高中數(shù)學(xué)課時(shí)教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)的一個(gè)框架

【摘要】數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是長遠(yuǎn)目標(biāo)，系統(tǒng)思維、整體把握教學(xué)內(nèi)容、整體設(shè)計(jì)教學(xué)，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的必由之路。課時(shí)教學(xué)是組成教學(xué)的基本單位，核心素養(yǎng)目標(biāo)要依賴課時(shí)教學(xué)完成，課時(shí)教學(xué)要在核心素養(yǎng)目標(biāo)引領(lǐng)下實(shí)施。文章以“數(shù)列”“兩角和與差的正切”的課時(shí)教學(xué)為例，給出課時(shí)教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)的一個(gè)框架?！娟P(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；課時(shí)教學(xué)；排序；主線一、問題的提出《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2017）》）在教學(xué)建議中指出，要將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)（以下簡(jiǎn)稱“核心素養(yǎng)”）的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動(dòng)的全過程，教學(xué)目標(biāo)制訂要突出核心素養(yǎng)，情境創(chuàng)設(shè)和問題設(shè)計(jì)要有利于發(fā)展核心素養(yǎng)，整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展等。其中，核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六個(gè)成分，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)。［1］另外，史寧中等認(rèn)為，核心素養(yǎng)是一種逐漸養(yǎng)成的思維習(xí)慣和思想方法［2］，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與應(yīng)用的過程中逐步發(fā)展起來、并體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與應(yīng)用過程中的。這說明核心素養(yǎng)是長遠(yuǎn)目標(biāo)，至少是階段目標(biāo)。發(fā)展核心素養(yǎng)，需要久久為功、潛移默化、春風(fēng)化雨，方能水到渠成。基于核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)，需要系統(tǒng)思維、整體把握教學(xué)內(nèi)容、整體設(shè)計(jì)教學(xué)。但就當(dāng)前教學(xué)的組織形式而言，一定意義下，課時(shí)教學(xué)是組成教學(xué)的基本單位?；诤诵乃仞B(yǎng)目標(biāo)的教學(xué)，要依賴課時(shí)教學(xué)去完成。無論怎樣整體設(shè)計(jì)教學(xué)，具體的教學(xué)實(shí)施都是一個(gè)課時(shí)一個(gè)課時(shí)地去完成。如果課時(shí)教學(xué)不能為核心素養(yǎng)的發(fā)展做出應(yīng)有的貢獻(xiàn)，那么核心素養(yǎng)這個(gè)長遠(yuǎn)目標(biāo)的達(dá)成將成為無源之水，無本之木。因此，核心素養(yǎng)目標(biāo)要依賴課時(shí)教學(xué)完成，課時(shí)教學(xué)要在核心素養(yǎng)目標(biāo)引領(lǐng)下實(shí)施。在課時(shí)教學(xué)中，如果只是基于主題（單元或章節(jié)）核心素養(yǎng)目標(biāo)去談落實(shí)，可能會(huì)“眉毛胡子一把抓”，泛泛而論，浮于表面，難以深刻。因此，教師可以通過研究如下問題，具體到課時(shí)教學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)的落實(shí)。如本課時(shí)主要含有哪些核心素養(yǎng)，哪些內(nèi)容最有助于哪些核心素養(yǎng)的提升；統(tǒng)籌各個(gè)核心素養(yǎng)的關(guān)系，這些核心素養(yǎng)在該課時(shí)中的“分量”“輕重”怎樣，并按照“分量”“輕重”進(jìn)行排序；在排序的基礎(chǔ)上，選擇其中“分量”較重的核心素養(yǎng)，以它們?yōu)橹饕ナ?，統(tǒng)領(lǐng)其他核心素養(yǎng)的協(xié)同發(fā)展，形成課時(shí)核心素養(yǎng)發(fā)展主線，進(jìn)而探索課時(shí)教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)的路徑。