2023北京通州區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京通州高一（下）期末數(shù)學(xué)2023年7月本試卷共4頁，150分，考試時長120分鐘，考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題共分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共分．在每小題列出的四個選項中，選出符合愿目要求的一項．+(R)abia,ba+bi是虛數(shù)，則點P（）1.已知P是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點，若復(fù)數(shù)A.在虛軸上B.不在虛軸上C.在實軸上D.不在實軸上2.對于任意兩個向量a和b，下列命題中正確的是（）a+ba?ba+ba+ba?ba+bA.C.B.D.a?ba?b中，若2aB=c．則一定是（）3.在A.等腰三角形B.直角三角形D.等邊三角形C.等腰直角三角形4.從甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選取兩人，則甲被選中的概率為（）1413312A.B.C.D.45.已知一組數(shù)據(jù)有40個，把它分成六組，第一組到第四組的頻數(shù)分別為105，，6，第五組的頻率是0.20，則第六組的頻率是（）A.0.10B.0.12C.0.15D.0.186.某市610天的空氣質(zhì)量指數(shù)為355480，86，728558125，，58，則這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是（）A.86B.85.5C.D.84.57.下列命題正確的是（）A.一條線段和不在這條線段上的一點確定一個平面B.兩條不平行的直線確定一個平面C.三角形上不同的三個點確定一個平面D.圓上不同的三個點確定一個平面mn是兩條不同的直線，mn．則“∥是“m，∥n的8.若，，是兩個不同平面，（）A.充分而不必要條件C.充分必要條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件9.設(shè)l是直線，是兩個不同平面，則下面命題中正確的是（，）A.若l∥，l∥B.若l∥，l⊥，則⊥，⊥則l⊥，則C.若l⊥，⊥，則∥10.如圖，在棱長為2的正方體D.若l∥ABCD?ABCDBC,CC,CDE,F,G中，點分別是棱的中點，點P為1111111底面上在意一點，若直線BP與平面EFG無公共點，則BP的最小值是（）A.22B.6C.5D.2第二部分（非選擇題共分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程x12.已知一組數(shù)1，2，，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)的方差為______.13.如圖，正方形ABCD的邊長為2P為CD邊上的一個動點，則PAPB的取值范圍是__________．2+2=0的解為___________．=，b=6，=，則cosC___________，的面積為14.在中，已知BCc4__________．ABCD?ABCDAE的115.如圖，在棱長為1的正方體中，E為棱BC上的動點且不與B重合，F(xiàn)為線段1111中點．給出下列四個命題：12A?1①三棱錐②的體積為；AB⊥AE；11③△的面積為定值；F?ABB1A④四棱錐是正四棱錐．1其中所有正確命題的序號是_________-．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．zxyixy0=+()z=5，且是純虛數(shù)．?z316.已知復(fù)數(shù)滿足1（1）求及z；zz+az+b=0(a,bR)，求a和b的值．2（2）若a=2)，且|b=517.已知a，b是同一平面內(nèi)的兩個向量，其中．（1）若a（2）若|，求b的坐標(biāo)；a+b|a?b|，求a與b夾角．18.為提高服務(wù)質(zhì)量，某社區(qū)居委會進(jìn)行了居民對社區(qū)工作滿意度的問卷調(diào)查．隨機(jī)抽取了100戶居民的問65)，)75)，，70卷進(jìn)行評分統(tǒng)計，評分的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)分組依次為：75,80)，80,85)，90．a(chǎn)（1）求的值；（2）求這戶居民問卷評分的中位數(shù)；（3）若根據(jù)各組的頻率的比例采取分層抽樣的方法，從評分在70)和75)內(nèi)的居民中共抽取6戶居民，查閱他們答卷的情況，再從這6戶居民中選取2戶進(jìn)行專項調(diào)查，求這2戶居民中恰有1戶的評分在70)內(nèi)的概率．