山東省淄博市沂源縣2023-2024學年八年級下學期期中數(shù)學試題（含答案解析）

山東省淄博市沂源縣實驗中學2023-2024學年八年級下學期

期中數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.二次根式^/^^有意義，則機的取值為（）

A.m<-2B.mW-2C.m>-2D.加取任意實數(shù)

2.與0是同類二次根式的是（）

A.JB.石C."

D.y[6

3.下列各式中正確的是（）

A.J/y=-7B.79=±3

C.（-V2）2=4

D.73-473=-35/3

4.如果唬二是二次根式，那么x應滿足的條件是（）

A.xr8B.x<8C.x<8D.x>0且x，8

5.如圖，口ABC。的對角線AC與5。相交于點。AB±ACf若AB=4,AC=6,則

6.給出以下方程的解題過程，其中正確的有（）

①解方程（（尤-2）2=16,兩邊同時開方，得％-2=±4,移項得％=6,X2=-2；②解方

程-2-兩邊同時除以J得x=l,所以原方程的根為%=%=1；③

解方程（x—2）（x—1）=5,由題得x—2=1,x—1=5,解得％=3,x2=6；④方程

(x-機>=〃的解是玉=〃?+?,x2=m-4n.

A.0個B.2個C.3個D.4個

7.某種植基地2016年蔬菜產(chǎn)量為80噸，預計2018年蔬菜產(chǎn)量達到100噸，求蔬菜產(chǎn)

量的年平均增長率，設蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為X,則可列方程為()

A.80(1+x)2=100B.100(1-x)2=80C.80(1+2x)=100

D.80(1+x2)=100

8.ifM275x3A/10=()

A.6V15B.6病C.30&D.30小

9.一元二次方程5/-2x=0的解是()

225

A.玉=0,%2=-1B.%=0,C.玉=0%2=一萬

D.石=0,*2=5

10.如圖，已知菱形ABCD的對角線AC.BD的長分別為6cm、8cm,AE±BC于點E,

則AE的長是()

A.56cmB.2A/5CUIC.—cmD.—cm

11.若=3-b,則6的取值范圍是()

A.b<3B.慶3C.b>3D.b>3

12.已知D>。，化簡二次根式xj的正確結(jié)果為()

A.6B.4~yC.-yfyD.-ypy

二、填空題

13.計算代義布-版結(jié)果是.

14.方程x(x—2)=0的解為.

15.若矩形對角線長為12,對角線與一邊夾角為30°,則該矩形的周長是

16.觀察下列等式：

第1個等式：a\=]+.=\/2-1?

第2個等式：2=④+班=6-0，

試卷第2頁，共6頁

第3個等式：%==+2=2-6,

第4個等式：%=/6=6-2,

按上述規(guī)律，計算a1+a2+a3+an=.

17.如圖，點G是邊長為4的正方形ABC。的對角線上一動點，點E在邊CD上,CE=1,

則DG+GE的最小值為______.

18.如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)的一點，連接AE、BE、CE,將△ABE繞點B順時

針旋轉(zhuǎn)90。到△CBE，的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,貝|NBEC=_度.

三、解答題

19.計算：

(1)^-15J-+-V48

V34

(3)(2』+百)(2』-百)

(4)^2712-4^x372

20.解方程：

(1)尤2+10尤+25=0

(2)5%2-9X-18=0.

(3)(x-2)(x-3)=12

(4)尤2-4彳+5=0

21.已知關于x的一元二次方程f—4x+機+1=0有兩個不相等的實數(shù)根,

(1)求m的取值范圍;

(2)當〃?=T時，求出此時方程的兩個根.

22.觀察下列等式：回答問題:

—1,11

①J1+=+F=1+------

VI22211+1

⑴根據(jù)上面三個等式的信息，猜想----------

(2)請按照上式反應的規(guī)律，試寫出用，，表示的等式;

(3)驗證你的結(jié)果.

