專題二：填空題難題

考點梳理專題二：

填空題難題選講課堂精講Madebywangshw2016/11/241.如圖，△ABC三邊的中線AD、BE、CF的公共點為G，若S△ABC=12，則圖中陰影部分面積是

.【考點】三角形的面積．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，知△ABC的面積即為陰影部分的面積的3倍．【解答】解：∵△ABC的三條中線AD、BE，CF交于點G，

∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，

∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，

∴S陰影=S△CGE+S△BGF=4．

故答案為4．【點評】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，該圖中，△BGF的面積=△BGD的面積=△CGD的面積，△AGF的面積=△AGE的面積=△CGE的面積中考42.如圖，△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△A′B′C′，若∠BAC=90°，AB=AC=，則圖中陰影部分的面積等于

．【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰直角三角形．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)題意結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=BC=1，AF=FC′=sin45°AC′=AC′=1，進而求出陰影部分的面積．中考【解答】

解：∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=，

∴BC=2，∠C=∠B=∠CAC′=∠C′=45°，

∴AD⊥BC，B′C′⊥AB，

∴AD=BC=1，AF=FC′=sin45°AC′=AC′=1，

∴圖中陰影部分的面積等于：故答案為：．【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，得出AD，AF，DC′的長是解題關(guān)鍵．中考3.如圖，三個小正方形的邊長都為1，則圖中陰影部分面積的和是

（結(jié)果保留π）．【考點】扇形面積的計算．【專題】壓軸題．【分析】陰影部分可看成是圓心角為135°，半徑為1是扇形．【解答】

解：根據(jù)圖示知，∠1+∠2=180°-90°-45°=45°，

∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴圖中陰影部分的圓心角的和是90°+90°-∠1-∠2=135°，

∴陰影部分的面積應為：

故答案是：．【點評】本題考查學生的觀察能力及計算能力．求不規(guī)則的圖形的面積，可以轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形的面積的和或差來求．中考4.如圖，在?ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，連接CE，則陰影部分的面積是

（結(jié)果保留π）．【考點】扇形面積的計算；平行四邊形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】過D點作DF⊥AB于點F．可求?ABCD和△BCE的高，觀察圖形可知陰影部分的面積=?ABCD的面積-扇形ADE的面積-△BCE的面積，計算即可求解．中考【解答】

解：過D點作DF⊥AB于點F．

∵AD=2，AB=4，∠A=30°，

∴DF=AD?sin30°=1，EB=AB-AE=2，

∴陰影部分的面積：

=4-π-1

=3-π．

故答案為：3-π．【點評】考查了平行四邊形的性質(zhì)，扇形面積的計算，本題的關(guān)鍵是理解陰影部分的面積=?ABCD的面積-扇形ADE的面積-△BCE的面積．中考5.如圖（1），將一個正六邊形各邊延長，構(gòu)成一個正六角星形AFBDCE，它的面積為1，取△ABC和△DEF各邊中點，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖（2）中陰影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各邊中點，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如圖（3）中陰影部分，如此下去…，則正六角星形A4F4B4D4C4E4的面積為

．【考點】相似多邊形的性質(zhì)；三角形中位線定理．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】先分別求出第一個正六角星形AFBDCE與第二個邊長之比，再根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方，找出規(guī)律即可解答．中考【解答】解：∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分別是△ABC和△DEF各邊中點，

∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比為2：1

∵正六角星形AFBDCE的面積為1，

∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積為，

同理可得，第三個六角形的面積為：，

第四個六角形的面積為：，

故答案為：．【點評】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)及三角形中位線定理，解答此題的關(guān)鍵是熟知相似多邊形面積的比等于相似比的平方．中考1.如圖，△ABC中，已知點D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點，且S△ABC=4cm2，則陰影部分的面積為

．考點：三角形的面積．分析：根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答．解答：解：∵點E是AD的中點，∴S△ABE=S△ABD，S△ACE=S△ADC，∴S△ABE+S△ACE=S△ABC=×4=2cm2，∴S△BCE=S△ABC=×4=2cm2，∵點F是CE的中點，∴S△BEF=S△BCE=×2=1cm2．故答案為：1cm2．點評：本題考查了三角形的面積，主要利用了三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形，原理為等底等高的三角形的面積相等．強化訓練1cm22.（2015?昆明）如圖，△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE為邊作等邊三角形GEF，則△ABH與△GEF重疊（陰影）部分的面積為

