專題04 全等基本類型（解析版）

專題04全等基本類型實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練一．一線三角類1．如圖，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S是50．試題分析：由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF＝∠ABG，而AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，由此可以證明△EFA≌△ABG，所以AF＝BG，AG＝EF；同理證得△BGC≌△DHC，GC＝DH，CH＝BG，故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16，然后利用面積的割補(bǔ)法和面積公式即可求出圖形的面積．答案詳解：解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH?∠FED＝∠EFA＝∠BGA＝90°，∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°?∠EAF＝∠ABG，∴AE＝AB，∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG?△EFA≌△ABG∴AF＝BG，AG＝EF．同理證得△BGC≌△DHC得GC＝DH，CH＝BG．故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16故S=12（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝所以答案為50．2．如圖，直線l過正方形ABCD的頂點(diǎn)B，點(diǎn)A、C到直線l的距離AE、CF分別是2cm、3cm，則線段EF的長為5cm．試題分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出AB＝BC、∠ABC＝90°，由垂直的定義結(jié)合角的計(jì)算即可得出∠EAB＝∠FBC，利用全等三角形的判定定理AAS即可找出△ABE≌△BCF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出BE＝CF＝2cm、BF＝AE＝1cm，由EF＝BE+BF代入數(shù)據(jù)即可算出結(jié)論．答案詳解：解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°．∵AE⊥l，CF⊥l，∴∠E＝∠F＝90°，∠EAB+∠ABE＝90°，∠FBC+∠BCF＝90°．∵∠ABE+∠ABC+∠FBC＝180°，∴∠ABE+∠FBC＝90°，∴∠EAB＝∠FBC．在△ABE和△BCF中，∠E=∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF＝3cm，BF＝AE＝2cm，∴EF＝BE+BF＝3+2＝5cm．所以答案為：5．3．如圖，點(diǎn)B，C，D共線，∠C＝∠ABE＝∠D＝90°，BC＝DE．（1）求證：AB＝BE；（2）連接AE，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c．求證：a2+b2＝c2．試題分析：（1）根據(jù)AAS證明△ABC≌△BED即可得結(jié)論；（2）由△ABC≌△BED，可得AC＝BD＝b，BC＝DE＝a，AB＝BE＝c，再根據(jù)三角形的等面積法即可得結(jié)論．答案詳解：（1）證明：∵∠ABE＝90°∴∠ABC+∠EBD＝90°∵在△ABC中，∠C＝90°∴∠ABC+∠A＝90°∴∠EBD＝∠A，在△ABC與△BED中，∠EBD=∴△ABC≌△BED（AAS），∴AB＝BE；（2）證明：由（1）可得△ABC≌△BED，∴AC＝BD＝b，BC＝DE＝a，AB＝BE＝c，由面積法可知：S梯形ACDE＝S△ABC+S△BDE+S△ABE＝ab+12cS梯形ACDE=12（AC+DE）（BC+BD）=12（a+∴ab+12c2=12（a+∴a2+b2＝c2．4．如圖（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E．（1）求證：DE＝AD+BE．（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，DE、AD、BE又怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，不必說明理由．試題分析：（1）由條件可證明△ADC≌△CEB，再利用線段的和差可證得結(jié)論；（2）同（1）的方法可證得結(jié)論．答案詳解：（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE．在△ADC和△CEB中∠ADC=∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝DC+CE＝BE+AD；（2）解：DE＝AD﹣BE，證明：在△ADC和△CEB中，∠ADC=∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．二．平移翻折類5．如圖在△AFD和△CEB中，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，有下面四個(gè)論斷：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）∠B＝∠D；（4）AD∥BC．請(qǐng)用其中三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，編一道數(shù)學(xué)問題，并寫出解答過程．試題分析：答案不唯一，如：已知：如圖，在△AFD和△CEB中，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AD＝CB，AE＝CF，AD∥BC．求證：∠B＝∠D．