安徽省池州市2024屆高三第一次模擬聯(lián)合檢測數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

安徽省池州市第一中學(xué)2024屆高三第一次模擬聯(lián)合檢測數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,2,4,5},8={2,3,6},則韋恩圖中陰影部分表

示的集合為()

A.{2,5}B.{2,6}C.{3,6}D.{2,3,6}

2.在等差數(shù)列{〃“}中，%+/=24,%=15,則%=()

A.4B.5C.6D.8

3.已知向量a=(l,l),b=(2,4),若0與6的夾角為。，則()

AM口M「3回n3加

A.-------D.-------U.----------------------D.-

10101010

4.2024年1月27日國家統(tǒng)計局發(fā)布的2023年各月累計利潤率與每百元營業(yè)收入中的

成本數(shù)據(jù)如圖所示，則()

=每百元營業(yè)收入中的成本

一各月累計利潤率

A.從每百元營業(yè)收入中的成本中，剔除最大與最小2個數(shù)據(jù)后的中位數(shù)與剔除前的

數(shù)據(jù)的中位數(shù)不相同

B.2023年各月累計利潤率的60%分位數(shù)為5.455%

C.每百元營業(yè)收入中的成本與各月累計利潤率是同步增大或減少的

D.每百元營業(yè)收入中的成本1-4月份的比1-9月份的大

5.已知拋物線。：丁=2°底°＞0）的焦點為尸，過點尸的直線/：x+2y=l交C于A8兩

點.過AB作直線4"=-3的垂線，垂足分別為加耳，貝l]|A4,|+忸聞=（）

A.16B.18C.20D.24

6.己知函數(shù)/（同=25叫8+。）[。＞0,網(wǎng)＜會的部分圖像如圖所示，則（）

B.點[豆,0）是/⑺的對稱中心

C.仆）在區(qū)間C上單調(diào)遞減

D.當(dāng)x高時，“X）的值域為（"2]

7.植樹節(jié)這天，某學(xué)校組織5名學(xué)生依次給樹木澆水，其中甲和乙是好朋友，必須相

鄰，丙不在第三位，則不同的澆水順序的種數(shù)為（）

A.30B.36C.40D.42

8.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點定理，它可應(yīng)用

到有限維空間，并構(gòu)成了一般不動點定理的基石.簡單來說就是對于滿足一定條件的連

續(xù)函數(shù)/（X）,存在一個點%,使得/（5）=%,那么我們稱/（無）為“不動點”函數(shù).若

“X）存在”個點%（，=1,2,…，滿足〃％）=%,則稱/'（X）為"〃型不動點”函數(shù)，則下

列函數(shù)中為“3型不動點”函數(shù)的是（）

A./(x)=l-InxB./(x)=5-lnx-ev

產(chǎn)

462

C.“X”rD.f(x)=2sinx+2cosx

二、多選題

9.下列命題是真命題的是（）

A.若,貝（Jac＞歷B.若a>6>0,貝！J/〉匕3

試卷第2頁，共6頁

C.若lna>lM,貝|工<\D.若。+26=2,則2。+“24

ab~

10.已知正方體ABC。-A4G0的棱長為1,P是側(cè)面ABB圈內(nèi)的一個動點，三棱錐

尸-8G。的所有頂點均在球。的球面上，則()

A.平面尸ACJ■平面8CQ

B.點尸到平面BGD的距離的最大值為也

2

C.當(dāng)點尸在線段A片上時，異面直線釬與BG所成的角為T

D.當(dāng)三棱錐尸-BG。的體積最大時，球。的表面積為2%

H.已知函數(shù)〃X)=占+：7,設(shè)占,工2，斗是曲線>=/("與直線的三個交點

的橫坐標(biāo)，且西〈尤2<W，貝I()

A.存在實數(shù)。，使得尤2-玉>1B.對任意實數(shù)。，都有退-玉>3

C.存在實數(shù)。，使得X3-%>3D.對任意實數(shù)。，都有忍一%>1

三、填空題

2

12.若復(fù)數(shù)z=2+i,貝?。?-=_______.

z-1

13.如圖所示的“升”是我國古代測量糧食的一種容器，從形狀上可抽象成一個正四棱

臺.現(xiàn)有一個上、下底面邊長分別為20cm和10cm的“升”，側(cè)棱長為15cm,要做成一

個該“升”的幾何體，其側(cè)面所需板材的最小面積為cm2.

