2024年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2024年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

9

1.（5分）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)Z=BM，則z-2=（)

A.1+iB.1-iC.V2D.2

2.(5分)已知xCR,p：q：ux>1n,則.是鄉(xiāng)的（）

A.充分但不必要條件

B.必要但不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

TT,7

3.(5分)已知向量。=(3,-1),b=(-2,x),若a_L(a+b),則|力|=()

A.2V5B.4C.2V10D.20

4.（5分）已知函數(shù)/'（%）=則/（無）的最小值為（)

A.0B.2C.2V2D.3

5.（5分）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)構(gòu)成三角形，則所得三角形是正三角形的概率是

（）

6.（5分）已知拋物線E：/=以的焦點(diǎn)為R以P為圓心的圓與E交于A,B兩點(diǎn)，與E

的準(zhǔn)線交于C,D兩點(diǎn),若|CD|=2VH,貝（）

A.3B.4C.6D.8

7.（5分）已知球與圓臺(tái)的底面、側(cè)面都相切，且圓臺(tái)母線與底面所成角為60°,則球表面

積與圓臺(tái)側(cè)面積之比為（）

A.2：3B.3：4C.7：8D.6：13

8.（5分）已知函數(shù)無）=|sil!3x|+COS3尤（3>0）的最小正周期為TT,貝!］（）

A.f（x）在［―工，總單調(diào)遞增

B.（普，0）是無）的一個(gè)對(duì)稱中心

C.f（x）在［一9，的值域?yàn)椋?,V2］

D.%=工是/（x）的一條對(duì)稱軸

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

（多選）9.（6分）已知樣本數(shù)據(jù)：1,2,3,4,5,6,7,8,9,則（）

A.極差為8B.方差為6

C.平均數(shù)為5D.80百分位數(shù)為7

（多選）10.（6分）已知函數(shù)f（x）=--3x+l,則（）

A.直線y=—卻是曲線y=/（x）的切線

B.f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.f（x）有三個(gè)零點(diǎn)

D.存在等差數(shù)列｛麗｝,滿足￡晨1f（aQ=5

（多選）11.（6分）在透明的密閉正三棱柱容器ABC-A131C1內(nèi)灌進(jìn)一些水，已知AB=

A41=4,如圖，當(dāng)豎直放置時(shí)，水面與地面距離為3.固定容器底面一邊AC于地面上,

再將容器按如圖方向傾斜，至側(cè)面ACC1A1與地面重合的過程中，設(shè)水面所在平面為a,

A.水面形狀的變化：三角形一梯形一矩形

B.當(dāng)CiAiua時(shí)，水面的面積為2聞

C.當(dāng)86a時(shí)，水面與地面的距離為學(xué)

D.當(dāng)側(cè)面ACGA1與地面重合時(shí)，水面的面積為12

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）在（2/—1）4的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）

13.（5分）在AABC中，AB=5,BC=7,AC=8,。是AB邊上一點(diǎn)，CD1AB,貝1]CD

xy

14.(5分)已知橢圓E：下+G=l(a〉b〉O)的左、右焦點(diǎn)分別為為，F(xiàn)2,過放的直線

azb"

交E于A,B兩點(diǎn)，C(0,-1)是線段BFi的中點(diǎn)，且法?晶=品2,則E的方程

為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知數(shù)列｛如｝是正項(xiàng)等比數(shù)列,其前〃項(xiàng)和為S”，且a2a4=16,5s=53+24.

(1)求｛珈｝的通項(xiàng)公式;

(2)記｛a〃+log2a”的前n項(xiàng)和為Tn,求滿足乙＜2024的最大整數(shù)n.

16.(15分)某項(xiàng)測(cè)試共有8道題，每道題答對(duì)5分，不答或答錯(cuò)得0分.某人答對(duì)每道題

的概率都是士每道試題答對(duì)或答錯(cuò)互不影響，設(shè)某人答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為X.

4

(1)求此人得分的期望；

(2)指出此人答對(duì)幾道題的可能性最大，并說明理由.

17.(15分)如圖，三棱柱A8C-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為矩形，底面ABC為等邊三角

形.

