2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)-空間向量與立體幾何（含答案）

2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)一一空間向量與立體幾何

決勝2024年高考數(shù)學(xué)專項特訓(xùn):空間向量與立體幾何（解答題篇）

1.如圖，在三棱柱/8。-/曲（^中，平面NBGA/BC是等邊三角形，且。為棱

28的中點.

4d

B

⑴證明：43,平面CCD；

⑵若2AA^3AB,求平面4。。與平面N8G所成銳二面角的余弦值.

2.如圖，在正三棱柱"8C-4耳G中，。為/C的中點.

(1)證明：/4〃平面8G。；

(2)若"4=AB,求直線BG與平面所成角的正弦值

3.如圖，AD//BC且AD=2BC,ADLCD,EG//AD且EG=AD,CDUFG且

CD=2FG,DG_L平面ABCD,DA=DC=DG=2

⑴若M為C尸的中點，N為EG的中點，求證：MN//平面COE；

(2)求二面角E-8C一尸的平面角的正弦值；

⑶若點尸在線段DG上，直線8P與平面/OGE所成的角為45。，求點尸到平面CDE的距

離.

4.如圖，在三棱錐/-8CO中，平面48c4平面8CD,且BC=BD=BA,

/CB/=/CBO=120。，點尸在線段NC上，點。在線段CD上.

⑵若4C_L平面切乜,求即的值；

⑶在（2）的條件下，求平面/皿與平面所成角的余弦值.

5.如圖，在三棱柱"BO/4G中，所有棱長都為2,且Z4/C=60。，平面//CG，平面

“8C,點尸為48的中點，點。為4G的中點.

⑴點用到直線尸。的距離；

⑵求點用到平面pQC的距離.

6.如圖，在直三棱柱/8C-4用￡中,/2工/C,42=NC=AAX=1。是棱8c的中點

(1)求異面直線AB'與DC所成角的余弦值;

(2)求二面角B「3G的余弦值.

7.如圖(1)五邊形/8CDE中，ED=EA,AB//CD,CD=2AB,AEDC=150°,將AEAD沿

4D折到AP/。的位置，得到四棱錐尸一488,如圖(2),點州為線段尸。的中點，且

平面尸CD.

ABAB

圖⑴圖⑵

⑴求證：PA=AD.

(2)若直線PC與AB所成角的正切值為5,求直線BM與平面PDB所成角的正弦值.

8.如圖，矩形/BCD中42=2/0=4,￡為邊/B的中點，將V/DE沿直線翻折成

"DE,使。若河為線段4c的中點，

(1)求證：8河//平面4DE

⑵求證：平面平面8CAE

⑶求二面角0一48-E夾角的正弦值

9.如圖，在四棱柱"CO-481GA中，四邊形"5CO是平行四邊形，AB=\,BC=4,

NABC=60。,QC1CDE為/。的中點，且

(1)過點C作四棱柱的截面使其與面Z3CZ)垂直，并予以證明;

V42

(2)若平面8DG與平面的夾角的余弦值為〒，求三棱錐⑸一8。￡的體積.

10.如圖，在四棱錐E-42CD中，

ABIICD,BCVABtCDLCE,ZADC=ZEDC=45","=AD=41,8￡=6

(1)求證：平面8CE，平面Z8C。；

DM=-(DA+DE\

⑵若胡為NE上一點，且2、),求直線。河與平面/BCD所成角的正弦值.

11.已知四棱錐P-/8CD的底面是邊長為2的菱形,

NBAD=60°,尸/=PC=#,=2,M為尸。的中點

(1)求證：為〃平面8DM；

⑵求AMBD的重心到平面尸/。的距離.

12.如圖所示，四棱錐尸一/88中，底面NBC。是矩形，P/_L底面/BCD,PA=AB=\,

A。=6，點尸是總的中點，點￡在邊8c上移動.

P

(1)點E為8C的中點時，試判斷即與平面P/C的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)當(dāng)E為8C中點時，求異面直線PC與DE所成角的余弦值；

(3)求證：無論點E在邊3c的何處，都有尸.

13.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，尸/，平面/88,/8//。￡>,/8,8。,/8=3。=1,。。=2

(1)求證：平面P/8,平面尸8C；

2>/2

(2)若直線DG與平面P8C所成角的正弦值為亍，求力的長度.

