云南省開遠市2023-2024學年高二年級下冊3月月考試題數(shù)學

開遠一中2024春季學期高二3月月考測試

數(shù)學

考生注意：

1.本試滿分150分，考試時間120分鐘.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無效.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試卷、草稿紙上作答無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.集合人國1叱叫，集—2"｝,則一8=（）

A（0,1]B,（0,2]C,[-2,1]D,[-2,2]

2.已知i是虛數(shù)單位，在復平面內，復數(shù)-1+i和1-i對應的點間的距離是（）

A.0B.1C.V2D.272

3.2023年5月，浙江衛(wèi)視《奔跑吧11》第四期節(jié)目打卡爽爽的貴陽城.周深在內的兄弟團成員和以劉宇等

為成員的INTO1組合與來自貴陽社會各界的400位青年一起在貴州大學體育館唱響了一場“青春歌會”.節(jié)

目組在前期準備工作中統(tǒng)計出了排名靠前的10首人們喜歡的贊頌青春的歌曲.在活動中，兄弟團成員要從

這10首歌曲中競猜排名前5名的歌曲，則在競猜中恰好猜對2首歌曲的概率為（）

322551

A.——B.—C.-----D.-----

6363126252

若E=3,&+邑=18,則其='

4.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S）,.()

24

A.21B.48C.75D.83

21

5.已知a>0,b>0,直線（a—l）x+y—l=0和x+2勿+1=0垂直，則一+一的最小值為（）

ab

A.2B.4C.8D.16

6.在三棱錐尸—48。中，尸4尸民尸。兩兩垂直，且P4=l,尸3=2，尸。=3,三角形48c重心為G,則

點尸到直線4G的距離為（）

A-B.叵C.mD.叵

331717

7.直線/經(jīng)過拋物線「=6x的焦點尸，且與拋物線交于A,B兩點.若廠|=3忸廠則|45|=（)

99

A.4B.-C.8D.

24

422

8.已知。=ln—,b=—,c=sin—,貝ij()

377

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.a<c<b

二、選擇題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知二項式（3x-l）”的展開式中各項的系數(shù)的和為128,則下列結論中正確的有（）

A.展開式共有7項B.所有二項式系數(shù)的和為128

C.只有第4項的二項式系數(shù)最大D.展開式的常數(shù)項為-1

10.聲音是由物體振動產生的聲波，純音的數(shù)學模型是函數(shù)y=Zsinof,我們聽到的聲音是由純音合成,

稱為復合音.若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)/（x）=sin；x-gsinx,則下列結論中正確的是（）

A./（X）是奇函數(shù)B./（x）在區(qū)間（0,2兀）內有最大值把

4

C./（x）的周期是27rD./（x）在區(qū)間（0,2兀）內有一個零點

11.已知曲線C：+匕=1的焦點為片，F(xiàn)2,點尸為曲線。上一動點，則下列敘述正確的是（）

4—mm

A.若加=1,則△「周耳的內切圓半徑的最大值為指-2

B.若加=3,則曲線C的焦點坐標分別是大卜亞,0）,巴（亞,0）

C.若曲線。的離心率為e=2?，則7=-2或根=6

3

7T

D.若曲線。是雙曲線，且一條漸近線的傾斜角為一，則％=-2

3

12.關于空間向量，以下說法正確的是（）

A.若空間向量萬=。,0,1）,6=（0,1,-1）,則萬在B上的投影向量為］（）,—$；］

—■2—-1—■1—-

B.若對空間中任意一點。，有。尸=—Q4——OB+-OC,則P,A,B,。四點共面

362

c.若空間向量彳，B滿足限3>0,則彳與B夾角為銳角

D.若直線/的方向向量為玩=(2,4,—2),平面0的一個法向量為萬=(—1,—2,1),貝!

第H卷(非選擇題共90分)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知角0的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，點(-1,6)在角a的終邊上，則

sin2。=.

14.已知隨機變量X,y,其中X?8，,；),y?N(〃,b2),E(x)=E(y),P(r]<2)=0.3,則

P(Y>6)=.