(1)證明：AiB=AiC；

(2)若AiC_LAiB,AiA=AB=2,

①證明：平面A1BC_L平面ABC；

②求平面ABC與平面A18C1的夾角的余弦值.

xy1

18.(17分)已知雙曲線「：—-—=l(a>0,6>0),A(2,3),8(弓，0),直線A8

a，DZz

與r有唯一公共點(diǎn)A.

(1)求「的方程；

(2)若雙曲線「的離心率e不大于2,過B的直線/與「交于不同的兩點(diǎn)M,N.求直

線AM與直線AN的斜率之和.

19.(17分)已知函數(shù)/(%)=tanx,g(x)=sin(2x+l)-2ln(cosx).

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)G，1)處的切線方程；

(2)當(dāng)xe(0,芻時(shí)，求g(x)的值域.

2024年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.(5分)已知，為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=等，則z-2=()

A.l+iB.1-zC.V2D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軌復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算即可求解.

【解答】解：言?為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=行誓&=17,

??z—1+i,

則z?2=(1-z)(1+0=2.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了共軌復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練掌

握公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.(5分)已知xCR,p：-尤>0",q：貝!]p是q的()

A.充分但不必要條件

B.必要但不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】解不等式尤2-x>0,然后根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.

【解答】解：:/-X〉。得出X>1或x<0,得不出x>l；

尤>1得出/-x>0,

；.p是q的必要不充分條件.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式的解法，充分條件和必要條件的定義，是基礎(chǔ)題.

3.(5分)已知向量。=(3,-1),b=(-2,x),若a_L(a+b),則網(wǎng)=()

A.2V5B.4C.2V10D.20

【答案】A

【分析】根據(jù)向量垂直的性質(zhì)，求出尤，再結(jié)合向量模公式，即可求解.

T7

【解答】解：。=(3,-1),b=(-2,x),

i—T

則a+b=(1,%—1),

—>T—

a_L(a+b),

則a-(a+b)=3x1—(%—1)=0,解得％=4,

故山=J(-2/+42=2V5.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.(5分)已知函數(shù)7?&)則無)的最小值為()

A.0B.2C.2V2D.3

【答案】C

【分析】令uGl,把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于f的函數(shù)，分離變形后結(jié)合基本不等式即可

求解.

【解答】解：令仁正二^則x=2+P,f20,

原函數(shù)可化為產(chǎn)孚=什微22H=2也

當(dāng)且僅當(dāng)仁昌即仁魚，x=4時(shí)取等號(hào).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了換元法及基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.(5分)從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)構(gòu)成三角形，則所得三角形是正三角形的概率是

()

1133

A.—B.-C.—D.一

427147

【答案】B

【分析】利用古典概型的概率公式，即可解出.

【解答】解：正方體八個(gè)頂點(diǎn)中任選三個(gè)能構(gòu)成正三角形的有8種結(jié)果；

從八個(gè)頂點(diǎn)中任選三個(gè)構(gòu)成三角形的有CI=56種結(jié)果；

O1

故所得正三角形的概率為：—=

567

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型的概率公式，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.（5分）已知拋物線/=虱的焦點(diǎn)為R以尸為圓心的圓與￡交于A,8兩點(diǎn)，與E

的準(zhǔn)線交于C,。兩點(diǎn)，若|CD|=2何，貝（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線及圓的幾何性質(zhì)易得圓產(chǎn)的半徑，再利用拋物線的焦半徑公式求出

A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可得A點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可求解.

【解答】解：???拋物線E方程為：/=?,

；.p=2,...焦點(diǎn)廠為（1,0）,準(zhǔn)線方程為尤=-1,

圓心F到準(zhǔn)線的距離為p=2,又|CD|=2聞，

...圓F的半徑為卜+（空/=5,

?p

|AF|=5,即金+支4=5,1+XA=5.

.,.XA—4,代入y2=4x中可得|ya|=4,

：.\AB\=2\yA\=8.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，圓的幾何性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題.

