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文檔簡介
復數(shù)
日題型目錄
題型一復數(shù)的分類
題型二復數(shù)的幾何意義
題型三復數(shù)模的計算
題型四復數(shù)模的幾何意義
題型五復數(shù)的四則運算
題型六i的幕運算
題型七待定系數(shù)法求復數(shù)
題型八復數(shù)的三角表示(選學)
/典例集練
題型一復數(shù)的分類
例1.(2023春?江蘇鹽城?高三江蘇省響水中學校考期中)已知復數(shù)z=機(m-1)+而為純虛數(shù),則實數(shù)m的值為()
A.-IB.1C.1或-1D.一1或0
例2.(2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學??寄M預測)已知i是虛數(shù)單位,復數(shù)z滿足z(3+i)=|(2+i)],則復
數(shù)z的共軌復數(shù)虛部為()
舉一m
練習1.(2023?全國?合肥一中校聯(lián)考模擬預測)設(shè),"?R,貝匕〃=2”是“=2+〃?1+」(3+4i)為純虛數(shù)”的()
2-i\55)
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
練習2.(2022?高三單元測試)(多選)設(shè)z是復數(shù),則下列命題中是真命題的是()
A.若TZO,貝也不一定是實數(shù)B.若z2<0,則z是虛數(shù)
C.若z是虛數(shù),則z'NOD.若z是純虛數(shù),則z2<0
練習3.(2023春?陜西寶雞?高三統(tǒng)考期中)當實數(shù)m取什么值時,復數(shù)(病+2〃?-8)+(療-2相)i是下列數(shù)?
⑴實數(shù);
⑵虛數(shù);
⑶純虛數(shù).
練習4.(江蘇省無錫市等4地2023屆高三三模數(shù)學試卷)已知i為虛數(shù)單位,復數(shù)z滿足|z-2i|=|z|,貝」的虛部
為()
A.-2B.-1C.1D.2
練習5.(2023春?重慶沙坪壩?高三重慶南開中學??计谥校ǘ噙x)已知非零復數(shù)z”Z2,則下列運算結(jié)果一定為實
數(shù)的是()
A.Z[+Z]B.z2-z2C.z;+z;D.zxz2+ZjZ2
題型二復數(shù)的幾何意義
例3.(2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預測)已知復數(shù)z=(l+i>(〃?-2i)在復平面內(nèi)對應的點落在第一象限,則實數(shù)加的
取值范圍為()
A.m>2B.0<m<2
C.—2<m<2D.m<—2
例4.(2023春?全國?高三專題練習)已知。為實數(shù),若復數(shù)z=a?-3a-4+(a+l)i為純虛數(shù),則復數(shù)a-E在復平面
內(nèi)對應的點位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
第二及三
練習6.(2023?河北唐山?開灤第二中學??寄M預測)已知復數(shù)4與z=4-2i在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于實軸對稱,
則三=()
1-1
A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i
練習7.(2023?北京?高三專題練習)在復平面內(nèi),。是原點,向量OZ對應的復數(shù)是-1+i,將OZ繞點。按逆時針
7T
方向旋轉(zhuǎn)f,則所得向量對應的復數(shù)為()
4
A.-72B.-V2zC.-1D.-i
練習8.(江蘇省南通市2023屆高三高考前練習數(shù)學試卷)若二=i,復數(shù)z與1在復平面內(nèi)對應的點分別為A,8,
Z+1
則朋=()
A.2B.2A/2C.3D.4
練習9.(2023?湖北?統(tǒng)考模擬預測)若復數(shù)z所對應的點在第四象限,且滿足Z2-2Z+2=0,則Z?=()
A.1+iB.1-iC.-2iD.2i
練習10.(2023春?云南?高三云南師大附中??茧A段練習)在復平面中,點。為坐標原點,記OA,OC,A8表示
的復數(shù)分別為2+i,-1+2U-2i,記z為8c所表示的復數(shù),則z-N=()
A.25B.8C.5D.2+3?
題型三復數(shù)模的計算
例5.(2023春?內(nèi)蒙古赤峰?高三??茧A段練習)若復數(shù)z滿足z=l+i,|z?-4z|=.
