廣東省肇慶市2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)押題試卷含解析

廣東省肇慶市省部分重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)押題試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知復(fù)數(shù)2=4+?,"氏，若|z|=2,則"的值為（）

A.1B.73C.±1D.±73

2.若函數(shù)/（x）=Asin（s+。）（其中A〉0,|例〈，圖象的一個(gè)對稱中心為（5，0）,其相鄰一條對稱軸方程為

7萬

X=—,該對稱軸處所對應(yīng)的函數(shù)值為-1,為了得到g（x）=cos2x的圖象，則只要將/（元）的圖象（）

12

A.向右平移F個(gè)單位長度B.向左平移三個(gè)單位長度

612

C.向左平移J個(gè)單位長度D.向右平移三個(gè)單位長度

612

3.已知函數(shù)/（％+1）是偶函數(shù)，當(dāng)xe（L”）時(shí)，函數(shù)/（%）單調(diào)遞減，設(shè)a=g],b=f（3）,c=/（0）,

則a、b、c的大小關(guān)系為。

A.b<a<cB.c<b<dC.b<c<aD.a<b<c

22

4.雙曲線二-與=13>0,6>0）的右焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸且與x軸垂直的直線交兩漸近線于兩點(diǎn)，與雙曲線的

ab

其中一個(gè)交點(diǎn)為P,若OP=/lOM+〃ON（/l,〃eR）,且=卷，則該雙曲線的離心率為（）

.3A/2R5A/2?5y/3n576

4121212

5.要得到函數(shù)y=；cosx的圖象，只需將函數(shù)y=gsin，x+gj的圖象上所有點(diǎn)的（）

1n

A.橫坐標(biāo)縮短到原來的5（縱坐標(biāo)不變），再向左平移（個(gè)單位長度

B.橫坐標(biāo)縮短到原來的5（縱坐標(biāo)不變），再向右平移6個(gè)單位長度

C.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移B個(gè)單位長度

O

D.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移（rr個(gè)單位長度

6.根據(jù)如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的X值為3時(shí)，輸出的y值等于（）

A.1B.eC.e-1D.e-2

7.若直線2x+y+m=0與圓/+21+/一2y—3=0相交所得弦長為2，？，則機(jī)=()

A.1B.2C.75D.3

8.已知函數(shù)〃x)=ln%-@+a在x?l,e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

X

A.------1B.----------,1|C.-------,-1|D.[―1,e)

1-eJ[_l-eJl_l-e)

9.若向量m=(0,—2),n=(6,l),則與2根+〃共線的向量可以是()

A.(A/3,-1)B.(-1,A/3)C.(-A-1)D.(—1,—G)

10.已知復(fù)數(shù)一,匚為純虛數(shù)(為虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù)=()

A.-1B.1C.0D.2

11.復(fù)數(shù)z=a-iy+4的虛部為()

Z+1

A.—1B.—3C.1D.2

o]nx\

12.已知函數(shù)八%)=^,若關(guān)于N的方程%f(x)+d=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

XO

()

A.(0，|)B.(0,卓4(先)D.李)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在棱長為1的正方體ABCD-AgGR中，P、。是面對角線AG上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn).以下四個(gè)命題：①存在

P、。兩點(diǎn)，使8PLOQ；②存在P、Q兩點(diǎn)，使BP、。。與直線BQ都成45°的角；③若|尸。|=1,則四面體

BDPQ的體積一定是定值；④若|。。|=1,則四面體3DPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值.其中為

真命題的是.

14.西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例：勾三，股四，弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五

百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這U個(gè)數(shù)中隨

機(jī)抽取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為

15.如果拋物線V=2px上一點(diǎn)4（4,到準(zhǔn)線的距離是6,那么切=

16.設(shè)為數(shù)列｛?｝的前幾項(xiàng)和，若2S“=5a“-7,則a“=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某商場為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)抽取了200名進(jìn)場購物的顧客進(jìn)行問卷調(diào)查.調(diào)查后，就顧客“購物體驗(yàn)”

的滿意度統(tǒng)計(jì)如下:

□滿意不滿意

M□□

0EJM

（1）是否有97.5%的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)?

