河北省灤南縣2024年高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷含解析

河北省灤南縣2024年高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答

案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知空間兩不同直線(xiàn)加、n,兩不同平面e,/3,下列命題正確的是（）

A.若7〃￡且〃a,則mnB.若〃z，，且加_1_〃，則〃P

C.若加_1_。且加/?,則D.若機(jī)不垂直于且“<=a,則M不垂直于“

22

2.存在點(diǎn)/（%,穌）在橢圓=+當(dāng)=1（?！?〉0）上，且點(diǎn)M在第一象限，使得過(guò)點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線(xiàn)

ab

干+等=1垂直的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)［o,-1］，則橢圓離心率的取值范圍是（）

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入a=lnl0,b=\ge,則輸出的值為（）

A.0B.1C.2IgeD.21gl0

4.若函數(shù)〃x）=2sin（x+2d）-osx（0＜^＜!）的圖象過(guò)點(diǎn)（0,2）,則（）

A.函數(shù)y=/（x）的值域是[0,2]B.點(diǎn)是y=/（x）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心

C.函數(shù)y=/（x）的最小正周期是2?D.直線(xiàn)x=5是y=/（x）的一條對(duì)稱(chēng)軸

5.已知隨機(jī)變量。滿(mǎn)足。（。=左）=螳（1—2廣"講，，=1,2,左=0,1,2.若3＜化＜。2＜1,則（）

A.E⑸＜E&）,￡＞信）＜?。〣.E信）＜E㈤,哨＞鶴）

C.E⑷＞E㈤,￡＞（/＜￡＞?）D.E⑹〉E?）,。信）＞D倡）

6.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸出的i的值為99,則判斷框中可以填（）

A.S>1B.S>2C.5>lg99D.S>lg98

7.以下兩個(gè)圖表是2019年初的4個(gè)月我國(guó)四大城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（上一年同月=100）變化圖表，則以下說(shuō)

法錯(cuò)誤的是（）

1030510305

10265

10225

10185

10145

10105岫

H±Wrt!月隼月月

201*1201922019*3月201

Lii■2u01年4月lkbujidil

圖表圖表二

(注：圖表一每個(gè)城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份；圖表二每個(gè)月份的條形圖從左到右四個(gè)城市依次是

北京、天津、上海、重慶)

A.3月份四個(gè)城市之間的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)與其它月份相比增長(zhǎng)幅度較為平均

B.4月份僅有三個(gè)城市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)超過(guò)102

C.四個(gè)月的數(shù)據(jù)顯示北京市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)增長(zhǎng)幅度波動(dòng)較小

D.僅有天津市從年初開(kāi)始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長(zhǎng)呈上升趨勢(shì)

2x+y>4

8.設(shè)X,y滿(mǎn)足—1,貝！Jz=x+y的取值范圍是()

x-2y<2

A.[—5,3]B.[2,3]C.[2,+00)D.(—8,3]

9.在關(guān)于x的不等式依2+2》+I>O中，是“62+2》+1>0恒成立”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.設(shè)函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,滿(mǎn)足/(x+2)=2/(x),且當(dāng)xe(0,2]時(shí)，/(%)=—x(x-2).若對(duì)任意xe(-8,利，

都有/(%)<—,則根的取值范圍是().

(91(19]23

A.-oo,-B.—C.(-oo,7]D.—00,——

I4」I3」3

11.已知耳,B是雙曲線(xiàn)C：j-丁2=1(?！?)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)”且垂直于x軸的直線(xiàn)與。相交于AB兩點(diǎn)，若

a

|AB|=V2,則AABF2的內(nèi)切圓半徑為()

竽

A3R幣「3上D.

?--上5?-----?------

333

12.已知等差數(shù)列｛an｝,貝!I"a2>ai”是“數(shù)列｛an｝為單調(diào)遞增數(shù)歹U”的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，直三棱柱ABC—A4G中，NC4B=90°,AC=AB=2,=2,尸是BQ的中點(diǎn)，則三棱錐C—40/

的體積為.

14.在［也的二項(xiàng)展開(kāi)式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)等于.