14.在ABC中，AB=2AC,A3是一A的角平分線，且ABC的面積為1,當(dāng)BC最短時,

AD_

~AC~------

四、解答題

15.設(shè)函數(shù)〃"=/一"+4

⑴當(dāng)a=l時，求曲線y=/(x)在點(0,〃0))處的切線方程;

(2)當(dāng)尤20時，若/(x)<a恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

16.“十四冬”群眾運動會于2024年1月13日至14日在呼和浩特市舉辦，有速度滑冰、

越野滑雪等項目，參加的運動員是來自全國各地的滑冰與滑雪愛好者.運動會期間，運

動員與觀眾讓現(xiàn)場熱“雪”沸騰，激發(fā)了人們對滑冰等項目的熱愛，同時也推動了當(dāng)?shù)厣?/p>

會經(jīng)濟的發(fā)展.呼和浩特市某媒體為調(diào)查本市市民對“運動會”的了解情況，在15~65歲

的市民中進行了一次知識問卷調(diào)查(參加者只能參加一次).從中隨機抽取100人進行

調(diào)查，并按年齡群體分成以下五組：[15,25),[25,35)/35,45),[45,55),[55,65],繪制得到

了如圖所示的頻率分布直方圖，把年齡在區(qū)間[15,35)和[35,65]內(nèi)的人分別稱為“青少年

⑴若“青少年群體”中有40人關(guān)注“運動會”，根據(jù)樣本頻率分布直方圖完成下面的2x2列

聯(lián)表,并根據(jù)小概率值&=0.01的獨立性檢驗，判斷關(guān)注“運動會”是否與年齡樣體有關(guān)；

運動會

年齡群體合計

關(guān)注不關(guān)注

青少年群體40

中老年群體

合計6040100

(2)利用按比例分層抽樣的方法，在樣本中從關(guān)注“運動會”的“青少年群體”與“中老年群

體”中隨機抽取6人，再從這6人中隨機選取3人進行專訪.設(shè)這3人中“青少年群體”

的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)2

附：/其中〃=〃+

(Q+〃)(c+d)(Q+c)(Z?+d)，b+c+d.

試卷第4頁，共6頁

a0.050.010.001

Xa3.8416.63510.828

17.如圖①，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，一E4B與是兩個全等的直角三

角形，且E4=4,FC與AD交于點G,將Rt^E鉆與RtaE4D分別沿A8,AT>翻折，使

E,尸重合于點尸，連接PC,得到四棱錐P-ABCD,如圖②，

(1)證明：BD1PC；

⑵若M為棱尸C的中點，求直線BM與平面PCG所成角的正弦值.

22

18.如圖，已知雙曲線C:二-*=l(a>0,6>0)的離心率為2,點在c上，A,B

ab

為雙曲線的左、右頂點，尸為C右支上的動點，直線相和直線x=l交于點N,直線NB

交C的右支于點Q.

⑴求C的方程；

⑵探究直線PQ是否過定點，若過定點，求出該定點坐標(biāo)；否則，請說明理由;

(3)設(shè)H,邑分別為，ABN和ANPQ的外接圓面積，求的取值范圍.

19.定義：若對VkeN*,12,4_+%+142久恒成立，則稱數(shù)列｛%｝為“上凸數(shù)列”.

(1)若為=47=1,判斷｛%｝是否為“上凸數(shù)列”，如果是，給出證明；如果不是，請說

明理由.

(2)若｛。"｝為"上凸數(shù)列”，則當(dāng)32"+2(%,〃eN*)時,

am+a?<am-\+an+l?

(i)若數(shù)列S,為｛%｝的前"項和，證明：S?>|(?1+a?)；

(ii)對于任意正整數(shù)序列%,%，W，，冷，居(〃為常數(shù)且“22/eN*),若

恒成立，求2的最小值.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.c

【分析】易得陰影部分表示的集合為(gA)cB,再根據(jù)補集和交集的定義即可得解.

【詳解】由題意得電A={3,6,7},3={2,3,6},

陰影部分表示的集合為&A)8={3,6}.

故選：C.