只要證明△AFD≌△CEB即可；答案詳解：答案不唯一，如：解：已知：如圖，在△AFD和△CEB中，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，AD＝CB，AE＝CF，AD∥BC．求證：∠B＝∠D．證明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C．∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即：AF＝CE．∵在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠C∴△AFD≌△CEB∴∠B＝∠D．6．如圖，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．求證：（1）△ABF≌△DCE；（2）AF∥DE．試題分析：（1）先由平行線的性質(zhì)得∠B＝∠C，從而利用SAS判定△ABF≌△DCE；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠AFB＝∠DEC，由等角的補(bǔ)角相等可得∠AFE＝∠DEF，再由平行線的判定可得結(jié)論．答案詳解：證明：（1）∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵BE＝CF，∴BE﹣EF＝CF﹣EF，即BF＝CE，在△ABF和△DCE中，AB=DC∠B=∠C∴△ABF≌△DCE（SAS）；（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，∴∠AFE＝∠DEF，∴AF∥DE．7．已知：如圖，點(diǎn)B、C、D、E在一條直線上，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC．求證：（1）△ABC≌△FED；（2）AC∥FD．試題分析：（1）根據(jù)BD＝EC，即可得出BC＝ED．根據(jù)SAS即可判定△ABC≌△FED，（2）由全等三角形的性質(zhì)可得到∠ACB＝∠FDE，進(jìn)而得出AC∥DF．答案詳解：證明：（1）∵BD＝EC，∴BC＝ED．在△ABC和△FED中，AB=FE∠B=∠E∴△ABC≌△FED（SAS）．（2）∵△ABC≌△FED，∴∠ACB＝∠FDE，∴AC∥DF．8．已知：如圖，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．求證：AE＝CF．試題分析：根據(jù)SAS證明△ABF≌△CDE（SAS），推出AF＝CE，可得結(jié)論．答案詳解：證明：在△ABF和△CDE中，BA=DC∠B=∠D∴△ABF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE，∴AE+EF＝EF+CF，∴AE＝CF．9．如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上（點(diǎn)F，C之間不能直接測(cè)量），點(diǎn)A，D在直線l的異側(cè)，測(cè)得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝13m，BF＝4m，求FC的長度．試題分析：（1）先證明∠ABC＝∠DEF，再根據(jù)ASA即可證明．（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．答案詳解：（1）證明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，∴AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC與△DEF中，∠ABC=∴△ABC≌△DEF（AAS）；（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝13m，BF＝4m，∴FC＝13﹣4﹣4＝5m．三．（平移）旋轉(zhuǎn)類10．如圖，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上兩點(diǎn)，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，則AD的長為（）A．a(chǎn)+c B．b+c C．a(chǎn)﹣b+c D．a(chǎn)+b﹣c試題分析：只要證明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，推出AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c；答案詳解：解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE，∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，∵EF＝c，∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c，所以選：D．11．如圖，在△ABC與△ADE中，AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，連接CD、BE，取BE中點(diǎn)F，連接AF．（1）求證：BC＝DE；（2）猜想線段AF、CD之間的數(shù)量關(guān)系，說明理由．試題分析：（1）證明△BAC≌△DAE（SAS），可得結(jié)論．（2）結(jié)論：CD＝2AF．延長F到H，使得FH＝AF，連接BH，EH．利用全等三角形的性質(zhì)證明CD＝AH，即可解決問題．答案詳解：（1）證明：∵AB⊥AD，AC⊥AE，∴∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB=AD∠BAC=∠DAE∴△BAC≌△DAE（SAS），∴BC＝DE．（2）解：結(jié)論：CD＝2AF．理由：延長F到H，使得FH＝AF，連接BH，EH．∵AF＝FH，BF＝FE，∴四邊形ABHE是平行四邊形，∴AB＝HE＝AD，AB∥EH，∵AB⊥AD，∴EH⊥AD，∴∠AEH+∠EAD＝90°，∵∠EAD+∠CAD＝90°，∴∠AEH＝∠CAD，在△AEH和△CAD中，EA=AC∠AEH=∠CAD∴△AEH≌△CAD（SAS），∴AH＝CD，∵AH＝2AF，∴CD＝2AF．