新疆烏魯木齊七十中2023-2024學(xué)年高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

新疆烏魯木齊七十中2023-2024學(xué)年高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖在直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)。作曲線丁=三+1（%20）的切線，切點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸分別作x、y軸的垂線,

垂足分別為A、B,在矩形Q4m中隨機(jī)選取一點(diǎn)，則它在陰影部分的概率為（）

2.已知集合A={x|x>0},B={x|x?-x+b=0},若Ac_B={3},貝!!/?=（）

A.-6B.6C.5D.-5

22

3.設(shè)點(diǎn)P是橢圓二+±=1（?！?）上的一點(diǎn)，耳，鳥是橢圓的兩個焦點(diǎn)，若出閶=4后，則|P4|+|P閭=（）

a4

A.4B.8C.4A/2D.477

4.在AA5C中，H為BC上異于B,。的任一點(diǎn)，〃為AH的中點(diǎn)，^AM=AAB+^AC,則彳+〃等于（）

A

B

A.

5.設(shè)加，〃是兩條不同的直線，夕是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若加〃幾，mLf3,則〃_L分；

②若加〃rnll/3,則?！Γ虎廴糍齁_a,nila,則加J_〃；④若m"a,,則。_L/?；其中真命題的個

數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

一,%<0

6.已知函數(shù)/（%）=:，若函數(shù)內(nèi)幻=/（幻-就在R上有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍為（）

Inx門

---〉0

B.若C?(一8，1)

A.(0,-)

e2e

7.已知函數(shù)/（x）（xeR）滿足/⑴=1,且/則不等式/（坨2%）<坨2龍的解集為（）

A.B.14?C.

HQQ%|X〉0

8.已知函數(shù)/（%）二?2w，方程/（X）-口=0有四個不同的根，記最大的根的所有取值為集合。，貝！1"函

X2+2X+2,X<0

數(shù)/（%）=/（%）-爪無€。）有兩個零點(diǎn)”是“左〉L，的（）.

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.下圖是民航部門統(tǒng)計(jì)的某年春運(yùn)期間，六個城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格（單位元），以及相比于上一年同期價(jià)

格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，以下敘述不正確的是（）

六個械市春運(yùn)往返機(jī)票的平均價(jià)格和憎幅

300010.00%

2500

2000

1S00

1OOO

500

川

北I奈-上海廣州親圳/天h津京慶I

平均伯格——增幅

A.深圳的變化幅度最小，北京的平均價(jià)格最高

天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大

C.上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)

D.相比于上一年同期，其中四個城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加

\na

1〃）的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，且〃的最小值為"，則

10.若3%+￡N*fa2二()

Xy/x)-a

8br「25%

A.36萬B.——C.-----D.25兀

22

11.若直線y=fcc+l與圓，+y2=l相交于尸、。兩點(diǎn)，且/尸。。=120。（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則左的值為（）

A.73B.72C.g或一6D.JI和一夜

12.根據(jù)如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的x值為3時，輸出的V值等于（）

-2

A.1B.eC.JD.e

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知半徑為4的球面上有兩點(diǎn)--，_球心為O,若球面上的動點(diǎn)C滿足二面角的大小

為.:，則四面體的外接球的半徑為

x+y-3W0

14.若函數(shù)y=log2X的圖像上存在點(diǎn)（x，y）,滿足約束條件2x-y+2?0,則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為

y>m

15.已知向量a,b，c滿足|b|=2,\c-b\=\,則|a+c|的取值范圍為.

16.設(shè)S”是公差不為0的等差數(shù)列｛a“｝的前”項(xiàng)和，且%=-2Q，則邑=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）過點(diǎn)P（-4,0）的動直線I與拋物線C:爐=2py（p>0）相交于D、E兩點(diǎn)，已知當(dāng)/的斜率為:時，PE=4PD-

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)OE的中垂線在V軸上的截距為。，求b的取值范圍.