（2）為答謝顧客，該商場對某款價(jià)格為100元/件的商品開展促銷活動(dòng).據(jù)統(tǒng)計(jì)，在此期間顧客購買該商品的支付情

況如下:

購物卡支

支付方式現(xiàn)金支付AP尸支付

付

頻率10%30%60%

按9折支其中有1/3的顧客按4折支付，1/2的顧客按6折支付，1/6的顧

優(yōu)惠方式按8折支付

付客按8折支付

將上述頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，記某顧客購買一件該促銷商品所支付的金額為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附表及公式：K'—幽出一

(。+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

P(K2..Q0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.(12分)已知實(shí)數(shù)x,j,z滿足x5+[:=%個(gè)=2,證明：----了+」2+；---^<^2.

l+x2l+/l+z21+x1+y1+z

4—x

19.(12分)已知函數(shù)/(%)=ln——+(2—。)(九一1).

x

(1)當(dāng)，=1時(shí).

①求函數(shù)/(X)在(2J(2))處的切線方程；

一124n-l

②定義S=f(-)+/(-)4----f(------)其中〃￡N*，求5,20205

nnnn

(2)當(dāng)。力2時(shí)，設(shè)/(x)=/(x)—111(4%-9)，g(x)=xe「「e為自然對數(shù)的底數(shù))，若對任意給定的％e(0，e],在

(0,e]上總存在兩個(gè)不同的毛。=1,2),使得r(x,)=g(%)成立，求。的取值范圍.

20.(12分)在極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為夕cos29=asin<9(a>0),以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸所在直線為x軸建立直

x-2-----1

2

角坐標(biāo)，直線/的參數(shù)方程為La為參數(shù))，I與C交于M,N兩點(diǎn).

「1+2

12

(1)寫出曲線。的直角坐標(biāo)方程和直線/的普通方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P(2,-1)；若1PM、|MN|、|PN|成等比數(shù)列,求2的值

21.(12分)如圖，在四面體。/LBC中，AB±BC,DA=DC=DB.

(1)求證:平面ABC，平面AC。；

(2)若NC4D=30°,二面角C—AB—。為60，求異面直線與所成角的余弦值.

22.(10分)已知不等式|2x—1|—|x+l|<2的解集為｛x|a(無<。｝.

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值

3abk

(2)已知%>y>z存在實(shí)數(shù)上使得一2（x-y）+4（y-z）>恒成立，求實(shí)數(shù)上的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

由復(fù)數(shù)模的定義可得：忖=勿+1=2,求解關(guān)于實(shí)數(shù)。的方程可得：a=±6

本題選擇O選項(xiàng).

2、B

【解析】

由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出口，由五點(diǎn)法作圖求出9的值，可得/(%)的解析式，再根據(jù)函數(shù)

y=Asin(a)x+0)的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式，得出結(jié)論.

【詳解】

根據(jù)已知函數(shù)"X)=Asin(aw+0)

(其中A〉0,憫<1)的圖象過點(diǎn)I(,。［,

一,口127r77r兀

可得A=l,-......=,

4co123

解得：①二2.

JT

再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2-§+e=乃，

可得：(p",

可得函數(shù)解析式為：/(%)=5詁［2X+().

故把〃x)=sin,+的圖象向左平移個(gè)單位長度，

可得y=sin[2x+y+—J=cos2x的圖象，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由函數(shù)y=Asin(ox+0)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A,由周期求出。，由五

點(diǎn)法作圖求出9的值，函數(shù)y=Asin(@r+0)的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

3^A

【解析】

根據(jù)/(x+1)圖象關(guān)于y軸對稱可知/(X)關(guān)于X=1對稱，從而得到/(X)在(一8,1)上單調(diào)遞增且/(3)=/(-1)；

再根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.

【詳解】

Q/(%+l)為偶函數(shù).'/(x+i)圖象關(guān)于)'軸對稱

???/(尤)圖象關(guān)于工=1對稱

xe(l,+8)時(shí)，/(%)單調(diào)遞減...xee8,1)時(shí)，/(%)單調(diào)遞增

又”3)="T)且即6<a<c

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)奇偶性、對稱性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問題，關(guān)鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數(shù)的

單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系求得結(jié)果.

