蘇教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊全冊教案

蘇教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊全冊教案

教材分析

第一章一元二次方程：本章主要是掌握配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，并運(yùn)用一

元二次方程解決實(shí)際問題。本章重點(diǎn)是解一元二次方程的思路及詳細(xì)方法。本章的難點(diǎn)是解一元二次方

程。

第二章對(duì)稱圖形——圓：理解圓及有關(guān)概念，掌握弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索點(diǎn)與圓、直線與

圓、圓與圓之間的位置關(guān)系，探索圓周角與圓心角的關(guān)系，直徑所對(duì)圓周角的特點(diǎn)，切線與過切點(diǎn)的半

徑之間的關(guān)系，正多邊形與圓的關(guān)系……。本章內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)多，而且都比較復(fù)雜，是整個(gè)初中幾何中最

難的一個(gè)教學(xué)內(nèi)容。

第三章數(shù)據(jù)的集中趨勢和離散程度

第四章等可能條件下的概率：理解概率的意義及其在生活中的廣泛應(yīng)用。本章的重點(diǎn)是理解概率

的意義和應(yīng)用，掌握概率的計(jì)算方法。本章的難點(diǎn)是會(huì)用列舉法求隨機(jī)事件的概率。

1一元二次方程

一、情境創(chuàng)設(shè)

1、小區(qū)在每兩幢樓之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，則綠地

的長和寬各為多少？

2、學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預(yù)計(jì)到明年年底增加到7.2萬冊，求這兩年的年平均增長

率？

3、一個(gè)正方形的面積的2倍等于15,這個(gè)正方形的邊長是多少？

4、一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)大3,且兩個(gè)數(shù)之積為10,求這兩個(gè)數(shù)。

二、探索活動(dòng)

上述問題可用方程解決：

問題1中可設(shè)寬為X米，則可列方程：X(%+10)=900

問題2中可設(shè)這兩年的平均增長率為x,則可列方程：5(1+x)2:=7.2

問題3中可設(shè)這個(gè)正方形的連長為x,則可列方程：2/=15

問題4中可設(shè)較小的一個(gè)數(shù)為x,則可列方程：x(x+3)=10

觀察上面列出的4個(gè)方程，它們有哪些相同點(diǎn)？(從方程的概念看)

歸納：像上述方程這樣，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程

注：符合一元二次方程即符合三個(gè)條件：①一個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2；③整式方程

任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程都可以化成下面的形式：a^+bx+c=0(a、b、c是常數(shù)，且a

WO)

這種形式叫做一元二次方程的一般形式，其中a"、bx、c分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a、b

分別叫二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)。

三、例題教學(xué)

例1根據(jù)題意，列出方程：

(1)某學(xué)校圖書館去年年底有圖書1萬冊，預(yù)計(jì)到明年年底增加到1.44萬冊。求這兩年圖書的年

平均增長率。

(2)一塊面積為600平方厘米的長方形紙片，把它的一邊剪短10厘米，恰好得到一個(gè)正方形。求

這個(gè)正方形的連長。

例2判斷下列關(guān)于x的方程是否為一元二次方程：

c19

(1)2(*-1)=亞(2):―2=3

xx

⑶(x—3)-(x+5)2(4)旅+3x—2=0

(5)(d+1)V+(2a-l)x+5—a=0

例3把下列方程化成一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：

(1)2(/-1)=3x(2)3(x—3)2=(x+2)2+7

四、課時(shí)作業(yè)：

1.下列方程中，屬于一元二次方程的是().

(A)x2-l=l(B)x2+y=2(C)x=2(D)x+5=(-7)2

X

2.方程3x2=-4x的一次項(xiàng)系數(shù)是().

(A)3(B)-4(C)0(D)4

3.把一元二次方程(x+2)(x-3)=4化成一般形式，得().

(A)x"+x—10=0(B)x"—x—6=4(C)x2—x—10=0(D)x2—x—6=0

4.一元二次方程3x2一/x—2=0的一次項(xiàng)系數(shù)是,常數(shù)項(xiàng)是.

5.x=a是方程x?—6x+5=0的一個(gè)根，那么a?—6a=.

6.根據(jù)題意列出方程：

(1)已知兩個(gè)數(shù)的和為8,積為12,求這兩個(gè)數(shù).如果設(shè)一個(gè)數(shù)為x,那么另一個(gè)數(shù)為,

根據(jù)題意可得方程為.