15.若函數(shù)/(x)=》3-gaY+x在［1,3］存在單調遞減區(qū)間，則。的取值范圍為.

16.如圖，A、3兩點分別在尤、V軸上滑動，OP1AB,P為垂足，尸點軌跡形成“四葉草”的圖形,

若48=2,則△CMP的面積最大值為.

四、解答題：共6個小題，滿分70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.設Sn為數(shù)列｛4｝的前〃項和.已知4%-3Sn=n.

(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列;

(2)設〃=log2(3a,2+1),求數(shù)列<—>的前n項和Tn.

18.在銳角中，角A、B、。所對的邊分別為。、b、c.

@2acosB+b-2c=Q；②5￡+￡=/_；③taaB=卷。+一.

cosBbsin28V3tanC-l

在以上三個條件中選擇一個，并作答.

(1)求角A；

(2)已知的面積為6，40是5。邊上的中線，求4D的最小值.

19.某校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為3:3:4,三個年級的學生都報名參加公益志愿活動，經(jīng)過

選拔，高一年級有工的學生成為公益活動志愿者，高二、高三年級各有工的學生成為公益活動志愿者.

34

(1)設事件5="在三個年級中隨機抽取的1名學生是志愿者”；事件&="在三個年級中隨機抽取1名學

生，該生來自高i年級”(7=1,2,3).請完成下表中不同事件的概率并寫出演算步驟：

事件概率尸(4)尸(叫4)P(3⑷P(B)

]_

概率值

3

(2)若在三個年級中隨機抽取1名學生是志愿者，根據(jù)以上表中所得數(shù)據(jù)，求該學生來自于高一年級的概

20.已知多面體的底面48c。為矩形，四邊形廣為平行四邊形，平面￡8。J■平面48CD,

FB=FC=BC=2,AB=4,G是棱CF上一點.

(2)當5G〃平面NEE時，求BG與平面QEG所成角的正弦值.

21.在直角坐標平面內，已知/(-2,0),3(2,0),動點p滿足條件：直線P4與直線尸3斜率之積等于-；，

記動點尸的軌跡為E.

(1)求E的方程；

(2)過直線/：x=4上任意一點。作直線勿與,分別交E于"，N兩點，則直線跖V是否過定點？

若是，求出該點坐標；若不是，說明理由.

22.牛頓迭代法是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)域和復數(shù)域上近似求解方程的方法.比如，我們可以先

猜想某個方程/(x)=0的其中一個根r在x=x0的附近，如圖所示，然后在點(%,/(%))處作/(x)的切

線，切線與x軸交點的橫坐標就是為，用為代替毛重復上面的過程得到巧；一直繼續(xù)下去，得到吃,為,

々，……,Xn.從圖形上我們可以看到X1較不接近r,々較為接近7?，等等.顯然，它們會越來越逼近廠.于

是，求「近似解的過程轉化為求X.，若設精度為名則把首次滿足氏-工"/<￡的當稱為〃的近似解.

己知函數(shù)/(%)=1+(4-2卜+0,<7eR.

(1)當a=1時，試用牛頓迭代法求方程/(x)=0滿足精度￡=0.5的近似解(取飛=-1,且結果保留小

數(shù)點后第二位)；

(2)若/(x)—1nx?o,求。的取值范圍.

開遠一中2024春季學期高二3月月考測試

數(shù)學

考生注意：

1.本試滿分150分，考試時間120分鐘.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無效.超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試卷、草稿紙上作答無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1集合/={x|log2X?0},集合8=卜表4},則一8=()

A.(0,1]B,(0,2]C,[-2,1]D,[-2,2]

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式求出集合48,利用交集的定義得出結果.

【詳解】：/=何log2x<0}=log2x<log21}=1x|0<x<1},

B=1x|x2<4|=-2<x<2j,

zn8={xio<x〈i},即/nB=(o[].

故選：A.