4、D

【解析】

根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點(diǎn)，再利用OP=XOAf+〃ON,求出點(diǎn)〃)，，U一〃)

「6

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，及0=—,代入整理及得4e2〃/=l,又已知九〃=一，即可求出離心率.

a25

【詳解】

由題意可知—L---j,代入OP二=AOM+jLiON得：“(X+〃)c,(X-〃)—

\a

代入雙曲線方程W—與=1整理得：4e2A//=l,又因?yàn)橄?9，即可得到e=9,

a2b22512

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，離心率問題關(guān)鍵尋求關(guān)于。，b,。的方程或不等式,

由此計(jì)算雙曲線的離心率或范圍，屬于中檔題.

5、C

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系，即可容易求得.

【詳解】

位切不11.「萬、

為得至Uy=~cosx=—sinIx+—I,

將y=gsin[lx+橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），

故可得>=齊11}+1^；

再將y=gsin[x+g]向左平移￡個(gè)單位長度，

故可得y=]Sin%+1+/=5S111X+萬\=-cosx.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導(dǎo)公式的使用，屬基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】

根據(jù)程序圖，當(dāng)x<0時(shí)結(jié)束對x的計(jì)算，可得y值.

【詳解】

由題x=3,x=x-2=3-l,此時(shí)x>0繼續(xù)運(yùn)行，x=l-2=-l<0,程序運(yùn)行結(jié)束，得y=1,故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查程序框圖，是基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

將圓的方程化簡成標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)垂徑定理求解即可.

【詳解】

圓f+2x+/一2y—3=0的標(biāo)準(zhǔn)方程（x+1）?+（y—I）?=5，圓心坐標(biāo)為（一1,1）,半徑為亞，因?yàn)橹本€2x+y+m=Q

與圓好+2工+/一2丁—3=0相交所得弦長為2石,所以直線2%+丁+m=0過圓心,得2><（-1）+1+〃?=0,即m=1.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法，屬于基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，對a分類討論，分別求得函數(shù)/（力的單調(diào)性及極值，結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.

【詳解】

???r（x）=：+￡=密，

當(dāng)。2―1時(shí)，r（x）>o,/（力在［1,4上單調(diào)遞增，不合題意.

當(dāng)e時(shí)，r（x）<0,在［l,e］上單調(diào)遞減，也不合題意.

當(dāng)—e<a<—l時(shí)，則時(shí)，/（%）在［1,一。）上單調(diào)遞減，x?—a,e］時(shí)，/（九）在

（—44上單調(diào)遞增，又/⑴=0,所以〃尤）在xe［l,e］上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需/,）=1一2+/0即可，解得

e

-----V〃<-1.

1-e

綜上，。的取值范圍是-￡-,-11

Ll-e）

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題，屬于中檔題.

9、B

【解析】

先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量2加+“，然后利用向量平行的條件判斷即可.

【詳解】

加=(0,-2),〃=(6,1)

/.2m+n=(G,—3)

(-l,V3)=-^(A-3)

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定，屬于基礎(chǔ)題，在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對應(yīng)，切

不可錯(cuò)位.

10、B

【解析】

化簡得到=-根據(jù)純虛數(shù)概念計(jì)算得到答案.

【詳解】

二=(/?二)(二+二)=二-/+(二+/)二為純虛數(shù)，故口一/=。且口+即U=J.

故選：二.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)復(fù)數(shù)類型求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

11、B

【解析】

對復(fù)數(shù)z進(jìn)行化簡計(jì)算，得到答案.

【詳解】

(Z-1)2+44-2Z(4-2Z)(1-Z)

Z=---------=-----=------------—L—Jl

i+11+i2

所以z的虛部為-3

故選B項(xiàng).

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，虛部的概念，屬于簡單題.

12、C

【解析】

求導(dǎo)，先求出"%)在工40,五)單增，在xe(G,+s)單減，且/(初四=/(G)=g知設(shè)/。)=乙則方程

1

"(創(chuàng)29—時(shí)⑶+—二。有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于方程

8

11

/9_加/十一=0在(0,)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.