(2)一個(gè)等腰直角三角形的斜邊為1,求腰長.如果設(shè)腰長為x,根據(jù)題意可得方程為

7.判斷下列各題括號(hào)內(nèi)未知數(shù)的值是不是方程的解:

2

X+5X+4=0(Xi=-1,x2=l,x3=—4)；

8.根據(jù)題意，列出方程:

有一面積為60m2的長方形，將它的一邊剪去5m,另一邊剪去2m,恰好變成正方形，?試求正方形

的邊長.

9.當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，方程m(x2+x)=^x2—(x+1)是關(guān)于x的一元二次方程？當(dāng)m取何值時(shí),

方程m(x2+x)=j2x2~(x+1)是一元一次方程？

10.把方程(2x+l)2-x=(x+l)(r-l)化成一般形式是.

11.一元二次方程2x2—x=6的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)之和為.

12.關(guān)于x的方程S7+1X+2S-3=0是一元二次方程，則用的取值范圍是.

13.已知d+3x+6的值為9,則代數(shù)式3x2+9x_2的值為.

4

14.卜列關(guān)于x的方程：①ax2+bx+c=0；②X?+—3=0；(3)x2-4+x5=0；④3x=x?中，一兀

x

二次方程的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

15.若af—5x+3=0是關(guān)于x的一元二次方程，則不等式3a+6>0的解集是()

A.a>—2B.a<-2C.a>—2目.a聲0D.a>—

2

16.關(guān)于x的一元二次方程(a_l)x2+x+a2_l=o的一個(gè)根是()，則。的值為()

1

A.1B.-1C.1或一1D.

2

17.如下圖所示，相框長為10cm,寬為6cm,內(nèi)有寬度相同的邊緣木板，里面用來夾相片的面積為

32cm2,則相框的邊緣寬為多少厘米？我們可以這樣來解:

(1)若設(shè)相框的邊緣寬為xcm,可得方程(一般形式)；

(2)分析并確定x的取----------------------T----------I~-

x0123

(3)完成表格：

(4)根據(jù)上表判斷相框(^'\'ax2+bx+c

米？

18.一元二次方程ax2+bx+c=0,若有一個(gè)根為-1,則a—b+c二,如果a+b+c=0,則有一根為

19.無論a為何實(shí)數(shù)，下列關(guān)于x的方程是一元二次方程的是()

A.(a"—1)x2+bx+c=0B.ax2+bx+c=0C.a2x2+bx+c=0

D.(a2+l)x2+bx+c=0

20方程x2+fx—x+l=0的一次項(xiàng)系數(shù)是()

A.JTB.-1C./—1D.JTx-x

21.某型號(hào)的手機(jī)連續(xù)兩次降價(jià)，每個(gè)售價(jià)由原來的1185元降到了580元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分

率為x,則列出方程為.

22.如圖①，在一幅矩形地毯的四周鑲有寬度相同的花邊.如圖17②，地毯圖案長8米、寬6米,

整個(gè)中央的矩形地毯的面積是40平方米.求花邊的寬。

思考：若丁-》-2=0,求--X+2-的值。

(工2_幻2_1+了

課時(shí)作業(yè)：

1.C

2.D

3.C

4.一了；—2

5.-5

6.(1)8-x；x(8-x)=12(2)x2+x2=l

7.

方程X2—l=2xx—x2=06—3y2=0(x—2)(2x+3)=6

22

一般形式x—2x—1=0—>/7'x+x=0—3y'+6=02x''—x—12=0

二次項(xiàng)系數(shù)1/-32

一次項(xiàng)系數(shù)一210—1

常數(shù)項(xiàng)一106-12

8.(1)x,=-l,X3=-4是原方程的解，X2=l不是原方程的解.

(2)X1=3,x,=-l是原方程的解,X2=2,x」l不是原方程的解.

9.設(shè)正方形的邊長為xm,(x+5)(x+2)=60

10.當(dāng)mW及時(shí)-，原方程是關(guān)于x的一元二次方程；當(dāng)m=3"時(shí)，原方程是一元一次方程.