23.如圖所示，ZADB=ZADC,BD=CD.

⑴求證：AABD烏AACD；

⑵設E是AD延長線上的動點，當點E移動到什么位置時，四邊形ACEB為菱形？說明

你的理由.

24.澄城是渭北地區(qū)規(guī)模最大、品種最全、果質(zhì)最好的櫻桃產(chǎn)區(qū).色澤鮮美、味美形嬌

的澄城櫻桃，備受消費者青睞.某水果商以每斤1。元的價格從該縣批發(fā)櫻桃，再按每

斤20元價格到市區(qū)銷售，平均每天可售出100斤，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每斤櫻桃的售

價每降低1元，那么平均每天的銷售量會增加20斤，為了盡快減少庫存，該水果商決

定降價銷售.

(1)若將櫻桃每斤的價格降低尤元，則每天的銷售量是斤(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)水果商銷售櫻桃每天盈利1120元，每斤櫻桃的售價應降至每斤多少元？(其他成本

忽略不計)

25.如圖①，正方形ABCD中，點E是對角線AC上任意一點，連接DE、BE.

試卷第4頁，共6頁

⑴求證：DE=BE；

(2)當4￡=相=2時，求四邊形ABED的面積;

(3)如圖②，過點E作所_L.DE交42于點R當砥=3尸時，若AB=6+1，求AF的

長.

26.如圖，菱形A8CD的對角線AC、BD相交于點0,過點D作。石〃AC且OE=^AC,

連接AE、CE.

(1)求證：四邊形0C即為矩形；

(2)若菱形ABCD的邊長為2,/BCD=60。,求AE的長.

27.如圖，矩形A8CD中，點、E、尸分別在邊A3、CD上，AE=CF,所與對角線AC交

于點O,S.BE=BF,NBEF=2/BAC.

(1)求證：OE=OF；

(2)求證：4BOF咨4BCF；

(3)若BC=26，求A3的長.

28.如圖，AB//CD,E、尸分別是直線A3、C。上一點，連接E尸，NAEF、Z.CFE

的平分線交于點G,ZBEF、/"E的平分線交于點連接GH交E產(chǎn)于點K.如果過

點、G作MN〃EF,分別交A3、CD于點M、N,過點H作PQ〃石尸，分別交A3、CD

于點尸、Q，得到四邊形"NQP.求證：四邊形MNQP是菱形.

29.以ABC的各邊，在邊BC的同側(cè)分別作三個正方形.他們分別是正方形ABDI,

BCFE,ACHG,試探究：

⑴如圖中四邊形ADEG是什么四邊形？并說明理由.

(2)當,ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是矩形？

(3)當，ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是正方形？

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.c

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握被開方數(shù)是非負數(shù)是解題關鍵.根據(jù)題意

得利+220,解不等式即可求解.

【詳解】解：二次根式而，有意義，

/.m+2>0,

/.m>—2,

故選：C.

2.B

【分析】根據(jù)同類二次根式的定義進行解答.

【詳解】解：血的被開方數(shù)是2.

A、匹L:是有理數(shù)，不是二次根式，故本選項錯誤；

V422

B、￡=今被開方數(shù)是2,所以與0是同類二次根式，故本選項正確；

C、4=2,2是有理數(shù)，不是二次根式，故本選項錯誤；

D、布被開方數(shù)是6,所以與血不是同類二次根式，故本選項錯誤；

故選：B.

【點睛】本題考查同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相

同的二次根式稱為同類二次根式.

3.D

【分析】A根據(jù)二次根式的性質(zhì)判斷；

根據(jù)后表示9的算術平方根，求出即可判斷B答案；

(-V2)2=2將，即可判斷C；

根據(jù)二次根式的加減法則：把同類二次根式的系數(shù)相加，根式不變，求出即可判斷D.

【詳解】晅f=7#7,故A錯誤；

次=3丹3,故B錯誤；

(-V2)2=2#4,故C錯誤；

答案第1頁，共20頁

73-4A/3=-3A/3,故D正確.