14.如圖，在三棱錐尸一/8C中，平面P/C，平面Z8C,且歸旬=|/1=忸@=2,

NPAC=NACB=90。,E為棱PC的中點，尸為棱PB上的點.

H

(1)證明：AELPB.

(2)當(dāng)A4EF面積最小時，求直線CF與平面尸/8所成角的正弦值.

15.如圖，NE_L平面Z8CD,AE//CF,ADHBC,AD1AB,AB=AD=l,

AE=BC=2

⑴求證：BF〃平面4DE；

(2)求平面EBD與平面CBD夾角的余弦值；

372

(3)若點￡到平面瓦才'的距離為2,求三棱錐C-3D廠的體積.

16.如圖，在四棱錐尸一/BCD中，底面是邊長為2的正方形，A4。是正三角形,

PC=2也

(1)求證：平面尸40,平面NBC。；

7C?PM

(2)直線尸/上是否存在點使得直線CM與平面尸22所成角為％,若存在，求￥3的值;

若不存在，請說明理由.

BF_BE

17.在四面體力BCD中，各棱長均相等，H、G分別是AD、8的中點，且三一五7

⑴求證：E、F、G、”四點共面；

(2)求異面直線NC和尸G所成角的大小.

18.已知四棱錐S-/3C。如圖所示，平面&40,平面“BCD,四邊形/3C￡）為菱形,

△"D為等邊三角形，直線S3與平面"。所成角的正切值為1.

⑵若點M在線段上靠近/的四等分點，求平面"SB與平面SBC夾角的余弦值.

答案：

1.（1）證明見解析

巫

⑵刀

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.

【詳解】（1）證明：由三棱柱的性質(zhì)可知CG〃/4.

因為《4,平面所以CC|J_平面/3C.

因為48u平面4BC,所以

因為。為的中點，且28c是等邊三角形，所以

因為co,C￡u平面CCQ,且cqnco=c,

所以平面eq。.

（2）解：取的中點〃，連接0，.由題意可得兩兩垂直，故以。為坐標(biāo)原

點，

DB,DC,DDX的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)/8=2則6,3）

故方=（2,0,0）,布=0,6,3）函=（一1,0,3）,比=0,6,0）

設(shè)平面4CD的法向量為力=（再,M,4）,

n'DAX=—xx+3Z]=0,

則1萬?OC=GM=0,令網(wǎng)=3,得力=(3,0，1).

設(shè)平面小的法向量為而=々2，％，Z2),

m-AB=2X2=0,

則[而?/￡=%+6為+322=。，令%=右，得機=。6廠1)

設(shè)平面4CD與平面ABC,所成的銳二面角為夕，

cos^=|CosH^|=ft4=^=—

則??同阿屈乂220,

即平面與平面ASC＜所成銳二面角的余弦值為飛鼠.

2.(1)證明見解析

V6

⑵4

【分析】⑴連結(jié)交困于。，連結(jié)°。，推導(dǎo)出8〃陽，由此能證明陽〃平面

BCQ；

(2)設(shè)/4=/8=2,以8為原點，在平面N8C中過B作8c的垂線為x軸，8C為了軸，

3瓦為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線8G與平面44。。所成角的正弦

值.

【詳解】(1)證明：連結(jié)用°,交于°,連結(jié)00,

???正三棱柱43C-/4G中，。為/C的中點,

，。是2c的中點，曲,

AB\仁平面BCQ,ODu平面BCQ,

ABi//平面BCQ

(2)設(shè)《4=48=2以B為原點，在平面N8C中過3作的垂線為x軸，8c為了軸,

為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則8(0,0,。)，"。,2,2),出百』,。)C(0,2,0)

C]B=(0_2-2)CA=(A/3-Jo)CC[—(002)

，，'，'，'，U，

設(shè)平面的法向量為=aj，)，

n-CA=s5x-y=0

<

則〔爪CG=2z=0,取x=l,得萬=(1,G,O),

設(shè)直線8G與平面""￡C所成角為0,

273_V6

sin6=_.=

正.4-4

則

V6

，直線8G與平面所成角的正弦值為4.

3.(1)證明見解析;

⑵10;

A/6

⑶2；

【分析】(1)(2)(3)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明、面面角的向

量求法、點到平面距離的向量求法分別求解即得.