2.C

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,因為氏+%=24=24,&=12,%=15,所以公差

d=3,&=4-2d—6.

故選：C

3.A

【分析】利用平面向量夾角的坐標(biāo)表示及誘導(dǎo)公式計算即可.

a-bIx2+lx43「］

【詳解】由題意得儂*麗=聲中=正［0，可，

故選：A

4.D

【分析】利用中位數(shù)、百分位數(shù)的定義及圖象一一判定選項即可.

【詳解】對A,將每百元營業(yè)收入中的成本數(shù)據(jù)從小到大排列，第6個數(shù)據(jù)為中位數(shù),

剔除最大與最小2個數(shù)據(jù)后的中位數(shù)不改變，故A錯誤；

對B,2023年各月累計利潤率共有11個數(shù)據(jù)，所以11x60%=6.6,

所以60%分位數(shù)為5.52%,故B錯誤；

對C,2023年1-6月份的累計利潤率為5.41%,1-7月份的累計利潤率為5.39%,

1-8月份的累計利潤率為5.52%,但1-6月份的每百元營業(yè)收入中的成本為85.23元，

1-7月份的每百元營業(yè)收入中的成本為85.22元，

1-8月份的每百元營業(yè)收入中的成本為85.17元，所以不是同步，故C錯誤；

答案第1頁，共17頁

對D,由圖數(shù)據(jù)可知，顯然D正確.

故選：D

5.D

【分析】先通過x+2y=l和,軸的交點為（1,0）,得出“1,0）,即三=1，從而確定拋物線方

程為V=4x,然后根據(jù)拋物線的定義即得|用|+忸4|=（|AF|+2）+（忸同+2）=|陰+4,最后

聯(lián)立，J：；：'得/一i8x+l=0,通過|4同=/，|%-司并結(jié)合韋達(dá)定理即可得到結(jié)果.

【詳解】在x+2y=l中，令產(chǎn)0,得x=l,所以—1,0）,即5=1，所以。=2,

所以C的方程為V=4x,則|A4j+忸聞=（|AF|+2）+（忸川+2）=|陰+4.

丁二得41%?—2x+1

設(shè)3（孫為），聯(lián)立BPX2-18X+1=0,

所以玉+%=18,玉工2=1.

2

又M同=J1+J%一x?|1+J?J(X]+31=后-V18-4=20,所以

|A4j+網(wǎng)=20+4=24.

故選：D.

6.A

【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)/（尤）的解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各個選項.

TT（2兀\37r3

【詳解】由圖知有一一〒=7=7兀所以周期7=兀.

，乙VJJ??

__兀7L兀

又因為。〉0,所以0=2,當(dāng)天=一時，GX+0=—+0=—+2E,左￡Z,

1262

所以°=g+2MaeZ.又因為所以夕=方，即〃x）=2sin（2x+T.

對于選項A,當(dāng)片白時，2x+［用，/信）=-2,所以直線苫=稱是小）的對稱軸,

故A正確；

對于選項B,當(dāng)彳=藉時，2x+^=~,所以點［蔣,0）不是的對稱中心，故B錯誤;

對于選項C,當(dāng)時，+由正弦函數(shù)可知，"％）在區(qū)間■，學(xué)

上不單調(diào)遞減，故C錯誤;

答案第2頁，共17頁

對于選項D,當(dāng)xj-不彳]時,2x+—ef—-j,f(%)的值域為(1,2],故D錯誤.

故選：A.

7.C

【分析】分丙在第一或第五位，在第二位或第四位，兩種情況，求出澆水順序，相加得到答

案.

【詳解】若丙在第一或第五位，甲乙進行捆綁，內(nèi)部可以全排列，

甲乙看作一個整體，和剩余的兩個學(xué)生進行全排列，

故不同的澆水順序有2A；A；=24種，

若丙在第二位或第四位，甲乙進行捆綁，內(nèi)部可以全排列,且甲乙只能有兩個位置可以選擇，

再將剩余的兩為同學(xué)進行排列，

則不同的澆水順序有2x2A；A；=16種，

則不同的澆水順序共有24+16=40種.

故選：C

8.D

【分析】結(jié)合“不動點”函數(shù)的概念，轉(zhuǎn)化為方程/(x)=x有根或?qū)?yīng)函數(shù)>=/(x)-%有零

點的問題，依次求解判斷各個選項.