11.3x2+3x+2=0

12.-5

13.-7

14.m^-\

15.7

16.A

17.C

18.B

19.C

20.(1)X2-8X+7=0；(2)0<x<3；(3)7,0,-5,-8；(4)1cm.

21.D

22.C

23.D

24.C

25.(2k-3)x2+(3k-6)x+k+2=0,二次項(xiàng)系數(shù)2k—3,一次項(xiàng)系數(shù)3k—6,常數(shù)項(xiàng)k+2。

26.1185(1-x)2=580

27.(8-2x)(6-2x)=40

28.2、6(提示：在利用方程解有關(guān)代數(shù)式求值問題時(shí)，可用整體代入的方法求解，把x2_x_2=0變

3

為X2-x=2代入代數(shù)式中求值.)

課前預(yù)習(xí)

1.C

2.D

2一元二次方程的解法I)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、了解形如(x+m)2=n(n^O)的一元二次方程的解法——直接開平方法

2、會(huì)用直接開平方法解一元二次方程

學(xué)習(xí)過程；

一、情境創(chuàng)設(shè)

我們曾學(xué)習(xí)過平方根的意義及其性質(zhì)，現(xiàn)在來回憶一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性質(zhì)？

如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根。用式子表示：若x2=a,則x叫做a的平

方根。平方根有下列性質(zhì):

(1)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根是互為相反數(shù)的；(2)零的平方根是零；(3)負(fù)數(shù)沒有平

方根。如何求出適合等式X2=4的x的值呢？

二、探索活動(dòng)

根據(jù)平方根的定義，由-=4可知，x就是4的平方根，因此x的值為2和一2

即根據(jù)平方根的定義，得X2=4

x=±2

即此一元二次方程的解為：x,=2,x?=-2

這種解--元二次方程的方法叫做直接開平方法

三、例題教學(xué)

例1解下列方程：

(1)x=2(2)4X2-1=0

分析：第1題直接用開平方法解；第2題可先將一1移項(xiàng)，再兩邊同時(shí)除以4化為x2=a的形式，

再用直接開平方法解之。

例2解下列方程：

(1)(x+1)2=2(2)(%-1)2-4=0(3)12(3—幻2-3=0

分析：第1小題中只要將(x+l)看成是一個(gè)整體，就可以運(yùn)用直接開平方法求解；第2小題先將

一4移到方程的右邊，再同第1小題一樣地解；第3小題先將一3移到方程的右邊，再兩邊同除以12,

再同第1小題一樣地去解即可。

小結(jié)：如果一個(gè)一元二次方程具有(x+加「4(A》。)的形式，那么就可以用直接開平方法求解。

(用直接開平方法解一元二次方程就是將一元二次方程的左邊化為一個(gè)完全平方式，右邊化為常數(shù)，且

要養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣)

四、課堂練習(xí)

1.用直接開平方法解下列方程

①2x-8=0②9x-5=3③(x+6)2-9=0

④3(x-l)-6=0⑤X2-4X+4=5⑥

9X2+6X+1=4

2.填空選擇：

1).方程(x-m)2=n有根的條件是

2).若(X-2)2=25則*=

3).若分式—的值為0,則x的值是______

x-2

4).若關(guān)于x的方程(x+3)2+a=0,有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍

5).解方程(x+m)2=n,正確的結(jié)論是()

A有兩個(gè)解x=±J〃B當(dāng)n20時(shí)，有兩個(gè)解*=±、,￡-01

C當(dāng)n20時(shí)，有兩個(gè)解x=±J〃一加D當(dāng)nWO時(shí)，無實(shí)數(shù)解

6).一元二次方程ax''-b=O(aWO)的根是()

A1B迎C士迫Da、b異號(hào)時(shí)無實(shí)數(shù)根；a、b同號(hào)時(shí)根為士巫

baaa

3.解方程

①L(3X-1)2-8=0

②4(2X+1)2-9=0③X?+6X+9=8

2

④3x-5=0⑤(x-a)2-b(bNO)⑥(x-a)?=b~

4.解答題：

1)(改編2013江蘇南京)已知如圖所示的圖形的面積為24,根據(jù)圖中的條件，求x的值.