故選D.

【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和二次根式的加減法等知識點的應用，能熟練地運用法

則進行計算是解此題的關鍵，題目比較典型，但是一道比較容易出錯的題目.

4.C

【詳解】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于?？傻?8-xNO,解得:XV8,故選C.

5.C

【分析】通過平行四邊形ABCD性質(zhì)，可計算得A0；再結(jié)合ABLAC推導得一ABO為直角

三角形，通過勾股定理計算得8。，再結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，計算得到答案.

【詳解】解：,?FABC。的對角線AC與2。相交于點。，

:.BO=DO,AO=CO,

'：AB±AC,A8=4,AC=6,

：.ZBAO=90°,0A=3

???BO=y/AB^AO1=^42+32=5，

：.BD=2BO=10,

故選：C.

【點睛】此題考查了平行四邊形、勾股定理的知識，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形和勾

股定理的性質(zhì).

6.A

【分析】直接開平方法必須具備兩個條件：

(1)方程的左邊是一個完全平方式；

(2)右邊是非負數(shù)，將右邊看出一個非負已知數(shù)，利用數(shù)的開方解答.

【詳解】解：①應先將系數(shù)T化為1再開方，所以①錯；

②在不知道因式是否為。的情況下，將其作為除數(shù)來化簡方程，容易造成丟根，所以②錯;

③方程右邊不為0,不能用因式分解法解，所以③錯；

④當n為負數(shù)時，不能直接開平方，所以④錯.

故選：A.

【點睛】本題主要考查解一元二次方程，避免一些常見錯誤是解題的關鍵.

7.A

答案第2頁，共20頁

【分析】利用增長后的量=增長前的量x(l+增長率)，設平均每次增長的百分率為X,根據(jù)“從

80噸增加到100噸”,即可得出方程.

【詳解】由題意知，蔬菜產(chǎn)量的年平均增長率為X,

根據(jù)2016年蔬菜產(chǎn)量為80噸，則2017年蔬菜產(chǎn)量為80(1+x)噸，

2018年蔬菜產(chǎn)量為80(1+x)(1+x)噸，預計2018年蔬菜產(chǎn)量達到100噸,

即：80(1+x)2=100,

故選A.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用(增長率問題).解題的關鍵在于理清題目的含義，

找到2017年和2018年的產(chǎn)量的代數(shù)式，根據(jù)條件找準等量關系式，列出方程.

8.C

【分析】根據(jù)二次根式的混合運算和根式的性質(zhì)即可解題.

【詳解】解：2A/5X3710=6750=30拒,

故選C.

【點睛】本題考查了根式的運算，屬于簡單題，熟悉根式的性質(zhì)是解題關鍵.

9.B

【分析】利用提公因式分進行因式分解，再解方程，即可得到答案.

【詳解】解:x(5x-2)=0,

x=0或5x-2=0,

所以占=?；驘o2=《.

故選：B.

【點睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程

的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

10.D

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BO、CO的長，在RTABOC中求出BC,利用菱形面積等于

對角線乘積的一半，也等于BCXAE,可得出AE的長度.

【詳解】???四邊形ABCD是菱形，

；.CO=；AC=3,BO=1BD=4,AO±BO,

?*-BC=VCO2+BO2=V32+42=5.

答案第3頁，共20頁

S菱形ABCD=5BD-AC=-x6x8=24.

又?*S菱形ABCD=BC?AE,

???BCAE=24,

即AE=—(cm).

故選D.

點睛：此題考查了菱形的性質(zhì)，也涉及了勾股定理，要求我們掌握菱形的面積的兩種表示方

法，及菱形的對角線互相垂直且平分.

11.B

【分析】本題主要考查了化簡二次根式，根據(jù)值=時可得3-h20,即可得到6W3.

【詳解】解：???J(3—0)2=3*

：.3-b＞0,

???代3,

故選：B.

