下列數(shù)列中不為等差數(shù)列的是（）A．（為常數(shù)） B．C． D．6．在中，已知、、分別是角、、的對邊，若，則的形狀為A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．直線（，）過點(-1,-1),則的最小值為()A．9 B．1 C．4 D．108．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為3，則與平面所成的角為（）A． B． C． D．9．從1，2，3，…，9這個9個數(shù)中任取5個不同的數(shù)，則這5個數(shù)的中位數(shù)是5的概率等于（）A．57 B．59 C．210．若滿足約束條件，則的最小值是（）A．0 B． C． D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，那么__________．12．某扇形的面積為1，它的周長為4cm，那么扇形的圓心角的大小為____________.13．某公司有大量客戶，且不同齡段客戶對其服務的評價有較大差異．為了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是________．14．已知，且，則的值是_______.15．已知角的終邊經(jīng)過點，則______．16．正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)面均為直角三角形，則此三棱錐的體積為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值并求當取最小值時，的取值.18．如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為的扇形，小區(qū)的兩個出入口設置在點及點處，且小區(qū)里有一條平行于的小路．（1）已知某人從沿走到用了分鐘，從沿走到用了分鐘，若此人步行的速度為每分鐘米，求該扇形的半徑的長（精確到米）（2）若該扇形的半徑為，已知某老人散步，從沿走到，再從沿走到，試確定的位置，使老人散步路線最長．19．已知集合，，求.20．已知（1）求的值；（2）求的最小值以及取得最小值時的值21．設等比數(shù)列的最n項和，首項，公比.（1）證明：；（2）若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式；（3）若，記，數(shù)列的前項和為，求證：當時，.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

代入即可得結(jié)果.【詳解】解：由已知，故選：A.【點睛】本題考查數(shù)列的項和項數(shù)之間的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.2、B【解析】

先畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，然后求出目標函數(shù)取最大值時對應的最優(yōu)解點的坐標，代入目標函數(shù)即可求出答案．【詳解】滿足約束條件的平面區(qū)域如下圖所示：作直線把直線向上平移可得過點時最小當，時，取最大值1，故答案為1．【點睛】本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃，其中畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，找出目標函數(shù)的最優(yōu)解點的坐標是解答本題的關(guān)鍵．3、C【解析】

由正弦函數(shù)的定義求解．【詳解】，顯然，∴．故選C．【點睛】本題考查正弦函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．解題時注意的符號．4、A【解析】

利用方差或標準差表示一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度可得出選項.【詳解】表示一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度是方差或標準差，標準差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定故選：A【點睛】本題考查了用樣本估計總體，需掌握住數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度是用方差或標準差估計的，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

利用等差數(shù)列的定義對選項逐一進行判斷，可得出正確的選項.【詳解】數(shù)列和是公差均為的等差數(shù)列，則，，.對于A選項，，數(shù)列（為常數(shù)）是等差數(shù)列；對于B選項，，數(shù)列是等差數(shù)列；對于C選項，，所以，數(shù)列是等差數(shù)列；對于D選項，，不是常數(shù)，所以，數(shù)列不是等差數(shù)列.故選：D.【點睛】本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式，注意等差數(shù)列定義的應用，考查推理能力，屬于中等題.6、D【解析】

由，利用正弦定理可得，進而可得sin2A=sin2B，由此可得結(jié)論．【詳解】∵，∴由正弦定理可得∴sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B∴2A=2B或2A+2B=π∴A=B或A+B=∴△ABC的形狀是等腰三角形或直角三角形故選D．【點睛】判斷三角形形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進行判斷；（3）根據(jù)余弦定理確定一個內(nèi)角為鈍角進而知其為鈍角三角形.7、A【解析】

將點的坐標代入直線方程：，再利用乘1法求最值【詳解】將點的坐標代入直線方程：，，當且僅當時取等號【點睛】已知和為定值，求倒數(shù)和的最小值，利用乘1法求最值。8、A【解析】