15.在AABC中，角所對(duì)的邊分別為",仇c,S為AABC的面積，若c=2acos3,5=,”2一工。？，則AABC

24

的形狀為,C的大小為.

16.某校高二（4）班統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)中午在食堂用餐時(shí)間，有7人用時(shí)為6分鐘，有14人用時(shí)7分鐘，有15人用時(shí)為

8分鐘，還有4人用時(shí)為10分鐘，則高二（4）班全體同學(xué)用餐平均用時(shí)為一分鐘.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）已知三棱錐P-A5C（如圖一）的平面展開(kāi)圖（如圖二）中，四邊形A3C。為邊長(zhǎng)等于0的正方形，AABE

和均為正三角形，在三棱錐P-45C中:

圖二

（1）證明：平面B4C_L平面ABC；

（2）若點(diǎn)”在棱物上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線(xiàn)BM與平面HLC所成的角最大時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

18.(12分)如圖，在四棱錐P—ABC。中，平面43。平面BLD,AD//BC,AB=BC=AP=-AD,ZADP=3Q，

2

ZBAD=90，E是尸。的中點(diǎn).

（1）證明：PD上PB；

（2）設(shè)4）=2,點(diǎn)M在線(xiàn)段PC上且異面直線(xiàn)8M與CE所成角的余弦值為手，求二面角"-A3-0的余弦值.

19.（12分）某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，從流水線(xiàn)上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)其質(zhì)量指標(biāo)值并繪制頻率分布直方圖（如

圖1）：規(guī)定產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在［65,85）的為劣質(zhì)品，在［85,105）的為優(yōu)等品，在［105,115］的為特優(yōu)品，銷(xiāo)售時(shí)劣

質(zhì)品每件虧損0.8元，優(yōu)等品每件盈利4元，特優(yōu)品每件盈利6元，以這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于各區(qū)間的頻率代

替產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于該區(qū)間的概率.

1410

20

loo

80

fto

4()

2()

01__1_I_I-----1__>__L-

01()2(?4()5060

年皆哥用了(萬(wàn)元)

圖2

（1）求每件產(chǎn)品的平均銷(xiāo)售利潤(rùn);

（2）該企業(yè)主管部門(mén)為了解企業(yè)年?duì)I銷(xiāo)費(fèi)用X（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷(xiāo)售量y（單位：萬(wàn)件）的影響，對(duì)該企業(yè)近5年

的年?duì)I銷(xiāo)費(fèi)用占和年銷(xiāo)售量為,（，=1,2,3,4,5）數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

555

立,2（%一斤）（匕一可

i=l1=1i=li=l

16.3523.40.541.62

[5]5

表中％=lnx,，匕=ln%,M,v=-^v,..

〉i=l〉z(mì)=l

根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a/可以作為年銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）關(guān)于年?duì)I銷(xiāo)費(fèi)用x（萬(wàn)元）的回歸方程.

①求y關(guān)于X的回歸方程；

②用所求的回歸方程估計(jì)該企業(yè)每年應(yīng)投入多少營(yíng)銷(xiāo)費(fèi)，才能使得該企業(yè)的年收益的預(yù)報(bào)值達(dá)到最大？（收益=銷(xiāo)售

利潤(rùn)—營(yíng)銷(xiāo)費(fèi)用，取0359=36）

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（4,匕），（w2,v2）,,（"“』"），其回歸直線(xiàn)/=0+的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

5

,工（4—碩匕―"）

B=-—j-----------，a=v-pii.

￡（%—方）2

Z=1

%=3+2cosOL

20.（12分）已知曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為，9為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸并

y=l+2sin（z

取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明其表示什么軌跡；

（2）若直線(xiàn)I的極坐標(biāo)方程為sin，-2cos，=工，求曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到直線(xiàn)I的最大距離.

P

21.（12分）已知函數(shù)〃司=一,

（1）求函數(shù)/（九）的單調(diào)區(qū)間；

4/

（2）當(dāng)0＜機(jī)＜/時(shí)，判斷函數(shù)g（x）=——〃z,（x＞0）有幾個(gè)零點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；

（3）設(shè)函數(shù)〃（％）=；X--+/（X）x---f（x）-ex2,若函數(shù)/z（x）在（O,+8）為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)C的取值

/X乙X

范圍.