82

【詳解】

—■X2

-2xelnxe(l-21nx),

依題意,人):「一

令/'(x)=0,解得lnx=g,x=&,故當(dāng)xe(0,C)時(shí)，/，(x)>0,

當(dāng)xe(G,+oo),r(x)<0,且/(五)=生巫」,

e2

11

故方程r9-加+7=0在(0,-)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

82

1

A>0m92——>0

2

(%_〉01m1

故-----+—>0

824

0<4+72<1

0<m<1

草2>0

解得加eg,；).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù).其方法：

⑴構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)g(x)(g'(x)易求，g'(x)=0可解)，轉(zhuǎn)化為確定g(E)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)

的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢)等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解；

⑵定理法：先用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端

點(diǎn)值符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、①③④

【解析】

對于①中，當(dāng)尸點(diǎn)與4點(diǎn)重合，。與點(diǎn)G重合時(shí)，可判斷①正確；當(dāng)點(diǎn)P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，BP與直線耳。所成的角

最小為60，可判定②不正確；根據(jù)平面06。將四面體即尸?？煞殖蓛蓚€(gè)底面均為平面08。，高之和為P。的棱錐,

可判定③正確；四面體BDPQ在上下兩個(gè)底面和在四個(gè)側(cè)面上的投影，均為定值，可判定④正確.

【詳解】

對于①中，當(dāng)p點(diǎn)與4點(diǎn)重合，。與點(diǎn)G重合時(shí)，BP±DQ,所以①正確；

對于②中，當(dāng)點(diǎn)P點(diǎn)與4點(diǎn)重合，與直線與c所成的角最小，此時(shí)兩異面直線的夾角為60，所以②不正確；

對于③中，設(shè)平面兩條對角線交點(diǎn)為。，可得平面08。，

平面08。將四面體3DPQ可分成兩個(gè)底面均為平面0BD,高之和為PQ的棱錐，

所以四面體的體積一定是定值，所以③正確；

對于④中，四面體BDPQ在上下兩個(gè)底面上的投影是對角線互相垂直且對角線長度均為1的四邊形，其面積為定義，

四面體BDPQ在四個(gè)側(cè)面上的投影，均為上底為正，下底和高均為1的梯形，其面積為定值，

2

故四面體3DPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值，所以④正確.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了以空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征為載體的謎題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，異面

直線的關(guān)系和椎體的體積，以及投影的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與論證能力，屬于中檔試題.

1

14、—

55

【解析】

由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可

【詳解】

從11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)有種不同的方法，其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共（3,4,5）,（6,8,10）,（5,12,13）三種，所以,

八31

所求概率為

故答案為白

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化，考查組合問題，數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).

15、+4>/2

【解析】

先求出拋物線產(chǎn)=2四的準(zhǔn)線方程，然后根據(jù)點(diǎn)4（4,/句到準(zhǔn)線的距離為6,列出4+^=6,直接求出結(jié)果.

【詳解】

拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=

由題意得4+'=6,解得。=4.

2

■:點(diǎn)A（4,in）在拋物線/=2四上，

*"?tn"=2x4x4，?**m=+4^2，

故答案為：±4也.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

7_

當(dāng)〃=1時(shí)，由2s1=5a「7=2ai，解得4=耳，當(dāng)〃22時(shí)，2s“=5a“-7,2S,i=5/_1-7,兩式相減可得

2an=5an-，即5a?_,=3ati,可得數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列再求通項(xiàng)公式.

【詳解】

7

當(dāng)九=1時(shí)，2s1=5%-7=2%,即

當(dāng)〃之2時(shí),2Sn=5an—72sAi=5an_x—7,

兩式相減可得=5?！币?。"_],

即=3%,

75

故數(shù)列｛凡｝是以1為首項(xiàng)，§為公比的等比數(shù)列,

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的前幾項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，還考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)有97.5%的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)；(2)67元，見解析.

【解析】

(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)代入公式，結(jié)合臨界值即得解；

(2)X的可能取值為40,60,80,1,根據(jù)題意依次計(jì)算概率，列出分布列，求數(shù)學(xué)期望即可.

【詳解】

(1)由題得

片_200(40x40-80x40)2

5.556>5.024,

-120x80x80x1209

所以，有97.5%的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān).

(2)由題意可知X的可能取值為40,60,80,1.

1113

p(X=40)=-x60%=-,P(X=60)=-x60%=—,

p(x=80)=30%+(x60%=|,P(X=90)=10%/.

則X的分布列為

X4060801

1321

p

5107io

1321

所以，EX=40x-+60x—+80x-+90x—=67(元).

