2023屆天津市七校聯(lián)考高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)量調(diào)查（一）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市七校聯(lián)考2023屆高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)量調(diào)查（一）數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（本卷共9題，共45分）參考公式：球的表面積、體積公式：，，為球的半徑.一、選擇題（本大題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.集合，，則（）．A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以或，所以，故選：A．2.若，則“”是“”的（）.A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)，滿足，但不滿足，充分性不成立，若，滿足，但不滿足，故必要性不成立，所以是的既不充分也不必要條件.故選：D.3.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)閯t為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸軸對稱，排除選項(xiàng)AC；又，則排除選項(xiàng)D.故選：B.4.某滑冰館統(tǒng)計(jì)了某小區(qū)居民在該滑冰館一個(gè)月的鍛煉天數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖（將頻率視為概率），則下列說法正確的是（）A.該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最少B.估計(jì)該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)超過15天的概率為0.465C.估計(jì)該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)的中位數(shù)為16D.估計(jì)小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)的平均值為15〖答案〗B〖解析〗由圖知：、、、、、頻率分別為、、、、、，對于A：內(nèi)的天數(shù)最少，故A錯(cuò)誤；對于B：估計(jì)鍛煉天數(shù)超過15天的概率為，故B正確；對于C：由、、頻率和為，設(shè)中位數(shù)為x，則，可得，故C錯(cuò)誤；對于D：平均天數(shù)為天，故D錯(cuò)誤；故選：B．5.已知，，，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故，而單調(diào)遞增，故，，所以.故選：D.6.已知，且，則（）.A.3 B.6 C.12 D.18〖答案〗B〖解析〗由得：，由換底公式可得：，則，所以，因?yàn)?，所以故選：B.7.攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，常見的有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?六角攢尖等，多見于亭閣式建筑，某園林建筑為四角攢尖，它主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，若這個(gè)正四棱錐的棱長均為2，則該正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，正四棱錐棱長均2，連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接PO根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，可得平面ABCD.所以，，所以正四棱錐的體積.故選：C.8.已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，拋物線的準(zhǔn)線與交于M，N兩點(diǎn)，且為正三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗的準(zhǔn)線方程為，經(jīng)過點(diǎn)，中，令得，解得，故，因?yàn)闉檎切危?，即，?lián)立，解得，方程兩邊同時(shí)除以得，解得或（舍去），故雙曲線的離心率為.故選：A.9.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值，有下面四個(gè)說法：（）①函數(shù)的最小正周期可能為②的取值范圍是；③當(dāng)取最大值時(shí)，是函數(shù)的一條對稱軸；④當(dāng)取最大值，是函數(shù)的一個(gè)對稱中心．以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)是（）A.l B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由得，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)沒有最值，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，故①正確；所以，可知是函數(shù)的一條對稱軸，故③正確；又因?yàn)?，故④錯(cuò)誤，所以正確的是①③，故〖答案〗為：B．第Ⅱ卷（本卷共11題，共105分）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對1個(gè)的給3分，全部答對的給5分）10.若復(fù)數(shù)z滿足（是虛數(shù)單位），則=________.〖答案〗〖解析〗，故.故〖答案〗為：11.已知的展開式中的系數(shù)是，則__________．〖答案〗2〖解析〗展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以，所以，解得．故〖答案〗為：2.12.已知圓與圓外切，此時(shí)直線被圓所截的弦長_________．〖答案〗〖解析〗由題可知：，即且由兩圓向外切可知，解得所以到直線的距離為，設(shè)圓的半徑為則直線被圓所截的弦長為故〖答案〗為：.13.為了組建一支志愿者隊(duì)伍，欲從3名男志愿者，3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊(duì)的隊(duì)長，則在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人數(shù)，則________.〖答案〗〖解析〗設(shè)事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”，則，即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是.X可取，，則故〖答案〗為：；14.