1

X=-t

2

18.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線/：<a為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半

y=l+—t

2

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=2cos0

(1)求曲線。的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點(diǎn)"的極坐標(biāo)為直線/與曲線C的交點(diǎn)為A,3,求|舷4|+|"司的值.

x=2cosor,

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，曲線G：<(戊為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為

[y=sina

極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線C]的極坐標(biāo)方程為0=-2sin，.

(1)求曲線G的普通方程和曲線。2的普通方程；

(2)若P,Q分別為曲線G，。2上的動點(diǎn)，求IPQI的最大值.

x=sine-3cos8-2

20.(12分)在直角坐標(biāo)系x0y中，曲線G的參數(shù)方程為八八(。為參數(shù))，坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸

y=cos，+3sin”

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為夕sin16+?]=-2.

(1)求曲線G的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

(2)若曲線G、交于A、B兩點(diǎn),。是曲線Ci上的動點(diǎn)，求△ABD面積的最大值.

21.(12分)已知函數(shù)=%2一(a—i6)x,g(x)=alnx,aeR.函數(shù)/z(x)=AU—g(x)的導(dǎo)函數(shù)”⑴

X

在1,4上存在零點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若存在實(shí)數(shù)。，當(dāng)xe[O,句時，函數(shù)/(%)在％=0時取得最大值，求正實(shí)數(shù)力的最大值；

(3)若直線/與曲線丁=/(力和丁=8(%)都相切，且/在V軸上的截距為-⑵求實(shí)數(shù)。的值.

22.(10分)已知函數(shù)"刈=W-叫-卜+2|(加GR),不等式“X—2"0的解集為(f,4].

(1)求加的值；

(2)若〃>0,b>09C>39S.a+2b+c=2m,求(。+1)(。+1)(。一3)的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

設(shè)所求切線的方程為y=履，聯(lián)立]'=?化＞°),消去y得出關(guān)于x的方程，可得出A=O,求出左的值，進(jìn)而求得

=x+1

切點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積，然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】

設(shè)所求切線的方程為y=履，則上＞0,

聯(lián)立曰("＞°),消去y得好—履+1=。①，由八=廳一4=0,解得左=2,

〔y=x+1

方程①為d―2%+1=0,解得x=l,則點(diǎn)P(l,2),

所以，陰影部分區(qū)域的面積為S=J。?+1—2x)辦=[x3—f+x卜=g,

Si

矩形。4PB的面積為S'=1x2=2,因此，所求概率為尸=r=—.

S6

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查定積分的計(jì)算以及幾何概型，同時也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

2、A

【解析】

由Ac6={3},得3e3,代入集合B即可得b.

【詳解】

AnB={3},:.9-3+b=0,即：b=-6,

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

:閨閭=46

??1耳閶=2C=46

c=2^/3

'*#c2=a2—b29b2=4

..〃=4

.?.|P￡|+|PE|=2a=8

故選B

點(diǎn)睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不

畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖

掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.

4、A

【解析】

根據(jù)題意，用4比4。表示出4",3”與40,求出尢〃的值即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意，設(shè)BH=xBC，貝!I

--11-1_11--11

AM=-AH=-(AB+BH)=-(AB+xBC)=-AB+-x(AC-AB)=-(l-x)AB+-xAC,

2222222

又AM=AAB+^iAC,

,1八、1

/.2=—(1-x),//=—x,

01八、11

..丸+4—(1-X)HX—9

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量，是基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

利用線線、線面、面面相應(yīng)的判定與性質(zhì)來解決.

【詳解】

如果兩條平行線中一條垂直于這個平面，那么另一條也垂直于這個平面知①正確；當(dāng)直線加

平行于平面a與平面￡的交線時也有相〃。，加〃夕，故②錯誤；若相，a,則心垂直平面

a內(nèi)以及與平面a平行的所有直線，故③正確；若相〃a,則存在直線/ua且機(jī)/〃，因

為相，，，所以/，，，從而故④正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，里面涉及到了相應(yīng)的判定定理以及性質(zhì)定理，是一道基礎(chǔ)題.