【詳角單】對于A,令/(x)=l-lnx=Mx>0),EPx+lnx-l=0.

因為y=x+ir?-i滿足y'=i+，>。，所以y=X+1I?T在區(qū)間(。,+°°)上單調(diào)遞增，

所以f(x)不可能為“3型不動點”函數(shù)，故A錯誤；

對于B,令尤)=5-lnx—e"=x,即無+lm:+e*-5=0.

易判斷y=x+lnx+eX-5在區(qū)間(0,+<?)上單調(diào)遞增，

所以/'(X)不可能為“3型不動點”函數(shù)，故B錯誤；

對于C,由〃制=”:，得尸(同=42焊2,

XX

易知當(dāng)x<0時，r(x)<0J(x)單調(diào)遞減，且/(力<0,所以當(dāng)x<0時，f(x)=?的圖

象與直線y=x有且只有一個交點;

答案第3頁，共17頁

當(dāng)0<x<l時，f'(x)<OJ(x)單調(diào)遞減,M/(1)=->1;

當(dāng)尤>1時，尸(x)>O,〃x)單調(diào)遞增.令〃力=1,得企粵1=1,解得x=2,此時

42)=2,所以直線y=x與曲線〃司=牛相切于點(2,2).

所以直線y=x與曲線〃x)=￡:共有兩個交點，所以“X)為“2型不動點”函數(shù)，故C錯

誤；

々/

y=f?/

4

-

e

O

對于D,〃x)=2siru+2cosx=2^sin[x+m，作出/(x)的圖象，如圖所示.易知其與直

線y=x有且只有三個不同的交點，

即2sinr+2cosx=x有三個不同的解，所以/(x)=2sinx+2cos%為“3型不動點”函數(shù)，故D正

確.

【點睛】方法點睛：根據(jù)“不動點”函數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化為方程/(x)=x有解問題，可直接求方

程的根，或者利用零點存在性定理判斷，也可構(gòu)造新函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)的零點

問題，有時還可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點問題.

9.BCD

【分析】對A,舉反例說明；對B,作差〃一步因式分解判斷;對c,由ina>lnb,得a>b>0,

可判斷；對D,利用基本不等式求解判斷.

【詳解】對于A,當(dāng)cWO時，ac>秘不成立，故A錯誤；

答案第4頁，共17頁

對于B,由a>5>0,得〃3—03=(〃—勾.(4+"+廿)〉。，所以〃3>以故B正確;

對于C,由lna>lnb,得d>6>0,所以。<工<，，故C正確；

ab

對于D,因為。+2/?=2,所以2"+4"22J2"?4'=2422?"=2及"2b=4，當(dāng)且僅當(dāng)2"=4"，

即a=1,6=!時，等號成立，

故D正確.

故選：BCD.

10.AC

【分析】連接ACM,證明1平面AAC,則AC_LBD,再證明ACLCQ,根據(jù)線面

垂直的判定定理可得AC平面BCQ，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可判斷A；以點A為

坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可判斷B；證明4月//0。，則N2GD即為

所求，解BCD即可判斷C；結(jié)合B選項可得三棱錐的外接球即為正方體

ABCD-ABiGA的外接球，即可判斷D.