在△ABC中，，，，，則___________，若動(dòng)點(diǎn)F在線段AC上，則的最小值為___________.〖答案〗〖解析〗第一空：，則，則，又，，故，解得；第二空：設(shè)，，，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故〖答案〗為：；.15.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗關(guān)于的方程有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)，則當(dāng)，方程有個(gè)根，當(dāng)，方程有個(gè)根，當(dāng)或，方程有2個(gè)根，當(dāng)，方程有4個(gè)根，當(dāng)，方程有0個(gè)根；則必有兩個(gè)根、，有兩種情況符合題意：①，且，此時(shí)，則；②，，此時(shí)，綜上可得的范圍是，故〖答案〗為：．三、解答題（本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（），已知，（1）求；（2）求a，c值；（3）求的值.解：（1），，又，.（2），又，，①，即②又，由①②可得，（3），，.17.如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，，，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)G，使得平面？請說明理由．（1）證明：∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）解：在平面內(nèi)，過作．∵平面平面，平面平面，又平面，，∴平面，∴，，．如圖建立空間直角坐標(biāo)系：由題意得，∴設(shè)平面的法向量為，則令，則，，∴．平面的一個(gè)法向量為，則．∴平面與平面的夾角的余弦值．（3）解：線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下：設(shè)平面的法向量為，則令，則，，∴．∵，∴平面與平面不可能垂直，從而線段上不存在點(diǎn)，使得平面．18.已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且滿足，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對任意的，都有.（1）解：設(shè)的公差為，的公比為，則，.由題意知，，所以，解之得，，當(dāng)時(shí)，，則，，即與矛盾，故舍去；當(dāng)時(shí)，，則，，所以,，滿足題意；所以，.（2）解：設(shè)，，設(shè)，則，，兩式相減得，所以，即.（3）證明：，，，因?yàn)椋字S著的增大而增大，所以，，所以.19.已知橢圓，若橢圓的短軸長為且經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn).（1）求橢圓方程；（2）求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程；（3）若直線與x軸不垂直，在x軸上是否存在點(diǎn)使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，說明理由.解：（1）由題意得，解得，將代入橢圓方程，得到，故，故橢圓方程為；（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)三點(diǎn)共線，不合要求，舍去；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故面積的最大值為，此時(shí)直線的方程為或；（3）在x軸上存在點(diǎn)使得恒成立，理由如下：因?yàn)椋?，即，整理得，即，所以，則，解得，故在x軸上存在點(diǎn)，使得恒成立.20.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，令.①證明：當(dāng)時(shí)，；②若數(shù)列滿足，，證明：.（1）解：函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，，令，，恒成立，則在上單調(diào)遞減，，因此，成立，所以當(dāng)時(shí)，.②由①可知，當(dāng)時(shí)，，由得，即，由，可得，而，又，即，則，由于，只需證，又當(dāng)時(shí)，，令，，恒成立，則在上單調(diào)遞增，，則當(dāng)時(shí)，恒有，而，即成立，不等式成立，因此成立，即成立，所以原不等式得證.天津市七校聯(lián)考2023屆高三下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)量調(diào)查（一）數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（本卷共9題，共45分）參考公式：球的表面積、體積公式：，，為球的半徑.一、選擇題（本大題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.集合，，則（）．A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以或，所以，故選：A．2.若，則“”是“”的（）.A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)，滿足，但不滿足，充分性不成立，若，滿足，但不滿足，故必要性不成立，所以是的既不充分也不必要條件.故選：D.3.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)閯t為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸軸對稱，排除選項(xiàng)AC；又，則排除選項(xiàng)D.故選：B.4.某滑冰館統(tǒng)計(jì)了某小區(qū)居民在該滑冰館一個(gè)月的鍛煉天數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖（將頻率視為概率），則下列說法正確的是（）A.該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最少B.估計(jì)該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)超過15天的概率為0.465C.估計(jì)該小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)的中位數(shù)為16D.估計(jì)小區(qū)居民在該滑冰館的鍛煉天數(shù)的平均值為15〖答案〗B〖解析〗由圖知：、、、、、頻率分別為、、、、、，對于A：內(nèi)的天數(shù)最少，故A錯(cuò)誤；對于B：估計(jì)鍛煉天數(shù)超過15天的概率為，故B正確；對于C：由、、頻率和為，設(shè)中位數(shù)為x，則，可得，故C錯(cuò)誤；對于D：平均天數(shù)為天，故D錯(cuò)誤；故選：B．