6^B

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)，分當(dāng)x<0,x>Q,將問題轉(zhuǎn)化為左=MO的零點(diǎn)問題，用數(shù)形結(jié)合的方法研究.

X

【詳解】

當(dāng)x<0時，==J_,令g(x)=e，g[x)=—■1->0,g(x)在xw(-oo,0)是增函數(shù)，左>0時，=

XXXXX

有一個零點(diǎn)，

當(dāng)％〉。時，心小L坐，令h(x)=*,〃(x)=匕p

XXXX

當(dāng)xe(0,J7)時，h\x)>0,=/i(x)在(0,J7)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(G,+co)時，〃'(x)V。，；"(x)在(J7,+oo)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=及時，丸(x)取得最大值

2e

因?yàn)镕(x)=/(%)-日在R上有3個零點(diǎn),

所以當(dāng)x>0時，左=小1有2個零點(diǎn)，

X

如圖所示:

所以實(shí)數(shù)左的取值范圍為(0,上)

2e

綜上可得實(shí)數(shù)左的取值范圍為(0,[),

2e

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題.

7、B

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)="X)-X,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論.

【詳解】

設(shè)g(x)=f{x)-x，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g'(X)=/'(X)—1,Qf'(x)<1,二g'(x)<0,即函數(shù)gQ)為減函

數(shù),/(1)=1,.-..?(1)=/(1)-1=1-1=0,則不等式g(x)<0等價(jià)為g(x)<g⑴,

則不等式的解集為x>1,即/(不<X的解為x>l,Qf(lg2x)<lg2%，由Ig2%〉1得igx>I或igx<-1,解得x>10

或0<x<—,

10

故不等式的解集為u(10,+8).故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，是難題.

8、A

【解析】

作出函數(shù)f(x)的圖象，得到D=(2,4],把函數(shù)F(x)=f(x)—kx(xeD)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=kx與y=f(x)在(2,

4]上有交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可求得k的取值范圍，再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.

【詳解】

作出函數(shù)f(x)=]ilog2xi,A>0的圖象如圖，

x+2^+2,x<0

由圖可知，D=(2,4],

函數(shù)F(x)=f(x)—kx(xeD)有2個零點(diǎn)，即f(x)=kx有兩個不同的根,

也就是y=kx與y=f(x)在(2,4]上有2個交點(diǎn)，則k的最小值為；；

設(shè)過原點(diǎn)的直線與y=log2X的切點(diǎn)為(Xo，log2Xo),斜率為一j~3，

則切線方程為yTog?x=-X。)，

x0ln2

把(0,0)代入，可得Tog,Xo=—工，即x0=e,.?.切線斜率為工，

In2eln2

;.k的取值范圍是1],

eln2)

二函數(shù)F(x)=f(x)-kx(xeD)有兩個零點(diǎn)”是“k>!”的充分不必要條件,

故選A.

本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上

某點(diǎn)處的切線方程，試題有一定的綜合性，屬于中檔題.

9、D

【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項(xiàng)逐一分析，由此得出敘述不正確的選項(xiàng).

【詳解】

對于A選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價(jià)格最高，所以A選項(xiàng)敘述正確.

對于B選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大，所以B選項(xiàng)敘述正確.

對于C選項(xiàng)，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)，所以C選項(xiàng)敘述正確.

對于D選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加，故D選項(xiàng)

敘述錯誤.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.

10、C

【解析】

=3"一'。""5'’=0,1,,〃，因?yàn)檎归_式中含有常數(shù)項(xiàng)，所以“―gr=0,即r=|〃為整

數(shù)，故n的最小值為1.

所以j^Ja2-x2dx=1y/52-x2dx=—.故選C

a52

點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略

⑴求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r+1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出廠值即可.

⑵已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第廠+1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出廠值，最后求出

其參數(shù).

11、C

【解析】

直線過定點(diǎn)，直線y=kx+l與圓x2+y2=l相交于p、Q兩點(diǎn)，且NPOQ=120°（其中O為原點(diǎn)），可以發(fā)現(xiàn)/QOx的大

小，求得結(jié)果.