【詳解】對于A,連接AC,8￡>,則BD_LAC,

因為44]_L平面ABCD,BZ)u平面ABC。，所以

又441cAe=A,AA，ACu平面AAC,所以加平面AAC,

又ACu平面AAC,所以

同理可得AC，G。，

又a。門2。=￡>,6。,8。匚平面2^。，所以AC,平面BCQ,

因為A(u平面PA。，所以平面PAC,平面BCQ,故A正確；

對于B,如圖，以點A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，

^P(x,0,z)(0<x<l,0<z<l),

所以8(1,0,0),C。,1,0),A(0,0,1),

由A選項可知平面8CQ的一個法向量為AC=(1,1,-1),

答案第5頁，共17頁

\-l-z\

AC-BP1x1

又第=（x-1,0,z）,所以點夕到平面BCXD的距離為d=?函?=

所以當(dāng)x=0,z=l時，d”當(dāng)，故B錯誤；

對于C,連接CQ,因為A￡>〃與G且AO=8G，所以四邊形ABC。是平行四邊形,

所以ABJ/CQ,

則當(dāng)點尸在線段A片上時，

異面直線AP與8G所成的角即為異面直線AB,與BC,所成的角，即NBCQ,

因為為等邊三角形，所以

即異面直線AP與BG所成的角為三，故C正確；

對于D,當(dāng)三棱錐尸-BG。的體積最大時，點尸到平面BCQ的距離最大，

由B選項可知當(dāng)點尸與點A重合時，

三棱錐尸-BCQ為正四面體A-8CQ,且其棱長為血，

其外接球即為正方體ABCD-ABCa的外接球，

所以外接球的半徑為孝，所以球。的表面積為S=47txj*]=3兀，故D錯誤.

故選：AC.

11.ACD

【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性后可得函數(shù)的圖形，結(jié)合圖象、極限思想可判斷

AC的正誤，利用作差法可判斷BD的正誤.

【詳解】函數(shù)"X）的定義域為（一。-1）。（-1,0）7（1,+力），

答案第6頁，共17頁

故函數(shù)/（x）在（7,—1）5-1,0）。（1,+力）上均單調(diào)遞減,

故/（X）的圖象如圖所示，

對于選項AC,由圖象有為<-1<電<0<%，

考慮到觸/（尤）=+°°，蚣/（尤）=-°°,且函數(shù)圖象的漸近線為x=-l,

于是存在實數(shù)a使得馬-網(wǎng)>1，存在實數(shù)。使得尤3-3>3,故AC正確;

對于選項BD,/(l+x2)-/(x2)=-------+------

x2+1x2

—1,

X2+2X2，

1八11

因為一所以----->0，—<-1,1+%

x2+2x2

所以〃1+%）一/（工2）=一1一_--1>0,

9+2X?

于是/（l+W;IV/lxOn/lw）,

而“X）在（0,+力）上單調(diào)遞減，所以1+無2<忍，

即-無2>1，故選項D正確；

/(3+%)-〃％)=H----$

x,+4%

--------1--------------------------3,

%+4%+3玉+1xx

當(dāng)％=一2時’/+-------3=—F1+1H------3=0

%+3占+1xx2

此時/(3+苔)=/&)=/(國),

答案第7頁，共17頁

此時3+%=le(0,+oo),

而函數(shù)f(x)在(O,+e)上單調(diào)遞減,

所以三=玉+3,因此選項B錯誤.

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性后可得函數(shù)的圖形，是解決本題的

關(guān)鍵.

12.1—z/—z+1

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算即可求解.

222(l-i)

【詳解】才幣=1+而『J.

故答案為：l-i.

13.600A/2

【分析】根據(jù)棱臺的幾何性質(zhì)確定斜高，再根據(jù)側(cè)面性質(zhì)確定面積即可.

如圖，由題意知該“升”的各側(cè)面為上底、下底長分別為AB=20cm,A4=10cm,腰長為

⑨=15cm的等腰梯形,

取AB,4a中點為下，召，

所以其側(cè)面的高為EF=/用一.B[4gj=/4一12尸[=10夜(cm).

若將各側(cè)面展開，可拼接成一個一條邊長為60cm,另一條邊長為15cm的平行四邊形,

該平行四邊形的高為10底cm，所以所求面積為10A/2x60=60072(cm2).

故答案為：6000.

答案第8頁，共17頁

14.呼|W

【分析】記AC=a,ZBAD=ZCAD=0,然后計算得到A。=*cos。，再使用余弦定理說

O1

明3c2=；tan6+五標(biāo)，并通過基本不等式的取等條件得知當(dāng)BC取到最小值百時,

1—cos0

tan0=-,最后通過四=3―,_3c。_-41即得結(jié)果.

3ACa33Ji+tan7

【詳解】t己AC=a,/BAD=NCAD=8,貝！1。=iNBACe10,萬)，從而tan〃>0.

*2*

因為1=SAABC=一?2〃?〃?sin26=tzsin20,

且1=SAABC=+S博CD=—,2〃?AD?sin。d—a-AD?sin。=—?a?AD-sin。,

2

所以〃sin2e=l,且AD=c.八,

2a2sin234/sinecose

從而AD=---------=—cos^.