2）（改編2013新疆）2009年國家扶貧開發(fā)工作重點(diǎn)縣農(nóng)村居民人均純收入為2025元，2011年增長到

4225元.求年平均增長率。

2一元二次方程的解法2)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、經(jīng)歷探究將一元二次方程的一般(x+，")2=n("2o)形式的過程，進(jìn)一步理解配方法的意義

2、會(huì)用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想方法

學(xué)習(xí)過程：

一、情境創(chuàng)設(shè)

我們已經(jīng)學(xué)過了用直接開平方法解形如G+M2=n(心0)的一元二次方程，那么如何解方程x2+6x+4=0呢？

二、探索活動(dòng)

我們能否將方程x?+6x+4=0轉(zhuǎn)化為(x+,〃)z="的形式呢？

先將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得

x?+6x=—4

B|Jx2+2?x?3=—4

在方程的兩邊加上一次項(xiàng)系麴的一半的平方即3?后，得

x+2-x-3+于=-4+32

(x+3)、5

解這個(gè)方程，得：x+3=±<'5

所以X|=-3+丫5X2=—v15-3

(注：可以多舉幾例，綜合得出“兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”的結(jié)論)

由此可見，只要先把一個(gè)一元二次方程變形為(x+帆)工”的形式(其中m、〃都是常數(shù))，如果"20,再通過

直接開平方法求出方程的解，這種解一元二次方程的方法叫彳擅己方法。

三、例題教學(xué)

例1將下列各進(jìn)行配方：

⑴x?+8x+_=(x+)J⑵/-5x+=(x-)"

3

⑶x?——x+____=(x_)2(4)x2—6<2x+=(x-)2

2

分析：本題應(yīng)用“方程兩同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”來配方。

例2解下列方程：

(1)X2-4X+3=0(2)X2+3X-1=0

小結(jié)：用配方法解一元二次方程的一般步驟：1、把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；2、在方程的兩邊各加上一次項(xiàng)系

數(shù)的一半的平方，使左邊成為完全平方；3、利用直接開平方法解之。

思考：為什么在配方過程中，方程的兩邊總是加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方？

四、課堂練習(xí)

1.用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：

①、X2+6X+(X+_)2;②、X2—5x+(x—_)入

③、x2+x+___=(x+_)2；④、X2—9x+=(x—)2

2.將二次三項(xiàng)式x2-3x-5進(jìn)行配方，其結(jié)果為,當(dāng)*=時(shí)，它有最值,且為

3.已知4x?-ax+l可變?yōu)镼x-bV的形式，則ab=.

4.將一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成(x+a)2=1，的形式為,所以方程的根為.

5.若x2+6x+n?是一個(gè)完全平方式，則m的值是()

A.3B.-3C.±3D.以上都不對(duì)

6.用配方法將二次三項(xiàng)式a^4a+5變形，結(jié)果是()

A.(a-2)2+1B.(a+2)2-1C.(a+2)2+1D.(a-2)2-1

7.把方程x2+3=4x配方，得()

A.(x-2)2=7B.(x+2)2=21C.(x-2)2=1D.(x+2)2=2

8.用配方法解方程x2+4x=10的根為()

A.2士拘B.-2±x/14C.-2+^TOD.2-斤

9.不論x、y為什么實(shí)數(shù),代數(shù)式x?+y2+2x-4y+7的值()

A.總不小于2B.總不小于7

C.可為任何實(shí)數(shù)D.可能為負(fù)數(shù)

10.用配方法解下列方程:

(1)X2-5X=2.(2)X2+8X=9(3)X2+12X-15=0(4)X2-X-4=0

(7)(X-1)2-2(X-1)+1=0

(5)x2+x-l=0(6)3X2+6x—1=0

思考：.用配方法求解下列問題

(1)求2x?-7x+2的最小值；(2)求-3x?+5x+l的最大值。

2一元二次方程的解法4)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

I、掌握用配方法解一元二次方程的基本步驟和方法

2、會(huì)正確運(yùn)用配方法解一元二次方程，進(jìn)一步體會(huì)配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法

學(xué)習(xí)過程：

一、情境創(chuàng)設(shè)

我們已經(jīng)學(xué)過了用直接開平方法與配方法解?元二次方程，那么如何解方穆5x-4=0呢？

二、探索活動(dòng)

由于該方程不是(x+，〃)2=?(〃20)的形式，因此不能用直接開平方法解，而且也不符合上節(jié)課用配方法所解

的方程的形式，但如果將方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)的話就和上節(jié)課所學(xué)的一樣了。即