例6.(2023春?福建廈門?高三廈門一中??计谥校﹊是虛數(shù)單位,已知2|=|。-2i|,寫出一個滿足條件的復數(shù)
co..
第二反三
練習11.(2023?安徽合肥?合肥市第八中學??寄M預測)已知復數(shù)Z1=2+i,Z2=l-ai(aeR),且z「弓為純虛數(shù),
則立=()
Z2
A.6B.75C.1D.76
練習12.(2023?上海普陀?曹楊二中??既#┘褐猧為虛數(shù)單位,復數(shù)z=i(l+3i),則同=.
練習13.(2023?全國?高三專題練習)已知復數(shù)z滿足|z+2i|=|z|,寫出一個滿足條件的復數(shù)z=.
練習14.(2023?全國?模擬預測)已知復數(shù)z=(a+2i)-(l+i),|z|=Ji5,則a=()
A.1B.0C.2D.±1
練習15.(2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模)已知aeR,i為虛數(shù)單位,若復數(shù)z=i(a-i),國=2,貝匹=.
題型四復數(shù)模的幾何意義
例7.(2023.湖北黃岡.黃岡中學??级#┮阎獜蛿?shù)z滿足目=1,則|z+3-4i|國為虛數(shù)單位)的最大值為()
A.4B.5C.6D.7
例8.(2023?山東煙臺?統(tǒng)考二模)若復數(shù)z滿足|z+31Tz-3|=4,貝1z+l]的最小值為().
A.3B.gC.2D.應
舉一
練習16.(2023春?湖北襄陽?高三宜城市第一中學校聯(lián)考期中)已知復數(shù)z滿足2V|z|V20,則在復平面中z對應
的點所構(gòu)成的圖形的面積為.
練習17.(2023春?四川成都?高二統(tǒng)考期中)已知|z|=l,則|z-2-2i|(i為虛數(shù)單位)的最大值為()
A.272-1B.V2-1
c.2V2+1D.V2+1
練習18.(2023?河南?洛陽市第三中學校聯(lián)考模擬預測)已知復數(shù)2滿足卜+4=卜-1|,2在復平面內(nèi)對應的點為(工?),
則()
A.x+y=OB.尤-y=0C.x=0D.y=0
練習19.(2023春?福建莆田?高三莆田第二十五中學校考期中)在復平面內(nèi),已知復數(shù)z滿足|z-l|=|z+i|(i為虛
數(shù)單位),記z°=2+i對應的點為點Z。,z對應的點為點Z,則點Z。與點Z之間距離的最小值_________________
練習20.(2023?山西太原?太原五中??家荒#推矫鎯?nèi)復數(shù)z滿足|z-2|=1,貝中-i|的最小值為()
A.1B.75-1C.75+1D.3
題型五復數(shù)的四則運算
例9.(2023?山東濟寧?嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模)若復數(shù)z=?為純虛數(shù),則實數(shù)。=()
2+1
33
A.—B.—C.6D.—6
22
例10.(2023?湖北咸寧???寄M預測)復數(shù)z滿足1+力+1=|3+可,則2=()
A.-2-2iB.-2+2iC.2-2iD.2+2i
舉一
練習21.(2023?河南鄭州?洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測)已知復數(shù)z滿足z=3+i,則|z卜()
1—1
A.1B.72C.73D.75
2-77i
練習22.(2023?云南保山?統(tǒng)考二模)如果復數(shù)一(其中i為虛數(shù)單位,b為實數(shù))為純虛數(shù),那么1+歷的模長
1+21
等于()
A.72B.2C.1D.V3
練習23.(2023?江西?統(tǒng)考模擬預測)已知i為虛數(shù)單位,若復數(shù)z=上二,貝匹=()
2-i
6363
A.2+iB.2—iC.—l—iD.-------i
5555
abz1-i
練習24.(2023?寧夏銀川?校聯(lián)考二模)規(guī)定運算,=ad-bc,若復數(shù)z滿足=i,則z的值為()
cdl+i1
A.1-iB.l+iC.2-iD.2+i
練習25.(2023?江蘇?統(tǒng)考模擬預測)已知3+4i=z(l-2i),則|z|=()
A.y/2B.y/5C.V10D.5
題型六i的幕運算
例11.(2023?山東?模擬預測)若貝!Jzi°°+z5o+l=()
A.1B.iC.-1D.-i
ii2+,2023_
例12.(2023?江西?江西省豐城中學校聯(lián)考模擬預測)已知i為虛數(shù)單位,zJ+i+,則復數(shù)1在復平面上