+=(?bsinBcsinCabsinCsinA)19.已知中，．（1）求A的大??；2（2）若D是邊AB的中點，且CD=2，求b+c的取值范圍，220.如圖，在四棱錐P?中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，且PD=1，AB=3，AD=2，E，F(xiàn)分別是PC，BD的中點．（1）求證：EF//平面；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求三棱錐G?的體積．條件①：G是棱BC上一點，且BG=GC；條件②：G是PB的中點；條件③：G是注；如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．BC//1A=AC=2平面，，，121.如圖，在直三棱柱中，點M在棱AC上，且1=2．（1）求證：M是棱AC的中點；1⊥A；1（2）求證：平面上是否存在點，使得平面？如果存在，求出1N⊥平面1A1N（3）在棱的值；如果不存11在，請說明理由．參考答案第一部分（選擇題共分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共分．在每小題列出的四個選項中，選出符合愿目要求的一項．1.【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類和其幾何意義即可得到答案.【詳解】由題意得b0，則點P不在實軸上，則C錯誤，D正確，ab0a=b0，則其在虛軸上，則B錯誤，若，則A錯誤，若故選：D.2.【答案】C【分析】根據(jù)向量加減法的法則即可得到答案.a,ba+ba?b同方向時，【詳解】對A，當(dāng)a,b0，且，故A錯誤，a,ba?ba+b反方向時，，故B錯誤，對B，當(dāng)a,b0，且a+ba+ba?ba?b對C，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得，故C正確，對D，根據(jù)向量減法的三角形法則，得，故D錯誤，故選：C.3.【答案】A【分析】利用正弦定理進(jìn)行邊化角，結(jié)合兩角和與差的正弦公式即可判斷三角形形狀.【詳解】因為2aB=c,2sinAB=sinC=sin(A+B)=sinAB+sinBA由正弦定理得，所以sinAB?sinBA=0,即sin(A?B)=0,,B0,()，所以?(?π,π)AB?=，即AB，=因為，則AB0故為等腰三角形.故選：A.4.【答案】C【分析】用列舉法得出甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選出2人的事件數(shù)，從而可求甲被選中的概率.【詳解】從甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選出2人，包括：甲乙；甲丙；甲?。灰冶?；乙?。槐?種情況，31甲被選中的概率為=.62故選：C.5.【答案】A【分析】利用各組的頻率之和等于1的性質(zhì)即得.【詳解】由已知條件可得第一組到第四組數(shù)據(jù)的頻率分別為0.250.125，0.175，0.15，又這六組的頻率之和是1，因此，第六組的頻率為1?0.25?0.125?0.175?0.15?0.20=0.10.故選：A.6.【答案】B【分析】按照百分位數(shù)的定義計算即可.【詳解】100.7=7，故從小到大排列后，35，545858，72，808586，，125，85+86取第78個數(shù)的平均數(shù)得=85.5，2故選：B.7.【答案】D【分析】根據(jù)平面的確定情況即可得到答案.【詳解】對A，若這個點位于這條線段所在的直線上，則無法確定一個平面，故A錯誤，對B，若兩條直線異面，則無法確定一個平面，故B錯誤；對C，若三點位于一條直線上，則無法確定一個平面，故C錯誤；對D，圓上不同的三點一定構(gòu)成一個三角形，則可確定一個平面.故選：D.8.【答案】D【分析】由線線、面面關(guān)系以及充分、必要條件的概念即可得出結(jié)論.是兩個不同平面，，m，n【詳解】若則m，n是兩條不同的直線，，m∥n或m，n異面；或平面m∥n與平面相交；是“m∥n的既不充分也不必要條件.故“∥故選：D.9.【答案】B【分析】根據(jù)線線關(guān)系、線面關(guān)系以及面面關(guān)系逐個判斷各選項即可得出答案.【詳解】l是直線，，是兩個不同平面，∥，l∥或平面若l若l，則與平面相交，故A錯誤；∥，l⊥，則⊥，故B正確；若l⊥，⊥，則∥或l，故C錯誤；∥，⊥相交或l或l，故D錯誤.若l則l與平面故選:B.10.【答案】B【分析】由直線BP與平面EFG無公共點，知//平面EFG，由平面BAC//平面EFG，知P點在11CBACBP為等邊三角形可得的最小值.