12.D

【分析】由?。?。，可知x和丁同號，由W＞。，可得y＜。，xv。，然后根據(jù)二次根式的

尤

性質(zhì)進行化簡即可.

【詳解】解：xy＞0,

x和y同號，

/.y<0,x<0,

故選：D.

【點睛】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)進行化簡.解題的關鍵在于確定％，＞的正負.

13.-372

【分析】先根據(jù)二次根式的乘法則運算，然后化簡后合并即可.

【詳解】解：^XA/6-772=718-672=3A/2-6A/2=-372,

故答案為：-3^2.

答案第4頁，共20頁

【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次

根式的乘除運算，再合并即可.在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二

次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

14.%=°，x?—2

【分析】根據(jù)“兩式相乘值為0,這兩式中至少有一式值為0”進行求解.

【詳解】解:由x(x-2)=0,得

x=0或無―2=0,

解得%=0,x2=2.

故答案為：=0,x2=2.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配

方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法.

15.12+1273

【分析】只要證明△AOB是等邊三角形，推出OA=OB=AB=6cm,求出AD即可求得周長.

【詳解】解：如圖：

R____sJc

?..四邊形ABC。是矩形，

：.ZBAD=90°,AD=BC,AB=DC=10cm,AC=2AO=2OC,BD=2OB=2OD,AC=BD,

：.OA^OB,

"：ZCAD=ZBDA=3Q°,

/.ZAOB=6Q°,

.?.△AOB是等邊三角形，

OA—OB=AB-6cm,

：.AD=BC=6y/3.

：.AC=2OA=2Qcm,

...該矩形的周長是2(AB+A。)=2X(6+673)=12+12右.

答案第5頁，共20頁

故答案為：12+125/3.

【點睛】本題考查了矩形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)和判定，主要考查學生運用定理進行計算和

推理的能力.

16.yjn+l—1/—1+y/n+1

【分析】首先根據(jù)題意，可得：%=/:/,然后根據(jù)分母有理數(shù)化的方法，求出算

式的值是多少即可.

【詳解】解：第1個等式：4=^^=拒-1，

第2個等式：％+=y[3—A/2,

第3個等式：/=6+2=2-逐，

第4個等式：%=2+道=非-2,

第〃個等式：=-——==+,

7rn+\n+l

%+/+。3++%

=5/2-1+y/3--\/2++y/n+1—y/n

=s/n+1-1

故答案為：Jn+1-1.

【點睛】此題主要考查了分母有理化的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：分母

有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式.

17.V17

【分析】在線段BC上取一點E,使得EC=EC=1,連接。E交AC于點G、連接GE,由四

邊形ABCD是正方形，EC=EC=1,得E\E關于直線AC對稱，從而有的長即為。G+GE

的最小值，于是利用勾股定理即可求解.

【詳解】在線段8C上取一點使得EC=EC=1,連接DE'交AC于點G、連接GE,

答案第6頁，共20頁

:四邊形ABC。是正方形，EC=EC=1,

:㈤、E關于直線AC對稱，

的長即為DG+GE的最小值，

VCD=4,CE'=1,

在RtAOCE'中，DE'=7CD2+CE,2=742+12=?，

故答案為：VF7.

【點睛】本題主要考查了最短距離，勾股定理，軸對稱，能根據(jù)軸對稱作出相應輔助線利用

勾股定理求解是解題的關鍵.

18.135

【詳解】試題分析：如圖，連接EE，，

:將△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。到ACBE，的位置，AE=1,BE=2,CE=3,

ZEBE,=90°,BE=BEr=2,AE=E,C=1.

：.EE'=2y/2,NBE，E=45。.

VE,E2+E,C2=8+1=9,EC2=9./.E^+E^EC2.

」.△EEC是直角三角形，.,.ZEE,C=90°./BE，C=135。.