【詳解】

如圖，直線過定點(diǎn)（0,1）,

VZPOQ=120°AZOPQ=30°,1=120°,Z2=60°,

由對稱性可知k=±V3.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查過定點(diǎn)的直線系問題，以及直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

根據(jù)程序圖，當(dāng)x<0時結(jié)束對x的計(jì)算，可得y值.

【詳解】

由題x=3,x=x-2=3-l,此時x>0繼續(xù)運(yùn)行，x=l-2=-l<0,程序運(yùn)行結(jié)束，得y=e",故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查程序框圖，是基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、

【解析】

設(shè)所在截面圓的圓心為-,中點(diǎn)為-,連接-)

AM*0MBa*MB**

易知------即為二面角-_--的平面角，可求出------「及--然后可判斷出四面體------外接球的球心-在

直線--上，在.------中，—一：4——-_---結(jié)合，可求出四

一7____zz=1.3,2=111-^1

面體二二二二的外接球的半徑二

【詳解】

設(shè)-----所在截面圓的圓心為-，中點(diǎn)為-，連接—一一，

■Aflw*fLJ

OA=OB,所以，ODLAB,同理OiDLAB,所以，二二二二即為二面角二_二二一二的平面角,

二=為”

因?yàn)?--所以---是等腰直角三角形，----，

一一?一—一一，，一一—―、―一―一一

在q.-—-中，由COS60°=_，得一一='=,由勾股定理，得：—一.二.;，

因?yàn)镺i到A、B、C三的距離相等，所以，四面體------外接球的球心L在直線--上,

W*^BJMMwvB

設(shè)四面體二二二二外接球半徑為二，

由勾股定理可得:口］叩+四口，-D0&即，0+（二一、司：=邙，解得

【點(diǎn)睛】

本題考查了三棱錐的外接球問題，考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

14、1

【解析】

x+^-3<0,

由題知x>0,且滿足約束條件2%-丁+220,的圖象為

由圖可知當(dāng)y=log2%與y=3-X交于點(diǎn)B(2,l),當(dāng)直線y=加過B點(diǎn)時，m取得最大值為1.

點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一、準(zhǔn)確無誤地作出

可行域；二、畫標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯；三、

一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.

15、[0,4]

【解析】

設(shè)@=。4，b=OB，c=OC，-a=-OA=OA'>由1&1=2,\c-b\=l,根據(jù)平面向量模的幾何意義,

可得A點(diǎn)軌跡為以。為圓心、1為半徑的圓，C點(diǎn)軌跡為以8為圓心、1為半徑的圓，|a+c|為4C的距離，利用數(shù)

形結(jié)合求解.

【詳解】

設(shè)々=OA，b=OB>c=OC，—a=—OA=OA!，

如圖所示：

因?yàn)镮。1=1,Ib|=2,|c-Z?|=1,

所以A點(diǎn)軌跡為以。為圓心、1為半徑的圓，C點(diǎn)軌跡為以3為圓心、1為半徑的圓,

則|a+c|即AC的距離，

由圖可知，OW|AC|<4.

故答案為：[0,4]

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的模及運(yùn)算的幾何意義，還考查了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于中檔題.

16、18

【解析】

先由%=-2弓，可得q=-2d,再結(jié)合等差數(shù)列的前九項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】

解：因?yàn)?=%+6d=_2口],所以q=-2d,邑+4一）=9x24=此

&g4+3dd

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列基本量的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，屬基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）必=4y；（2）ZJ>2

【解析】

（1）根據(jù)題意，求出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理，結(jié)合PE=4PD，即可求出拋物線C的方程；

（2）設(shè)/:y=左（％+4）,。石的中點(diǎn)為（九0，%），把直線/方程與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式求出k的取值范圍，利用

韋達(dá)定理求出進(jìn)而求出OE的中垂線方程，即可求得在V軸上的截距沙的表達(dá)式,然后根據(jù)左的取值范圍求解即可.