1-i
所對應的點在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
舉一
練習28.(2023?云南昆明?昆明一中??寄M預測)己知復數(shù)z=1二,則z+z?+z3++z2023=()
1-1
A.-1B.1C.-iD.i
2023
z=^^?+i.(5-i)
練習29.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預測)已知(1-i)2I則在復平面內(nèi),復數(shù)z所對應的點位于(
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
產(chǎn)111
練習30.(2023?云南曲靖?統(tǒng)考模擬預測)已知復數(shù)2=~^—(i是虛數(shù)單位),則H=()
l+2i|z|
A.亭B.與C.V5D.6
題型七待定系數(shù)法求復數(shù)
例13.(2023?浙江?校聯(lián)考二模)已知復數(shù)z滿足(z+2i)(z-2i)=2(i為虛數(shù)單位),貝|z=()
A.±^/6iB.±V2iC.2iD.+A/6
例14.(2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級中學統(tǒng)考模擬預測)若復數(shù)z滿足z+2^=2+i,其中i為虛數(shù)單位,則z=()
22
A.3-2iB.2+3iC.——iD.-+i
33
第二及三
練習31.(2023春?湖南?高二校聯(lián)考期中)已知復數(shù)z對應的點在復平面第一象限內(nèi),N是z的共軌復數(shù),那么同時
滿足z+彳=2和z-2=4的復數(shù)是()
A.73+iB.1+V3z
C.1-iD.1+i
練習32.(2023?江西九江?統(tǒng)考三模)已知復數(shù)z滿足z-(2+i)=N-4i,則|z|=()
A.1B.y/2C.2D.2A/2
練習33.(2023?河南?模擬預測)已知復數(shù)z滿足z2+z+l=0,則忖=()
A.1C.V2D.1或0
練習34.(2023?江西南昌?統(tǒng)考三模)若虛數(shù)z使得z?+z是實數(shù),貝也滿足()
A.實部是B.實部是:C.虛部是D.虛部是J
2/2/
2
練習35.(2023春?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學??茧A段練習)若復數(shù)z滿足z+-eR,則|z+i|的最小值為
Z
B.正
C.V2-1D.1
32
題型八復數(shù)的三角表示(選學)
例15.(2023?全國?高一專題練習)復數(shù)三瓦與下列復數(shù)相等的是(
)
例16.(2023春?湖北武漢?高三華中師大一附中??计谥校┰趶推矫鎯?nèi),把與復數(shù)3-6對應的向量繞原點。按順
時針方向旋轉(zhuǎn)60。,則所得向量對應的復數(shù)為(用代數(shù)形式表示).
舉一
練習36.(2023?全國?高三專題練習)(多選)下列復數(shù)的三角形式正確的有()
(兀..兀)
17
COS-^-+isin—B.cos—+isin—
A,2l126J2133;
3一(71)..(71、(71、..兀
c.一cos——+isin——D.3cos——\-ism—
2_I17〃LI6;6
練習37.(2022春.高三課時練習)把復數(shù)z=1+7^化三角形式為()
AG?!?兀CR一兀
A.2cos—+isin—Bn.-2cos—+isin—
l66\66
兀..兀
C.2cos—+isin—cD.-2ccos—7T+i?sm?—7T
I33,I33
練習38.(2022春.高三課時練習)求復數(shù)z=-l+6i的輻角的主值為.
練習39.(2022春?高三課時練習)已知復數(shù)Z1=2(cosS+isinS〕對應的向量繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)£后得到的向量對
應的復數(shù)為Z2,且z=z「Z2,貝!|z=()
A.2+2后B.1+V3i
C.-2-2拘D.-1-V3i
jr
練習40.(2022春.高三單元測試)在復平面內(nèi),把復數(shù)-1+i對應的向量繞原點逆時針旋轉(zhuǎn);后所得向量對應的復
4
兀
數(shù)為4,繞原點順時針旋轉(zhuǎn)]5后所得向量對應的復數(shù)為z?