2.已知i是虛數(shù)單位，在復平面內，復數(shù)-1+i和1-i對應的點間的距離是()

A.0B.1C.V2D.272

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義，分別得到兩復數(shù)對應點的坐標，再由兩點間距離公式，即可得出結果.

【詳解】由于復數(shù)-1+i和1-i對應的點分別為(—U),(1,-1),

因此由兩點間的距離公式，得這兩點間的距離為7(-1-1)2+(1+1)2=272.

故選：D.

3.2023年5月，浙江衛(wèi)視《奔跑吧11》第四期節(jié)目打卡爽爽的貴陽城.周深在內的兄弟團成員和以劉宇等

為成員的INTO1組合與來自貴陽社會各界的400位青年一起在貴州大學體育館唱響了一場“青春歌會”.節(jié)

目組在前期準備工作中統(tǒng)計出了排名靠前的10首人們喜歡的贊頌青春的歌曲.在活動中，兄弟團成員要從

這10首歌曲中競猜排名前5名的歌曲，則在競猜中恰好猜對2首歌曲的概率為()

322551

A.—B.—C.-----D.-----

6363126252

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用排列、組合求出試驗的基本事件總數(shù)及事件所含基本事件數(shù)，再利用古典概

率計算作答.

【詳解】依題意，10首歌曲任意排列名的試驗有A；；個基本事件，

恰好猜對2首歌曲的事件8含有C；C；A；A；個基本事件，

所以在競猜中恰好猜對2首歌曲的概率P(B)=。5父5A5=10x10x120=21.

A；：10x9x8x7x663

故選：B

4.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為若百=3,^+^=18,則$5=()

A.21B.48C.75D.83

【答案】C

【解析】

【分析】設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,利用等差數(shù)列的求和公式求出d的值，再利用等差數(shù)列的求和公式

可求得&的值.

【詳解】設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則用廠+24

nn-01+2

又因為q=&=3,則——H——=a,-\----F<7,H—d=2G.+2d=6+2d=18,解得d=6,

2422

5x4

因此，S5-5ax+2d=54+10d=5x3+10x6=75.

故選：C.

21

5.已知a>0,b>0,直線(a—l)x+y—l=0和x+2勿+1=0垂直，則一+一的最小值為()

ab

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【解析】

【分析】由題意可得出。+26=1,再由基本不等式“1”的代換求解即可.

【詳解】因為直線(a-l)x+.v-l=0和x+2如+1=0垂直,

所以（a—1>1+1-2方=0,所以。+26=1,

因為Q>0,b>0,

由21(21Y、4ba14ba

所以—I—=—I—(a+2b)—4H---1-24+2J——=8,

ab\ab)ab\ab

當且僅當竺=q,即b==L時取等.

ab42

故選：C.

6.在三棱錐P—/BC中，尸4尸8,PC兩兩垂直，且尸2=1,必=2,PC=3,三角形NBC重心為G,則

點尸到直線ZG的距離為()

A.2B.叵C.巫D.叵

331717

【答案】D

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，確定各點坐標，得到秒=(1,0,0),就=計算強在前的投

影為-冬叵，在根據(jù)勾股定理計算得到答案.

17

【詳解】如圖所示：以尸4必，尸C為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

則P(0,0,0),^(1,0,0),5(0,2,0)C(0,0,3),則

B

PA=(1,0,0),NG=(一§，5，1],

_2

PAAGY2V17

故方在〃的投影為不口=而=一k

丁

心/T7YFyri

點尸到線ZG的距離為，1—會U

O17J17

故選：D.

7.直線/經(jīng)過拋物線「=6x的焦點E,且與拋物線交于A,3兩點.若|4F|=3忸廠則|48|=

99

A.4B.-C.8D.-

24

【答案】C

【解析】

【分析】首先根據(jù)焦半徑公式并結合條件，得到點43的坐標，即可求得弦長|4B].