【詳解】

（1）由題意可知，直線I的方程為y=1（x+4）,

與拋物線方程C：f=2py[p>0）方程聯(lián)立可得，

2y2—（8+同y+8=0,

設(shè),%）,￡（%,%），由韋達(dá)定理可得，

8+p.

%+%=4，

因?yàn)镻E=4PO，0石=（%+4,%），PD=（玉+4,%），

所以9=4%,解得%=1,%=4,。=2,

所以拋物線C的方程為必=4%

⑵設(shè)/:y=攵(%+4),的中點(diǎn)為(毛,為),

x2=4y

，消去》可得爐—4kx—l6k=0,

y=%(x+4)

所以判別式A=16k2+64k>0,解得左v或左>0,

由韋達(dá)定理可得,%=迤獰=2k,y0=k(x0+4)=2k-+4k,

所以O(shè)E的中垂線方程為y—2左2—4左=—：(x—24)，

令x=0則/,=y=2左2+4左+2=2(左+1)2,

因?yàn)樽?lt;T或%>0,所以b>2即為所求.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用;考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和運(yùn)

算求解能力;屬于中檔題.

18、(1)(%-1)2+/=1(2)6+1

【解析】

x=0cose

(1)由公式,c可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；

y=/7sm〃

(2)把〃點(diǎn)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，直線/的參數(shù)方程是過定點(diǎn)〃的標(biāo)準(zhǔn)形式，因此直接把參數(shù)方程代入曲線C的方

程，利用參數(shù)f的幾何意義求解.

【詳解】

解：(1)C:p=2cos0,貝Up?=2pcosd,%2+y2=2x,

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為X2+/-2X=0,即(尤―吁+/=1

(2)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為M(0,l),易知Me/.設(shè)A,8對應(yīng)參數(shù)分別為乙,t2

1

將/：與+/_2x=0聯(lián)立得

/+^-\/3+1^?+1=0,+?2=—A/3_1,%=1(<0,<0

\MA\+\MB\=\t]\+\t2\=\t1+t2\=j3+l

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線參數(shù)方程，解題時可利用利用參數(shù)方程的幾何意義求直線上兩

點(diǎn)間距離問題.

19、(1)—+/=1,一+(>+1)2=1；(2)述+1

4-3

【解析】

試題分析：(1)由sin20+cos2(z=l消去參數(shù)戊，可得G的普通方程，由/+/=夕)丁=夕sin?？傻肅2的普通

方程；

⑵設(shè)P(2coso,sino)為曲線G上一點(diǎn)，點(diǎn)P到曲線的圓心(O，T)的距離d==J—31sina—J+g,結(jié)合

sinae[—1,1]可得最值，歸。的最大值為2+廠，從而得解.

試題解析：

(1)G的普通方程為5+丁=1?

???曲線。2的極坐標(biāo)方程為P=-2sind,

:.曲線的普通方程為x2+y2=-2y,即/+(y+1.=1.

(2)設(shè)P(2cos%sino)為曲線G上一點(diǎn)，

則點(diǎn)P到曲線。2的圓心(°，T)的距離

d=J4cos2a+(sina+=J—3sin2a+2sins+5=J-31sina-+^-.

.?.當(dāng)sina=；時，d有最大值*

又；P,Q分別為曲線G，曲線。2上動點(diǎn)，

；?|PQ|的最大值為d+r=尊+1.

20、(1)q:(%+2)2+/=10,G：x+豆丁+4=°；(2)3(A^0+1).

【解析】

(1)在曲線G的參數(shù)方程中消去參數(shù)凡可得出曲線G的普通方程，將曲線。2的極坐標(biāo)方程變形為

QCOS。+?sin，+4=0,進(jìn)而可得出曲線C2的直角坐標(biāo)方程;

(2)求出點(diǎn)。到直線A5的最大距離，以及直線C?截圓G所得弦長|A理，利用三角形的面積公式可求得△ABD面

積的最大值.