．考點：等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形的重心；三角形中位線定理．專題：壓軸題．分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AD的長，∠ABG=∠HBD=30°，根據(jù)等邊三角形的判定，可得△MEH的形狀，根據(jù)直角三角形的判定，可得△FIN的形狀，根據(jù)面積的和差，可得答案．強化訓練解答：解：如圖所示：

，由△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點H，BC=4，得AD=BE=BC=6，∠ABG=∠HBD=30°．由直角三角的性質(zhì)，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°．由對頂角相等，得∠MHE=∠BHD=60°由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4．由GE為邊作等邊三角形GEF，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE是等邊三角形；強化訓練S△ABC=AC?BE=AC×EH×3EH=BE=×6=2．由三角形外角的性質(zhì)，得∠BIF=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由線段的和差，得IF=FG﹣IG=4﹣2=2，由對頂角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由銳角三角函數(shù)，得FN=1，IN=．S五邊形NIGHM=S△EFG﹣S△EMH﹣S△FIN=×42﹣×22﹣××1=，故答案為：．點評：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，利用了等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定，利用圖形的割補法是求面積的關(guān)鍵．強化訓練3.（2015?溫州模擬）如圖，以Rt△ABC的三邊為邊向外分別作正方形ACMH，正方形BCDE，正方形ABFG，連結(jié)EF，GH，已知∠ACB=90°，BC=t，AC=2﹣t（0＜t＜1）．若圖中陰影部分的面積和為0.84，則t=

．考點：勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)．分析：過E做EI垂直FB的延長線與I，過H做HJ垂直GA的延長線與J，由相似三角形的判定方法可分別證明△ACB∽△EIB和△HAJ∽△BAC，再有相似三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角公式以及已知條件即可求出t的值．強化訓練0.6解答：解：過E做EI垂直FB的延長線與I，∵∠ABC+∠FBE=180°，∠EBI+∠FBE=180°∴∠ABC=∠EBI，又∵∠ACB=∠EIB=90°∴，∴AB?EI=BE?AC，∴S△EBF=EI?BF=BE?AC=（2t﹣t2），過H做HJ垂直GA的延長線與J，同理可證△HAJ∽△BAC，∴，∴HJ?AB=AH?BC，∴S△HAG=HJ?AB=AH?BC=（2t﹣t2），強化訓練∵S△EBF+S△HAG=0.84，∴（2t﹣t2）+（2t﹣t2）=0.84，解得t=0.6，故答案為0.6．點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程的應用，題目的綜合性強，難度較大．強化訓練4.如圖，△ABC的邊AB=3，AC=2，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分別表示以AB、AC、BC為邊的正方形，求圖中三個陰影部分的面積之和的最大值為

．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)分析：把△CFH繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCH′，然后判斷出A、C、H′三點共線，再根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得S△BCH′=S△ABC，即S△CFH=S△ABC，同理可得S△BDG=S△ABC，S△AEM=S△ABC，從而得到陰影部分的面積的和=3S△ABC，再根據(jù)三角形的面積公式，當AB⊥AC時，面積最大列式計算即可得解．強化訓練9解答：解：如圖，把△CFH繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCH′，∵Ⅱ表示正方形，∴AC=CH=CH′，∠ACH+∠BCH′=360°﹣90°×2=180°，∴A、C、H′三點共線，∴S△BCH′=S△ABC，∴S△CFH=S△ABC，同理可得S△BDG=S△ABC，S△AEM=S△ABC，∴陰影部分的面積的和=3S△ABC，∵AB=3，AC=2，∴當AB⊥AC時，△ABC的面積最大，最大值為S△ABC=AB?AC=×3×2=3，∴三個陰影部分的面積之和的最大值為3×3=9．故答案為：9．點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線判斷出每一個陰影部分的面積等于△ABC的面積是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．強化訓練5.（2015?深圳模擬）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE為BC邊上的高，將△ABE沿AE所在直線翻折得△AB1E，則△AB1E與四邊形AECD重疊部分的面積是

