2018年中考考點(diǎn)專題訓(xùn)練考點(diǎn)20：等腰三角形和等邊三角形

...wd......wd......wd...2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編考點(diǎn)20等腰三角形、等邊三角形和直角三角形一．選擇題〔共5小題〕1．〔2018?湖州〕如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．假設(shè)AB=AC，∠CAD=20°，那么∠ACE的度數(shù)是〔〕A．20° B．35° C．40° D．70°【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=〔180°﹣∠CAB〕=70°．再利用角平分線定義即可得出∠ACE=∠ACB=35°．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=〔180°﹣∠CAB〕=70°．∵CE是△ABC的角平分線，∴∠ACE=∠ACB=35°．應(yīng)選：B．2．〔2018?宿遷〕假設(shè)實(shí)數(shù)m、n滿足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長(zhǎng)，那么△ABC的周長(zhǎng)是〔〕A．12 B．10 C．8 D．6【分析】由等式，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求m、n的值，再根據(jù)m、n分別作為等腰三角形的腰，分類求解．【解答】解：∵|m﹣2|+=0，∴m﹣2=0，n﹣4=0，解得m=2，n=4，當(dāng)m=2作腰時(shí)，三邊為2，2，4，不符合三邊關(guān)系定理；當(dāng)n=4作腰時(shí)，三邊為2，4，4，符合三邊關(guān)系定理，周長(zhǎng)為：2+4+4=10．應(yīng)選：B．3．〔2018?揚(yáng)州〕在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，那么以下結(jié)論一定成立的是〔〕A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC【分析】根據(jù)同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根據(jù)角平分線的定義可得出∠ACE=∠DCE，再結(jié)合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角對(duì)等邊即可得出BC=BE，此題得解．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．應(yīng)選：C．4．〔2018?淄博〕如圖，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，且MN平分∠AMC，假設(shè)AN=1，那么BC的長(zhǎng)為〔〕A．4 B．6 C． D．8【分析】根據(jù)題意，可以求得∠B的度數(shù)，然后根據(jù)解直角三角形的知識(shí)可以求得NC的長(zhǎng)，從而可以求得BC的長(zhǎng)．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，∴∠ACB=2∠B，NM=NC，∴∠B=30°，∵AN=1，∴MN=2，∴AC=AN+NC=3，∴BC=6，應(yīng)選：B．5．〔2018?黃岡〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線，AD=2，CE=5，那么CD=〔〕A．2 B．3 C．4 D．2【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AE=CE=5，進(jìn)而得出DE=3，利用勾股定理解答即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE為AB邊上的中線，CE=5，∴AE=CE=5，∵AD=2，∴DE=3，∵CD為AB邊上的高，∴在Rt△CDE中，CD=，應(yīng)選：C．二．填空題〔共12小題〕6．〔2018?成都〕等腰三角形的一個(gè)底角為50°，那么它的頂角的度數(shù)為80°．【分析】此題給出了一個(gè)底角為50°，利用等腰三角形的性質(zhì)得另一底角的大小，然后利用三角形內(nèi)角和可求頂角的大?。窘獯稹拷猓骸叩妊切蔚捉窍嗟龋?80°﹣50°×2=80°，∴頂角為80°．故填80°．7．〔2018?長(zhǎng)春〕如圖，在△ABC中，AB=AC．以點(diǎn)C為圓心，以CB長(zhǎng)為半徑作圓弧，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連結(jié)BD．假設(shè)∠A=32°，那么∠CDB的大小為37度．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°，又∵BC=DC，∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．故答案為：37．8．〔2018?哈爾濱〕在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，假設(shè)△ABD為直角三角形，那么∠ADC的度數(shù)為130°或90°．【分析】根據(jù)題意可以求得∠B和∠C的度數(shù)，然后根據(jù)分類討論的數(shù)學(xué)思想即可求得∠ADC的度數(shù)．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°，∵點(diǎn)D在BC邊上，△ABD為直角三角形，∴當(dāng)∠BAD=90°時(shí)，那么∠ADB=50°，∴∠ADC=130°，當(dāng)∠ADB=90°時(shí)，那么∠ADC=90°，故答案為：130°或90°．9．〔2018?吉林〕我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值〞，記作k，假設(shè)k=，那么該等腰三角形的頂角為36度．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和得出5∠A=180°，求出即可．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值〞，記作k，假設(shè)k=，∴∠A：∠B=1：2，即5∠A=180°，∴∠A=36°，故答案為：36．10．〔2018?淮安〕假設(shè)一個(gè)等腰三角形的頂角等于50°，那么它的底角等于65°．【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理直接求得答案．【解答】解：∵等腰三角形的頂角等于50°，又∵等腰三角形的底角相等，∴底角等于〔180°﹣50°〕×=65°．故答案為：65．11．〔2018?婁底〕如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE=3cm，那么BF=6c【分析】先利用HL證明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC=2S△ABD=2×AB?DE=AB?DE=3AB，又S△ABC=AC?BF，將AC=AB代入即可求出BF．【解答】解：在Rt△ADB與Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S△ABC=2S△ABD=2×AB?DE=AB?DE=3AB，∵S△ABC=AC?BF，∴AC?BF=3AB，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．