【詳解】

x+2=sin。一3cos。

(i)由曲線G的參數(shù)方程得

y=cos6+3sin。

/.(x+2)2+y2=(sin-3cos0^+(cos+3sin0^=10.

所以，曲線G的普通方程為(%+2)2+/=10,

將曲線。2的極坐標(biāo)方程變形為qcos。/osin。+4=0,

所以，曲線。2的直角坐標(biāo)方程為X+3>+4=0；

(2)曲線。2是圓心為(一2,0),半徑為廠=加為圓，

所以，點(diǎn)。到直線x+by+4=0的最大距離為d+r=l+JIU，\AB\=2>Jr2-d2=6,

因此，AABD的面積為最大值為?(d+r)=gx6x(1+加)=3(Vw+1).

【點(diǎn)睛】

本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的相互轉(zhuǎn)換，同時也考查了直線截圓所形成的三角形面積最值

的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

21、⑴[10,28]；(2)4；(3)12.

【解析】

(1)由題意可知，h(x)=x1-x-a]nx-a+16,求導(dǎo)函數(shù)”(x),方程—%—“=。在區(qū)間|,4上有實(shí)數(shù)解，求

出實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)由/(無)=/一丁—(。一16)*,貝！J/'(x)=3d—2x—a+16,分步討論，并利用導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性的研究，

得出正實(shí)數(shù)萬的最大值；

(3)設(shè)直線/與曲線y="力的切點(diǎn)為(忌另一才—(〃―16)為)，因?yàn)?'(%)=3d—2x—(a—16),所以切線斜率

左=3才一2%一(a—16),切線方程為y=(24-a)x—12,設(shè)直線/與曲線y=g(%)的切點(diǎn)為(々，。山/)，因?yàn)?/p>

g'（x）=4,所以切線斜率k=q，即切線方程為y=4（x—X2）+aln%,

a1-二24-。,求得％22*，設(shè)G(x)=lnx+^——

整理得V=一%+41口%2-。.所以〈九2則

x27212

々In/—。=—12

G(x)=；12x-l

>0,

2

?X2%

|■，+8］上單調(diào)遞增，最后求出實(shí)數(shù)。的值.

所以G

【詳解】

r\2

(1)由題意可知，h［x)=x2-x-ainx-a+16,則〃(%)=2%—1一幺=」一

xx

即方程2/—x—a=0在區(qū)間*4上有實(shí)數(shù)解，解得。?10,28］；

(2)因?yàn)?(x)=x3—X2—<2—16^x,貝!)/'(X)=3JV2—2x—Q+16,

①當(dāng)A=4—12(—Q+16)<0,即10<Q<T時，/'(x)20恒成立，

所以〃x)在［0,可上單調(diào)遞增，不符題意；

47

②當(dāng)丁<。<16時，令/'(%)=312—21一〃+16=0,

解得:x_2±12(—0+16)_］±,3”47.

63

(1_、/3“_471

當(dāng)xe0,^-——時，/'(x)>0,/(%)單調(diào)遞增，

、3>

所以不存在6>0,使得/(%)在［0,可上的最大值為7(0),不符題意；

③當(dāng)16WaW28時，/f(x)=3x2-2x-a+16=0,

hjn/a1-J3a—471+■\13a—47

解得：x=-2------<0.X,=------->0

133

且當(dāng)龍€（0,馬）時，當(dāng)尤€（*2，+8）時，

所以/（九）在（0,%）上單調(diào)遞減，在（龍2，”）上單調(diào)遞增，

若0＜6＜々，則“X）在［0,可上單調(diào)遞減，所以＜（63=/（。），

若b>X2,則/⑴(0,%)上單調(diào)遞減，在(尤28)上單調(diào)遞增，

由題意可知，/(Z?)</(O),BpZ?3-/?2-(a-16)Z?<0,

整理得b?—b<a—16，

因?yàn)榇嬖赼e[16,28],符合上式，所以〃—人〈⑵解得0</?W4,

綜上，b的最大值為4；

⑶設(shè)直線/與曲線y=