22.（10分）已知函數(shù)/（x）=|x+a|+|2x-5|（a〉0）.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，解不等式/?(尤)25；

(2)當(dāng)2a-2］時(shí)，不等式/(九)W|x+4卜恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

因答案A中的直線(xiàn)加，〃可以異面或相交，故不正確；答案B中的直線(xiàn)”U￡也成立，故不正確；答案C中的直線(xiàn)機(jī)

可以平移到平面￡中，所以由面面垂直的判定定理可知兩平面〃，互相垂直，是正確的；答案D中直線(xiàn)心也有可

能垂直于直線(xiàn)"，故不正確.應(yīng)選答案C.

2、D

【解析】

根據(jù)題意利用垂直直線(xiàn)斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.

【詳解】

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)M橢圓的切線(xiàn)方程為誓+岑=1，所以切線(xiàn)的斜率為,

aba%

/3

由"#2X1_空］=_1,解得％=2<仇即/<2c2，所以?xún)?chǔ)—<2c2,

XoI?2JoJ2c

所以上〉且.

a3

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.

3、A

【解析】

根據(jù)輸入的值大小關(guān)系，代入程序框圖即可求解.

【詳解】

輸入a=lnlO,b=lge,

因?yàn)閘nlO>l>lge,所以由程序框圖知，

輸出的值為。一工=In10———=lnl0-lnl0=0.

bIge

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了對(duì)數(shù)式大小比較，條件程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(%)的圖像過(guò)點(diǎn)(0,2),求出。，可得/(x)=cos2x+l,再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，得出結(jié)論.

【詳解】

由函數(shù)”x)=2sin(x+2e)-cosx(0<^<|)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,2),

可得2sin26=2,即sin28=1,

20=-,e=~,

24

故/'(x)=2sin(x+26))-cosx=2cos2x=cos2x+l,

對(duì)于A,由-1VCOS2XV1,則0</(x)<2,故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)x=?時(shí)，/^=1,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,T=W=兀,故c錯(cuò)誤；

2

對(duì)于D,當(dāng)X=(時(shí)，=故D錯(cuò)誤；

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需熟記性質(zhì)與公式，屬于基礎(chǔ)題.

5、B

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得：E（0）=Pi,D（當(dāng)）=0（1—0）,再根據(jù)g<B<P2<1和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】

因?yàn)殡S機(jī)變量。滿(mǎn)足1?=左）=C；（l_p廣“3）=1,2,左=0,1,2.

所以。服從二項(xiàng)分布，

由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得：E低）=p；D值）=Pi（1-0J,

因?yàn)間<B<2<l，

所以E信）<E?）,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：/（%）=x（l-x）,在1,1上單調(diào)遞減，

所以。侑）>。仁）.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.

6、C

【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

運(yùn)行該程序：

第一次，，=1,S=lg2；

3

第二次，1=2,S=lg2+lg-=lg3；

4

第三次，i=3,S=lg3+lg-=lg4,

???；

99

第九十八次，i=98,S=lg98+lg—=lg99；

98

第九十九次，1=99,S=lg99+lg^=lgl00=2,

此時(shí)要輸出i的值為99.

此時(shí)S=2>/g99.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，涉及判斷條件的選擇，屬基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)圖表，可得結(jié)果.

【詳解】

A正確，從圖表二可知，

3月份四個(gè)城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大

B正確，從圖表二可知，

4月份只有北京市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)低于102

C正確，從圖表一中可知，

只有北京市4個(gè)月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大

D錯(cuò)誤，從圖表一可知

上海市也是從年初開(kāi)始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長(zhǎng)呈上升趨勢(shì)

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查圖表的認(rèn)識(shí)，審清題意，細(xì)心觀(guān)察，屬基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

首先繪制出可行域，再繪制出目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)可行域范圍求出目標(biāo)函數(shù)中z的取值范圍.