5.已知，，，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故，而單調(diào)遞增，故，，所以.故選：D.6.已知，且，則（）.A.3 B.6 C.12 D.18〖答案〗B〖解析〗由得：，由換底公式可得：，則，所以，因?yàn)?，所以故選：B.7.攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，常見的有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?六角攢尖等，多見于亭閣式建筑，某園林建筑為四角攢尖，它主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，若這個(gè)正四棱錐的棱長均為2，則該正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，正四棱錐棱長均2，連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接PO根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，可得平面ABCD.所以，，所以正四棱錐的體積.故選：C.8.已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，拋物線的準(zhǔn)線與交于M，N兩點(diǎn)，且為正三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗的準(zhǔn)線方程為，經(jīng)過點(diǎn)，中，令得，解得，故，因?yàn)闉檎切?，所以，即，?lián)立，解得，方程兩邊同時(shí)除以得，解得或（舍去），故雙曲線的離心率為.故選：A.9.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值，有下面四個(gè)說法：（）①函數(shù)的最小正周期可能為②的取值范圍是；③當(dāng)取最大值時(shí)，是函數(shù)的一條對稱軸；④當(dāng)取最大值，是函數(shù)的一個(gè)對稱中心．以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)是（）A.l B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由得，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)沒有最值，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，故①正確；所以，可知是函數(shù)的一條對稱軸，故③正確；又因?yàn)?，故④錯(cuò)誤，所以正確的是①③，故〖答案〗為：B．第Ⅱ卷（本卷共11題，共105分）二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對1個(gè)的給3分，全部答對的給5分）10.若復(fù)數(shù)z滿足（是虛數(shù)單位），則=________.〖答案〗〖解析〗，故.故〖答案〗為：11.已知的展開式中的系數(shù)是，則__________．〖答案〗2〖解析〗展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以，所以，解得．故〖答案〗為：2.12.已知圓與圓外切，此時(shí)直線被圓所截的弦長_________．〖答案〗〖解析〗由題可知：，即且由兩圓向外切可知，解得所以到直線的距離為，設(shè)圓的半徑為則直線被圓所截的弦長為故〖答案〗為：.13.為了組建一支志愿者隊(duì)伍，欲從3名男志愿者，3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊(duì)的隊(duì)長，則在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人數(shù)，則________.〖答案〗〖解析〗設(shè)事件“抽取的3人至少有一名男志愿者”，事件“抽取的3人中全是男志愿者”，則，即在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是.X可取，，則故〖答案〗為：；14.在△ABC中，，，，，則___________，若動(dòng)點(diǎn)F在線段AC上，則的最小值為___________.〖答案〗〖解析〗第一空：，則，則，又，，故，解得；第二空：設(shè)，，，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故〖答案〗為：；.15.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗關(guān)于的方程有且僅有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)，則當(dāng)，方程有個(gè)根，當(dāng)，方程有個(gè)根，當(dāng)或，方程有2個(gè)根，當(dāng)，方程有4個(gè)根，當(dāng)，方程有0個(gè)根；則必有兩個(gè)根、，有兩種情況符合題意：①，且，此時(shí)，則；②，，此時(shí)，綜上可得的范圍是，故〖答案〗為：．三、解答題（本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（），已知，（1）求；（2）求a，c值；（3）求的值.解：（1），，又，.（2），又，，①，即②又，由①②可得，（3），，.17.如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，，，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)G，使得平面？請說明理由．（1）證明：∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）解：在平面內(nèi)，過作．∵平面平面，平面平面，又平面，，∴平面，∴，，．如圖建立空間直角坐標(biāo)系：由題意得，∴設(shè)平面的法向量為，則令，則，，∴．平面的一個(gè)法向量為，則．∴平面與平面的夾角的余弦值．（3）解：線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由如下：設(shè)平面的法向量為，則令，則，，∴．∵，∴平面與平面不可能垂直，從而線段上不存在點(diǎn)，使得平面．18.已知數(shù)列是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，且滿足，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求；（3）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對任意的，都有.（1）解：