【詳解】(1)由DG,平面48C7),ADVCD,得直線以，℃,"?兩兩垂直，

以D為坐標(biāo)原點，直線DA,DC,DG分別為尤J/軸建立空間直角坐標(biāo)系，

-^DA=DC=DG=2,AD=2BC,則。（。,0,0）,A（2,0,0）,B（l,2,0）,C（0,2,0）,G（0,0,2）

^GUAD,EG=AD,CDUFG,CD=2FG,則石2）,尸（0,1,2）,顯然

"（1,0,2）,河（0,川

友=（0,2,0）屈=（2,0,2）

n-DC-2y=0

<00

設(shè)平面CQE的法向量為〃o=（%，%/0）,則KgE=2xo+2zo=O,令z0=-1,得

%二（1，。，-1）,

MN=___?一——?—

2’人則?幾o=°,即AW%,又直線MVu平面CZ）E,

所以"N//平面%.

(2)BC=(-1,0,0),而=(1,-2,2),CF=(0,-1,2),

ri-BC=—x=0

*

設(shè)平面5CE的法向量為為=('//),則卜=2y+2z=0令z="得五=(0,1,1),

m-JC=-a=Q

<

設(shè)平面33的法向量為而=3則品CF=-b+2c=0,令c=l,得麗=(°，2，1),

設(shè)二面角E-8C一廠的平面角為0,顯然夕為銳角，

2+1_3廂

cos。=|cos{m,n)|='上

-

則二面角E-8C-尸的平面角的余弦值為向北加V5xV210

sin0=A/1-COS20=

所以二面角E-BC一廠的平面角的正弦值為10.

⑶設(shè)尸（O,Oj）,其中te[0,2],則8P=（T-2,。，平面4OGE的一個法向量為4=（°，1，°）,

由直線3尸與平面4DGE所成的角為45。，則MBP\J5+/2,解得

t=V3,

則》=（。,。,）由⑴

6,知平面CDE的一個法向量為〃。=（L°，T）,

,\^-DP\V3V6

a==—r==

所以點尸到平面CDE的距離1??1J22.

4.（1）證明見解析

BPV3

⑵而，

⑶2

【分析】（1）根據(jù)三角形全等，可證明線線垂直，進(jìn)而可得線面垂直，進(jìn)而可求證，

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量即可求解.或者利用空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可結(jié)合三角

形的邊角關(guān)系求解.

（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解.

【詳解】（1）證明：過A作直線8C于0,連接D°.

由題知8/=80=3。,ZABO=ZDBO=60°,

.△ABO=ADBO,/DOB=/405=90°,即BC1DO,

又BC1AO.AOoDO=O,AO,DOu平面AODBC_L平面AOD,

又4Du平面Z8,

/.BCLAD9即

(2)方法一：；平面NBC/平面BCD,平面/5Cc平面3cD=8C,

AO1.BC,AOu平面ABCAOI平面BCD

UUUJUUIUULI

以。為原點，以08的長度為單位長度，以°。，℃，刃的方向分別為》軸，夕軸，z的正

方向建立空間直角坐標(biāo)系。一呼如圖，則。3,0,0)/@,0,0)3(0,1,0),C(0,3,0)

?「ACI平面BPQ,ACIBP.ACLBQ

?.?BA=BC:.P為AC中點,由題知麗=伊，T。)就=?，＞句

^BQ=BC+ACD=(0,2,0)+^心,一3,0)=/九,2-32,0)

二.而加=3(2-34)=0,;.2二

3，

￥，o,o，

..BQ=.?網(wǎng)卜竽

又在AABC中，BC=BA=2,NABC=120°

所以

方法二：,?YC，平面BPO—NC'BaZC'BO被BZnBCuZ,由N45C=120。知,

BP=1.

平面ABC1平面BCD,平面ABCc平面BCD=BC,AO1BC,AOu平面ABC,

/.AO_L平面BCD,又BQcz平面BCD,:.AO_LBQ,又AC_LBQ,ACcAO=A,

BQJ_平面4BCBQ_LBC

BC=2,ZBCQ=30°,.-.BQ=2x—=型—V3

33BQT

(3)由(2)知，平面尸80的一個法向量為就,

設(shè)平面的的一個法向量為萬=（x，y，z）；N8=（0,l,-V3）Z）5=

n?AB=y-Gz=0,

則1?麗=-6x+y=0,令y=6,則》=《，6，1）,

AC-n2百

cosAC,n=

RH2>/3XA/5

???平面與平面PBQ所成角的余弦值為T.