【詳解】

'2x+y>4

由題知x,V滿(mǎn)足｛x-丁2-1,可行域如下圖所示，

x-2y<2

可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A（2,0）處取得最小值，

故目標(biāo)函數(shù)的最小值為2=尤+>=2,

故2=光+丁的取值范圍是

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線(xiàn)性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

討論當(dāng)時(shí)，℃2+2%+1>0是否恒成立；討論當(dāng)雙2+2x+l>0恒成立時(shí)，。>1是否成立，即可選出正確答案.

【詳解】

解：當(dāng)時(shí)，A=4—4。<0,由y=。必+2x+l開(kāi)口向上，則依之+2》+1>0恒成立；

當(dāng)依2+2%+1>0恒成立時(shí)，若。=0,則2x+l>0不恒成立，不符合題意，

a>0

若a/0時(shí)，要使得翻2+2》+1>0恒成立，貝!）/八，即。>1.

AA=4-4?<0

所以“a>1”是“加+2%+1>0恒成立”的充要條件.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題的關(guān)系，考查了不等式恒成立問(wèn)題.對(duì)于探究?jī)蓚€(gè)命題的關(guān)系時(shí)，一般分成兩步，若pnq,則推出0

是q的充分條件；若q=p,則推出。是q的必要條件.

10、B

【解析】

求出f(x)在左e(2〃,2"+2］的解析式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.

【詳解】

當(dāng)xe(2〃,2〃+2］時(shí),x-2ne(0,2］,/(x)=2"(%—2〃)=—2"(九一2〃)(x—2〃一2),

40

/(X)max=2"，X4<y<8,所以加至少小于7,此時(shí)〃無(wú))=-23(%-6)(1-8),

令/(x)=*得一23(x—6)(X—8)=［,解得1=］或X=?,結(jié)合圖象，故機(jī)

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式恒成立求參數(shù)的范圍，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.

11、B

【解析】

首先由|A5|=拒求得雙曲線(xiàn)的方程，進(jìn)而求得三角形的面積，再由三角形的面積等于周長(zhǎng)乘以?xún)?nèi)切圓的半徑即可求

解.

【詳解】

由題意5=1將％=代入雙曲線(xiàn)C的方程，得y=土,則2=0,“=應(yīng),c=g,由

aa

\AF2\-\AFi\=\BF2\-\BFl\=2a=2y/2,^^ABF2的周長(zhǎng)為

\AF2\+\BF2\+\AB\=2a+\AFl\+2a+\BFl\+\AB\=4a+2\AB\=60,

設(shè)AABK的內(nèi)切圓的半徑為廠(chǎng),則1x6后r=、2Gx后,廠(chǎng)=走，

223

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線(xiàn)的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的內(nèi)心的概念，考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題.

12、C

【解析】

試題分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

解：在等差數(shù)列｛an｝中，若a2>ai,則d>0,即數(shù)列｛an｝為單調(diào)遞增數(shù)列，

若數(shù)列｛an｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則a2>ai,成立，

即“a2>ai”是“數(shù)列而｝為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件，

故選C.

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13、一

3

【解析】

證明AB，平面AA.QC,于是匕YGP=匕-AGC=，利用三棱錐的體積公式即可求解.

【詳解】

平面ABC,ABI平面ABC,

AB,又

A4]±ABJ_AC,A41cAe=A.

AB_L平面A41clC,

P是6a的中點(diǎn)，

V=VpACC=-KACC=-------------2-2-2=—.

cC—ACp2D—2323

2

故答案為：—

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了線(xiàn)面垂直的判定定理、三棱錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

由題意可得〃=8,再利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得二項(xiàng)展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)的值.

【詳解】

（遙-2廠(chǎng)的二項(xiàng)展開(kāi)式的中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，「.〃=89

x

,.,,,n-4r8-4r8-4r八4,口

r31A

通項(xiàng)公式為=G;（-2）、x3=（-2）.C；.x令二一=°，求得廠(chǎng)=2,

可得二項(xiàng)展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)等于4x或=112,

故答案為1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7T

15、等腰三角形C=二

【解析】

■:c-2acosB

：.根據(jù)正弦定理可得sinC=2sinAcosB,即sin(A+B)=2sinAcosB

:.sin(A-B)=0

AA=B

AABC的形狀為等腰三角形

VS=ia2--c2

24

—a&sinC=—a2+—a2-—c2=—a2+—/72-—c2

444444

由余弦定理可得cosC="一+"「

lab

:.sinC=cosC,即tanC=1

?.?Ce(0,萬(wàn))

IT

故答案為等腰三角形，一

4

16、7.5

【解析】

分別求出所有人用時(shí)總和再除以總?cè)藬?shù)即可得到平均數(shù).