12．如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC邊上一點(diǎn)，以AD為邊向右作等邊△ADE，連接CE．求證：（1）△ABD≌△ACE；（2）AB∥CE．試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得到AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，然后即可得到較BAD＝∠CAE，再根據(jù)SAS即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和平行線的判定，可以得到AB∥CE．答案詳解：證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，△ADE是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠ACE，∵∠B＝60°，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝120°，∴∠B+∠BCE＝180°，∴AB∥CE．13．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，連接DE交AC于點(diǎn)F．（1）若∠B＝80°，求∠C的度數(shù)；（2）若AE＝AC，DA平分∠BDE是否成立？請(qǐng)說明理由．試題分析：（1）先由AD＝AB得到∠B＝∠ADB，然后由∠B＝80°求得∠BAD的大小，再求出∠CAE的大小，最后利用AE∥BC求得∠C的度數(shù)；（2）先由∠BAD＝∠CAE得到∠BAC＝∠DAE，然后結(jié)合AB＝AD、AC＝AE得證△ABC≌△ADE，進(jìn)而得到∠B＝∠ADE，再結(jié)合∠ABD＝∠ADB得到∠ADB＝∠ADE，最后得到DA平分∠BDE．答案詳解：解：（1）∵∠B＝80°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝80°，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∴∠BAD＝20°，∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE＝20°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝20°．（2）AD平分∠BDE，理由如下，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，AB=AD∠BAC=∠DAE∴△BAC≌△DAE（SAS），∴∠B＝∠ADE，∵∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，∴AD平分∠BDE．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D，已知DE＝4，AD＝6，則BE的長為2．試題分析：由BE⊥CE，AD⊥CE，∠ACB＝90°，可得∠ACD＝∠CBE，然后根據(jù)AAS證出△ACD≌△BCE，得出BE＝CD，AD＝CE，再根據(jù)DE＝4，AD＝6，即可求解．答案詳解：解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△ACD與△CBE中，∠ACD=∴△ACD≌△CBE（AAS），∴BE＝CD，AD＝CE，∵DE＝4，AD＝6，∴BE＝CD＝CE﹣DE＝6﹣4＝2．所以答案為：2．15．如圖，點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，AC∥BE，BC＝BE，∠ABC＝∠E．（1）求證：△ABC≌△DEB；（2）若BE＝9，AC＝4，求CD的長．試題分析：（1）先利用平行線的性質(zhì)得∠C＝∠DBE，再根據(jù)“ASA”可證明△ABC≌△DEB；（2）結(jié)合（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BC＝BE＝9，AC＝BD＝4，進(jìn)而可得結(jié)果．答案詳解：（1）證明：∵AC∥BE，∴∠C＝∠DBE．在△ABC和△DEB中，∠C=∴△ABC≌△DEB（ASA）；（2）解：∵△ABC≌△DEB，∴BC＝BE＝9，AC＝BD＝4，∴CD＝BC﹣BD＝9﹣4＝5．四．中點(diǎn)+平行16．如圖，已知AC與BF相交于點(diǎn)E，AB∥CF，點(diǎn)E為BF中點(diǎn)，若CF＝6，AD＝4，則BD＝2．試題分析：利用全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理可得結(jié)果．答案詳解：解：∵AB∥CF，∴∠A＝∠FCE，∠B＝∠F，∵點(diǎn)E為BF中點(diǎn)，∴BE＝FE，在△ABE與△CFE中，∠A=∴△ABE≌△CFE（AAS），∴AB＝CF＝6，∵AD＝4，∴BD＝2，所以答案為：2．17．如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，且O是AB的中點(diǎn)，AC∥BD．求證：O是CD中點(diǎn)．試題分析：根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證得△ACO≌△BDO，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得結(jié)論答案詳解：證明：因?yàn)锳C∥BD，所以∠A＝∠B，因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)A＝OB．在△AOC和△BOD中，∠A=所以△AOC≌△BOD（ASA）．所以O(shè)C＝OD，即O是CD中點(diǎn)．五．對(duì)稱類18．已知：如圖，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC、BD相交于點(diǎn)E．