V42

5.(1)4

3

⑵2

【分析】（1）由面面垂直性質(zhì)定理證明線面垂直，再得線線垂直，由此建立空間直角坐標(biāo)系,

利用向量方法求點到直線的距離；

（2）利用法向量求解點面距.

【詳解】（1）由三棱柱/8C-/4G中，所有棱長都為2,

則四邊形/CQ4為平行四邊形，且棱長都相等，即為菱形，

又△'3°心44G都為等邊三角形，連接C4,

所以△4C4為等邊三角形，

取NC中點。，連接°43,則。"/C,

又平面4/CG，面45C,平面4/CC|C平面/BC=4C,面N/CG,

所以。4，平面ABC,則。4,OC,OA}±OB,

又因為08L/C,所以。瓦℃°4兩兩垂直.

則以°為坐標(biāo)原點，°民℃,。4所在直線分別為X,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系0-xyz,如

下圖示,

^4(0,-1,0),4(0,0,V3),5(A/3,0,0),C(0,1,0),Q(0,2,我

由西=無+麗=礪+石=(6,0,0)+(0,l,6)=(g,l,g)

h1

Bt(Al,V3),p*,--,0),0(0,1,V3)

則22

西=（百,0,0）,包=（-

所以22

糜?函|：-

則的他，詢=彳

-T

所以點用到直線尸。的距離為'

（2）由（1）知0。=（°，°，右），

設(shè)7=（。也C）是平面的一個法向量,

___q

，方?麗=---d!+—b+Gc=0

則〔萬（0=7^=。，取6=1,則深=（后1,0）,

又函=（6,0,0）,

1〃?我「3

所以點⑸到平面J。。的距離512

6.(1)2

1

⑵3

【分析】（1）；℃〃4G,...異面直線/用與℃所成角即為4G與/片所成角N個G.根據(jù)線

段關(guān)系得a4BG為等邊三角形,N/4G=60°,求余弦值即可.

（2）根據(jù)二面角的空間向量法求解即可.

【詳解】（1）在直三棱柱中，

vAB1AC,AB=AC=I,:.BC=41,：.Bg=也.

■：BB[1AB,BBX=AB=1,.\ABX=6

同理/G=^.

，△”心為等邊三角形J/N4G=60。，

又；BC〃Bg即DC//

異面直線AB'與DC所成角等于B￡與雞所成角/個G,

??“4與oc所成角的余弦值為2.

（2）在直三棱柱/BC-44a中，以A為原點，以“BMC,/4所在直線為x,y,z軸建立空間直

角坐標(biāo)系/一型，如圖所示.

/(O,O,O),R(I,O,I)，T［，［O］C(O,I,I)

則<22>,

.??瓦=(；,；,0)葩=(1,0,1)冠=(0,1,1)

設(shè)平面8/0的法向量為而=(%%zj.

應(yīng)?石=土+五=0,

22

m-AB=xl+zi=0,令石=1,則弘=一1，4=-1,.\m=

設(shè)平面ADQ的法向量為拓=&，％，Z2),

m?AD=-+—=0,

/.<22

m-ACx=y2+z2=0,令％=1,貝|j%=—I/2=1,.,.萬=(1,一1,1).

?，?lcos<^?)|=pTj4=p

]_

由圖知,二面角B「4D-q為銳二面角，所以二面角B.-AD-C1的余弦值為i.

7.(1)證明過程見解析

277

⑵7

【分析】(1)作出輔助線，得到四邊形/BMN為平行四邊形，故BM11AN,得到線面垂

直，進(jìn)而得到線線垂直，由三線合一得到結(jié)論；

(2)證明出由正切值求出余弦值，結(jié)合余弦定理求出CP=6,由勾股定理逆定

理得到81。尸，得到線面垂直，進(jìn)而證明出尸尸1平面“BCD,從而建立空間直角坐標(biāo)系，

求出平面的法向量，利用空間向量求解線面角的正弦值.