⑴求復數(shù)4/2;
(2)若復數(shù)z=五,求復數(shù)z.
專題6.3復數(shù)
日題型目錄
題型一復數(shù)的分類
題型二復數(shù)的幾何意義
題型三復數(shù)模的計算
題型四復數(shù)模的幾何意義
題型五復數(shù)的四則運算
題型六i的幕運算
題型七待定系數(shù)法求復數(shù)
題型八復數(shù)的三角表示(選學)
/典例集練
題型一復數(shù)的分類
例1.(2023春?江蘇鹽城?高三江蘇省響水中學??计谥校┮阎獜蛿?shù)z=機(m-1)+而為純虛數(shù),則實數(shù)m的值為()
A.-IB.1C.1或-1D.一1或0
【答案】B
【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義求解.
【詳解】因為z是純虛數(shù),所以°,解得加=1.
故選:B.
例2.(2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學??寄M預測)已知i是虛數(shù)單位,復數(shù)z滿足z(3+i)=|(2+i)],則復
數(shù)z的共軌復數(shù)虛部為()
A.-B.士C.--D.--
2222
【答案】B
31
【分析】由復數(shù)的運算直接求解得到z==-:i,再由共物復數(shù)的概念求解即可.
22
【詳解】由題知,z(3+i)=|(2+i)>5,z=^=(3^^.)=^)=|-^
???復數(shù)Z的共軌復數(shù)為2=?.?.復數(shù)Z的共軌復數(shù)虛部為:,
222
故選:B.
舉一反三
練習1.(2023?全國?合肥一中校聯(lián)考模擬預測)設(shè),“eR,貝也〃=2”是“二口+機(+口(3+4i)為純虛數(shù)”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】先利用復數(shù)運算對復數(shù)化簡,再利用實部為零,虛部不為零解出加,最后確認是充要條件.
3+彳后_(3+叫(2+i).6■-療3+2療.
【詳解】依題意,2-i—(2-i)(2+i)-5+―5-1
34.3.417.
—+—1+—1------1—1
555555
,,3+m2i6-m-m23+2m2+7m.
故E
6-m-m2=0
若該式為純虛數(shù),則解得m=2.
3+2加2+7%40
故選:C.
練習2.(2022?高三單元測試)(多選)設(shè)z是復數(shù),則下列命題中是真命題的是()
A.若z2N0,貝也不一定是實數(shù)B.若z2<0,則z是虛數(shù)
C.若z是虛數(shù),則z'NOD.若z是純虛數(shù),則z2<0
【答案】BD
【分析】因為Z是復數(shù),可設(shè)Z=4+歷,先表示出ZZ,再根據(jù)四個選項的條件逐項驗證即可.
【詳角軍】設(shè)2=口+歷(aeR,bcR),貝I]z?=(a+bi)2=(片—/j+Zabi,
對于A,因為z2N0,所以必=0,因為Z2=4-6注0,可得6=0,即2=〃,所以z一定是實數(shù),所以選項A錯誤;
對于B,因為z2<0,所以M=0,因為三=/一62<0,所以斫0且入°,即z=6i(bw0),所以z是虛數(shù),所以
選項B正確;
對于C,若z是虛數(shù),貝”=0+歷。20),即z2=(a+6i)2=(a2—62)+2"i,若。力0,則z?為虛數(shù),不能和0比
較大小,若a=0,則z2=-b2<0,均不滿足z220,所以選項C錯誤;
對于D,若z是純虛數(shù),貝|a=0且g0,即z=0i(。20),所以所以選項D正確.
故選:BD.
練習3.(2023春?陜西寶雞?高三統(tǒng)考期中)當實數(shù)切取什么值時,復數(shù)(加+2m-8)+(病-2附i是下列數(shù)?
⑴實數(shù);
⑵虛數(shù);
⑶純虛數(shù).