方程兩邊同時(shí)除以2,得：X2--X-2^Q.再用上節(jié)課的知識(shí)解決即可。

2

小結(jié)：對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程，我們可以先將兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，再利用配方法求解。

三、例題教學(xué)

例1解下列方程：

(1)3x2+8x+l=0(2)-3x+4x+l=0

分析：第1小題先將方程兩邊同時(shí)除以3,將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,再用配方法解之；而第2小題的二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)

數(shù)，同樣只需兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)一3,再用配方法解之。

小結(jié)：用配方法解一元二次方程的一般步驟：1,方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；2、把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊;

3、在方程的兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊成為完全平方;4、利用直接開平方法解之。

四、課堂練習(xí)

1.填空

(1)x2+8x+()=(x+)2.⑵x2-—x+()=(x-)2.

3

2t2

(3)y-Ly+()=(y-).

a

2.用配方法解方程：

222

(1)3X-6X-1=0(2)2X-5X-4=0(3)2x-3x-l=0(4)3/-9x+2=0

3.用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?/p>

(D3(X+1)2=12；⑵丁+4y+1=0；(3)x2-8x=84；(4)/+3y+1=0.

4.關(guān)于x的方程￥-9。2-12ab-4乂=0的根再=,x2=.

5.關(guān)于x的方程/+26-/+/=o的解為.

6.用配方法證明:

（1）/—a+i的值恒為正;（2）_9x?+8x-2的值恒小于0.

匚b

1.答案：（1）16,4(2)-,1(3),

934a-2a

xA5+x/575—?dú)v⑶x3+后3-V17

x2=1-；有?(2),?7y一

2.(1)\=l+…-1-.42一4

34444

,4一9+59一回

(4)??X]=,X=.

6926

3.解：(1)；3(x+l)2=12,，(x+iy=4.

??x+1=±2???芭=1,X]=-3.

22

(2)y+4y+\=0,：,y+4y+4=3.

(_V+2)2=3.y+2=±.

y=—2+yj3,y2=—2—y]3.

(3)VX2-8X=84,?.x2-8x+16=100.

，(X_4)2=IOO..”_4=±10.

??X]—14,X2——6.

22

(4)y2+3y+\=Q,：.y2+3y+I-1.

.(5.3小

.."5="尸2

4.答案：M=3Q+2/),X2=-(3(7+2b)

5.答案：x}=-a-b,Xy=-a-\-b

22

6.案：證明：(1)a—a=a—a+-a—三＞0,—Q+1的值恒為正.

44I2j44

-2-I

/\.?2Qc28(4)16

(92)?一n9x+8x-2=-9nx-x+—+-----2

9⑼9

=_9(x_f]—馬＜0，.,.-9/+8》—2的值恒小于0.

I"99

2一元二次方程的解法4)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、體驗(yàn)用配方法推導(dǎo)一元二次方程求根公式的過程，明確運(yùn)用公式求根的前提條件疑一4“cN0

2、會(huì)用公式法解一元二次方程

學(xué)習(xí)過程：

一、情境創(chuàng)設(shè)

1、用配方解一元二次方程的步驟是什么？

2、用配方法結(jié)合直接開平方法解一元二次方程，計(jì)算比較麻煩，能否研究出一種更好的方法，迅速求得一元二次

方程的實(shí)數(shù)根呢？

3、如何解一般形式的一元二次方程加+以+。=0(“W0)?

二、探索活動(dòng)

能否用配方法把一般形式的一元二次方程，4+以+c=0(aWO)轉(zhuǎn)化為八+%=匕4”呢？

a~4a-

回顧用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的過程，讓學(xué)生分組討論交流，達(dá)成共識(shí)：

因?yàn)?。?,方程兩邊都除以a,得/+%+￡=0

aa

2

移項(xiàng)，得X+^X=-L

aa

配方，得X2+2?_L?X+(_L)2=-￡+(_L)2

2a2aa2a

即(x+2)2』-4ac

2a4a~

當(dāng)4acN0,且aw0時(shí)，一_4"大于等于零嗎?