【詳解】(1)取尸。中點M連接

因為點M為線段尸C的中點，

MN^-CD

所以跖V//CD且2,

因為48//CD,CD=2/2,

所以MN〃AB,MN=AB,

故四邊形為平行四邊形,

所以3M//4N,

因為8河，平面P。。，

所以NN，平面PCD,

因為尸Ou平面PC。，

所以NN1P〃，

由三線合一得尸/=；

(2)由(1)得E/=4D,

又因為￡。="，所以A"。為等邊三角形，

故NEDA=60°,

因為/E￡?C=150。，ZCDA=90°,即1cA,

因為ABI/CD,所以直線PC與8所成角的正切值為5,

sinZDCP_1

tanDDCP=—

即2故cos/DCP2,

,,cosZDCP=^-

又sin2NDCP+cos2NZ)CP=l,解得5

設(shè)尸。=1,貝|/O=/8=PZ=1,C〃=2

CP2+CD2-PD2

cosZDCP=

在△CD尸中，由余弦定理得2cp?CD

CP2+4-l_2V5

即4cp5,解得CP=V^,

故由勾股定理逆定理得CDiDP,

因為4C>nDP=。，/。，?！竱=平面40尸，

所以CD,平面尸/O,

取/。中點尸，連接力"取2c中點5，連接萬月，則加1/。,

因為小u平面04D,

所以CD1P尸,

由三線合一得尸尸1/。，

因為。。,/。匚平面48。0,CDHAD=Dt

所以尸尸，平面/BCD,

以尸為坐標(biāo)原點，尸4尸里尸P所在直線分別為x/,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

Zj

p

Ay

x

11

嗚,1,0］，小，0，g，c-—,2,0--,1,

244J

設(shè)平面PD3的法向量為應(yīng)=（X//）,

\

1,V31G0

fh'PB=(x,y,z)=”-——z=0

222

7

、一L一旦=0

rn-PD=-

22

則7

令z=i得》=-5y=6,故灰二M，國）

設(shè)直線BM與平面PDB所成角大小為0,

?(—A/3,\/3,1

44277

sin6=\cosBM,m\='.——-

1幀7

則

8.（1）證明見解析

⑵證明見解析

2722

⑶11

【分析】（1）取8中點“，連接MH,BH,通過證明平面必加〃平面4,即可求證;

（2）通過證明EC,平面即可求證;

（3）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法即可求解.

【詳解】（1）取CD中點連接

因為"和H分別是4G°的中點，

所以,又平面ZQE,/Qu平面4QE

所以“"http://平面4。￡,

因為E是的中點，

所以DH=EB且DH//EB,

所以四邊形DEBH為平行四邊形，

所以DE//HB,又“8a平面4?！辏?。￡<=平面&OE,

所以HB//平面4DE,

又因為MHCHB=u平面MHB,

所以平面AffiB〃平面4°E,又因Wu平面必出，

所以5M//平面

⑵因為DE=EC=0DC=2,

所以DE?+EC、DC)

所以血EC,

因為_L￡C,

且￡)4nOE=O,O&U平面&DE,DEu平面4°E

所以EC,平面4°E,又因為ECU平面3C￡>￡,

所以平面A'DE1平面BCDE.

(3)取中點尸，連接4尸

因為4。=4￡,

所以4尸SE,

又因為平面平面8CDE,且平面平面4尸U平面4?！?

所以4尸，平面8CDE.

以。為坐標(biāo)原點，04OC所在直線分別為X軸，了軸，

過點。作//的平行線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

8（2,4,0）,C（0,4,0）,E（2,2,0）,4夜）

設(shè)平面4cB的法向量為方=（"/）,48=（1，3,-四）/=（一2,0,0）,

---?

元.A]B=°1+3y-V2z=0

則1萬,叱=0,即1-2x=0,令z=3,則尸&,x=0,

所以亢=（°,尺），

設(shè)平面A'EB的法向量為應(yīng)=（ahc）,4B=（1,3-42）BE=（0,-2,0）,

-----------?__

m-AfB^Oia+3b-y/2c=0

則[而屁=0,即13=0,

令c=1,則0=3,6=0,

所以而=3,°,l）,

設(shè)二面角C一的夾角為0,

c°se=|cos瓦同=昭=廠=叵

則II同同V4HxG11

sing=Vl-cos2^=

所以

2位

所以二面角c-48-￡夾角的正弦值為IT

9.（1）證明見解析

旦Vn

⑵3或21

【分析】（1）取42中點M,連接EM,首先根據(jù)解三角形知識得到CD工EC,進(jìn)