7.（5分）已知球與圓臺(tái)的底面、側(cè)面都相切，且圓臺(tái)母線與底面所成角為60。，則球表面

積與圓臺(tái)側(cè)面積之比為（）

A.2：3B.3：4C.7：8D.6：13

【答案】B

【分析】作出圓臺(tái)的軸截面，利用切線長(zhǎng)定理可得母線與半徑的關(guān)系，結(jié)合60°可得圓

臺(tái)的上下半徑以及球的半徑的關(guān)系，即可利用面積公式求解.

【解答】解：設(shè)圓臺(tái)上下底面圓的半徑為ri,n,母線為/,球的半徑為R,

取圓臺(tái)的軸截面ABCD,則四邊形ABC。為等腰梯形，

圓臺(tái)的外接球球心為0,則球心0在截面ABCD內(nèi)，

在截面ABC。內(nèi)，設(shè)圓。切梯形43。的邊A3、BC、CD、D4分別于點(diǎn)E、F、G、H,

由切線長(zhǎng)定理可得AE=AH,DG=DH,AD=DH+AH=DG+AE,l=n+n,

由于/ABC=60°,所以GE=2R=lsin60°,r2-rr=^l,解得太=36，R=四萬,

S球4兀M4X(遮々)23

一「

S圓臺(tái)7r(riZ+r2Z)—&1+31)2—4

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了球的表面積與圓臺(tái)側(cè)面積的計(jì)算，屬于中檔題.

8.(5分)已知函數(shù)/(x)=[in3x|+cos3x(3>0)的最小正周期為it,貝！J()

A./(%)在[一工，總單調(diào)遞增

B.(普.0)是/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心

C.f(x)在[一9，的值域?yàn)閇1,V2]

D.x=工是f(x)的一條對(duì)稱軸

【答案】C

【分析】依題意，可求得3=2,再利用函數(shù)的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【解答】解：(x)=|sino)x|+cos(ji)x(a)>0)的最小正周期為m

2TT

：.T=—=u,解得3=2,

3

(x)=|sin2x|+cos2x,定義域?yàn)镽,且滿足了(-%)=/(%),

：.f(x)為偶函數(shù)，

.V(X)在[一?自上不單調(diào)，A錯(cuò)誤；

.3TT3TT3TT

V/1(x)+f(——x)=|sin2x|+cos2x+|sin2(——x)|+cos2(——x)=|sin2x|+cos2x+|cos2x|

444

-sin2%W0,

???(葛，0)不是/(X)的一個(gè)對(duì)稱中心，8錯(cuò)誤；

*TC_,TCTTTC7TC

令尤[0,-],則2rC[0,-],2X+^G[-,—],

f(x)=|sin2x|+cos2x=sin2x+cos2x=V2sin(2x+q)G[1,V2],

,：f(x)為偶函數(shù),

.V(X)在[—9]的值域?yàn)閇1，V2],C正確；

TCTCTC

*.,/(――x)=|sin2(—―%)|+cos2((——x)=|cos2x|+sin2xW/(x),

444

.?.尤=看不是/(無)的一條對(duì)稱軸，D錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性及最值等性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查

邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

(多選)9.(6分)已知樣本數(shù)據(jù)：1,2,3,4,5,6,7,8,9,則()

A.極差為8B.方差為6

C.平均數(shù)為5D.80百分位數(shù)為7

【答案】AC

【分析】對(duì)于A,結(jié)合極差定義，對(duì)于2,結(jié)合方差公式，對(duì)于C,結(jié)合平均數(shù)公式，對(duì)

于。，結(jié)合百分位數(shù)的定義求解.

【解答】解：對(duì)于4極差為9-1=8,故A正確；

1

對(duì)于C,平均數(shù)為-(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5,故C正確；

9

對(duì)于B,?=(1-5)2+(2-5)2+(3-5)2++(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7

-5)2+(8-5)2+(9-5)2]=寫，故8錯(cuò)誤，

對(duì)于O,V9X0.8=7.2,

這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是按從小到大順序排列后的第八位，即第80百分位數(shù)是8,

故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)10.(6分)已知函數(shù)/(x)=?-3x+l,則()

A.直線y=—圻是曲線y=/(x)的切線

B./(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

D.存在等差數(shù)列｛而｝,滿足，江1"在)=5

【答案】BCD

【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義檢驗(yàn)選項(xiàng)A；結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系

檢驗(yàn)選項(xiàng)B；結(jié)合單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理檢驗(yàn)選項(xiàng)C；結(jié)合函數(shù)性質(zhì)及等差數(shù)列的性質(zhì)

檢驗(yàn)選項(xiàng)D.