510510

【點(diǎn)睛】

本題考查了統(tǒng)計(jì)和概率綜合，考查了列聯(lián)表，隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生數(shù)據(jù)處理，綜合分

析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

18、見解析

【解析】

222—

已知條件+F方+一3=2,需要證明的是白行+廣^+1彳40，要想利用柯西不等式，需要

1+x21+/1+z21+x1+/1+Z2

222y222y22、

」+上zX(xZ

+二的值，發(fā)現(xiàn)1++1+y=3-+l+y2+1+z'=1,則可以用柯西不等式.

1+x2l+y2[1+x22

【詳解】

X2y2+上

1+x2+5=2,

l+y21+z

…------yH-----7H-----y=1------7+1-----7+1-----不—1.

1+xl+y1+z1+xl+y1+z

由柯西不等式得，

(x2y2z2Y111xyz

11+%2.Jl+z2j[l+%2.J1+z2j(]+九2.J1十

(、2

XyZ

-------------1--------------1-------------

2

11+%21+/1+ZJ

-----------7^-----5<42.

1+xl+y1+z

【點(diǎn)睛】

本題考查柯西不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19、（1）①丁=1；②8079；（2）|-℃,2--J

ke-1

【解析】

4—xr（x）/「；+4,

(1)①1=1時(shí)，/(x)=In-----Fx-1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出函數(shù)f（X）在（2,/（2））處的切

x

線方程.

4-r12S079

②由f(x)=In—+X-1,得/?(元)+〃4-x)=2,由此能求出S=/(-)+/(-)+...+/(—)的值.

x2020202020202020

(2)根據(jù)若對任意給定的x°e(0,e],在區(qū)間(0,e]上總存在兩個(gè)不同的毛。=L2),使得《玉)=g(x0)成立，得到

函數(shù)《X)在區(qū)間(0,e]上不單調(diào)，從而求得。的取值范圍.

【詳解】

4—x

(1)a=l,/(%)=In-------l-x-1

x

:./(x)=ln(4-x)-lnx+x-l,(0<x<4)

???r(x)=-.?.八2)=0,???“2)=1,

4XX

所以切線方程為y=L

4—xx

②/(%)=In-------i-x-1,/(4-x)=ln-------i-4-x-l

x4-x

???/(%)+/(4—?=2,(0v兄V4).

令龍=上,則/(1)+/(4--)=2,(z=l,2,,4n-l).

nnn

因?yàn)镾“=/d)+/(2)++/(4--)+/(4-l)@,

nnnn

1221

所以S.=/(4—)+/(4—)+???+/(-)+/(一)②，

nnnn

由①+②得2Sn=2(4〃一1),所以Sn=4n-l,(neN*).

所以邑020=8079.

(2)g'(x)=/T—相修=(1—x)}\當(dāng)xe(0,l)時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,e]時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減???g(0)=0,g⑴=1，g(e)=^>0

所以，函數(shù)g(x)在(0,e]上的值域?yàn)?0,1].

2

因?yàn)閼?,‘⑴.2q2=(2-a)(x-/,xe(0,e]

XX

22

故0<------<e〃<2—①

2-a9e9

此時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)以%)、《％)的變化情況如下:

2(2]

X(0,J)

2-a2-。

t\x)—0+

“X)單調(diào)減最小值單調(diào)增

22

=—2In—---,%(e)二

2—a

對任意給定的％e(O,e］,在區(qū)間(0,e］上總存在兩個(gè)不同的七。=1,2),

使得K%)=g(%)成立，當(dāng)且僅當(dāng)，滿足下列條件

方『)402

。一21n<0

<2-a即《2—CL

(2-tz)(e-l)-2>l

令/z(a)=6z-21n----,aG[-OO,2—J,

h'(a)=1-2[ln2-ln(2-a)]，=1-----=,

2—aci—2

2

當(dāng)。￡(—8,0)時(shí)，〃(Q)>0,函數(shù)餌。)單調(diào)遞增，當(dāng)QW(0,2——)時(shí)，h\a)<Q函數(shù)依。)單調(diào)遞減所以，對任意

ef

22

ae(-oo,2——),有h(a)</z(0)=0,即②對任意aG(-00,2——)恒成立.

ee

3

由③式解得：a<2-----.④

e-1

綜合①④可知，當(dāng)ae[-oo,2)時(shí)，對任意給定的為e(O,e],

在［0,e)上總存在兩個(gè)不同的%；(z=l,2),使/(%)=g(x0)成立.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值問題，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性,

會(huì)根據(jù)函數(shù)的增減性求出閉區(qū)間上函數(shù)的最值，掌握不等式恒成立時(shí)所滿足的條件.不等式恒成立常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值

問題解決.