19.(1)-V3

⑵40

⑶7

答案第7頁，共20頁

(4)1276-6

【分析】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的性質(zhì)和運算法則是解題關鍵;

（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再計算乘法，最后計算加減法即可；

（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再計算加減法即可；

（3）利用平方差公式計算即可；

（4）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)乘法分配律展開計算即可.

【詳解】（1）解：A/27-15J-+-^

V34

=3A/3-15?--?4A/3

34

=373-573+73

=一抬;

(2)解:(同一唬)+&

=5拒-20+立

=4A/2;

(3)解：(2如+⑹(26-⑹

=(2^)2-(<

=12-5

=7；

x30

=4A/3X3A/2-72X3^

=126—6

20.(1)西=%=-5

(2)&=——,%=3；

(3)%=6,x2=—1；

答案第8頁，共20頁

(4)無解

【分析】本題考查的是解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題關鍵.

(1)利用直接開方法解方程即可；

(2)利用因式分解法解方程即可；

(3)利用因式分解法解方程即可；

(4)利用公式法解方程即可.

【詳解】(1)解：%2+10%+25=0,

(X+5)2=0,

\x+5=0,

解得：玉=%=-5

(2)解：5/一9%-18=0,

(5x+6)(x-3)=0

.,.5%+6=0或％—3=0,

解得：玉=一二，%=3；

(3)解：(%—2)(%—3)=12,

f——3x+6—12—0，

%?-5x—6=0,

(x-6)(x+l)=0,

.,.%-6=0或x+l=0,

解得：%=6,x2=-l；

(4)解：X2-4X+5=0

a=l,b=—4fc=5,

.?.A=(T)2-4xix5=-4<o,

方程無解.

21.(1)m<3；(2)xj—0,X2—4.

【分析】(1)利用一元二次方程的根的判別式即可；

答案第9頁，共20頁

(2)利用因式分解法求解即可.

【詳解】(1)由題意得△=(一4)2_4(旭+1)>0

整理得16-4〃7-4>0

解得m<3；

(2)當〃?=-1時，方程變形為一一4元=0

因式分解,得式x-4)=0

即x=0或x—4=0

故玉=0,無2=4.

【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式、一元二次方程的解法，主要解法包括：直

接開方法、配方法、公式法、因式分解法、換元法等，熟記各解法是解題關鍵.

22.(1)1—

20

1

H(〃+1)

⑶見解析

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，二次根式的性質(zhì)與化簡，分式的化簡，觀察等式發(fā)現(xiàn)

一般規(guī)律是解題關鍵.

(1)根據(jù)已知等式完成猜想即可;

(2)根據(jù)已知等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可

(3)先通分，再結(jié)合完全平方公式化簡驗證即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)上面三個等式的信息，猜想、=1=1,；

V425244+120

故答案為：1二；

(2)解：由已知等式可知，J1+J+1

=11-I-I-----I--=11-\—--I-----.

n+l)12nn+1+，

⑶解"1+*+1

?+1)2

f+1)了+(〃+I)2+/

口5+1)了

答案第10頁，共20頁

+1。？+幾2+2〃+]+〃2

V[?(?+1)]2

+1)]2+2n2+2〃+1

![?(?+1)]~+2H(M+1)+1

v[?(w+1)]2

{[〃(〃+l)T

n(n+l)+l

n(n+l)

=1+—~-

7i(n+l),

23.⑴證明見解析

(2)當點E移動到BE=54的位置時，四邊形ACEB為菱形，理由見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，掌握四條邊相等的四邊形是菱

形是解題關鍵.

(1)利用“SAS”證明全等即可;

(2)由(1)可知，△ABDJACD,得至ljAB=AC,進而證明BDE會BDE(SAS),得

到3E=CE,即可證明.