【解答】解：f(x)=3/-3=3(x+1)Cx-1),

令f(x)=0,得尤=±L

所以函數(shù)/(X)在(-8,-1)和(1,+8)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)/(%)在％=-1處取得極大值，在x=l處取得極小值，所以選項(xiàng)5正確；

3,V2

f(x)=3(x+1)(x-1)=—5,解得x=±—，

,22

/(y)=1-苧，/(-孝)=1+警，

經(jīng)檢驗(yàn)直線y=-怖％是曲線y=/(無)在工=-1處的切線，所以選項(xiàng)A不正確；

易得了(%)在(-8,-1),(1,+8)單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減，

又/(-2)=-1<0,/(-1)>0,故/(x)在(-8,-1)上存在唯一零點(diǎn)，

/(I)<0,f(x)在(-1,1)上存在唯一零點(diǎn)，

f(2)>0,即/(X)在(1,+8)上存在唯一零點(diǎn)，即共3個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)C正確；

在等差數(shù)列｛即｝中，若〃3=0,

貝(71-"45,6E2■—"C14?

又/(-x)+f(x)=2,f(0)=1,

則f9k)=f(ai)+f(02)4/(.3)+f(6Z4)4/(.5)=2+2+l=5,所以選項(xiàng)D正

確.

故選：BCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系，導(dǎo)數(shù)幾何意義在切線方程求解中的

應(yīng)用，屬于中檔題.

(多選)11.(6分)在透明的密閉正三棱柱容器ABC-AbBiCi內(nèi)灌進(jìn)一些水，已知

AAi=4,如圖，當(dāng)豎直放置時(shí)，水面與地面距離為3.固定容器底面一邊4c于地面上,

再將容器按如圖方向傾斜，至側(cè)面ACC14與地面重合的過程中，設(shè)水面所在平面為a,

則（）

A.水面形狀的變化：三角形一梯形一矩形

B.當(dāng)CiAiua時(shí)，水面的面積為2何

c.當(dāng)Beet時(shí)，水面與地面的距離為M

D.當(dāng)側(cè)面ACC1A1與地面重合時(shí)，水面的面積為12

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題設(shè)條件得到”=12日，正三棱柱的體積了=16百，再結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)的

條件，逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.

【解答】解：由題知V水=SnABch=苧x16x3=12V3,正三棱柱的體積，=字x16x

4=16V3,

對(duì)于選項(xiàng)4當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至Bea時(shí)，水面形狀是三角形，

再傾斜時(shí)，水面形狀是梯形，

直到側(cè)面ACC1A1與地面重合時(shí)，水面形狀是矩形，所以選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)8,如圖1,當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至CiAiua時(shí)，

圖1

設(shè)水面與棱381的交點(diǎn)為M，設(shè)

又三棱柱ABC-AiBiCi為正三棱柱，取BiCi中點(diǎn)E,連接4E,

易知Ai￡_LBiCi,A1ELB1B,XBBiPiBiCi=Bi,BBi,BiCi<=[fjBCC1B1,

所以4小_1面8。。初，所以Ai到平面8CC向的距離為4/=2V3,

11

所以Kii-MBiR=3X2X^XaX2遮=4k，解得。=3,

22

此時(shí)水面圖形為AAIMCI,又41M=CrM=V3+4=5,4的=4,

取4C1中點(diǎn)，則碗，4G,且HM=A/25-4=V^T,

所以SZIAMCI另x4x&T=2VH,故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,如圖2,當(dāng)容器按題設(shè)方向傾斜至Bea時(shí)，設(shè)水面與棱ALBI,CLBI的交點(diǎn)