求證：∠ABE＝∠DCE．試題分析：根據(jù)“AAS”判定△ABE≌△DCE即可證得結(jié)論．答案詳解：證明：在△ABE和△DCE中，∠A=∴△ABE≌△DCE（AAS），∴∠ABE＝∠DCE．19．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，角平分線BD、CE相交于點(diǎn)O．求證：OA平分∠BAC．試題分析：利用等腰三角形的定義、性質(zhì)以及角平分線的定義證明OB＝OC，進(jìn)而判定△ABO≌△ACO即可證得結(jié)論．答案詳解：證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD、CE分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠CBD=12∠ABC，∠BCE=1∴∠CBD＝∠BCE，∴OB＝OC，在△ABO和△ACO中AB=ACAO=AO∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠BAO＝∠CAO，即OA平分∠BAC．20．已知如，圖，四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，求證：∠A＝∠C．試題分析：連接BD，已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，加之一個(gè)公共邊BD，則可利用SSS判定△ABD≌△CBD，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可證得．答案詳解：證明：連接BD，∵AB＝CB，BD＝BD，AD＝CD，∴△ABD≌△CBD（SSS）．∴∠A＝∠C．21．如圖，AC、DB相交于點(diǎn)O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．求證：（1）AO＝DO；（2）∠OBC＝∠OCB．試題分析：（1）由已知條件，結(jié)合對(duì)頂角相等可以利用AAS判定△ABO≌△DCO；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OB＝OC，再由等邊對(duì)等角得結(jié)論．答案詳解：證明：（1）在△ABO和△DCO中，∠AOB=∴△ABO≌△DCO（AAS），∴AO＝DO；（2）由（1）知，△ABO≌△DCO，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．六．半角模型22．（1）如圖①，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、DC上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，連接EF，探究BE、DF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、DC上的點(diǎn)，且∠EAF=12∠BAD，此時(shí)（試題分析：（1）延長CB到M，使得BM＝DF，連接AM，證明△ADF≌△ABM，然后再證明△EAM≌△EAF，進(jìn)而得證；（2）延長CB到M，使得BM＝DF，連接AM，先證明△ADF≌△ABM，再證明EAM≌△EAF，進(jìn)而得證．答案詳解：解：（1）如圖1，EF＝BE+DF，理由如下：延長CB到M，使得BM＝DF，連接AM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，又∵BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵∠EAF＝45°，∴∠1+∠3＝45°，∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF，（2）如圖2，EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：延長CB到M，使得BM＝DF，連接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，∴∠D＝∠4，又∵AB＝AD，BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵∠EAF=∴∠1+∠3＝∠EAF，∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF．七．手拉手23．如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝40°，連接BD、CE．（1）求證：BD＝CE；（2）延長BD、CE交于點(diǎn)P．求∠BPC的度數(shù)．試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明△BAD≌△CAE，即可解決問題；（2）結(jié)合（1）根據(jù)對(duì)頂角相等即可得∠BPC的度數(shù)．答案詳解：（1）證明：∵△ABC和△ADE是等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠AMB＝∠PMC，∴∠BPC＝∠BAC＝40°．24．已知：如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)A、C、E在一條直線上，AD與BE相交于點(diǎn)P，AD與BC相交于點(diǎn)M，BE與CD相交于點(diǎn)N．求證：（1）∠CAM＝∠CBN；（2）CM＝CN．試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和題意，可以得到△ACD≌△BCE的條件，從而證明△ACD≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和可以求得∠APB的度數(shù)；（3）證得△ACM≌△BCN，就可以證得結(jié)論．答案詳解：證明：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAM＝∠CBN