一步結(jié)合可證CD，平面從而￡E'CD,再結(jié)合GE，EC,可證線面垂直,

進(jìn)一步可證平面CC\ME1平面ABCD

（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)參即設(shè)EG=a（a＞。），將已知條件轉(zhuǎn)換為相應(yīng)平面法

向量的夾角的余弦的絕對值，即可列方程求解參數(shù)，進(jìn)一步結(jié)合等體積轉(zhuǎn)換法、棱錐體積公

式即可求解.

【詳解】（1）如圖，

取4A中點連接GM,EM,則面即為所求截面，

由四邊形4BCD是平行四邊形，AB=\,NABC=60。，且E為/。的中點,

DE=-AD=2,DC=1,/CDE=60°

則在△OCE中，2,

由余弦定理得，CE=個DE?+DC-2DE?DCcos/EDC=應(yīng),

所以近2+。。2=。石2,即CDJ.EC,

又由GC，CD,且GCcEC=C,CC”ECu平面ECJ,

所以COL平面ECG,

因為G￡u平面ECG,所以GE'S,

又因為,且"CcCZ)二C,￡C,CZ)u平面/BCD

所以GE，平面/BCD,

所以平面CC\ME±平面ABCD

（2）取2C的中點尸，連接E尸，則E尸,EC,

又EFu平面ABCD,CXE1平面ABCD,

所以皿GE,

所以EF,EC,兩兩互相垂直,

以E為坐標(biāo)原點，斯，EC,“q所在的直線分別為X軸，y軸和Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖所示,

可得。1（0,0,。）,。61，6,0）26,-6,0）0（0,道,0）/@-6,0）

BD=(■3,26,0)西二^2,CM)

所以

n1-BD=-3再+2yby1=0

<_

設(shè)平面BDCX的一個法向量為4=（再，必，為），則［?1-2G=-2芭+傷1+叼=0,

令必=6,可得再2'Ta所以平面BOG的一個法向量”

又由亞=32,2出,0）西=CQ=-區(qū)a

n2?AD=-2X2+2也y2=0

ADDA

設(shè)平面ii的一個法向量為〃2=(%，%，Z2),則[n2DDX=-\5y2+az2=O

_瓜X,=3,Z,=—AA”2=1,一

令%="3,可得--j所以平面的一個法向量Ia

因為CG〃2片，又CG<Z平面瓦況,5月u平面AD4,所以C￡〃平面加珞,

XX

，B、-BDC1=Vc、-BDB\=@BDB[=〃-BDC=§S.B0cze[=-~4X1Xsilll20xl=

當(dāng)”1時,

Q-----

當(dāng)7時，

，B、-BDG=%—BDB、=^C-BDB、=，B、-BDC=§S“p℃?EC]=§X5X4X1Xsilll20X

V3V21

綜上可得，三棱錐&-8Z)G的體積為T或W

10.(1)證明見解析

V3

⑵4

【分析】（1）借助面面垂直的判定定理即可得；

（2）由題意計算可得點”所處位置，根據(jù)線面角的定義找到線面所成角后計算即可得.

【詳解】（1）.；BC工AB,ABHCDCD1BC,

■：CD1CE,BC^CE=Ct8C,CEu平面BCE,

\CDz平面BCE,

???CDu平面ABCD，.二平面BCE1平面ABCD.

（2）取的中點N.連接。N、MN,

ANB

由（1）知CD，平面8",

BE<=平面BCE，:.CDLBE,

如圖，過點A作“戶,。。，

■,■ZADC=45",AD=y[l,AF=\,DF=FC=\,；.BC=l,

ZEDC=45°,CDLCE,CD=CE=2j

'：BE=粗，由勾股定理可知BELBC,

BCACD=CfBC、CDu平面NBCQ,,5￡_L平面Z3CD,

?：DM=-（DA+DE\

2V人為/￡的中點，

CLA：.MN=—

MN//BE9又BE=J3,2,

MN1平面ABCD，:.ZMDN為直線DM與平面ABCD所成角,

AB=-CD

由（1）知CD'BC,又/3〃CD,2,

r-AB=BC=-CD=\

ZADC=45°,AD=>j2,2,

___________________________布

DN=y]AD2+AN2-2AD-AN-cosZDAN=—

2,

133

DM2=DN2+MN2=—+-=4

44,：.DM=2,

直線與平面/BCD所成角的正弦值為4.