圖2

易知廠G〃4Ci〃AC,設(shè)BiP=BiG=b,

由%-BFG=稱SAB/GBBI=|x|x4b2sin^=4^3,得到b=2V3,

因?yàn)樗媸冀K與地面平行，AC始終與水面平行，且AC始終在地面上，

所以水面與地面的距離，即AC到平面的距離，

取AC中點(diǎn)。連接H。，BQ,設(shè)BiH交FG于K,連接BK,

易知HQ_LAC,BQ±AC,又HQCBQ=Q,HQ,BQu面QBB1H,所以4(7_1面QBBi//,

y.FG//AiCi//AC,所以尸G_L面。BBiH,過。作。R_L8K于R,連接QR,

因?yàn)镼Ru面QBBi/f,所以PG_LQR,又FGCBK=K,FG,BKu面a,

所以QR±a,即QR為水平面到地面的距離，

如圖3,過K作KP_LQB于P,易知BiK=2gsi靖=3,所以BK=19+16=。

HB、

R

QB

圖3

KP4「_4

得到sin/QBR=抬=耳，又QB=2遮，所以QR=QBsinNQBR=2百X耳=等,

故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)。，如圖4,當(dāng)側(cè)面ACC1A1與地面重合時(shí)，水面a為矩形EiHiMMi,

177

設(shè)2Ei=f,則由%1MlNi-BEi%=SABEI/BB]=2X4戶5譏可=4百，解得，=2,

所以E1H1=2,故S/HINIMI=4X2=8,所以選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于難題.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）在（2x3—3”的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為-8.（用數(shù)字作答）

【答案】-8.

【分析】利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)求常數(shù)項(xiàng)即可.

【解答】解：由題設(shè)，展開式通項(xiàng)為T『+1=C￡（2x3）4-r（_》r=（一1）『以24fxi2一針,

=0,1,-3,

令12-4廠=0,解得廠=3,則常數(shù)項(xiàng)為-1><4X2=-8.

故答案為：-8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.（5分）在△ABC中，AB=5,BC=1,AC=8,。是AB邊上一點(diǎn)，CD1.AB,則CD=

4V3.

【答案】4V3.

【分析】先作出示意圖，根據(jù)余弦定理求出cos/B,進(jìn)而求出sin/B,再根據(jù)面積公式

得到SMBC,再根據(jù)以SAABC=|XCDX=|CD求解即可.

【解答】解：根據(jù)題意作圖如下：

rciy_,.n匚八八r“八oruz/r>_AC^7^+5^—8^1

因?yàn)锳B=5,BC=1,AC=8,所以cos/=---2B6Am--=-2x~7x5-=7'

所以sin/B=V1—cos2/-B-

所以S—BC=2xBCxABxsin乙B=IOA/3,

因?yàn)镃D1AB,所以S“BC=:xCDxAB=|CD,

所以|CD=loVs,

所以CD=4V3.

故答案為：4V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，屬于中檔題.

x2y2

14.(5分)已知橢圓￡：二+公=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸1,尸2,過尸2的直線

azb4

—>—>—>

交E于A,B兩點(diǎn)，C(0,-1)是線段的中點(diǎn)，且則E的方程為

x2y2

—+—=1.

~95

x2y2

【答案】U+—=1.

96

【分析】根據(jù)題意易得AAB乃為等邊三角形，從而根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)建立方程，即可

求解.

【解答】解：??,C(0,-1)是線段3乃的中點(diǎn)，又。是為尸2的中點(diǎn)，

OC//BF2,BPOC//AB,又。C_L是/1/2,

：.ABLF\Fi,.-.|AFi|=|BFi|,且弦A3為橢圓的通徑，

2b2

???|瓦切為通徑長(zhǎng)一的一半，且|8/2|=2|OC|=2,

a

b2，

—=2,

a

—?——?

.?.又4BTC="2,.?.根據(jù)向量投影及數(shù)量積的概念可知AC_LBFI,

又C是線段B乃的中點(diǎn)，二|4四|=又14Al=|5尸1|,

AABF1為等邊三角形，?,.|FIF2|=V3|BF2|,

)2

2c=2A/3,c=遮,又一=2,

a

Q2一Q2—3

--------=--------=2,2。-3=0,40,

aa

解得。=3,.,.b2=a2-C2=9-3=6,

x2y2

，橢圓E的方程為工+—=1.