【詳解】

7x6+14x7+15x8+4x10ru

-----------------------------------=7.5

7+14+15+4

故答案為：7.5

【點(diǎn)睛】

此題考查求平均數(shù)，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確計(jì)算出所有數(shù)據(jù)之和，易錯(cuò)點(diǎn)在于概念辨析不清導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)見(jiàn)解析(2)豆H

11

【解析】

(1)設(shè)AC的中點(diǎn)為。，連接8。,尸。.由展開(kāi)圖可知====40=30=00=1.。為AC的

中點(diǎn)，則有PO±AC,根據(jù)勾股定理可證得POLOB,

則P01平面ABC,即可證得平面PAC±平面ABC.

(2)由線(xiàn)面成角的定義可知ZBMO是直線(xiàn)BM與平面PAC所成的角，

B0]

且tanZBMO=----=----,ZBMO最大即為OM最短時(shí)，即M是K4的中點(diǎn)

OMOM

AM

建立空間直角坐標(biāo)系，求出AM與平面的法向量機(jī)利用公式sin9=1”)即可求得結(jié)果.

\AM\\m\

【詳解】

(1)設(shè)AC的中點(diǎn)為O,連接BO,PO.

由題意，得PA=PB=PC，PO=1,AO^BO=CO^1.

在B4C中，PA=PC,O為AC的中點(diǎn)，.?.POLAC,

在POB中，PO=1,OB=1,PB=4i，PO2+OB2=PB2,：.PO±OB.

ACOB=O,AC,06u平面，.?.PO,平面ABC,

POu平面PAC,二平面平面ABC.

(2)由(1)知，BO±PO,BOLAC,50,平面PAC,

ZBMO是直線(xiàn)BM與平面PAC所成的角,

且tanZBMO=2"

OM0M

二當(dāng)OM最短時(shí)，即M是PA的中點(diǎn)時(shí)，NBMO最大.

由尸。_L平面ABC,OB±AC,

:.PO±OB,POA-OC,

于是以O(shè)C,OB,OD所在直線(xiàn)分別為X軸，y軸，z軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系,

(1

則。(0,0,0),C(l,0,0),5(0,1,0),A(-l,0,0),P(0,0,l),M--,0,-

(22J

BC=(l,-l,0),PC=(1,0,-1),=AM=Q,0,1l

設(shè)平面MBC的法向量為加=（4,M，Zi）,直線(xiàn)MA與平面MBC所成角為

m-BC=0,%一％=0

則由《得：＜

m-MC=03%—Z]=0

令王=1,得%=1,4=3,gpm=(1,1,3).

.八|AM-m\22722

esin，=---------

則\AM\\m\11

直線(xiàn)MA與平面MBC所成角的正弦值為2叵.

11

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直的證明，考查線(xiàn)面成角問(wèn)題，借助空間向量是解決線(xiàn)面成角問(wèn)題的關(guān)鍵，難度一般.

18、(1)見(jiàn)解析；(2)也

7

【解析】

(1)由平面平面上4。的性質(zhì)定理得A3,平面上4D,.?.人3，？。.在此4￡＞中，由勾股定理得

PDLAP,.1PD，平面？A3,即可得PDLPB；

(2)以P為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法和異面直線(xiàn)8M與CE所成角的余弦值為畫(huà)，得點(diǎn)M的

5

坐標(biāo)，從而求出二面角AB-P的余弦值.

【詳解】

(1)平面A5CD_L平面R4D,平面A5CD平面上4D=AZ),^BAD=90，所以他，相).由面面垂直的

性質(zhì)定理得AB,平面上4D，在AR4D中，AP=-AD,NADP=30，=由正弦定理可得：

2

sinZADP=-sinZAPD,

2

:.ZAPD=9Q，即PDLAP,..PD，平面PAB,.\PD±PB.