20、(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為ay(a>0),直線/的普通方程為x+y—l=0；(2)?=1

【解析】

⑴由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式和參數(shù)方程與普通方程的互化，即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

(2)把/的參數(shù)方程代入拋物線方程中，利用韋達(dá)定理得彳+今=4啦+啦a,他=8+2。，可得到

1MMTt—oiPMrlPNkG，根據(jù)因?yàn)閨。閭，|PN|成等比數(shù)列，列出方程，即可求解.

【詳解】

（1）由題意，曲線C的極坐標(biāo)方程可化為22cos2。=。2sin。,（。＞0）,

又由＜.z可得曲線。的直角坐標(biāo)方程為了=金（。＞0）,

y-psmO

\9代

x=2------1

2

由直線/的參數(shù)方程為L。為參數(shù)），消去參數(shù)/，得x+y-1=0,

10

y=-Id----1

[-2

即直線I的普通方程為x+y-1=0；

[?凡

x=2---1

（2）把/的參數(shù)方程,2代入拋物線方程中，得廣―（40+耳）/+（8+2a）=0,

IV2

y=-1H----1

[2

由A=2/+8a＞0，設(shè)方程的兩根分別為6,K,

則4+芍=4&+0。＞0,柩2=8+2a〉0,可得乙〉0,,＞0.

所以|肱Vg/1T2I，歸時(shí)=取

因?yàn)閨肱V|,|PN|成等比數(shù)列，所以（4—,2）2=V2,即（4+,2）2=5竄2，

則+=5（8+2a）,解得解得a=l或a=—4（舍），

所以實(shí)數(shù)。=1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程，以及參數(shù)方程與普通方程的互化，以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用，其中解答

中熟記互化公式，合理應(yīng)用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

21、（1）證明見解析

⑵同

6

【解析】

（1）取AC中點(diǎn)歹，連接ED,EB,得可得FA=FB=FC,

可證。F4&NB,可得DFLFB,進(jìn)而D-，平面ABC,即可證明結(jié)論;

(2)設(shè)瓦G,“分別為邊AB,CD,的中點(diǎn)，連DE,EF,GF,FH,HG,可得Gb//A￡>,GH//BC,EF//BC,

可得NR汨(或補(bǔ)角)是異面直線AO與所成的角，可得即，AB,NDEF為二面角C—。

的平面角，即NDEF=60，設(shè)AD=a,求解AFGH,即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)證明:取AC中點(diǎn)凡連接ED,EB,

由ZM=DC,則DBJ,AC,

AB±BC,則以=用=尸。，

7T

故DFAm,DFB,ZDFB=ZDFA=-,

2

DF±AC,DF±FB,ACcFB=F

.?.OF，平面ABC,又D尸u平面AC。，

故平面ABC_1_平面ACD

(2)解法一:設(shè)G,H分別為邊8,8。的中點(diǎn)，

里FGIIAD,GHIIBC,

ZFGH(或補(bǔ)角)是異面直線AD與所成的角.

設(shè)E為邊的中點(diǎn)，則即/ABC,

由ABLBC,知所，AB.

又由(1)有D尸，平面ABC,，。A3,

EFZ)/=平面。

所以NDEF為二面角C—AB—D的平面角，.?./￡>石尸=60，

設(shè)。4=。。=。3=之則。歹=4￡>/010=幺

2

在RtADEF中,EF^--—^—a

236

從而GH=^BC=EF=^a

26

在RVBDb中，F(xiàn)H=-BD=-,

22

又BG=LAD=0,

22

從而在.FGH中,因FG=FH,

LGHH

cosAFGH=------=—

FG6

因此，異面直線AD與BC所成角的余弦值為立

6

解法二:過點(diǎn)尸作械，AC交AB于點(diǎn)M,

由(1)易知/CEO,9兩兩垂直，

以P為原點(diǎn)，射線刊0,天。,尸。分別為x軸，

y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系歹-孫z.

不妨設(shè)A￡>=2,由Cr>=AD,NC4D=30°,

易知點(diǎn)A,C,。的坐標(biāo)分別為A