3asin03asin63〃sin63

在，ABC中，由余弦定理可得:

……一2a2…(5一”=毛親產(chǎn)三害

5(cos??+sin?。)—4(cos?。-sin2^)cos2^+9sin2^911

=—tan6+-------->J9tan0--------=3,

sin2<92sin8cos622tan8Vtan。

911

當(dāng)且僅當(dāng)Jtan。=-―-即tan。=-時取等號.

22tan”3

所以當(dāng)BC取到最小值G時，tand=；,此時cos6=3

M，

4a

Tcos0Q442M.

所以A。

ACa35

2A/10

故答案為:

5

15.(l)y=-2x+l

Q)

e+1

【分析】(i)直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得切線方程;

夫2

(2)先將不等式變形，將條件轉(zhuǎn)化為—對x>0恒成立，再通過導(dǎo)數(shù)研究

e+%—1

答案第9頁，共17頁

h(x}=——的單調(diào)性即知4的取值范圍.

/ex+x-l

【詳解】(1)當(dāng)0=1時，/⑺=二:+1,

可得/(X)=21-("x+1)=T+3A2,

exex

所以廣(。)=-2,/(0)=1,

所以曲線y=/(x)在點(0,〃。))處的切線方程為卜1=—2(%-0),即y=-2x+l.

2

(2)由條件知即x二+4《*即尤?一ac+aWae，，即

當(dāng)x=0時，不等式恒成立；

當(dāng)x>0時，我們有e'+x-l>e°+O-l=O.

所以命題等價于a>——對兀>0恒成立，

e+x—1

/2x(ex+x-l]-x2(ex+l]

令人(尤)=------7'則：〃(無)=7^不

ex+x-l(e'+x-l)

_2xe*+2尤2-2x-x2e"-x?_2xe*+x?—2尤一x,e*-2x(1-ex)+x2(1-ex)

(e*+x-l)(e*+x-l)(e*+xT)2

(x?-2x)(1-e")x(x—2)^1—eJj

(d+x-l)2(e'+x-l)2'

而當(dāng)尤>0時，l-e*<0,故，

當(dāng)xe(O,2)時,//(x)>0,故〃(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(2,+8)時，h\x)<0,故/z(x)在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞減，

4

所以〃(無)max='(2)=￡71.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍為L，+"1.

Le-+1)

16.(1)列聯(lián)表見解析，有關(guān)

(2)分布列見解析，E(X)=2

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖完善二聯(lián)表，即可計算卡方，與臨界值比較作答,

(2)根據(jù)超幾何分布求解概率，即可求解分布列以及期望.

答案第10頁，共17頁

【詳解】（1）由題意可知“青少年群體”共有100x（0.025+0.03）x10=55（人）,

“中老年群體”共有100-55=45（人），

所以2x2列聯(lián)表如下：

運動會

年齡群體合計

關(guān)注不關(guān)注

青少年群體401555

中老年群體202545

合計6040100

零假設(shè)為關(guān)注“運動會”與年齡群體無關(guān)聯(lián).

2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到z=l0°x（40x25-20xl?“8249>6635=

55x45x60x40001

所以根據(jù)小概率值￡=0。1的獨立性檢驗，我們推斷“。不成立，即認(rèn)為關(guān)注“運動會”與“年

齡群體”有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.

（2）樣本中“青少年群體”關(guān)注“運動會”的有40人，“中老年群體”關(guān)注“運動會”的有20人,

按比例分層抽樣的方法抽取6人，貝廣青少年群體”應(yīng)抽取4人，“中老年群體”應(yīng)抽取2人,

則X的所有可能取值為1,2,3,

1ClC2

所以尸（X=1）=3=《P（X=2）=,3P（X=3）=曾i

55

故隨機變量X的分布列為

17.（1）證明見解析

⑵逅

答案第11頁，共17頁

【分析】（1）易證PA_L平面A5CD,從而得出再證明平面PAC即可證明

BD1PC；

（2）可由（1）建立空間直角坐標(biāo)系4-邙，用向量法求解即可.