(2)以P為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則6（0,1,1）,C

則=

35

5一I"

CE=fo,--,-l1--.COSBM,CE=產(chǎn)產(chǎn)

I2yCEJ2/—3a+2x店,

V2

#o=-,=而A3=（0,0,l）,設(shè)平面ABM的法向量為4=（蒼y,z）,由|"山”=?？傻?

31333）n-AB-0

&—"：z=°,令x=2,則〃=倒,6,0),取平面R鉆的法向量加=(1,0,0),則

尚亍臺(tái)當(dāng)故二面角"的余弦值為好

cosm,n=

【點(diǎn)睛】

本題考查了線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運(yùn)用，

屬于中檔題.

19、(1)3元.(2)①>=36/②216萬(wàn)元

【解析】

(1)每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售利潤(rùn)為X,由已知可得X的取值，由頻率分布直方圖可得劣質(zhì)品、優(yōu)等品、特優(yōu)品的概率，從

而可得X的概率分布列，依期望公式計(jì)算出期望即為平均銷(xiāo)售利潤(rùn)；

(2)①對(duì)y=取自然對(duì)數(shù)，得Iny=ln(a-x")=lna+Z?lnx,

令M=lnx,v=lny,c=lna,則丫=。+次/,這就是線(xiàn)性回歸方程，由所給公式數(shù)據(jù)計(jì)算出系數(shù)，得線(xiàn)性回歸方程,

從而可求得y=

111

②求出收益z=3y-x=3x36x^-x=108x^—x,可設(shè)/=戶(hù)換兀后用導(dǎo)數(shù)求出最大值?

【詳解】

解：(1)設(shè)每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售利潤(rùn)為X,則X的可能取值為-0.8,4,6.由頻率分布直方圖可得產(chǎn)品為劣質(zhì)品、優(yōu)

等品、特優(yōu)品的概率分別為0.25、0.65、0.1.

所以P(X=—0.8)=025；P(X=4)=0.65；P(X=6)=0.1.所以X的分布列為

X-0.846

p0.250.650.1

所以E(X)=(—0.8)x0.25+4x0.65+6x0.1=3(元).

即每件產(chǎn)品的平均銷(xiāo)售利潤(rùn)為3元.

(2)①由y=a.f,得Iny=ln(a.x")=lna+blnx,

令M=lnx,v=Iny,c=lna,貝！Jv=c+加，

5

V(u.-v)

0.54_1

由表中數(shù)據(jù)可得b='--------------

￡(%-方『L62-3

i=\

八23411635

則2=萬(wàn)一匕萬(wàn)=^——x-^=4.68-1.09=3.59,

535

11(1A

所以C=3.59+—a,即lng=3.59+—lnx=lne3'59?%3,

33

因?yàn)槿　?59=36,所以夕=36，，故所求的回歸方程為>=36).

、_11

②設(shè)年收益為‘萬(wàn)兀，貝!Jz=3y-x=3x36/-x=108x^—x

令f=［〉0，貝Uz=108"/,z'=108-3/=一3僅2一36),當(dāng)0</<6時(shí)，z'>0,

當(dāng)r>6時(shí)，z'<0,所以當(dāng)。=6,即x=216時(shí)，z有最大值432.

即該企業(yè)每年應(yīng)該投入216萬(wàn)元營(yíng)銷(xiāo)費(fèi)，能使得該企業(yè)的年收益的預(yù)報(bào)值達(dá)到最大，最大收益為432萬(wàn)元.

【點(diǎn)睛】

本題考查頻率分布直方圖，考查隨機(jī)變量概率分布列與期望，考查求線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程，及回歸方程的應(yīng)用.在求指

數(shù)型回歸方程時(shí)，可通過(guò)取對(duì)數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為求線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程，然后再求出指數(shù)型回歸方程.

20、(1)夕2_62cos?！?2sin￡+4=0,表示圓心為(3,1),半徑為2的圓；(2)竽+2

【解析】

(1)根據(jù)參數(shù)得到直角坐標(biāo)系方程(尤-3)2+(y-1)2=4,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程得到答案.