本文以蘇教版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)“數(shù)列”和蘇教版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)“兩角和與差的正切”的課時(shí)教學(xué)為例，給出課時(shí)教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)的一個(gè)框架。二、課時(shí)教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)的探討（一）知識(shí)是生成能力、發(fā)展核心素養(yǎng)的本源六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分的表現(xiàn)都是一種能力，它們必須依附于知識(shí)，不能脫離數(shù)學(xué)知識(shí)而單獨(dú)存在。［3］高中數(shù)學(xué)課程是以外顯的知識(shí)發(fā)生發(fā)展的邏輯線索展開的，這就說明，核心素養(yǎng)目標(biāo)的達(dá)成，必須通過知識(shí)實(shí)現(xiàn)，知識(shí)是生成能力、發(fā)展核心素養(yǎng)的本源，沒有知識(shí)的教學(xué)，一切都無從談起，發(fā)展核心素養(yǎng)也將是空中樓閣。數(shù)學(xué)思想方法既是數(shù)學(xué)的靈魂，也是發(fā)展核心素養(yǎng)的依托，思想方法的教學(xué)離不開知識(shí)。教師應(yīng)該意識(shí)到：沒有離開知識(shí)的方法，也沒有離開方法的知識(shí)；教方法必須教知識(shí)，教知識(shí)又不能只教知識(shí)，必須滲透思想方法；滲透思想方法應(yīng)該是抓住契機(jī)的、注意分寸的；等等。其中，度的把握，是教學(xué)實(shí)踐的重要課題。（二）六個(gè)核心素養(yǎng)成分既彼此獨(dú)立又相互融合核心素養(yǎng)不是獨(dú)立于知識(shí)、技能、思想、經(jīng)驗(yàn)之外的“神秘”概念，而是綜合體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，對(duì)數(shù)學(xué)技能方法的掌握，對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。一定意義下，關(guān)鍵能力就是核心素養(yǎng)［4］。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與應(yīng)用的過程中發(fā)展核心素養(yǎng)，需要通過提高其關(guān)鍵能力來實(shí)現(xiàn)。六個(gè)核心素養(yǎng)成分既彼此獨(dú)立又相互融合，是一個(gè)有機(jī)整體。例如，數(shù)學(xué)運(yùn)算就是邏輯推理。又如，數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，這表明數(shù)學(xué)建模的過程蘊(yùn)含數(shù)學(xué)抽象。另外，建立數(shù)學(xué)模型的過程，還可能包括諸多核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等。下面，筆者對(duì)“指數(shù)函數(shù)的概念”的核心素養(yǎng)進(jìn)行分析。基于核心素養(yǎng)一定意義下表現(xiàn)為關(guān)鍵能力，從數(shù)學(xué)建模視角理解指數(shù)函數(shù)的概念的教學(xué)，應(yīng)該包含如下過程：選取一些現(xiàn)實(shí)生活或數(shù)學(xué)內(nèi)部情境組成一組對(duì)象，從一組對(duì)象中抽象出共同屬性，并用符號(hào)表示，這屬于數(shù)學(xué)抽象；畫幾個(gè)指數(shù)函數(shù)圖象并觀察其性質(zhì)，屬于直觀想象；從幾個(gè)具體的指數(shù)函數(shù)圖象（位于同一平面直角坐標(biāo)系中），概括出一般指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于從特殊到一般的歸納推理（邏輯推理）；借用運(yùn)算手段研究指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性（包括比較大小等），則又蘊(yùn)含數(shù)學(xué)運(yùn)算等。顯然，這些核心素養(yǎng)在本課中的“分量”是不同的，有輕有重。其中，數(shù)學(xué)抽象是重要的，因?yàn)榻⒘诵碌难芯繉?duì)象，這是數(shù)學(xué)研究新對(duì)象的基礎(chǔ)；數(shù)學(xué)建模也是重要的，因?yàn)榻⒘诵碌臄?shù)學(xué)模型，這是研究新對(duì)象的前提。