．考點：菱形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．分析：首先設(shè)CD與AB1交于點O，由在邊長為2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE為BC邊上的高，可求得AE的長，繼而求得△ABB1、△AEB1、△COB1的面積．則可求得答案．強化訓練解答：解：如圖，設(shè)CD與AB1交于點O，∵在邊長為2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE為BC邊上的高，∴AE=，由折疊易得△ABB1為等腰直角三角形，∴S△ABB1=BA?AB1=2，S△ABE=1，∴CB1=2BE﹣BC=2﹣2，∵AB∥CD，∴∠OCB1=∠B=45°，強化訓練又由折疊的性質(zhì)知，∠B1=∠B=45°，∴CO=OB1=2﹣．∴S△COB1=OC?OB1=3﹣2，∴重疊部分的面積為：2﹣1﹣（3﹣2）=2﹣2．點評：此題考查了菱形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．強化訓練6.（宣城模擬）如圖，正方形ABCD中，扇形BAC與扇形CBD的弧交于點E，AB=2cm．則圖中陰影部分面積為

．考點：正方形的性質(zhì)；扇形面積的計算．分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得邊相等，角相等，根據(jù)扇形BAC與扇形CBD的弧交于點E，可得△BCE的形狀，根據(jù)圖形的割補，可得陰影的面積是扇形，根據(jù)扇形的面積公式，可得答案．強化訓練解答：解：正方形ABCD中，∴∠DCB=90°，DC=AB=2cm．扇形BAC與扇形CBD的弧交于點E，∴△BCE是等邊三角形，∠ECB=60°，．∴∠DCE=∠DCB﹣∠ECB=30°．根據(jù)圖形的割補，可得陰影的面積是扇形DCE，S扇形DCE=π×，故答案為：．點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，圖形的割補是解題關(guān)鍵．強化訓練7.（如圖，正方形ABCD的邊長為3，E為AD的中點，連接BE、BD、CE，則圖中陰影部分的面積是

．考點：正方形的性質(zhì)．專題：計算題．分析：CE與BD相交于F點，如圖，由DE∥BC可判斷△DEF∽△BCF，則，于是利用三角形面積公式可得S△DCF=S△EBF=2S△DEF，而S△CDE=，所以S△DCF=S△EBF=×=，然后計算圖中陰影部分的面積．強化訓練3解答：解：CE與BD相交于F點，如圖，∵E為AD的中點，∴DE=，∵DE∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴S△DCF=S△EBF=2S△DEF，而S△CDE=×3×=，∴S△DCF=S△EBF=×=，∴圖中陰影部分的面積=2×=3．故答案為3．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形面積公式．強化訓練8.如圖，四邊形ABCD是菱形，O是兩條對角線的交點，過O點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分．當菱形的兩條對角線的長分別為10和6時，則陰影部分的面積為

．考點：菱形的性質(zhì)．分析：根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半求出面積，再根據(jù)中心對稱的性質(zhì)判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半解答．解答：解：∵菱形的兩條對角線的長分別為6和10，∴菱形的面積=×10×6=30，∵O是菱形兩條對角線的交點，∴陰影部分的面積=×30=15．故答案為：15．點評：本題考查了菱形的性質(zhì)以及中心對稱的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并判斷出陰影部分的面積等于菱形的面積的一半是解題的關(guān)鍵．強化訓練159.如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，過點O的直線分別交AD和BC于點E、F，AB=2，BC=4，則圖中陰影部分的面積為

．考點：矩形的性質(zhì)．分析：根據(jù)矩形性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，AO=OC，推出∠EAO=∠FCO，證出△AEO和△CFO的面積相等，同理可證：△BOF和△DOE的面積相等，△ABO和△DOC的面積相等，即可得出陰影部分的面積等于矩形ABCD的面積的一半，求出即可．強化訓練4解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，AO=OC，∴∠EAO=∠FCO，在△AEO和△CFO中

∴△AEO≌△CFO，即△AEO和△CFO的面積相等，同理可證：△BOF和△DOE的面積相等，△ABO和△DOC的面積相等，即陰影部分的面積等于矩形ABCD的面積的一半，∵矩形面積是AB×BC=2×4=8，∴陰影部分的面積是4，故答案為：4．點評：本題考查了矩形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，關(guān)鍵是求出陰影部分的面積等于矩形ABCD的面積的一半．強化訓練10.如圖，矩形ABCD的長AD為2，寬AB為2，若以A點為圓心，AB為半徑作出扇形，則圖中陰影部分的面積為