96

X2V2

故答案為：—+—=1.

96

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，向量數(shù)量積的概念，方程思想，屬中檔題.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知數(shù)列｛板｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為品，且々2。4=16,55=53+24.

(1)求｛即｝的通項(xiàng)公式;

(2)記｛劭+log2?！保那皀項(xiàng)和為Tn,求滿足7^<2024的最大整數(shù)n.

【答案】(1)許=2"-1,“6N*；

(2)10.

【分析】(1)先設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q(q>0),再根據(jù)題干已知條件及等比數(shù)列的

性質(zhì)列出關(guān)于公比q的方程，解出q的值，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可計(jì)算出數(shù)列｛如｝

的通項(xiàng)公式；

(2)先根據(jù)第(1)題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列｛斯+10g2?！保耐?xiàng)公式，再運(yùn)用分組求和法，

以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式計(jì)算出前n項(xiàng)和6的表達(dá)式，然后運(yùn)用作差法分析

出數(shù)列｛T”｝是單調(diào)遞增數(shù)列，進(jìn)一步推導(dǎo)即可計(jì)算出滿足乙<2024的最大整數(shù)n.

【解答】解：(1)由題意，設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為4(q>0),

貝!J4244=送=16,即43=4,

755=53+24,

.*.S5-S3=〃4+〃5=4q+4q2=24,

化簡(jiǎn)整理，得/+q-6=0,

解得q=-3(舍去)，或4=2,

?,?加=Q3?q〃-3=4?2〃-3=2〃-i,HEN*.

(2)由(1)可得，即+log2Q〃=2〃-l+log22〃-1

=2〃一1+〃-1,

則Tn=(2°+0)+(21+1)+(22+2)+???+[2〃-1+(〃-1)]

=(2°+21+22+-+2n-1)+[0+1+2+-+(〃-1)]

_2°-2nn(n-l)

=1-2+-2-

=2〃一1+也尹，

?F+i=2"+i-1+

Tn+1-Tn=2n+l-1+"(室)-[2"-1+"7)]

=2n+n>0,

數(shù)列｛%,｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

?當(dāng)w=10時(shí)，Tio=2i0-1+等它=1068<2024,

當(dāng)〃=11時(shí)，為1=2“-1+I。("=2102>2024,

滿足￡<2024的最大整數(shù)n的值為10.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算，以及數(shù)列求和問題.考查了方程思想，轉(zhuǎn)

化與化歸思想，分組求和法，等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，等比數(shù)列的性質(zhì)，

作差法，不等式的運(yùn)算，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題.

16.(15分)某項(xiàng)測(cè)試共有8道題，每道題答對(duì)5分，不答或答錯(cuò)得0分.某人答對(duì)每道題

的概率都是士每道試題答對(duì)或答錯(cuò)互不影響，設(shè)某人答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為X.

4

(1)求此人得分的期望；

(2)指出此人答對(duì)幾道題的可能性最大，并說明理由.

【答案】(1)10：(2)2,理由見解析.

【分析】(1)由題意可知X?B(8,根據(jù)期望公式求解即可；

4

(2)設(shè)答對(duì)人道題的可能性最大，列不等式求解即可.

【解答】解：(1)某人答對(duì)每道題的概率都是3則答對(duì)題目的個(gè)數(shù)X服從二項(xiàng)分布，

4

11

即X?3(8,-),E(X)=8X彳=2,

44

由于每道題答對(duì)得5分，所以此人答題得分為5X,因此在此項(xiàng)測(cè)試中，此人答題得分的

期望為E(5X)=5E(X)=10.

(2)設(shè)此人答對(duì)左道題的可能性為P(X=k)=x(1)8-fc,k=(0,1,8,

Pf_蜜)@d_2-8

P(X=kT)瑞，，，，

8!1

/c!(8-fc)!V4

=S'3

(/c-l)!(9-fc)!X4

9—ky9—4k

=3F=1+^^，

Q

當(dāng)AV,時(shí)，pk>pk-\ypz隨人的增加而增加，即p2>pi>p0,

Q

當(dāng)時(shí)，pk<pk-l,隨我的增加而減小，即p8Vp7<...<p2,

所以當(dāng)左=2時(shí)，分最大，因此此人答對(duì)2道題的可能性最大.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，是中檔題.