相較于數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模，畫指數(shù)函數(shù)圖象的過程中蘊(yùn)含的直觀想象、觀察圖象歸納性質(zhì)中的邏輯推理、研究單調(diào)性比較大小中的數(shù)學(xué)運(yùn)算，則處于次要地位，而且，它們是基于數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模的需要而被調(diào)用的。因此，一定意義下，數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)在本課處于核心地位，它們扮演著統(tǒng)領(lǐng)角色，其他核心素養(yǎng)則處于從屬、被動(dòng)地位。在教學(xué)中，教師要以發(fā)展核心素養(yǎng)為指向，以數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模為核心，以解決問題（建立指數(shù)函數(shù)模型）為目標(biāo)，輔助邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等，協(xié)同推進(jìn)核心素養(yǎng)的全面發(fā)展。這就為課時(shí)教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)提供了一個(gè)框架。（三）課時(shí)教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)的一個(gè)框架筆者基于三條主線（知識(shí)主線、方法主線、素養(yǎng)主線）［5］，給出課時(shí)教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)的一個(gè)框架（如圖1）。其中知識(shí)主線是明線（知識(shí)明線），方法主線是暗線（方法暗線），素養(yǎng)主線是眼線（素養(yǎng)眼線）。三、舉例：課時(shí)教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)的一個(gè)框架筆者依據(jù)如圖1所示課時(shí)教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)的一個(gè)框架，給出兩個(gè)具體的課時(shí)設(shè)計(jì)片段。其中，“數(shù)列”是章節(jié)起始課、核心概念課，“兩角和與差的正切”是公式推導(dǎo)課，它們都具有一定的典型性。（一）數(shù)列筆者依據(jù)三條主線，對(duì)“數(shù)列”教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析，同時(shí)對(duì)所析出的課時(shí)核心素養(yǎng)，判斷其主次并排序。然后根據(jù)課時(shí)核心素養(yǎng)外在表現(xiàn)，確定本課核心素養(yǎng)主線，并基于核心素養(yǎng)主線進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。1.三條主線視角下的教學(xué)內(nèi)容分析（1）知識(shí)明線“數(shù)列”主要的知識(shí)是數(shù)列的概念（包括數(shù)列的三種表示、分類、圖象、通項(xiàng)公式、遞推公式），數(shù)列是特殊的函數(shù)模型，以及數(shù)列知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用等。例如，由通項(xiàng)公式求前幾項(xiàng)，畫出數(shù)列的圖象；給出前幾項(xiàng)，寫出符合條件的通項(xiàng)公式。其中，突出數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)是重點(diǎn)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生把握多個(gè)契機(jī)：數(shù)列概念形成的過程，探索項(xiàng)數(shù)（形式是數(shù)，意義是序數(shù)）到項(xiàng)（數(shù)）的對(duì)應(yīng)，體現(xiàn)數(shù)列符合函數(shù)的定義；數(shù)列的三種表示，應(yīng)當(dāng)定位為函數(shù)的三種表示在數(shù)列這個(gè)具體函數(shù)下的體現(xiàn)；例題中由通項(xiàng)公式或遞推公式求通項(xiàng)；例題中畫出數(shù)列的圖象。（2）方法暗線方法暗線是蘊(yùn)含在知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程中的，方法離不開知識(shí)，知識(shí)的學(xué)習(xí)又離不開方法的引領(lǐng)。在教學(xué)中，教師要以知識(shí)發(fā)生發(fā)展的邏輯為基本線索，以數(shù)學(xué)研究的一般方法為主線，以解決問題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題。同時(shí)，在運(yùn)用數(shù)學(xué)研究的一般方法中應(yīng)深化學(xué)生對(duì)方法的理解，并且適時(shí)地、抓住契機(jī)地、把握火候地突出這條方法暗線。