數(shù)學(xué)理解視域下跨學(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的實(shí)施

【摘要】數(shù)學(xué)跨學(xué)科學(xué)習(xí)的開(kāi)展需要學(xué)生在理解數(shù)學(xué)知識(shí)及其他學(xué)科知識(shí)內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，發(fā)揮應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新精神，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科知識(shí)的遷移應(yīng)用與深度發(fā)展。本文提出的基于數(shù)學(xué)理解的項(xiàng)目化學(xué)習(xí)過(guò)程模型，以滬科版“多邊形的鑲嵌”為例，在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)藝術(shù)情境，確定本質(zhì)問(wèn)題，激活經(jīng)驗(yàn)性理解；歸納概念共性，提煉概念特征，生成形式化理解；聚焦探究問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，形成結(jié)構(gòu)化理解；拓寬探究思路，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，達(dá)成遷移性理解；發(fā)揮創(chuàng)造能力，創(chuàng)作鑲嵌作品，促進(jìn)文化性理解。本文的教學(xué)實(shí)踐希望可以為數(shù)學(xué)跨學(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的實(shí)施提供參考。【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)理解；跨學(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)；多邊形的鑲嵌一、引言《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）提出：“設(shè)立跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)，加強(qiáng)學(xué)科間相互關(guān)聯(lián)，帶動(dòng)課程綜合化實(shí)施，強(qiáng)化實(shí)踐性要求。”［1］前言4新課標(biāo)明確指出，綜合與實(shí)踐主要包括主題活動(dòng)和項(xiàng)目學(xué)習(xí)等，初中階段主要采用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)。［1］42由此可見(jiàn)，以綜合與實(shí)踐為載體的數(shù)學(xué)跨學(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)是當(dāng)下教育改革的重點(diǎn)內(nèi)容。理解是教育最本質(zhì)的追求，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)理解，數(shù)學(xué)跨學(xué)科學(xué)習(xí)亦是如此?？鐚W(xué)科學(xué)習(xí)的開(kāi)展需要學(xué)生在理解數(shù)學(xué)知識(shí)及其他學(xué)科知識(shí)內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，發(fā)揮應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新精神，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科知識(shí)的遷移應(yīng)用與深度發(fā)展。但在實(shí)踐教學(xué)中，教師常常忽視學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平，組織了高于學(xué)生認(rèn)知水平的教學(xué)，長(zhǎng)此以往，學(xué)生參與跨學(xué)科學(xué)習(xí)的興趣不高、積極性不強(qiáng)。因此，跨學(xué)科學(xué)習(xí)的教學(xué)組織既要關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平層次，設(shè)置適切的教學(xué)“起點(diǎn)”與“終點(diǎn)”，也要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)理解過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的跨學(xué)科素養(yǎng)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)跨學(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的價(jià)值。二、數(shù)學(xué)理解與跨學(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)（一）數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，理解實(shí)質(zhì)上就是學(xué)習(xí)者以信息的傳輸、編碼為基礎(chǔ)，根據(jù)已有的信息建構(gòu)內(nèi)部心理表征，進(jìn)而獲得心理意義的過(guò)程。理解通常被看成是一種認(rèn)知方式，是一種獲得認(rèn)識(shí)的手段。