【答案】(1)根=0或租=2
(2)片0且加中2
(3)m=-4
【分析】(I)令復數(shù)虛部等于0,即可求得答案;
(2)令復數(shù)的虛部不等于0,即可求得答案;
(3)根據(jù)純虛數(shù)的概念,令實部等于0,虛部不為0,即可求得答案.
【詳解】(1)由題意復數(shù)(川+2機一8)+(蘇-2〃?)i,
當病一2根=0,即%=0或m=2時,所給復數(shù)是實數(shù).
(2)當療一2〃-0,即加中0且〃入2時,所給復數(shù)是虛數(shù).
(3)當,彳+2'”即“2=-4時,所給復數(shù)是純虛數(shù).
\jn—2m^0
練習4.(江蘇省無錫市等4地2023屆高三三模數(shù)學試卷)已知i為虛數(shù)單位,復數(shù)z滿足|z-2i|=|z|,貝」的虛部
為()
A.-2B.-1C.1D.2
【答案】C
【分析】設(shè)2=。+歷,6eR,根據(jù)復數(shù)模的計算公式得到方程,解得即可.
【詳解】設(shè)2=。+歷,a,b^R,則z-2i=a+(Z?-2)i,
因為|z-2i|=|z|,所以-2『='標+',則一2)2=.2+k,解得b=i,
所以復數(shù)z的虛部為1.
故選:C
練習5.(2023春?重慶沙坪壩?高三重慶南開中學??计谥校ǘ噙x)已知非零復數(shù)4/2,則下列運算結(jié)果一定為實
數(shù)的是()
A.4+Z]B.z2—z2C.z;+z;D.zxz2+ZjZ2
【答案】AD
【分析】由復數(shù)的乘法和加、減運算對選項一一化簡,即可得出答案.
【詳解】設(shè)復數(shù)4=a+Ai(a,Z;GR,Z?wO),Zj=a-bi,z2=c+di(c,dGR,dwO),z2=c-di,
對于A,4+4=〃+/?i+〃一歷=2a,虛部為0,則Z+z1一定為實數(shù),故A正確;
對于B,z2-z2=2di,虛部不為0,故Z2-Z2一定不為實數(shù),故B不正確;
對于C,z;+z;=(。+歷)2+(C+%)2="—廿+2abi+c2-d2+2cdi=a2-b2+c2-d2+(2ab+2cd}i,
若2"+2cdw0,則z:+z;不一定為實數(shù),故C不正確;
對于D,Zjz2+ztz2=(<7+歷)(£?_%)+(a+,
ac—cuh+bd+bd+ac+adi-bd+bd=2bd+2ac,故D正確.
故選:AD.
題型二復數(shù)的幾何意義
例3.(2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預測)己知復數(shù)z=(l+i)-(m-2i)在復平面內(nèi)對應的點落在第一象限,則實數(shù)〃?的
取值范圍為()
A.m>2B.0<m<2
C.—2<m<2D.m<—2
【答案】A
【分析】化簡z,根據(jù)z對應點所在象限列不等式,從而求得優(yōu)的取值范圍.
【詳解】z=(l+i)-(m-2i)=m+2+(m-2)i,
對應點(〃7+2,〃7-2),
由于點(加+2,m-2)在第一象限,
fm+2>0
所以c八,解得%>2.
故選:A
例4.(2023春?全國?高三專題練習)已知。為實數(shù),若復數(shù)z=/-3a-4+(a+l)i為純虛數(shù),則復數(shù)a-ai在復平面
內(nèi)對應的點位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
【答案】D
【分析】利用純虛數(shù)的定義求出。,即可判斷作答.
La2-3/7-4=0
【詳解】因為復數(shù)Z-+(a+l)i為純虛數(shù),則小,0’解得"4,
所以復數(shù)4-4i在復平面內(nèi)對應的點(4,T)位于第四象限.
故選:D
舉一反三
練習6.(2023?河北唐山?開灤第二中學??寄M預測)已知復數(shù)4與z=4-2i在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于實軸對稱,
則三=()
1-1
A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i
【答案】D
【分析】根據(jù)復數(shù)對應點的對稱關(guān)系得Z=4+2i,應用復數(shù)除法化簡目標式即得結(jié)果.