【詳解】(1)證明：在△ABD和,ACZ)中，

BD=CD

<NADB=ZADC,

AD=AD

ABD沿ACD(SAS)；

(2)解：當點E移動到3E=54的位置時，四邊形ACEB為菱形，理由如下：

由(1)可知，四△ACD,

AB-AC,

ZADB=ZADC,

:.NBDE=NCDE,

答案第11頁，共20頁

在△BDE和CDE中,

BD=CD

，ZBDE=ZCDE,

DE=DE

BDE^.SDE(SAS),

:.BE=CE,

.-.AC=AB=BE=CE,

四邊形ACES為菱形.

24.(1)(100+20%)

⑵17

【分析】（1）利用每天的銷售量=100+20x降低的價格，即可用含x的代數(shù)式表示出每天的

銷售量；

（2）根據(jù)水果商銷售櫻桃每天盈利的盈利=每斤的利潤x每天的銷售量，即可得出關于x的

一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合為了盡快減少庫存，即可確定x的值，將其代

入（20-尤）中即可求出每斤櫻桃的售價.

【詳解】（1）解：：按每斤20元價格到市區(qū)銷售，平均每天可售出100斤，如果每斤櫻桃

的售價每降低1元，那么平均每天的銷售量會增加20斤，

???將櫻桃每斤的價格降低尤元，則每天的銷售量為（100+20X）斤.

故答案為：（100+20x）.

（2）解：依題意得：（20-X-10）（100+20%）=1120,

整理得：爐-5x+6=O,

解得：占=2,尤2=3,

又???為了盡快減少庫存，

.*.x=3,

答案第12頁，共20頁

.*.20-x=17.

答：每斤櫻桃的售價應降至17元.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及列代數(shù)式，解題的關鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之

間的關系，用含尤的代數(shù)式表示出每天的銷售量；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方

程.

25.（1）證明見解析;

⑵20;

⑶6-1

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，易證-CDE0_CBE（SAS）,即可得出結(jié)論；

（2）連接即，交AC于點。，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得至】JOD=O3=；3O=夜，再根據(jù)四邊

形ASED的面積=SABE+SADE，即可得到答案；

（3）過點E作EM_LAB于點根據(jù)四邊形內(nèi)角和與等角對等邊的性質(zhì)，證明△3EF是

等邊三角形，^FM=BM=x,則再結(jié)合正方形的性質(zhì)，得至ljAM=EM=5/io

進而求出x=l,即可得到"的長.

【詳解】（1）證明：四邊形ABCD是正方形，

:.CD=BC,ZACD=ZACB=45°,

在cCDE和中，

CD=CB

<ZDCE=NBCE,

CE=CE

...CD?C阻SAS）,

/.DE=BE；

（2）解:如圖，連接5。，交AC于點0,

四邊形ABC。是正方形，AB=2,

.-.AD=AB=2,Z&W=90°,BDLAC,OD=OB,

BD=\lAD2+AB2=272,

答案第13頁，共20頁

：.OD=OB=-BD=y[2,

2

ii]]

A四邊形ABED的面積=S^+S3=eAE-OB+5AEOD=5x2xg+ex2x&=20

D-------------------.C

(3)解：如圖，過點E作現(xiàn)T_LAB于點V,

由(1)可知，△CDE0ZXC8E,

:"CDE=/CBE,

ZADC=ZABC=ZBAD=9Q°,

.\ZADE=ZABE,

DE^EF,

:./DEF=9伊,

ZADE+ZAFE=360°-ZZMF-ZD￡F=180°,

ZAFE+NEFB=180。,

:.ZADE=ZEFB=ZABEf

：.EF=BE

BE=BF,

[BEE是等邊三角形，

：.ZEBF=60°,FM=BM=-BF,

2

設FM=BM=x,貝！]BE=BF=2x,

EM=y/BE2-BM2=y/3x，

四邊形ABC。是正方形，

:.ZBAE=45°,

:.AM=EM=y/3x，

AM+BM=AB,

y/3x+X=^A/3+1)%=y/3+1,

??%=1,

答案第14頁，共20頁

AF=AM-FM=y[3-l

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì),

勾股定理等知識，正確作輔助線是解題關鍵.