在理解的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)理解是指讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理解性學(xué)習(xí)后，形成對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象及其知識(shí)外延的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)，從而能夠描述相關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)涵、區(qū)別、聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)對(duì)象的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)將數(shù)學(xué)對(duì)象應(yīng)用于問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與解決中。數(shù)學(xué)理解的形成并不是一蹴而就的，研究表明，數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)需要經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)性理解、形式化理解、結(jié)構(gòu)化理解、遷移性理解與文化性理解五大階段，這其中數(shù)學(xué)理解的層級(jí)不斷提高，而文化性理解貫穿始終，如圖1所示。［2］圖1模型為數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的開(kāi)展提供了理論基礎(chǔ)，同時(shí)也為指向數(shù)學(xué)理解的跨學(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)與實(shí)施提供了明確方向。數(shù)學(xué)理解可以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)科關(guān)鍵能力，形成良好的科學(xué)觀念。（二）數(shù)學(xué)跨學(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)時(shí)代在進(jìn)步，社會(huì)的發(fā)展需要綜合型人才，傳統(tǒng)的分科課程模式已經(jīng)不再能夠滿足社會(huì)發(fā)展的需要，我國(guó)基礎(chǔ)教育課程需要改革創(chuàng)新，在這種情況下，跨學(xué)科課程應(yīng)運(yùn)而生［3］。項(xiàng)目化學(xué)習(xí)能夠最大程度地賦予學(xué)生主體地位，將課堂真正還給學(xué)生。數(shù)學(xué)跨學(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)是以問(wèn)題解決為導(dǎo)向，整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科（如物理、地理、藝術(shù)等）的知識(shí)與方法，讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐、探究、體驗(yàn)、合作、交流等學(xué)習(xí)過(guò)程，從中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的關(guān)聯(lián)?？鐚W(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)在真實(shí)的項(xiàng)目情境中激發(fā)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，提出聚合數(shù)學(xué)本質(zhì)的探究問(wèn)題，并在跨學(xué)科綜合性思維的指導(dǎo)下分析問(wèn)題，以數(shù)學(xué)為主體協(xié)同解決問(wèn)題。［4］不難發(fā)現(xiàn)，跨學(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的實(shí)質(zhì)就是引導(dǎo)學(xué)生在項(xiàng)目活動(dòng)中逐漸形成對(duì)跨學(xué)科知識(shí)的理解、遷移、應(yīng)用與創(chuàng)造。我國(guó)的跨學(xué)科課程主要呈現(xiàn)出兩種模式：一種是以一門學(xué)科為引領(lǐng)，在教學(xué)中滲透其他學(xué)科；另一種是將多門學(xué)科作為聯(lián)合主體。前者就是項(xiàng)目化學(xué)習(xí)，借助多門學(xué)科之間不可分割的聯(lián)系，通過(guò)持續(xù)性的探究來(lái)達(dá)成問(wèn)題的解決。（三）數(shù)學(xué)理解與項(xiàng)目化學(xué)習(xí)項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的內(nèi)核是學(xué)科關(guān)鍵概念與能力，它不是單一的、零散的知識(shí)點(diǎn)，而是以關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)為核心的知識(shí)結(jié)構(gòu)和關(guān)鍵能力。這與數(shù)學(xué)理解的概念不謀而合，即在原有概念的基礎(chǔ)上，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。