如“數(shù)列”的基本線索如下：第一，教材中給出了6個(gè)日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察分析，在此基礎(chǔ)上抽象概括出數(shù)列的定義；第二，用符號(hào)表示數(shù)列，即給出數(shù)列的符號(hào)表示[an]；第三，對(duì)數(shù)列進(jìn)行分類，即有窮數(shù)列與無窮數(shù)列；第四，探索數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，突出數(shù)列是特殊的函數(shù)，并基于函數(shù)表示方法給出數(shù)列的三種表示；第五，借助于數(shù)列的解析式（通項(xiàng)公式與遞推公式）表示，運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算研究數(shù)列的基本性質(zhì)。這個(gè)過程與方法正是數(shù)學(xué)研究的一般方法：情境—對(duì)象—性質(zhì)—應(yīng)用（如圖2）。（3）素養(yǎng)眼線依據(jù)核心素養(yǎng)的定義，基于數(shù)列的教學(xué)內(nèi)容，可以認(rèn)定“數(shù)列”內(nèi)容應(yīng)該蘊(yùn)含如下核心素養(yǎng)。［6］第一，數(shù)學(xué)抽象。數(shù)學(xué)抽象是指通過對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)。本課有如下內(nèi)容有助于數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的發(fā)展：一是由一組情境抽象出數(shù)列的概念，即用“概念獲得”的方法建立數(shù)列的概念；二是從代數(shù)視角抽象出一般規(guī)律，如通項(xiàng)公式an=f（n）；三是由數(shù)列的部分項(xiàng)推理出一般規(guī)律，并用代數(shù)形式表達(dá)。特別是抽象數(shù)列的概念，建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新對(duì)象，開啟本單元學(xué)習(xí)的新征程，顯然具有重要的基礎(chǔ)作用。因此，數(shù)學(xué)抽象是本課重要的核心素養(yǎng)。第二，數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)。對(duì)于數(shù)列的學(xué)習(xí)，就是建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新對(duì)象，同時(shí)建立重要的數(shù)學(xué)模型。前已述及，數(shù)學(xué)建模的過程，涉及多種關(guān)鍵能力，因此數(shù)學(xué)建模也是本課重要的核心素養(yǎng)。第三，邏輯推理。主要體現(xiàn)在合情推理，例如，從數(shù)列前幾項(xiàng)到一般規(guī)律的歸納推理，這是比較簡(jiǎn)單的，相對(duì)于上述兩個(gè)核心素養(yǎng)而言，只能處于次要地位。第四，直觀想象。教材例2中，給出數(shù)列的通項(xiàng)公式，要求畫出數(shù)列的圖象，讓學(xué)生深刻體會(huì)：數(shù)列是特殊的函數(shù)，其圖象是離散的點(diǎn)，研究圖象可以把握數(shù)列的變化趨勢(shì)（本質(zhì)上是函數(shù)的單調(diào)性）。由于本課只涉及具體函數(shù)的圖象，通過列表、描點(diǎn)就可完成，學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)性并不大，故直觀想象處于次要地位。第五，數(shù)學(xué)運(yùn)算。教材例1、例2和例3中，給出數(shù)列的通項(xiàng)（遞推）公式，要求學(xué)生計(jì)算出前幾項(xiàng)，蘊(yùn)含數(shù)學(xué)運(yùn)算，但由于運(yùn)算比較簡(jiǎn)單，或者是簡(jiǎn)單的字母運(yùn)算，或者是一些具體數(shù)字的四則運(yùn)算，因此一定意義下，本課可以忽略數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。2.課時(shí)核心素養(yǎng)主次的排序與素養(yǎng)主線的確定根據(jù)上述分析，可以對(duì)“數(shù)列”核心素養(yǎng)進(jìn)行排序，并確定素養(yǎng)主線：第一，數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模是本課的重要核心素養(yǎng)，處于核心、統(tǒng)領(lǐng)地位，邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等則處于次要地位；第二，照此主次關(guān)系排序，依據(jù)其順序確定本課處于統(tǒng)領(lǐng)地位的核心素養(yǎng)；第三，根據(jù)核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn)，取處于核心地位的核心素養(yǎng)的公共部分和主要成分，確定本課素養(yǎng)主線（見表1）。