4a2

讓學(xué)生思考、分析，發(fā)表意見，得出結(jié)論：當(dāng)&2一4訛，20時(shí)，因?yàn)閍70,所以4/>0,從而匕二竺>()

到此，你能得出什么結(jié)論？

讓學(xué)生討論、交流，從中得出結(jié)論，當(dāng)/_4"20時(shí)，一般形式的一元二次方程分2+法+。=0(4工0)的根為

b_Jb2-4ac,gp-h+yjb2-4ac

X+--—土--------Jio

la2a2a

2r

由以上研究的結(jié)果，得到了?元二次方程ix+6x+C=0(aX0)的求根公式：x=-h±4b-4ac(-4ac>0)

-2a

這個(gè)公式說明方程的根是由方程的系數(shù)a、6、c所確定的，利用這個(gè)公式，我們可以由一元二次方程中系數(shù)/、

6、c的值，直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。

思考:當(dāng)62-4acN0時(shí),方程有實(shí)數(shù)根嗎？

三、例題教學(xué)

例1解下列方程：

(1)f+3x+2=0(2)2x-7x=4

分析：第2小題要先將方程化為一般形式再用求根公式求解。

四、課堂練習(xí)

1.若方程(加2一〃2一2)x2+mx+〃=0是關(guān)于x的一元二次方程,則m的范圍是().

(A)mWl(B)m^2(C)或2(D)mWT且mW2

2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“*”，其規(guī)則為a*b=02_從，根據(jù)這個(gè)規(guī)則，方程(x+2)*5=0的解

為.

3一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的求根公式是,條件是.

4當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式x?-8x+12的值是-4.

5關(guān)于x的一元二次方程Cm-1）x2+x+in+2m-3=0有一根為0,則m的值是

6方程（-5x—1=0（）

A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根D.無法確定

7.用公式法解下列方程：

2

（1）X2+2X-2=Q；（2）3X2+4X-7=0；（3）2/+8y-l=0：(4)2x-3x+—=0.

8

8.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?

(1)2x^+x—6=0；(2)x2—2x+4=0；(3)5x2—4x-12=0；(4)(x-l)(x+2)=5.

9.已知yi=2x2+7x—1,y2=6x+2,當(dāng)x取何值時(shí)y〕=y2?

10.當(dāng)a取什么值時(shí)，關(guān)于的方程ax2+4x-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？當(dāng)a取什么值時(shí)，關(guān)于的方程

o?+4x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？當(dāng)a取什么值時(shí)，關(guān)于的方程o?+4x-1=0沒有實(shí)數(shù)根?

2一元二次方程的解法5)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、用公式法解一元二次方程中，進(jìn)一步理解代數(shù)式送一4"對(duì)根的情況的判斷作用

2、能用疲一4%的值判別一元二次方程根的情況

學(xué)習(xí)過程：

一、情境創(chuàng)設(shè)

不解方程，你能判斷下列方程根的情況嗎？

(1)x2+2x-8=0(2)x2=4x-4(3)x2-3x=-3

二、探索活動(dòng)

1、一元二次方程根的情況與一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)有關(guān)嗎？能否根據(jù)這個(gè)關(guān)系不解方

程得出方程的解的情況呢？

例解下列方程：⑴f+x—1=0(2)f-2召x+3=0(3)2f—2x+l=0

分析：本題三個(gè)方程的解法都是用公式法來解，山公式法解一元二次方程的過程中先求也z—4ac的值可以發(fā)現(xiàn)

它的符號(hào)決定著方程的解。

由此可以發(fā)現(xiàn)一元二次方程/+云+。=0(?#0)的根的情況可由^一4ac來判定：

當(dāng)好一4雙＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)￡-4?C=O時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)加一4acV0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。我們把加一4“。叫做一元二次方程"+Z?x+c=O(”別)的根的判別式。

2、若已知一個(gè)一元二次方程的根的情況，是否能得到的值的符號(hào)呢？

當(dāng)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根函-4"＞0；當(dāng)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)〃―4"c=0；

當(dāng)一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根時(shí)好一碗。＜0

三、例題教學(xué)

例1不解方程，判斷下列方程根的情況：

2

(1)3x—x+1=3x(2)5(x"+l)=7x(3)3x'_4V'3x=-4

分析：先把方程化為一般形式，確認(rèn)a、b、c后，再算出4ac的值，對(duì)方程給予判定。

例2若方程8酎一（m-Dx+m-7=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的值。

分析：本題與例1剛好相反，應(yīng)由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得嚴(yán)―4覺=0,從而得到關(guān)于m的方程，求出m的