項(xiàng)目化學(xué)習(xí)因?yàn)閱?wèn)題開(kāi)放、面向的對(duì)象開(kāi)放、過(guò)程開(kāi)放、結(jié)果開(kāi)放，在實(shí)際教學(xué)中容易出現(xiàn)組織結(jié)構(gòu)松散、學(xué)習(xí)者思維深度不夠等問(wèn)題。數(shù)學(xué)理解則可以為優(yōu)化項(xiàng)目化學(xué)習(xí)提供有力的抓手，讓項(xiàng)目化學(xué)習(xí)始終以學(xué)習(xí)者數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高為目標(biāo)，即通過(guò)創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，在活動(dòng)中促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，形成數(shù)學(xué)思維。因此，在數(shù)學(xué)理解視域下實(shí)施項(xiàng)目化學(xué)習(xí)時(shí)，首先需要結(jié)合學(xué)情來(lái)深入分析項(xiàng)目化學(xué)習(xí)涉及的學(xué)科關(guān)鍵概念與能力及需要達(dá)到的目標(biāo)水平，合理確定項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的難度與深度。接著，在目標(biāo)水平的指引下由淺入深地組織項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)理解的五大階段，在真實(shí)項(xiàng)目情境的探索中激活學(xué)生對(duì)學(xué)科關(guān)鍵概念與能力的經(jīng)驗(yàn)性理解，在項(xiàng)目知識(shí)的歸納與提煉中生成形式化理解，在知識(shí)脈絡(luò)與體系的建構(gòu)中形成結(jié)構(gòu)化理解，在應(yīng)用知識(shí)解決項(xiàng)目問(wèn)題的過(guò)程中達(dá)成遷移性理解，在實(shí)踐感悟與反思評(píng)價(jià)中發(fā)展文化性理解。最終，數(shù)學(xué)理解的五大階段貫穿整個(gè)項(xiàng)目化學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)學(xué)科關(guān)鍵概念與能力的理解向高水平、深層次發(fā)展，而項(xiàng)目化學(xué)習(xí)也在一定程度上推進(jìn)了“為理解而教”“為遷移而教”的教學(xué)理念的落實(shí)。三、“多邊形的鑲嵌”的案例分析（一）整體分析古希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，數(shù)與美緊密關(guān)聯(lián)，甚至可以說(shuō)，數(shù)是美的本源，一切藝術(shù)都產(chǎn)生于數(shù)。平面鑲嵌是幾何學(xué)中的一顆璀璨之星，它既是簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、和諧、奇異等數(shù)學(xué)美的集中體現(xiàn)，也是數(shù)學(xué)在繪畫、建筑等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的現(xiàn)實(shí)寫照。平面鑲嵌的內(nèi)容在人教版、浙教版、滬科版等版本的初中數(shù)學(xué)教材中均有體現(xiàn)，是以綜合與實(shí)踐為載體的跨學(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的重要課例，能充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)與藝術(shù)的跨學(xué)科融合。滬科版“多邊形的鑲嵌”先給出了平面鑲嵌的概念與具體案例，進(jìn)而指出正多邊形與一般三角形、四邊形的平面鑲嵌，最后給出兩個(gè)課題（供學(xué)生任選其一展開(kāi)探究）：①收集生活中的各種鑲嵌地板、地磚、墻紙的圖案，把它們復(fù)制下來(lái)與同學(xué)交流，并研究它們的構(gòu)成和拼接方法。②請(qǐng)學(xué)生按照要求（分別用一種正多邊形、兩種正多邊形和一種非正多邊形）設(shè)計(jì)一個(gè)多邊形的鑲嵌圖案。不難發(fā)現(xiàn)，教材希望學(xué)生在了解平面鑲嵌的基礎(chǔ)上開(kāi)展對(duì)“生活中平面鑲嵌”與“（正）多邊形的平面鑲嵌”的探索，但教材蜻蜓點(diǎn)水式的概念引入并不能有力促進(jìn)學(xué)生對(duì)平面鑲嵌產(chǎn)生較為深入的理解，這就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法將概念遷移到探究活動(dòng)中，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)理解的層級(jí)發(fā)展。因此，本文從跨學(xué)科的視角出發(fā)對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行解構(gòu)與重組，創(chuàng)設(shè)以埃舍爾的鑲嵌畫為背景的藝術(shù)情境，提出驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從藝術(shù)學(xué)科出發(fā)探索鑲嵌畫的數(shù)學(xué)原理，抽象出平面鑲嵌的概念與特征，并用數(shù)學(xué)模型語(yǔ)言表達(dá)，進(jìn)而探究一種或多種正多邊形平面鑲嵌的情況，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理、模型觀念等素養(yǎng)。