．（用含π的式子表示）考點：扇形面積的計算．分析：先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠DAC的度數(shù)，再由S陰影=S矩形ABCD﹣S△ABC﹣S扇形即可得出結(jié)論．強化訓練解答：解：∵AD=2，AB=2，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=30°，∴S陰影=S矩形ABCD﹣S△ABC﹣S扇形故答案為：．點評：本題考查的是扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關(guān)鍵．強化訓練11.（如圖，△ABC是邊長為4個等邊三角形，D為AB邊的中點，以CD為直徑畫圓，則圖中陰影部分的面積為

（結(jié)果保留π）．

考點：扇形面積的計算．分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理得出△COF，△COM，△ABC以及扇形FOM的面積，進而得出答案．強化訓練解答：解：過點O作OE⊥AC于點E，連接FO，MO，∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，D為AB邊的中點，以CD為直徑畫圓，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=30°，AC=BC=AB=4，∴∠FOD=∠DOM=60°，AD=BD=2，∴CD=2，則CO=DO=，∴EO=，EC=EF=，則FC=3，∴S△COF=S△COM=××3=，S扇形OFM==π，S△ABC=×CD×4=4，∴圖中影陰部分的面積為：故答案為：．

點評：此題主要考查了扇形面積公式以及三角形面積公式和等邊三角形的性質(zhì)等知識，正確分割圖形求出是解題關(guān)鍵．強化訓練12.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中點O為坐標原點，AB所在直線為x軸建立的平面直角線坐標系中，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點A旋轉(zhuǎn)至y軸正半軸上的A′處，則圖中陰影部分面積為

．考點：扇形面積的計算；坐標與圖形性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AB，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得A′B=AB，然后求出∠OA′B=30°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠A′BA=60°，即旋轉(zhuǎn)角為60°，再根據(jù)S陰影=S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′，然后利用扇形的面積公式列式計算即可得解．強化訓練解答：解：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2OA=2OB=AC=2，∵△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)點A在A′處，∴BA′=AB，∴BA′=2OB，∴∠OA′B=30°，∴∠A′BA=60°，即旋轉(zhuǎn)角為60°，強化訓練S陰影=S扇形ABA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形CBC′=S扇形ABA′﹣S扇形CBC′=﹣=π﹣π=π．故答案為π．點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，表示出陰影部分的面積等于兩個扇形的面積的差是解題的關(guān)鍵，難點在于求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．強化訓練13.（2015?河南模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為1，分別以A、D為圓心，1為半徑畫弧BD、AC，則圖中陰影部分的面積

．考點：扇形面積的計算．分析：過點F作FE⊥AD于點E，則AE=AD=AF，故∠AFE=∠BAF=30°，再根據(jù)勾股定理求出EF的長，由S弓形AF=S扇形ADF﹣S△ADF可得出其面積，再根據(jù)S陰影=2（S扇形BAF﹣S弓形AF）即可得出結(jié)論．強化訓練解答：解：如圖所示，過點F作FE⊥AD于點E，∵正方形ABCD的邊長為1，∴AE=AD=AF=1，∴∠AFE=∠BAF=30°，∴EF=．=2（﹣+）=﹣．故答案為：﹣．

點評：本題考查了扇形的面積公式和長方形性質(zhì)的應用，關(guān)鍵是根據(jù)用圖形的對稱性分析，主要考查學生的計算能力．強化訓練14.如圖，已知A1A2=1，∠OA1A2=90°，∠A1OA2=30°，以斜邊OA2為直角邊作直角三角形，使得∠A2OA3=30°，依次以前一個直角三角形的斜邊為直角邊一直作含30°角的直角三角形，則Rt△A2014OA2015的面積為

．考點：含30度角的直角三角形；勾股定理．專題：規(guī)律型．分析：在直角三角形OA1A2中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，得到OA2=2A1A2，由A1A2的長求出OA2的長，在直角三角形OA2A3中，利用銳角三角函數(shù)定義得到tan∠A2OA3等于A2A3與OA2的比值，求出A2A3的長，再利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，求出OA3的長，同理求出A3A4的長，以此類推得到直角三角形△A2014OA2015的兩條直角邊的長，求出面積．強化訓練解答：解：在Rt△OA1A2中，A1A2=1，∠OA1A2=90°，∠A1OA2=30°，∴OA1=1÷tan30°=，OA2=÷cos30°=2，在Rt△OA2A3中，OA2=2，∠OA2A3=90°，∠A2OA3=30°，∴A2A3=OA2tan∠A2OA3=2×=，OA3=OA2÷cos∠A2OA3=，由此可知O