值。

四、課堂練習(xí)

1.不解方程，判斷F列方程根的情況：

（1）4X2+13X+9=0（2）3（x-2）=x2(3)3X2+4X=5

2.基礎(chǔ)訓(xùn)練

1）若一元二次方程x2+2x+m=0無實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是

2）關(guān)于x的一元二次方程/+（m一2）x+〃?+l=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則機(jī)的值是（）

A、0B.8C.4±"D.0或8

3）如果方程1X?—2x+/n=0有實(shí)根，則m的取值范圍是

3

4）已知關(guān)于x的一元二次方程（a-l）x2—2x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）

A、a<2B、a>2C、a<2且D、a<-2

5）已知關(guān)于x.的一元二次方程x2-bx+c=（l的兩根分別為、=1,X2=-2,則b與c的值分別是（）

A、b=—1,c=2B、b=l,c=—2C、b=l,c=2D、b=—1,c——2

6）已知一元二次方程x2-3x-l=O的兩個(gè)根X1、x2,則的值為（）

A、一3B、3C、一6D、6

3.問題研討

例1、已知關(guān)于X的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求機(jī)的值及方程的根。

例2、已知關(guān)于x的方程2x2—(4k+l)x+2k2—1=0,k為何值時(shí):

①方程有兩個(gè)不相等實(shí)根；②方程有兩個(gè)等根；③方程沒有實(shí)根

例3、探究發(fā)現(xiàn)：

解卜列方程，將得到的解填入卜面的表格中，觀察表格中兩個(gè)解的和與積，它們和原來的方程的系數(shù)有什么聯(lián)系？

(1)x2-2x=0(2)x2+3x-4=0(3)x2-5x+6=0

方程町xx

了2西+x2\2

(1)請(qǐng)用文字語言概括你的發(fā)現(xiàn)：___________________________

(1)

(2)一般的，對(duì)于關(guān)于X的方程x2+px+g=0(p,g為常數(shù)，p2-4g20)的兩根為國、(2)

(3)

x2,則X,+x2=_____________,x}x2=_____________。

(3)運(yùn)用以上發(fā)現(xiàn)，解決下面的問題：

①已知一元二次方程x「2x-7=0的兩個(gè)根為X”xz,貝lJxi+整的值為()

A.-2B.2C.-7D.7

②己知X”整是方程X*—x—3=0的兩根，試求(1+xi)(l+xz)和x：+九2的值。

(1)兩根之和，等于一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得商的相反數(shù)；兩根之積，等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商;

(2)-p,q；

(3)B；-1,7o

2一元二次方程的解法6)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、會(huì)用因式分解法解一元二次方程，體會(huì)“降次”化歸的思想方法

2、能根據(jù)一元二次方程的特征，選擇適當(dāng)?shù)那蠼夥椒?，體會(huì)解決問題的靈活性和多樣性

學(xué)習(xí)過程：

一、情境創(chuàng)設(shè)

用不同的方法解方程：x-x=0

二、探索活動(dòng)

1、你能用兒種方法解方程x=0?

本題既可以用配方法解，也可以用公式法來解，但由于公式法比配方法簡單，一般選用公式法來解。還有其他方

法可以解嗎？

仔細(xì)觀察方程的左邊，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)等式的左邊有公因式x,這時(shí)可把x提出來，左邊即為兩項(xiàng)的乘積，我們知

道：兩個(gè)因式的乘積等于0,則這兩個(gè)因式為零，這樣，就把一元二次方程降為一元一次方程，此時(shí)，方程即可解。

解：x?-x=0,x(xT)=0,于是x=0或x-3=0.