在了解鑲嵌畫的創(chuàng)作原理后，開(kāi)展以“創(chuàng)作一幅鑲嵌畫”為主題的實(shí)踐活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)平面鑲嵌知識(shí)的遷移與應(yīng)用，推動(dòng)學(xué)生形成對(duì)平面鑲嵌的文化性理解。綜上所述，本課設(shè)計(jì)的思路如圖2所示。（二）案例實(shí)施【環(huán)節(jié)1】創(chuàng)設(shè)藝術(shù)情境，確定本質(zhì)問(wèn)題，激活經(jīng)驗(yàn)性理解。播放視頻，視頻圍繞埃舍爾（M.C.Escher）的畫作《天空與水》，呈現(xiàn)了一幅空中的鳥與水中的魚相互交錯(cuò)的動(dòng)態(tài)景象，指明了畫作中共生、漸變、鑲嵌的圖形結(jié)構(gòu)，突顯了畫作獨(dú)特的藝術(shù)美、科學(xué)美。緊接著，簡(jiǎn)單介紹畫家埃舍爾并呈現(xiàn)他的平面鑲嵌畫，如《騎士》《圓形極限Ⅳ》《蜥蜴》等（教師提供圖片）。引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察埃舍爾的鑲嵌畫，并鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題。教師從眾多問(wèn)題中提煉本質(zhì)問(wèn)題：鑲嵌畫的數(shù)學(xué)原理是什么？進(jìn)一步聯(lián)系生活實(shí)際，啟發(fā)學(xué)生對(duì)鑲嵌概念的思考與闡述，初步勾勒平面鑲嵌概念的基本輪廓。【設(shè)計(jì)意圖】以視頻創(chuàng)設(shè)真實(shí)的藝術(shù)情境，將靜態(tài)的鑲嵌畫以動(dòng)態(tài)的形式呈現(xiàn)，激發(fā)了學(xué)生的興趣，讓其感受到數(shù)學(xué)知識(shí)在藝術(shù)創(chuàng)作中的應(yīng)用。通過(guò)提煉本質(zhì)問(wèn)題，讓學(xué)生從藝術(shù)美回歸到數(shù)學(xué)美，探尋鑲嵌畫“美”的緣由。進(jìn)而，讓學(xué)生依據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，思考鑲嵌畫的數(shù)學(xué)原理，激活了學(xué)生對(duì)鑲嵌概念的經(jīng)驗(yàn)性理解，讓鑲嵌的概念從情境中遷移而來(lái)，又扎根生長(zhǎng)于學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)概念的引入做鋪墊?！经h(huán)節(jié)2】歸納概念共性，提煉概念特征，生成形式化理解。在學(xué)生暢所欲言之后，教師基于學(xué)生對(duì)平面鑲嵌的經(jīng)驗(yàn)性理解，結(jié)合埃舍爾的鑲嵌畫與生活實(shí)例，提煉出平面鑲嵌的概念：用形狀相同或不同的平面封閉圖形覆蓋平面區(qū)域，使圖形間既無(wú)縫隙又不重疊地全部覆蓋，在幾何里叫作平面鑲嵌。得出概念后，教師引導(dǎo)學(xué)生指出平面鑲嵌的關(guān)鍵特征——無(wú)縫隙、不重疊。接著，教師圍繞平面鑲嵌的概念，組織小組活動(dòng)，讓學(xué)生嘗試用素材包中的正多邊形、普通三角形和四邊形的紙片以及埃舍爾鑲嵌畫中的蜥蜴、小矮人、騎士等元素的紙片構(gòu)造平面鑲嵌。學(xué)生在經(jīng)歷真正的實(shí)踐后會(huì)思考“如何才能構(gòu)成平面鑲嵌”，即平面鑲嵌的數(shù)學(xué)模型表達(dá)。在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從特殊的正多邊形入手展開(kāi)研究?！驹O(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)本質(zhì)上是“玩”概念，但數(shù)學(xué)概念是嚴(yán)謹(jǐn)且抽象的東西，學(xué)生較難立刻形成內(nèi)在認(rèn)同。通過(guò)實(shí)踐操作，學(xué)生獲得了對(duì)平面鑲嵌的直觀感受，形成了對(duì)平面鑲嵌的形式化理解，同時(shí)也啟發(fā)了一部分學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考平面鑲嵌，產(chǎn)生了新的探究方向，推動(dòng)了課堂的深入發(fā)展。此外，教師要引導(dǎo)學(xué)生參與實(shí)踐探索，積極與情境交互，鼓勵(lì)他們提出問(wèn)題，讓學(xué)生成為跨學(xué)科學(xué)習(xí)的主角。【環(huán)節(jié)3】聚焦探究問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，形成結(jié)構(gòu)化理解。小組活動(dòng)后，教師挑選典型的多邊形鑲嵌的案例進(jìn)行展示（如圖3），重點(diǎn)標(biāo)出各個(gè)多邊形相交的頂點(diǎn)，再呈現(xiàn)五邊形不能平面鑲嵌的例子，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)“無(wú)縫隙、不重疊”，即平面鑲嵌的數(shù)學(xué)原理是“共頂點(diǎn)的各個(gè)角之和等于360°”。在了解平面鑲嵌的數(shù)學(xué)原理后，教師鼓勵(lì)學(xué)生完成探究子任務(wù)：用一種正多邊形完成平面鑲嵌。通過(guò)對(duì)多邊形單個(gè)內(nèi)角度數(shù)的觀察與計(jì)算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)正三角形、正方形和正六邊形的單個(gè)內(nèi)角度數(shù)能被360°整除，因此，正三角形、正方形和正六邊形能夠平面鑲嵌。教師指出，我們無(wú)法列出所有的多邊形單個(gè)內(nèi)角度數(shù)，因此用列舉觀察的方法并不嚴(yán)謹(jǐn)，那么能否嘗試用代數(shù)推理的方式證明這個(gè)結(jié)論呢？