17.(15分)如圖，三棱柱ABC-4B1C1中，側(cè)面BB1C1C為矩形，底面ABC為等邊三角

形.

(1)證明：AiB=AiC；

(2)若AiC_LAiB,A\A=AB=2,

①證明：平面A1BC_L平面ABC；

②求平面ABC與平面48。的夾角的余弦值.

1

V21

【答案】(1)證明見詳解；(2)—.

【分析】(1)取BC中點(diǎn)為。連結(jié)AO,A10,證明平面A410,再由等腰三角形

中三線合一即可證明結(jié)論；

(2)①證明A1OL平面ABC,即可證明結(jié)論；②建立空間直角坐標(biāo)系求解.

【解答】解：(1)證明：取BC中點(diǎn)為0.連結(jié)AO,A10.

因?yàn)閭?cè)面班1C1C為矩形，所以又則441L8C,

由底面ABC為等邊三角形，所以AOLBC.

故BC_L平面A41O,

由于AiOu平面A410,故AiO_LBC.

又BO=CO,故A18=A1C.

(2)①證明：由A1CL41B,。為BC的中點(diǎn)及Ai5=4C,所以40=20=1.

又A0=陋,441=2,得泡=4。2+4。2,則Ai0_L04,

XAiOXBC,OAHBC=O,所以AiO_L平面ABC,

AiOu平面4BC,故平面48aL平面ABC；

②以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,0B,。41所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

4(0,0,1),^(V3,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0).

OAr=(0,0,1),A1Cr=AC=(-V3,-1,0),4；B=(0,1,-1).

設(shè)平面ABCi的一個(gè)法向量是三=(%,y,z),

'TT

則；'9yz°,令y=R,貝！Jx=-1,z=V3,所以九=(—1,V3/V3).

,n-41cl=—V3x—y=0

由(1)知04是平面ABC的一個(gè)法向量,

設(shè)平面ABC與平面AiBCi的夾角為0,

而.O】il_必|_V21

則cos。=|cos<n,0A>\

r前應(yīng)J71+3+3x17

V21

所以平面ABC與平面AiBCi的夾角的余弦值為〒.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查了空間向量的應(yīng)

用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

x2V21

18.(17分)已知雙曲線「：—=l(a>0,b>0),A(2,3),8(/0),直線AB

a'ozz

與r有唯一公共點(diǎn)A.

(1)求r的方程;

(2)若雙曲線r的離心率e不大于2,過B的直線/與「交于不同的兩點(diǎn)M,N.求直

線AM與直線AN的斜率之和.

為2y22

【答案】(1)=1或%2—除=1；

-73

4

(2)4.

49fy=2x-l

【分析】(1)由題意得―7-77=1,聯(lián)立y2化簡(jiǎn)得(廿-4〃2)一

ab［滔一/=1

22

-ab=0f分射-4〃2=0或廿-4〃270討論即可求解；

(2)設(shè)MGi,yi),N(X2,"),直線AM,AN的斜率分別為內(nèi)，ki,

直線l：y=k(x—3,與％2—號(hào)=1聯(lián)立得(3—k2)%2+k^x—4—3=0,可得/+山=

--J,%1%2=—-—+3，然后將依，上用坐標(biāo)表示結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.

3—k3—k

49

【解答】解：(1)由題意得T—==1,

Q_n

直線AB的方程為y—3=——2)<=>y=2%—1,

2-2

(y=2%—1

聯(lián)立|x2y2_,化簡(jiǎn)得(廬-4/)x2+4tz2x-d一〃2b2=0,

49

當(dāng)。2-4Q2=O時(shí),又格一記j解得戶=7,a2

4a249

2

當(dāng)廿-4/』0時(shí),得一=4=3Q2=b,又國(guó)一記=L

b2-4a2

解得廿=3屋=3,經(jīng)檢驗(yàn)A=0滿足題意,

X2y22

所以雙曲線方程為〒—1或，—v除=1；