上，利用三角形11【詳解】CD,BA,BC,AC，11如圖：連接111BA//CD//由正方體性質(zhì)可知：，11因平面EFG，BA1平面EFG，BA1//EFG，所以平面1//同理，,因EF平面EFG，1平面EFG，1//EFG，所以平面BA又，1BA1BAC1BAC平面，1平面，1BAC//EFG，所以平面平面11因直線BP與平面EFG無公共點，點P為底面上在意一點AC所以P點在上，11BP⊥C故最小時，，1ABCD?ABCD的棱長為2，1因正方體所以三角形⊥C111BAC為邊長為22的等邊三角形，1BP=22sin60=6時，，1故選：B第二部分（非選擇題共分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)即可得方程的根.【詳解】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，由方程x2+2=0得2x=?2，即x=故答案為：.12.【答案】5m【分析】先根據(jù)平均數(shù)計算出的值，再根據(jù)方差的計算公式計算出這組數(shù)的方差.1+2+m+6+7【詳解】依題意=m=4.所以方差為5115265()2()2()2()2()21?4+2?4+4?4+6?4+7?4=9+4+4+9=.5故答案為.5【點睛】本小題主要考查平均數(shù)和方差的有關(guān)計算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3,413.【答案】P(x,0)，0x2，計算出PAPB=(x?+3，2【分析】以D為原點，建立合適的直角坐標(biāo)系，設(shè)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)則得到其范圍.【詳解】以D為原點，,DA所在直線分別為,軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，xy則()()()，設(shè)D0,0,A0,2,C2,0,B(2,2)P(x,0)0x2，，其中則PA(x,2),PB(2x,2)，=?=?PAPB=(?x)(2?x)+22=x當(dāng)x=1時,PAPB有最小值3，2?2x+4=(x?2+3，當(dāng)x=0或2時，PAPB有最大值為，3,4PA的取值范圍為.3,4故答案為：.3157414.【答案】①.##0.75②.4【分析】空1：直接利用正弦定理,二倍角公式可得；空2：先求出sinC，再由C可得，直接代入三a角形面積公式即可.【詳解】因為B=C，所以sinB=sinC，bc=由正弦定理，sinBsinC6432==得則，即，sinBsinCsinCsinC32=，2sinCcosCsinC3又C(0,),sinC0C=，所以；47則sinC=1?2C=，4a2+b2?c2又由余弦定理cosC=，即有a29a200，解得?+=a=4或a=5.2ab32當(dāng)a=4時，舍去;A=C，又B=C，則C=，則cosC=C=，這與矛盾，所以不符合題意，4241157當(dāng)a=5時，S=absinC=.243157故答案為：；.4415.【答案】②③④【分析】利用錐體的體積公式可判斷①，利用線面垂直的判定定理可判斷②，利用平行線的傳遞性及三角形面積公式可判斷③，利用正棱錐的定義可判斷④.111616A?1體積為V=V1?ABE=ABBEAA=BE【詳解】因為三棱錐，A?11321A?1所以三棱錐體積的最大值為，故①錯誤；6⊥AB⊥1A11A平面，1連接所以所以，則，又平面，1111AB1⊥AB1⊥平面ABAB1A平面，1，因為，1A1AE1A1AB⊥AE，所以，故②正確；11，因為平面設(shè)1B，連接，則GF//BE,BE//AD，所以GF//AD，即F和G到AD的距離相等且不變，所以三角形ADF的面積不變，故③正確；由//，可知GF⊥平面1A，又1A為正方形，GF?ABB1A為其中心，故四棱錐是正111四棱錐，故④正確.故答案為：②③④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．13416.1）z34i，=+=?iz2525（2）a=?6，b=25x,y）根據(jù)復(fù)數(shù)的類型即可得到關(guān)于的方程，解出即可；（2）根據(jù)一元二次方程復(fù)數(shù)根的特點結(jié)合韋達(dá)定理即可.【小問1x?3+i為純虛數(shù)，x=3，+y=5且y0y=4=+，22z34i，11()3434i(+)(?)34i34i?===?iz3+4i2525【小問2由（1）知，方程z2+bz+c=0的一根為z=3+4i，則另一根為：，z=3?4iz+z=?a=6則，zz=b=25解得：b=25，a=?6.17.1）b(2,或b=(=?π（2）3=(x,y)，按照向量的坐標(biāo)表示計算即可；）設(shè)b（2）根據(jù)數(shù)量積與模、夾角的關(guān)系轉(zhuǎn)化即可.