11.(1)證明見解析

V15

⑵5

【分析】（1）根據(jù)題意，連接“o交3。于點°,連接由線面平行的判定定理即可證

明；

（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算，代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】

連接NC交于點0,連接。川，

因為底面"BCD是菱形，則。為/C中點，又M為尸C中點,

則。拉為△/PC的中位線,

則（W//4P,又OA/u平面3￡）四，/尸①平面ADM,

則PA〃平面BDM.

因為底面為菱形，且邊長為2,NB4D=60°,

則OA=OC=V3,OB=OD=1,即AC=2>/3,

又PA=PC=&,。為/C中點，則0P「C,

貝IOP=y/AP2-AO2=后與=V3,

又尸D=2,0D=l,則。尸2+o￡)2=p02,則opj_8￡),

又/CfW=O,ZC,BDu平面/BQ),

貝IJO尸，平面/BCD,

則以。為原點，°及℃，°「分別為羽％2軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

/1（0,-A/3,0）S（1,0,0）,￡＞（-1,0,O）,C（O,V3,O）P^,O,V3）Mfo,^,^

則V22J

（G內(nèi)

GQU,-----,-----

設(shè)AMSO的重心為G,貝IJI66）

設(shè)平面PAD的法向量為k=（%%z）,

PA-n=-yl3y-s/3z=0

<

則［尸￡>?五=-x-Gz=°,解得x=-Gz,y=-z,

/

取z=l,則k-l，x=-G,則"=GG'T'l）,又I

J?畫=3一岳

則點G到平面尸工。的距離同加5.

12.（1）平行，理由見解析

V35

⑵35

（3）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理求解；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成的角；

（3）利用向量法證明證明線線垂直即可得證.

【詳解】（1）當(dāng)點E為8c的中點時，E尸與平面尸”C平行.

...在APBC中，E、尸分別為8C尸8的中點，，砂7/PC.

又打（Z平面P/C,而PCu平面R4C,

」.EF〃平面P4c.

（2）以A為坐標(biāo)原點，以尸分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

z」

PCDEV35

cosPC,DE=

RR"IT

所以

V35

所以，當(dāng)￡為3c中點時，異面直線尸。與DE所成角的余弦值為3-.

(3)依據(jù)(2)所建立坐標(biāo)系,

(°，3，］，。心，°，°)

尸(0,0,1),8(0,1,0),尸

則

設(shè)BE=x,則E(x，L。)，

.?.而?布=(x,l,-l)［o,；,J=O

:.PE±AF,PEVAF,

所以，無論點E在邊8c的何處，都有PE，/斤.

13.(1)證明見解析；

⑵血或右.

【分析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)、判定及面面垂直的判定推理即得.

(2)以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法列式求出產(chǎn)/的長度.

［詳解］(1)在四棱錐尸一NBC。中，尸/,平面48CD，2Cu平面AgC￡>,則P/L3C,

而48_1_8(7,夫/［148=4夫448<=平面于是平面又BCu平面P5C,

所以平面尸平面尸3C.

(2)取。中點為E,連接ABA.BC,ABHCD,AB=BC=1,CD=2

則48//C￡,48=CE,即四邊形4BCE為矩形，則

又尸/_L平面ABCD,AB,4Eu平面ABCD,顯然AB,AE,AP兩兩垂直,

以A為坐標(biāo)原點，直線/反/乙力尸分別為為'J/軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)PN=機>0,則/(°，°，°)，尸(°，°，加)，C(1,1,0),。(-1,1,0),5(1,0,0),

由點G是在8的重心，得不+沅+而=0,則6(0'3'7'"6=(1廠3型，

又尸2=(l,O,-w),3C=(O,l,O),設(shè)平面P3C的一個法向量〃=(x,y,z),

,-->.

n?PB=x—mz=0

則［萬."=y=0,取z=i,得"=(加，°，1),設(shè)OG與平面P3C所成角為

…「用小RH用「行

3

\DG\\n\歷.342

9,化簡得加-7m+10=0,

解得病=2或二=5,即以=0或7〃=石，所以尸/的長度為血或逐.