【詳解】由z=4—2i對應點為(4,-2),則向?qū)c為(4,2),故Z]=4+2i,
所以2=2(2+1)=2(2+i)(l+i);世].
1-i1-i2
故選:D
練習7.(2023?北京?高三專題練習)在復平面內(nèi),。是原點,向量0Z對應的復數(shù)是-1+i,將OZ繞點。按逆時針
方向旋轉(zhuǎn)£,則所得向量對應的復數(shù)為()
4
A.—^/2B.—yf2iC.—1D.—i
【答案】A
【分析】由復數(shù)的幾何意義結(jié)合圖象可得.
3
如圖,由題意可知oz=(-M),oz與X軸夾角為1兀,
繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn):后Z到達X軸上4點,又卜|oz|=0,
所以Z1的坐標為(-板,0),所以對應的復數(shù)為一
故選:A.
練習8.(江蘇省南通市2023屆高三高考前練習數(shù)學試卷)若lz—3=i,復數(shù)z與I在復平面內(nèi)對應的點分別為
Z+1
則圈=()
A.2B.2&C.3D.4
【答案】A
【分析】利用已知條件先求出z,根據(jù)復數(shù)的意義,分別寫出A2坐標,再利用兩點間的距離公式計算即可.
【詳解】由二=inz-3=i(z+i),
z+i
2
所以Z=_7=l+i,
l-i
所以吃=l-i,
故z與I在復平面內(nèi)對應的點分別為3(1,-1),
所以|=^(1-1)2+[1-(-1)]2=2,
故選:A.
練習9.(2023?湖北?統(tǒng)考模擬預測)若復數(shù)z所對應的點在第四象限,且滿足d-2z+2=0,則z?=()
A.1+iB.l-iC.-2iD.2i
【答案】C
【分析】根據(jù)題意求出z,再根據(jù)復數(shù)Z所對應的點所在象限,即可求解.
【詳解】因為復數(shù)z滿足:z2-2z+2=o,即(Z-1)2=-1,
故z=l+i或z=l—i,
因為復數(shù)z所對應的點在第四象限,
故復數(shù)z=l—i,所以z2=-2i.
故選:C.
練習10.(2023春?云南?高三云南師大附中??茧A段練習)在復平面中,點。為坐標原點,記04,OC,表示
的復數(shù)分另U為2+i,-l+2i,l-2i,記z為8c所表示的復數(shù),則z^=()
A.25B.8C.5D.2+3i
【答案】A
【分析】由復數(shù)的幾何意義可得04=(2,1),OC=(-1,2),AB=(1,-2),求出z=-4+3i,再由共軌復數(shù)的定義和復數(shù)
的乘法運算化簡即可得出答案.
【詳解】因為OA,OC,鉆表示的復數(shù)分別為2+i,-l+2i,l-2i
所以04=(2,1),OC=(-1,2),AB=(1,-2),
AC=OC-04=(-1,2)-(2,1)=(-3,1),
則BC=AC-A8=(-3,1)-(1,-2)=(-4,3),
那么z=T+3i,所以z-2=25.
故選:A.
題型三復數(shù)模的計算
例5.(2023春?內(nèi)蒙古赤峰高三校考階段練習)若復數(shù)z滿足z=l+i,|Z2-4Z|=.
【答案】2底
【分析】化簡Z2-4Z,然后用復數(shù)模的公式進行求解即可.
【詳解】因為z=l+i,所以z2-4z=(l+i)2-4(l+i)=2i-4-4i=-4-2i,
所以|z2-4z|=V16+4=2A/5.
故答案為:26
例6.(2023春?福建廈門?高三廈門一中??计谥?i是虛數(shù)單位,已知3-2|=|。-2i|,寫出一個滿足條件的復數(shù)
(O..
【答案】①=l+i(答案不唯一,滿足刃=a+ai(awR)均可)
【分析】運用復數(shù)的模的運算公式計算即可.
【詳解】設(shè)刃=々+歷,(a,beR),
貝U|0一2|=|(tz-2)+bi\=耳-2丫+及,|。-2i1=1。+S—2)i|=出+伯*,
因為|①一2|=|。一2i|,
所以J(a-2)2+〃=折+(6-2)2,解得:a=b,
所以①=a+ai,(?eR)
所以可以取。=l+i.