【小問1設(shè)b(x,y)．=因為ab，a2)，=x+2y=0所以ab0即又因為|b=5，所以x2y2=+5．=?1或=2時，y=1，x解之得x=2時，y所以b(2,或b=(．=?【小問2記a與b夾角為．a(chǎn)+b=a?b，所以(a+b)=(a?b)，因為|||2|則a+b+2ab=a+b?4ab，即2abb，=cos=所以，|a||b|2|b|2π又因為[0,π]，所以=．318.1）0.028（2）77.5（3）a）根據(jù)已知條件,由頻率分布直方圖中各組矩形面積之和等于1,即可求出的值;（2）結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì),以及中位數(shù)的定義,即可求解;（3）根據(jù)已知條件,結(jié)合分層抽樣的定義,列舉法,以及古典概型的概率公式,即可求解.【小問1(0.01+2a+0.04+0.05+0.06)5=1a=由頻率分布直方圖可得,【小問2,解得;由頻率分布直方圖可得,(0.01+0.02+0.04)5=0.350.5，(0.01+0.02+0.04+0.06)5=0.650.5[75,80)x,則中位數(shù)在之間,設(shè)為(x?0.06+0.35=0.5,解得x=77.5,則故中位數(shù)為77.5分;【小問3[65,70),[70,75)評分在對應(yīng)的頻率為0.1,0.2,70)70)[70,從評分在則評分在和內(nèi)的居民中共抽取6人,a,b占2人,設(shè)為,[70,,B,C,D,評分在占4人,從6人中選取2人的情況為:ab,,aB,aC,aD,,bB,bC,bD,AB,AC,AD,BC,BD,CD,共種,其中這2人中恰有1人的評分在70)的情況為:,aB,aC,aD,,bB,bC,bD,共8種,870)內(nèi)的概率為:故這2人中恰有1人的評分在.3π19.1）A=（2）(2,22)4）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理得到sinA=?A，即可求出A；2（2）設(shè)ACD=，利用正弦定理表示出AD，，設(shè)f)=b+c，利用輔助角公式化簡，最后2結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【小問1abc==在中，由正弦定理有，sinAsinBsinC+csinC=sinA(a?bsinC)，sin2B+sin2C=sinA(sinA?2sinBsinC)，即b2c2a2bcsinA，+=?=b2+2c?bcA，在中，由余弦定理，有a2bcsinA=bcA，則sinA=?A，即A=1，)=A，∴【小問2如圖，設(shè)ACD=，則.4ππADC=?，，44CDADAC==在中,根據(jù)正弦定理，有，sinAsinACDsincπ4AD==22sinAC=b=22sin?，，2)=b+2π4設(shè)fc22sin=?+4sin=2cos+2sin2π=22sin+，4πππ442π4+,f)在又，所以上單調(diào)遞增，)()πf)2,22)，ff0,f所以，即42所以b+c的取值范圍為(2,22)．220.1）見解析（2）見解析）連接ACAC與BD交于F點，推導(dǎo)出EF//PA，由此能證明EF//平面；2⊥G?=的高為（2）選擇①從而平面PDC，再推導(dǎo)出三棱錐，由此能求出三棱錐3G?的體積；選擇條件②：推導(dǎo)出PDBC,CDBC，從而平面PDC，再推導(dǎo)出三棱錐⊥⊥⊥G?的高為GE=1，由此能求出三棱錐G?的體積；選擇條件③：推導(dǎo)出PD⊥BC,CD⊥BC⊥的內(nèi)切圓與PC邊相切于點H，則⊥平面PDC，設(shè)，，從而三棱錐G的高為GH，由此能求出三棱錐【小問1?G?的體積.連接，則與交于F點，在中，均為中點，//，E,FPAD,平面PADEF//平面平面PAD.【小問2選擇條件①ABCD,BCABCDPD⊥BC，平面底面ABCD是矩形CD⊥，D=D,PD,CD⊥平面又平面平面PDC，13GCG是BC的三等分點，且=，2D=三棱錐G?的高為=，3ABCD,底面ABCD，PD⊥DC底面，中點，在中，E為113S=PDDC=，224131323三棱錐G?的體積為:G?=△GC==.34318選擇條件②同條件①得到平面⊥PDC,G是PB中點，E是PC中點，1在=BC中,，2三棱錐G?的高為GE=1,ABCD,底面ABCD，PD⊥DC底面，在△中,E為PC中點，113S=PDDC=，22413133三棱錐G?的體積為：G?==1=△GE.3412選擇條件③同條件①得到平面⊥PDC，設(shè)的內(nèi)切圓與PC邊相切于點H，則⊥，PCD,PCDBC⊥PCBC，平面平面三棱錐G?的高為GH，在Rt△中，PC=PD2+2=2，BC=2，1222=22==2?2，PB=PC2+BC212(2+2+22)ABCD,底面ABCD，PD⊥DC底面，在△中,E為PC中