從表1可以看出，課時(shí)教學(xué)發(fā)展核心素養(yǎng)目標(biāo)，要統(tǒng)籌多個(gè)核心素養(yǎng)，突出重點(diǎn)，圍繞核心，構(gòu)建素養(yǎng)主線；教學(xué)設(shè)計(jì)則要基于知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程，突出問題導(dǎo)向，指向問題解決，回歸“四基”“四能”，在提出問題與解決問題的過程中，實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)發(fā)展目標(biāo)。使得核心素養(yǎng)這個(gè)長遠(yuǎn)目標(biāo)，在具體的課時(shí)教學(xué)中得以有目標(biāo)地、有重點(diǎn)地、有針對(duì)性地、有可操作性地落實(shí)。3.基于素養(yǎng)主線的課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)片段筆者依據(jù)“數(shù)列”素養(yǎng)主線，針對(duì)“數(shù)列”教學(xué)內(nèi)容，基于由遠(yuǎn)及近、由難到易原則［7］，以問題串形式，給出“數(shù)列”課時(shí)教學(xué)的設(shè)計(jì)片段。同時(shí)，以第（1）組問題串為例，說明問題串設(shè)計(jì)的基本立意：通過暗示，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生通過思考，聽出教師的弦外之音，把最后“捅破窗戶紙”的機(jī)會(huì)留給學(xué)生。實(shí)施過程則需要教師基于學(xué)情、從距離目標(biāo)較遠(yuǎn)的問題出發(fā)，逐步向距離目標(biāo)近的問題靠攏。當(dāng)然，在教學(xué)實(shí)踐過程中，教師也要及時(shí)反饋，準(zhǔn)確判斷學(xué)情，相機(jī)改進(jìn)、優(yōu)化教學(xué)，并順勢(shì)而為。（1）由一組情境抽象概括數(shù)列的定義問題1：研究這一組情境，有什么樣的意義？（讓學(xué)生感悟?qū)W習(xí)新知識(shí)的理由，激發(fā)學(xué)習(xí)積極性。）問題2：面對(duì)這一組情境，你想到了什么？（元認(rèn)知啟發(fā)，距離目標(biāo)較遠(yuǎn)，有一定的挑戰(zhàn)性，面向優(yōu)秀的學(xué)生，讓他們“跳一跳，夠得到”。）問題3：你打算怎樣研究這一組對(duì)象呢？（問題稍容易，指向“研究”，給學(xué)生以暗示，面向?qū)W習(xí)基礎(chǔ)較好的學(xué)生。）問題4：數(shù)學(xué)是怎樣研究問題的？（指向具體的“數(shù)學(xué)研究”，問題稍加明確，面向中等層次的學(xué)生。）問題5：如果還沒有想到，應(yīng)該怎樣想？（讓學(xué)生回顧已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，類比遷移學(xué)習(xí)方法，具有方法論層面的意義。）問題6：觀察這一組對(duì)象，你有何發(fā)現(xiàn)？（指向觀察一組對(duì)象，暗示共性，是更加明顯的暗示，面向中等層次的學(xué)生。）問題7：這一組對(duì)象有什么共同特點(diǎn)？（這是教材在給出一組問題情境后所提出的問題，指向比較明確，對(duì)優(yōu)秀的學(xué)生來說不具有挑戰(zhàn)性，教學(xué)不能從這里開始，而應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)具有邏輯性、層次性、連續(xù)性、發(fā)展性的問題串，面向全體學(xué)生，否則只是照本宣科。）問題8：你能概括一下這一組對(duì)象嗎？（這里指向已非常明確，就是要概括這一組對(duì)象的共性，面向?qū)W習(xí)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，但仍然沒有捅破“謎底”，而是把機(jī)會(huì)留給學(xué)生。）……（2）讓學(xué)生提出用符號(hào)表示數(shù)列的問題在抽象概括數(shù)列的定義之后，接下來要干什么？我們知道，應(yīng)用符號(hào)表示它。但這個(gè)問題由誰提出，意義大不一樣。是教師明示學(xué)生任務(wù)，還是啟發(fā)學(xué)生基于基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的一般方法，去探索學(xué)習(xí)任務(wù)的取向，提出用符號(hào)表示數(shù)列的問題？顯然后者更加注重讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題，具有重要的育人價(jià)值。至于如何表示，則是不必探究的問題，直接出示告知也是可以的。教師啟發(fā)學(xué)生的問題如下：①建立了新對(duì)象的概念后，接下來要做什么？②以前有無類似的經(jīng)歷、經(jīng)驗(yàn)？③研究新的數(shù)學(xué)對(duì)象，一般都要做什么準(zhǔn)備工作？④如果還沒有想到，應(yīng)該怎樣想呢