《分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理》2

分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理(二)1、分類加法計數(shù)原理：完成一件事，有n類辦案，在第1類辦案中有m1種不同的方法,在第2類辦案中有m2種不同的方法……在第n類辦案中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.2、分步乘法計數(shù)原理：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……，做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的共同點：不同點：分類加法計數(shù)原理與分類有關(guān)，分步乘法計數(shù)原理與分步有關(guān)。答復的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題完成一件事，共有n類方法，關(guān)鍵詞“分類”區(qū)別1完成一件事，共分n個步驟，關(guān)鍵詞“分步”區(qū)別2區(qū)別3每類方法都能獨立地完成這件事情，它是獨立的、一次的、且每次得到的是最后結(jié)果，只須一種方法就可完成這件事。每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨立完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事。各類方法是互相獨立的。各步之間是互相關(guān)聯(lián)的。即：類類獨立，步步關(guān)聯(lián)。例1.五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？

解：（1）5名學生中任一名均可報其中的任一項，因此每個學生都有4種報名方法，5名學生都報了項目才能算完成這一事件故報名方法種數(shù)為4×4×4×4×4=種.（2）每個項目只有一個冠軍，每一名學生都可能獲得其中的一項獲軍，因此每個項目獲冠軍的可能性有5種故有n=5×５×５×５=種.例2.給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首個字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個要求用數(shù)字1～9，問最多可以給多少個程序命名？分析：要給一個程序模塊命名，可以分三個步驟：第一步，選首字符；第二步，先中間字符；第三步，選末位字符。解：首字符共有7+6＝13種不同的選法，答：最多可以給1053個程序命名。

中間字符和末位字符各有9種不同的選法根據(jù)分步計數(shù)原理，最多可以有13×9×9＝1053種不同的選法例3.核糖核酸〔RNA〕分子是在生物細胞中發(fā)現(xiàn)的化學成分，一個RNA分子是一個有著數(shù)百個甚至數(shù)千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學成分所占據(jù)，總共有４個不同的堿基，分別用A，C，G，U表示，在一個RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān)。假設有一類RNA分子由100個堿基組成，那么能有多少種不同的RNA分子？UUUAAACCCGGG分析:用100個位置表示由100個堿基組成的長鏈，每個位置都可以從A、C、G、U中任選一個來占據(jù)。第1位第2位第3位第100位4種4種4種4種……解：100個堿基組成的長鏈共有100個位置，在每個位置中，從A、C、G、U中任選一個來填入，每個位置有4種填充方法。根據(jù)分步計數(shù)原理，共有種不同的RNA分子.例4.電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)。因此計算機內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的計數(shù)法，即二進制，為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由８個二進制位構(gòu)成，問〔1〕一個字節(jié)〔8位〕最多可以表示多少個不同的字符？〔2〕計算機漢字國標碼〔GB碼〕包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？第1位第2位第3位第8位2種2種2種2種……如00000000，10000000，11111111.開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A例5.計算機編程人員在編寫好程序以后要對程序進行測試。程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路〔即程序從開始到結(jié)束的線〕，以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù)。一般的，一個程序模塊又許多子模塊組成，它的一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊。問：這個程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外為了減少測試時間，程序員需要設法減少測試次數(shù)，你能幫助程序員設計一個測試方式，以減少測試次數(shù)嗎？開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A分析：整個模塊的任意一條路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點；第2步是從A點執(zhí)行到結(jié)束。而第步可由子模塊1或子模塊2或子模塊3來完成；第二步可由子模塊4或子模塊5來完成。因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個計數(shù)原理。開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，需要測試的次數(shù)為：3*2=6。如果每個子模塊都正常工作，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就正常。這樣，測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178〔次〕2〕在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊。這樣，他可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常?？偣残枰臏y試次數(shù)為：18+45+28+38+43=172。例6.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容。交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成方法，每一個汽車牌照都必須有３個不重復的英文字母和３個不重復的阿拉伯數(shù)字，并且３個字母必須合成一組出現(xiàn)，３個數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)，那么這種方法共能給多少輛汽車上牌照?課堂練習1、乘積展開后共有幾項？2、某商場有6個門，如果某人從其中的任意一個門進入商場，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進出商場的方式？

3.如圖,該電路,從A到B共有多少條不同的線路可通電？AB課堂練習所以,根據(jù)分類原理,從A到B共有N=3+1+4=8條不同的線路可通電。在解題有時既要分類又要分步。解:從總體上看由A到B的通電線路可分三類,第一類,m1=3條第二類,m2=1條第三類,m3=2×2=4,條

1.一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共10個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)字號碼？N＝10×10×10×10＝10000〔種〕課堂練習2.要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？第一步：選1人上日班；第二步：選1人上晚班.有3種方法有2種方法N＝3×2＝6〔種〕

3.由數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成多少個無重復數(shù)字的三位數(shù)？百位

十位

個位5種4種5種N＝5×5×4＝100〔種〕

4.從5人中選4人參加數(shù)、理、化學科競賽，其中數(shù)學2人，理、化各1人，求共有多少種不同的選法？數(shù)學2人化學1人物理1人5種4種3種N＝5×4×3＝60〔種〕5.用5種不同顏色給圖中A，B，C，D四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域的顏色不同，求共有多少種不同的涂色方法？ADCBN＝5×4×3×3＝180