即證明m個(gè)正n邊形能平面鑲嵌。學(xué)生證明：因?yàn)閙·[180°（n-2）n]=360°，所以m=[2nn-2=2（n-2）+4n-2=2+4n-2]；因?yàn)閙為正整數(shù)，所以n=3，4，6。探究后，教師指出，埃舍爾的鑲嵌畫大多是在單個(gè)正多邊形平面鑲嵌的基礎(chǔ)上進(jìn)行平移與旋轉(zhuǎn)而得，例如畫作《蜥蜴》中蜥蜴的原形就是正六邊形，畫作《飛馬》中飛馬的原形就是正方形等。【設(shè)計(jì)意圖】跨學(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)要堅(jiān)持學(xué)科立場(chǎng)。在數(shù)學(xué)本位的跨學(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)中，要從數(shù)學(xué)的視角出發(fā)探索跨學(xué)科問(wèn)題，分析跨學(xué)科現(xiàn)象，揭示其中的數(shù)學(xué)原理。在獲得平面鑲嵌的概念與特征后，通過(guò)對(duì)實(shí)例的觀察與數(shù)據(jù)的分析，構(gòu)建多邊形平面鑲嵌的數(shù)學(xué)模型，可以發(fā)展學(xué)生的抽象能力、推理能力與模型觀念，也能促進(jìn)學(xué)生形成對(duì)平面鑲嵌的結(jié)構(gòu)化理解?！经h(huán)節(jié)4】拓寬探究思路，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，達(dá)成遷移性理解。教師繼續(xù)追問(wèn)：若用兩種正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌，可以建立什么數(shù)學(xué)模型呢？三種呢？四種呢？啟發(fā)學(xué)生類比環(huán)節(jié)3的探究思路并遷移應(yīng)用到解決新問(wèn)題中。假設(shè)a個(gè)正n邊形和b個(gè)正m邊形能夠平面鑲嵌，學(xué)生類比可得兩種正多邊形能夠平面鑲嵌需要滿足的關(guān)系式，即a·[180°（n-2）n]+b·[180°（m-2）m=360°]，化簡(jiǎn)得[a（n-2）n]+[b（m-2）m]=2，其中n，m≥3，且a，b，n，m為正整數(shù)。緊接著，讓學(xué)生利用所建立的數(shù)學(xué)模型，思考如下問(wèn)題：①正方形與正六邊形能平面鑲嵌嗎？為什么？②正方形與正八邊形能平面鑲嵌嗎？為什么？③通過(guò)實(shí)踐操作，請(qǐng)你給出用兩種正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌的具體方案。教師以問(wèn)題①為例，先假設(shè)存在x個(gè)正方形與y個(gè)正六邊形能平面鑲嵌，可得[12x+23y=2]，引導(dǎo)學(xué)生將“兩種正多邊形能否平面鑲嵌”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“二元一次方程是否存在正整數(shù)解”的問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)依次代入數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)該方程不存在正整數(shù)解，即正方形與正六邊形不能平面鑲嵌。在教師的示范下，學(xué)生能夠順利地解決問(wèn)題②與問(wèn)題③，最后學(xué)生共同努力，總結(jié)出兩種正多邊形平面鑲嵌的六種情況。最后，教師將“探究：三種及三種以上正多邊形平面鑲嵌的情況”作為課后作業(yè)，要求學(xué)生以小論文的形式撰寫探究思路、結(jié)果與心得?！驹O(shè)計(jì)意圖】綜合實(shí)踐活動(dòng)強(qiáng)調(diào)綜合性與實(shí)踐性。綜合性是指活動(dòng)中涉及的知識(shí)廣泛、思想豐富、學(xué)科多樣，能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生綜合能力的提升。實(shí)踐性是指學(xué)生能夠在教師的指導(dǎo)下參與探究活動(dòng)的全過(guò)程。在用兩種正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌的探究與應(yīng)用中，學(xué)生需要將平面鑲嵌、多邊形內(nèi)角和、方程、分式等知識(shí)綜合起來(lái)，建立數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，形成問(wèn)題解決的基本路徑，再加以方程思想、轉(zhuǎn)化思想、類比思想、抽象思想等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，最終才能解決問(wèn)題。此過(guò)程充分彰顯了探究活動(dòng)的綜合性與實(shí)踐性，促進(jìn)了學(xué)生抽象能力、模型觀念、推理能力、應(yīng)用意識(shí)等素養(yǎng)的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)了平面鑲嵌知識(shí)從結(jié)構(gòu)化理解向遷移性理解的飛躍?！经h(huán)節(jié)5】發(fā)揮創(chuàng)造能力，創(chuàng)作鑲嵌作品，促進(jìn)文化性理解。埃舍爾的鑲嵌畫是充滿數(shù)學(xué)氣息的藝術(shù)作品，他采用幾何學(xué)中的反射、旋轉(zhuǎn)等操作，獨(dú)具匠心地將基本的幾何圖形變成了人、鳥、魚等圖案，令人拍案叫絕。教師播放視頻，視頻介紹了埃舍爾畫作《飛馬》與《蜥蜴》的創(chuàng)作思路。觀看視頻后，教師鼓勵(lì)學(xué)生總結(jié)埃舍爾的鑲嵌畫的創(chuàng)作思路，并布置任務(wù)：類比埃舍爾的鑲嵌畫