故答案為:o=l+i(答案不唯一,滿足。=a+ai(aeR)均可).
舉1-1反㈢
練習11.(2023?安徽合肥?合肥市第八中學??寄M預測)已知復數(shù)z=2+i,Z2=l-ai(aeR),且彳馬為純虛數(shù),
則丸=()
Z2
A.6B.6C.1D.瓜
【答案】C
【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則化簡Z「7,由純虛數(shù)的概念求出。,由復數(shù)的除法運算以及復數(shù)的模長公式可得
結(jié)果.
【詳解】復數(shù)Zi=2+i,Z2=~i,則】?馬=(2+。。+*=(2—a)+(2a+l)i,
fa-2=0
依題意得,c,八,解得4=2,即z=l-2i,
[2〃+1wO
-4---_----2--+--i------(-2--+--i-)-(-l--+--2--i-)-_5_i—?.
z2l-2i(l-2i)(l+2i)一5一’
所以五二L
Z2
故選:c.
練習12.(2023?上海普陀?曹楊二中??既?已知i為虛數(shù)單位,復數(shù)z=i(l+3i),則同=.
【答案】M
【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算求得z=-3+i,可得已根據(jù)復數(shù)模的計算即得答案.
【詳解】由z=i(l+3i)可得z=-3+i,
故2=-3-i,.'.|z|=J(_3『+F=VlO,
故答案為:M
練習13.(2023.全國?高三專題練習)已知復數(shù)z滿足|z+2i|=|z|,寫出一個滿足條件的復數(shù)z=.
【答案】1-i(答案不唯一,虛部為-1即可)
【分析】設(shè)復數(shù)z,代入復數(shù)的模的公式求解即可.
【詳解】設(shè)2=。+為,(Q,Z?eR),
貝生+21|=卜+歷+21|=1+9+2川=擊2+e+2)2,
|z|=|i?+Z?i|=y]a2+b2,
:|z+2i|=|z|,J/+("2)2=,
Acr+(b+2^=cr+b2,化簡得4b+4=0,解得6=-l.
滿足條件的一個復數(shù)z=l-i(答案不唯一,虛部為-1即可).
故答案為:l-i(答案不唯一,虛部為-1即可).
練習14.(2023?全國?模擬預測)已知復數(shù)z=(a+2i)-(l+i),|W=&U,貝I]°=()
A.1B.0C.2D.±1
【答案】D
【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算和復數(shù)模的計算即可
【詳解】z=(a+2i).(l+i),
化簡得z=〃-2+(〃+2)i,
則IZ1=,3-2)2+0+2)2=瓜
解得a=±1,
故選:D.
練習15.(2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模)已知aeR,i為虛數(shù)單位,若復數(shù)z=i(a-i),同=2,貝匹=.
【答案】±73
【分析】根據(jù)題意,利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復數(shù)模的計算公式列式求得。.
【詳解】因為z=i(a-i)=l+ai
由|z|=2,得Ja?+1=2,得°=士耳.
故答案為:土幣.
題型四復數(shù)模的幾何意義
例7.(2023.湖北黃岡.黃岡中學??级?已知復數(shù)z滿足目=1,則|z+3-4i|國為虛數(shù)單位)的最大值為()
A.4B.5C.6D.7
【答案】C
【分析】設(shè)2=856>+15:111凡根據(jù)復數(shù)模的計算公式和三角恒等變換的知識可得到|z+3-4i|=j26+10cos(6+e),
由此確定最大值.
【詳解】由目=1可設(shè):z=cos9+isin。,
z+3-4i=(cose+3)+(sin9-4)i,
/.|z+3-4i|=^(cos+3)2+(sin0-4)2=^cos2^+sin2^+(6cos^-8sin^)+25=j26+10cos(6+e)(其中
3.4、
cos(p=—,sva(p=—),
34
???當cos(6+o)=1時,即2=《_二1時,
|z+3-4i|=726+10=6.
IImax
故選:c.
例8.(2023.山東煙臺?統(tǒng)考二模)若復數(shù)z滿足|z+31Tz-3|=4,則|z+l|的最小值為().