.,.Xi=0,X2=3

這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法

2、下面哪些方程，用因式分解法求解比較簡便？

(1)x-2x-3=0(2)(2x-l)2-1=0(3)(x-1)2-18=0(4)3(x-5)2=2(5-x)

分析：第⑴、⑷小題用因式分解法求解比較簡便。

結(jié)論：如果一個(gè)一元二次方程的一邊是0,另一邊能分解為兩個(gè)一次因式的乘積，那么這樣的一元二次方程就可

以用因式分解法求解。

三、例題教學(xué)

例1解下列方程：

(1)x=-4x(2)x+3-x(x+3)=0

分析：第⑴小題先化為-一般形式，再提取公因式分解因式解之；第⑵小題可以將(x+3)作為個(gè)整體，提取公

因式解之。

例2解方程（2x-l）2-x2=0

分析：方程的左邊可以用“平方差公式”分解因式，將之分解為兩個(gè)一次因式的積，從而解之。

思考:在解方程(x+2)2=4(x+2)時(shí)，在方程兩邊都除以(x+2),得x+2=4,于是解得x=2,這樣解正確

嗎？為什么？(不正確，這樣解使得方程少了一個(gè)解，原因在于兩邊同時(shí)除以的因式肝2)可能為0,而方程兩邊不

可以同時(shí)除以0)

四、課堂練習(xí)

1.選擇題

(1)方程5x(x+3)=3(x+3)解為()

A.Xi——,%=3B.X——C.X\——,x-2~-3D.小=2,x2——3

5555

(2)方程(x—l)2—4(x+2)2=0的根為()

A.為=1,%=_5B.Xi=-1,尼=-5C.Ai=l,%=5D.為=-1,x2=5

(3)一元二次方程*+5x=0的較大的一個(gè)根設(shè)為"/一3矛+2=0較小的根設(shè)為〃，則/”的值為()

A.1B.2C.-4D.4

(4)已知三角形兩邊長為4和7,第三邊的長是方程/-16矛+55=0的一個(gè)根，則第三邊長是()

A.5B.5或11C.6D.11

2.填空題

(1)方程(2X+1)2+3(2X+1)=0的解為.(2)方程(2y+1產(chǎn)+3(2y+1)+2=0的解為.

(3)關(guān)于x的方程*+(初+“)x+mn=0的解為.(4)方程x(x—v5)=—x的解為.

3.用因式分解法解下列方程：

(l)/+12x=0；(2)4A2-1=0；(3)*=7x；(4)*—4*-21=0；

(5)(x-1)G+3)=12；(6)3/+2x-l=0；⑺儂一x—3=0；(8)Cr-l)2-4G-l)-21=0.

4.用適當(dāng)方法解下列方程：

(l)/-4x+3=0；(2)(*—2)z=256；(3)3x+l=0；(4)(2t+3)=3(2t+3)；

(5)(3-y)2+/=9；⑹（1+后）V一（i—&）x=o；(7)(Y+5)2-2(X4-5)-8=0.

5.一跳水運(yùn)動(dòng)員從10米高臺(tái)上跳水，他跳下的高度方（單位：米）與所用的時(shí)間t（單位：秒）的關(guān)系式方=-51

-2）（t+1）.求運(yùn)動(dòng)員起跳到入水所用的時(shí)間.

6.為解方程（^―1）2—5（，-1）+4=0,我們可以將^一1視為一個(gè)整體，然后設(shè)寸-1=%則原

方程化為5y+4=0,解此方程，得必=1,及=4.

當(dāng)y=l時(shí)，/—1=1,*=2,x=+.^2.當(dāng)y=4時(shí)，A2—1=4,〃=5,,'.x=±^5.

;

，原方程的解為為=-J，，X2—J2,x3——v5，由=J5.

以上方法就叫換元法，達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.

（1）運(yùn)用上述方法解方程：x'—3*—4=0.

（2）既然可以將1看作?個(gè)整體，你能直接運(yùn)用因式分解法解這個(gè)方程嗎

參考答案

【同步達(dá)綱練習(xí)】

1.(1)B(2)C(3)D(4)D(5)B(6)A(7)A(8)D

?3

2.(1)ti=—7,七=4(2)/=——，必=—2(3)y=-1,y2=——(4)M=一加，及=—〃(5)%=J5,照=-1

22

3.(1)Ai—0,X2=-12；(2)小=——,X2=一;(3)xi=0,短=7；(4)>【=7,x?=—3；(5)x\=—5,黑=3；(6)小=-1,走=一；

223

31

(7)為=一，犬2=——；(8)M=8,XI=—2.

52

3+J53-J5

4.(1)%=L照=3；(2)為=18,照=—14；(3)小=------,照=-------；(4)^=3,照=—1；

22

3