故答案為6．12．〔2018?桂林〕如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，那么圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是3．【分析】首先根據(jù)條件分別計(jì)算圖中每一個(gè)三角形每個(gè)角的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的判定：等角對(duì)等邊解答，做題時(shí)要注意，從最明顯的找起，由易到難，不重不漏．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36°，∴在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形，在△ABC中，∠C=∠ABC=72°，AB=AC，△ABC是等腰三角形，在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC是等腰三角形，所以共有3個(gè)等腰三角形．故答案為：313．〔2018?徐州〕邊長(zhǎng)為a的正三角形的面積等于．【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵AD⊥BC∴BD=CD=a，∴AD==a，面積那么是：a?a=a2．14．〔2018?黑龍江〕如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個(gè)等邊△AB1C1；再以等邊△AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個(gè)等邊△AB2C2；再以等邊△AB2C2的B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個(gè)等邊△AB3C3；…，記△B1CB2的面積為S1，△B2C1B3的面積為S2，△B3C2B4的面積為S3【分析】由AB1為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的高，利用三線合一得到B1為BC的中點(diǎn)，求出BB1的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB1的長(zhǎng)，進(jìn)而求出第一個(gè)等邊三角形AB1C1的面積，同理求出第二個(gè)等邊三角形AB2C2的面積，依此類推，得到第n個(gè)等邊三角形ABnC【解答】解：∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，AB1⊥BC，∴BB1=1，AB=2，根據(jù)勾股定理得：AB1=，∴第一個(gè)等邊三角形AB1C1的面積為×〔〕2=〔〕1；∵等邊三角形AB1C1的邊長(zhǎng)為，AB2⊥B1C1∴B1B2=，AB1=，根據(jù)勾股定理得：AB2=，∴第二個(gè)等邊三角形AB2C2的面積為×〔〕2=〔〕2；依此類推，第n個(gè)等邊三角形ABnCn的面積為〔〕n．故答案為：〔〕n．15．〔2018?湘潭〕如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，那么∠BAD=30°．【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)和等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等的性質(zhì)填空．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．又點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴∠BAD=∠BAC=30°．故答案是：30°．16．〔2018?天津〕如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，EF⊥AC于點(diǎn)F，G為EF的中點(diǎn)，連接DG，那么DG的長(zhǎng)為．【分析】直接利用三角形中位線定理進(jìn)而得出DE=2，且DE∥AC，再利用勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)得出EG以及DG的長(zhǎng)．【解答】解：連接DE，∵在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=2，且DE∥AC，BD=BE=EC=2，∵EF⊥AC于點(diǎn)F，∠C=60°，∴∠FEC=30°，∠DEF=∠EFC=90°，∴FC=EC=1，故EF==，∵G為EF的中點(diǎn)，∴EG=，∴DG==．故答案為：．17．〔2018?福建〕如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中點(diǎn)，那么CD=3．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．【解答】解：∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD=AB=×6=3．故答案為：3．三．解答題〔共2小題〕18．〔2018?紹興〕數(shù)學(xué)課上，張教師舉了下面的例題：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度數(shù)．〔答案：35°〕例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度數(shù)，〔答案：40°或70°或100°〕張教師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)展變式，小敏編了如下一題：變式等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度數(shù)．〔1〕請(qǐng)你解答以上的變式題．〔2〕解〔1〕后，小敏發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到∠B的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，設(shè)∠A=x°，當(dāng)∠B有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí)，請(qǐng)你探索x的取值范圍．【分析】〔1〕由于等腰三角形的頂角和底角沒(méi)有明確，因此要分類討論；〔2〕分兩種情況：①90≤x＜180；②0＜x＜90，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：〔1〕假設(shè)∠A為頂角，那么∠B=〔180°﹣∠A〕÷2=50°；假設(shè)∠A為底角，∠B為頂角，那么∠B=180°﹣2×80°=20°；假設(shè)∠A為底角，∠B為底角，那么∠B=80°；故∠B=50°或20°或80°；〔2〕分兩種情況：①當(dāng)90≤x＜180時(shí)，∠A只能為頂角，∴∠B的度數(shù)只有一個(gè)；②當(dāng)0＜x＜90時(shí)，假設(shè)∠A為頂角，那么∠B=〔〕°；假設(shè)∠A為底角，∠B為頂角，那么∠B=〔180﹣2x〕°；假設(shè)∠A為底角，∠B為底角，那么∠B=x°．當(dāng)≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60時(shí)，∠B有三個(gè)不同的度數(shù)．綜上所述，可知當(dāng)0＜x＜90且x≠60時(shí)，∠B有三個(gè)不同的度數(shù)．19．〔2018?徐州〕〔A類〕如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，A