取的中點，連接、，作，垂足為點，證明平面，于是得出直線與平面所成的角為，然后利用銳角三角函數(shù)可求出．【詳解】如下圖所示，取的中點，連接、，作，垂足為點，是邊長為的等邊三角形，點為的中點，則，且，在三棱柱中，平面，平面，，，平面，平面，，，，平面，所以，直線與平面所成的角為，易知，在中，，，，，，即直線與平面所成的角為，故選A．【點睛】本題考查直線與平面所成角的計算，求解時遵循“一作、二證、三計算”的原則，一作的是過點作面的垂線，有時也可以通過等體積法計算出點到平面的距離，利用該距離與線段長度的比值作為直線與平面所成角的正弦值，考查計算能力與推理能力，屬于中等題．9、C【解析】試題分析：設事件為“從1，2，3，…，9這9個數(shù)中5個數(shù)的中位數(shù)是5”，則基本事件總數(shù)為種，事件所包含的基本事件的總數(shù)為：，所以由古典概型的計算公式知，，故應選.考點：1.古典概型；10、A【解析】可行域為一個三角形及其內(nèi)部,其中，所以直線過點時取最小值，選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2017【解析】，故，由此得.【點睛】本題主要考查函數(shù)解析式的求解方法，考查等比數(shù)列前項和的計算公式.對于函數(shù)解析式的求法，有兩種，一種是換元法，另一種的變換法.解析中運用的方法就是變換法，即將變換為含有的式子.也可以令.等比數(shù)列求和公式為.12、【解析】

根據(jù)扇形的面積和周長列方程組解得半徑和弧長，再利用弧長公式可求得結(jié)果.【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，圓心角為，則，解得，所以.故答案為：【點睛】本題考查了扇形的面積公式，考查了扇形中弧長公式，屬于基礎(chǔ)題.13、分層抽樣.【解析】分析：由題可知滿足分層抽樣特點詳解：由于從不同齡段客戶中抽取，故采用分層抽樣故答案為分層抽樣．點睛：本題主要考查簡單隨機抽樣，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

計算出的值，然后利用誘導公式可求得的值.【詳解】，，則，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查利用誘導公式求值，同時也考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】由題意，則.16、【解析】

由題意可得：該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，長都為，所以三棱錐的體積.考點：三棱錐的體積公式.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），【解析】

(1)先化簡,再求最小正周期;(2)由,得,再結(jié)合的函數(shù)圖像求最小值.【詳解】(1),即,所以的最小正周期是;(2)由(1)知,又由,得,所以當時,的最小值為,即時,的最小值為.【點睛】本題考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)圖像的性質(zhì)應用,屬于中檔題.18、（1）445米；（2）在弧的中點處【解析】

（1）假設該扇形的半徑為米，在中，利用余弦定理求解；（2）設設，在中根據(jù)正弦定理，用和表示和，進而利用和差公式和輔助角公式化簡，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】（1）方法一：設該扇形的半徑為米，連接.由題意，得(米)，（米），在中，即，解得（米)方法二：連接，作，交于，由題意，得（米），（米），，在中，.（米）..在直角中，（米），（米）.（2）連接，設，在中，由正弦定理得：，于是，則，所以當時，最大為，此時在弧的中點處．【點睛】本題考查正弦定理，余弦定理的實際應用，結(jié)合了三角函數(shù)的化簡與求三角函數(shù)的最值.19、【解析】

根據(jù)集合A，B的意義，求出集合A，B，再根據(jù)交集的運算求得結(jié)果即可．【詳解】對于集合A，，對于集合B，當x<1時，故B＝；故A∩B＝故答案為【點睛】本題考查了交集的運算，準確計算集合A,B是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．20、（1）（2）當時，函數(shù)取得最小值.【解析】

（1）將代入函數(shù)計算得到答案.（2）根據(jù)降次公式和輔助角公式化簡函數(shù)為，當時取最小值.【詳解】(1)(2)由可得，故函數(shù)的最小值為，當時取得最小值.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的計算，三角函數(shù)的最小值，將三角函數(shù)化簡為標準形式是解題的關(guān)鍵，意在考查學生的計算能力.21、（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析【解析】

（1）由已知且，利用等比數(shù)列的通項公式可得，利用等比數(shù)列的求和公式可證；

（2）由，可得，從而可得是等差數(shù)列，從而可求；（3）可得，利用錯位