(2)直線(xiàn)方程為y-2x=l,計(jì)算圓心到直線(xiàn)的距離加上半徑得到答案.

【詳解】

x=3+2cos。，、2,、2、、

(1)\,即(x—3「+(y—1~=4,化簡(jiǎn)得至！J：7+9―6x—2y+4=0.

y=1+2sin?'''7

即02—6℃os?！?2sin?+4=0,表示圓心為(3,1),半徑為2的圓.

(2)sin，—2COS6=L,即V—2X=1,圓心到直線(xiàn)的距離為d=二=述.

PV55

故曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到直線(xiàn)I的最大距離為4+廠(chǎng)=述+2.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，直線(xiàn)和圓的距離的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

21、(1)單調(diào)增區(qū)間(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(—8,0),(2,+8)；(2)有2個(gè)零點(diǎn)，證明見(jiàn)解析；(3)c<-

【解析】

(1)對(duì)函數(shù)〃尤)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)(%)的正負(fù)判斷函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間即可；

2

⑵函數(shù)g(x)=I(x20)有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理即可證明；

(3)記函數(shù)2x)=/(x)—(x—工)=工一x+工,x〉0,求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得產(chǎn)⑴?F(2)<0，由零點(diǎn)存在性定理及單

xexx

調(diào)性知存在唯一的毛6(1,2),使口(Xo)=O,求得網(wǎng)龍)為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論：①當(dāng)》>/時(shí)，利用函數(shù)的單

調(diào)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2c<“x：的問(wèn)題;②當(dāng)0<》<不時(shí)，當(dāng)cWO時(shí),勿⑴>0在(0,%)上恒成立，從而求得c的取

值范圍.

【詳解】

⑴由題意知心)2x,e"—="e"x(2—」九)列表如下：

X(-8,0)0(0,2)2(2,+8)

/'(x)—0+0—

/(x)極小值T極大值

所以函數(shù)/(%)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(-8,0),(2,+8).

X_..

(2)函數(shù)g(%)=-----冽,(冗20)有2個(gè)零點(diǎn).證明如下：

ex

44

因?yàn)?<相<下時(shí)，所以g(2)=下—根〉0,

ee

因?yàn)間⑴=，所以g(x)>0在(0,2)恒成立,g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,

由g(2)>0,g(0)=-7〃<0,且g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增且連續(xù)知，

函數(shù)g(x)在(0,2)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，

由(1)可得x20時(shí),〃x)W/(2)=/(x)1mx,

V24

即上故xNO時(shí)，優(yōu)>/,

e*金

由">必得弟〉百，平方得弟〉耳，所以g(吃)<0,

mm7m

因?yàn)間'⑺=x(j「),所以g'(x)<0在(2,a)上恒成立，

44

所以函數(shù)gO)在(2,a)上單調(diào)遞減，因?yàn)?<機(jī)</,所以赤〉2,

由g(2)>0,g(靠)<0,且g(x)在(2,一)上單調(diào)遞減且連續(xù)得

g(x)在(2,+co)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，

X2

綜上可知：函數(shù)g(%)=-—m,(120)有2個(gè)零點(diǎn).

ex

1X21

(3)記函數(shù)尸(%)=/(%)—(%—士)=L—九+±,%〉0,下面考察方(%)的符號(hào).

xexx

求導(dǎo)得/(x)=M2：x)—1一A，工〉。.

ex

當(dāng)％之2時(shí)尸(x)<0恒成立.

當(dāng)0<x<2時(shí)，因?yàn)?lt;(2_x)V[X+(2-x)2=],

2

所以Ff(x)=l(2<X)=--y<0.

ex~ex~xx

k(x)<0在(0,+s)上恒成立，故E(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

143

VF(l)=->0,F(2)=---<0,AF(l)-F(2)<0,又因?yàn)榇?x)在工2]上連續(xù),

ee2

所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理得存在唯一的/e(1,2),使E(x0)=0,

:.x€(0,x0),F(x)>0;xG(x0,+co),F(x)<0,

因?yàn)镮尸（%）|=X----/（X），所以旗x）=<X

X2