A.3B.73C.2D.應
【答案】A
【分析】根據(jù)|z+3|-|z-3|=4和|z+l|的幾何意義,結(jié)合雙曲線的圖象即可得到|z+l|的最小值.
【詳解】設(shè)復數(shù)z在復平面上對應的點的坐標為Z(x,y),貝”z+31Tz-3|=4表示點(x,y)到(-3,0)的距離與到(3,0)
的距離的差為4,
22
所以點Z的軌跡為雙曲線土-匕=1的右支,圖象如下所示:
45
|z+l|表示點Z到(-1,0)的距離,所以|z+l|的最小值為3.
故選:A.
舉I一鳳三
練習16.(2023春.湖北襄陽.高三宜城市第一中學校聯(lián)考期中)已知復數(shù)z滿足24目42血,則在復平面中z對應
的點所構(gòu)成的圖形的面積為.
【答案】4兀
【分析】根據(jù)復數(shù)模的幾何意義結(jié)合圓的面積計算,即可求得答案.
【詳解】根據(jù)題意可知復數(shù)z滿足24|z|V2夜,
則由復數(shù)模的幾何意義知z對應的點所構(gòu)成的圖形為半徑為2和2四的兩個同心圓所圍成的圓環(huán),
則其面積為兀[(20)2-22]=4兀,
故答案為:4兀
練習17.(2023春?四川成都?高二統(tǒng)考期中)已知忖=1,則|z-2-2i|(i為虛數(shù)單位)的最大值為()
A.20-1B.72-1
C.242+1D.72+1
【答案】C
【分析】設(shè)2=.》+何得到爐+丁=1,i|z-2-2i|=7(x-2)2+(y-2)2,得到|z-2-2i|表示單位圓上的點到點P(2,2)
的距離,結(jié)合圓的性質(zhì),即可求解.
【詳解】設(shè)z=x+yi,其中元,yeR,由|z|=l,可得尤2+/=],
根據(jù)復數(shù)z的幾何意義可得復數(shù)z表示原點。為圓心,半徑為r=1的單位圓,
貝I」|z—2-2i|=|(x-2)+(y-2)i|=7(^-2)2+(y-2)2,
可得|z-2-2i|表示單位圓上的點到點?(2,2)的距離,
因為|尸。卜20,所以|z-2-2i|的最大值為|PQ|+r=20+l.
故選:C.
練習18.(2023?河南?洛陽市第三中學校聯(lián)考模擬預測)已知復數(shù)2滿足2+:1|=卜-4,2在復平面內(nèi)對應的點為(%了),
則()
A.x+y=OB.x-y=0C.尤=0D.y=0
【答案】D
【分析】轉(zhuǎn)化為動點Z(尤,y)到兩定點A(0,-1),3(0,1)距離相等的幾何意義即可得到答案.
【詳解】設(shè)復數(shù)z,-i,i在復平面內(nèi)對應的點分別為Z(x,y),A(0,T),B(0,D,
則|z+i|=|z-i|的幾何意義是Z到A的距離和Z到B的距離相等,
則z在復平面內(nèi)對應的點(羽y)滿足y=0.
故選:D.
練習19.(2023春?福建莆田?高三莆田第二十五中學??计谥?在復平面內(nèi),已知復數(shù)z滿足|z-l|=|z+i|(i為虛
數(shù)單位),記z°=2+i對應的點為點Z。,z對應的點為點Z,則點Z。與點Z之間距離的最小值_________________
【答案】—
2
【分析】根據(jù)已知條件,集合復數(shù)模公式,求出點Z的軌跡方程,再結(jié)合點到直線的距離公式,即可求解.
【詳解】^z=x+yi(x,yeR),
|z-l|=|z+i|,
.」尤一1+yi|=|x+(y+l)i|,即"(x—lp+y2=J尤2+"+])2,
化簡整理可得x+y=。,
復數(shù)z的對應點z的軌跡無+y=。,
?.?Zo=2+i對應的點為點4(2,1),
12+113A/2
點。與點之間距離的最小值為
ZZ~2~
故答案為:述
2
練習20.(20
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