【詳解】（1）由翻折的不變性可知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，

PA±AD,PA1AB,

因為ABAD=A,AB,ADcip[I]ABCD,

所以PA_L平面ABCD,又BDu平面ABCD,所以F4_LBD,

如圖，連接AC,則ACIB。，

又24門47=4,乃4,4。＜=平面如。，所以平面PAC,

又尸Cu平面PAC,所以3D_LPC.

（2）由（1）可知AB,A￡）,AP兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點，AB,仞，”所在直線分別為x軸、,軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐

由題圖①可A知G名=F胃A=：4=彳2，又BC=2,所以AG=4z，

BCFB633

則A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,G（0,g,0；尸（0,0,4）,

所以GC=（2,|,0）,PC=（2,2,-4）,又M為棱PC的中點，

所以=（-1,1,2）,

f"n[2x+2y-4z=0

設(shè)平面PCG的法向量為”=（x,y,z）,貝，即4c2八

n-GC=02x+：y=0

iI3

令y=3,得x=—l,z=l,故〃=（-!,3,1）,

設(shè)直線BM與平面PCG所成的角為6,

答案第12頁，共17頁

則sinO=|cos〃,2M|=￥36A/66

11\n\\BM\V1TXV6-11'

所以直線BM與平面PCG所成角的正弦值為答.

尤2V2

18.（1）---二=1

412

（2）過定點（4,0）,理由見解析

⑶。，；

【分析】（1）根據(jù)離心率得到〃=3.2,再代入[q-，2j，得到方程，求出/=4,廿=12,

求出雙曲線方程；

（2）設(shè)直線尸。的方程為工=，期+〃，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，求出直線

AP：y=V^（x+2）,求出N[L/]，根據(jù)三點共線得到方程，結(jié)合

（3"2-12）（必+%）

町為求出〃=4,得到答案;

-6n

因=旦=/_

（3）利用正弦定理求出設(shè)直線PQ的方程為無=沖+4,聯(lián)立雙曲線方程,

$24\PQ\f

,1,,S,,4[^1

得到兩根之和，兩根之積，求出。4/＜院表達(dá)出歸@,得至，寸=T+/砌

【詳解】（1）因為離心率e=$=2,所以c=2a,"=c2-4=3",

a

22

雙曲線的方程為與-二=1,

a23/

將點I￥，21代入雙曲線方程得普-1=1,

I3J3a3a

4

所以0二=4,〃=12,

a

22

所以C的方程為上-匕=1.

412

（2）直線尸。過定點（4,0）,理由如下：設(shè)尸（4％）,。（孫力），

答案第13頁，共17頁

-------I

直線PQ的方程為尤=沖+〃，與C的方程聯(lián)立《412'

x=my+n,

整理得（3m2—1）y?+6mHy+3n2—12=0,

EH▲c22,c6mn3n2-12

則A=12利+n-4>0,%+%=-藐=藐匚p

直線AP：y=Vl（'+2），所以N］羽）又N,民Q三點共線,

所以演Q=%B，即必=--

x2-2玉+2

即為（%+2）+3%（W-2）=0,

即%（沖1+九+2）+3yl（my2+n—2）=0,

化簡得4孫%+（〃+2）%+3（〃_2）M=0,

6mn3n2-12

因為%+%=-3川-1'"%―3療-1

所以Hl%%=

-6n

代入上式得4.0"2T2）（%+%）

+（〃+2）%+3（〃-2）必=0,

-6n

即一6〃+8）%+（?—2〃-8）%=0，

（〃一2）（九一4）%+（〃一4）（幾+2）%-0,

所以“=4.所以PQ過定點（4,0）.

（3）設(shè)ABN和△NPQ的外接圓半徑分別為&,R2,其中|AB|=4,

由正弦定理可得.嗎=2&,.%=2幾，

smZANLBsmZPNQ

又sinZANB=sinZPNQ,

及=網(wǎng)叵=員=處=/_

所以

RPQ\

2v2R2PQ\PQ\-

設(shè)直線PQ的方程為X=沖+4,

答案第14頁，共17頁

x=my+4,

與。的方程聯(lián)立爐

144rL

整理得(3m2-1)/+24my+36=0,

24m36

貝！!%+%=—3療-1'*%-3m2_1

3m2-1w0,3m2-1^0,

A>0,A>0,

又即4

(my4-4)(my+4)>0,

xxx2>0,12

+4)+(my+4)>0,

x1+x2>0,2