26.⑴見解析

（2）713

【分析】（1）先證四邊形OCE。是平行四邊形，再由NQOC=90。，即可得出結(jié)論；

⑵先證△BCD是等邊三角形，得BD=BC=2,再由勾股定理得。。=百，則AC=20c=2布,

然后由矩形的性質(zhì)得CE=OZ）=1,ZOCE=90°,最后由勾股定理即可得出答案.

【詳解】（1）

證明：：四邊形ABC。是菱形，

：.AC±BD,AO=OC=gAC,

ZDOC=90°,

'：DE//AC,DE=^AC,

:.DE=OC,DE//OC,

/.四邊形OCED是平行四邊形，

又?.?/QOC=90°,

平行四邊形。。即是矩形；

（2）解：：四邊形ABC。是菱形，

：.ACLBD,BC=CD=8,OB=OD,AO^OC^^AC,

答案第15頁，共20頁

'：ZBCD=6Q0,

：.△BC。是等邊三角形，

：.BD=BC=2,

：.OD^OB^1,

℃=yjBC2-OB2=722-l2=A/3，

...AC=2OC=2A/L由（1）得：四邊形OCE。為矩形，

，CE=OO=1,ZOCE=90°,

在MAACE中，由勾股定理得：

AE=VAC2+EC2=?。?國+廿=y/13,

故答案為：V13.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角

形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握菱形性質(zhì)，證明四邊形。CE。為矩形是解題

的關鍵.

27.（1）見解析；（2）見解析；（3）6

【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是矩形，可以用矩形的性質(zhì)即可求解；

（2）連接。3,知道四邊形ABC。是矩形，可以得到/3CF=90。，

NBEF=2ZBAC,NBEF=ABAC+ZEOA,即可求出△BOF學ABCF；

（3）根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】（1）證明：???四邊形是矩形，

：.AB//CD,

：.ZCAE=ZACF,ZCFO=ZAEO,

在AAOE和ACO/中，

ZCAE=ZACF

■ZCFO=ZAEO,

AE=CF

.AOEqCOFCA4S）,

OE=OF；

（2）證明：如圖，連接OB,

答案第16頁，共20頁

VOE=OF,BE=BF,

：.BOLEF,且/EBO=/FBO

：.ZBOF=90°.

???四邊形A3CD是矩形，

:.ZBCF=90°

又ZBEF=2/BAC,ZBEF=ABAC+ZEOA,

：.ZBAC=ZEOA

：.AE=OE.

VAE=CF,OE=OF,

：.OF=CF.

又BF=BF,

：.Rt.BOF^RtBCF(HL).

(3)解：9：BF=BE,OE=OF,

：.BO1EF,

由(1)知，AAOE^ACOF,

：.OA=OC,

???四邊形ABC。是矩形，

???ZABC=90°,

：.BO=-AC=OA,

2

???ABAC=NOBA,

又/BEF=2/BAC,

：.ZBEF=2ZOBE,

而H05石中，ZBEO-^-ZOBE=90°f

：.ZBAC=30°,

答案第17頁，共20頁

,/BC=2A/3,

/.AC=2BC=473,

；?AB=ylAC2-BC2=6.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，

直角三角形的性質(zhì)，作輔助線和運用勾股定理是解題的關鍵.

28.見解析

【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，掌握特殊的四邊形的判定和性

質(zhì)是解題關鍵.根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，證明四邊形EGEH是矩形，進而證

明四邊形MGKE是菱形，同理可證，四邊形EKHP、GNFK、FQHK是菱形,得到"P=M7V,

即可證明結(jié)論.

【詳解】解:AB//CD,

ZAEF+ZCFE=180°,ZAEF=ZDFE,ZBEF=Z.CFE

ZAEF、/CFE的平分線交于點G,ZBEF、/DFE的平分線交于點X,

：.ZGEF=-ZAEF,ZEFH=-ZDFE,ZEFG=-ZCFE,ZFEH=-ZBEF,

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