14.(1)證明見解析

V2

⑵2

【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即可證明；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面尸的法向量和直線。尸的方向向量，利用向量法求線

面角的正弦值即可.

【詳解】(1)因為平面尸/C，平面48C,平面P/Cn平面/2C=NC,又44c8=90。，

BCu平面/3C,所以8C/平面尸/C.又/Eu平面P4C,所以8CL/E.

因為尸/=/C,￡是PC的中點，所以NELPC.

■^PCC\BC=C,PC,BCcs^-^PBCr所以/E_L平面P8C

又PSu平面P8C,所以

（2）由（1）可得，平面尸8C,因為EFu平面尸3C,所以NELEN,

AEEF

所以S.AEF=2-\1\AI\,故當(dāng)△/￡尸面積最小時，EF最短,此時即，尸8.

由（1）可得，8C1平面P/C,尸Cu平面P/C,所以8cLpC,

所以/C5~/旌又因為//閆/q=^C|=2,|PC|=jR「+M「=2收,

|P5|=^4+IM=個2、@⑸=2A/3

PEEF

2「，解得如一行

所以根據(jù)三角形的相似比PB2C,即

\AF\=J|y4E|2+|EF|2=—\PF\=J|PE|2-|E'F|2=—PF=-PB

則?1Vl1113,所以?1Vl1113,則3.

如圖，以/為原點，與NC垂直的方向，射線NC,射線4P分別為x,y,z軸的正半軸,

建立空間直角坐標(biāo)系.則“（0,0,0），尸（。，。，2），8（2,2,0）,C（0,2,0）,

P.24醞=2黑］，方=（2,2,0）,方=（0,0,2）

PF=-PB,得F［3'3'31所以13

由3

iiVABii-AB=0（2x+2y=0,

設(shè)平面P4B的一個法向量為萬=（x/，z）,因為［亢：P1萬?/尸=0,即12z=0,

則z=0,令x=l,所以kT,則萬=（LT°）.

sin。=|cosn,CF|=J-j=Jj-241

11V2x2-2

設(shè)直線CF與平面PAB所成角為。，則l?l-|^|

叵

所以直線CF與平面P4B所成角的正弦值號.

B

15.(1)證明見解析

1

⑵3

⑶6

【分析】(1)先通過面面平行的判定定理證明平面3CF//平面4DE,然后再證明8尸〃平

面4DE；

(2)建立合適空間直角坐標(biāo)系，先求解出平面EAD與平面C8D的一個法向量，然后計算法

向量夾角的余弦值，結(jié)合圖形可求結(jié)果；

(3)先通過向量法表示出點E到平面8D廠的距離，然后求解出尸的坐標(biāo)，結(jié)合三棱錐體積

公式可求結(jié)果.

【詳解】(1)因為/D//BC,5CO平面/DE,/Du平面

所以8c〃平面4DE,

因為4E//CF,CF<Z平面4DE,4Eu平面4DE,

所以CF〃平面ADE,

因為3Cu平面8CF,C尸u平面BCF,5CnC^=C,

所以平面BCF11平面ADE,

又因為8斤u平面3CF,

所以8尸〃平面/DE；

(2)以A為坐標(biāo)原點，方向為x/，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

過點C作CG,y軸，交V軸于G點,

因為AB=AD=\,

所以△4BD為等腰直角三角形，且BD=&AABD=AADB=45°

又因為/Q//3C,所以ND8C=N/D8=45。，

所以。2=必+叱-2x8。x2Cxcos45°,

CD2=2+4-2xV2x2x—=2廣

所以2,所以。=血,

所以BD=BC,所以NDBC=NDCB=45。，

所以Z&DC=180°-45°-45°=90°,

所以NCZ)G=180°-45°-90°=45°,

又因為CGLOG,所以ACDG為等腰直角三角形，

所以CG=DG=CDsin450=1,

由上可知:￡（°，0，2）,8（1,0,0）,。（0,l,0）,C（l,2,0）

所以》=（1,0,-2）,而=

設(shè)平面￡加的一個法向量為〃?

ncEB=Q卜］-2Z］=0

所以［43=0,所以=0,令4=1,則%=（2,2，1）

取平面CBD的一個法向量為〃2=（°，0，1）,

0+0+1