【詳解】拋物線的焦點坐標為0),準線方程為x=-1,

設/(X],必)，B(、2,%)，%=6須，%=6%，

因為|/尸|=3忸9],所以項+1~=3。2+，得再=3工2+3,①

因為廠|=3忸司，所以皿=3同，gpXj=9X2,②

91

由方程①②可得Xi=5,x2=-,

33

所以|AB|—+5+x?+5=+“2+3=8.

故選：C

422

8.已知。=ln—,b=—,c=sin—,貝ij()

377

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.a<c<b

【答案】B

【解析】

【分析】利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)判斷出瓦C的大小關系，利用對數(shù)、指數(shù)運算判斷出。力的關系，進而

確定正確答案.

【詳解】構造函數(shù)/(x)=x-sinx,(x)=1-cosx之0,

222/、22

所以在上單調遞增，所以/

/（x）R--sm->O=f(OY->sm-9b>c,

21

a=ln-=]n丫=2xIn―r,b=2x—；

3V37

-211_2i

故只需比較1口［5與,=ine，；也即比較71r與亞；

128.

也即比較

128128c.

而---~rx~~[0入/x2.74,e?2.72，

27V327x1.732

[28

所以27-73>°'所以”>人

綜上所述，c<b<a.

故選：B

二、選擇題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知二項式（3x-l）”的展開式中各項的系數(shù)的和為128,則下列結論中正確的有（）

A.展開式共有7項B.所有二項式系數(shù)的和為128

C.只有第4項的二項式系數(shù)最大D.展開式的常數(shù)項為-1

【答案】BD

【解析】

【分析】首先根據(jù)系數(shù)和公式求〃，再根據(jù)二項式定理和二項式系數(shù)的性質，判斷選項.

【詳解】由題意可知，當x=l時，2"=128，所以〃=7,

二項式（3x-1）’的展開式共有8項，所有的二項式系數(shù)的和為27=128，

其中最大的二項式系數(shù)為C；和C：,為第4項和第5項，展開式的常數(shù)項為（-1）7=-1,

其中只有BD正確.

故選：BD

10.聲音是由物體振動產生的聲波，純音的數(shù)學模型是函數(shù)y=Zsinof,我們聽到的聲音是由純音合成，

稱為復合音.若一個復合音的數(shù)學模型是函數(shù)/(x)=sin；x-gsiiw,則下列結論中正確的是()

A./(x)是奇函數(shù)B.“X)在區(qū)間(0,2兀)內有最大值或

4

C./(x)的周期是27rD./(x)在區(qū)間(0,2兀)內有一個零點

【答案】AB

【解析】

【分析】A.利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；B,利用導數(shù)法求解判斷；C.利用周期函數(shù)的定義判斷；D.利用零點

的定義求解判斷.

【詳解】解：因為函數(shù)/(x)=singx—；sinx的定義域為R,關于原點對稱，

且/(T)=sinxj-—sin(-x)=一1sin—x--sinxj=-/(%),所以/(x)是奇函數(shù)，故A正確;

111(1XC1)

求導=—cos—X-—cosx=—cos—x-cos2—XH———1—cos-X1+2cos-X,

v722222222(2兒2)

當與］時，gxe］o，g］，cos|xe^-］，則/()>0，

所以/(x)在［o,上單調遞增,

,「4兀0、工1(2n}1(-1,—.,則/(x)<0,

UJ2UJ21

所以/(x)在［］，2兀］上單調遞減，

則/(x)1mx=/1.］=竽，故B正確；

/(x+27i)=sing(x+2兀)一;sin(x+2兀)=一§>in^-x-gsinxw/①)，故C錯誤；

111111

sm—x——sinx=sm—x-sm—xcos—x=sm—x1-cos—x

2222222

令/（x）=0得,singx=0或cos；x=l,因為xe（0,2?r）,gxe（0,兀），則xe0,故D錯誤,

故選：AB

22

11.己知曲線C：—土=1的焦點為片，F(xiàn),點P為曲線。上一動點，則下列敘述正確的是（）

4-mm2

A.若加=1,則△尸片鳥的內切圓半徑的最大值為指-2

B.若加=3,則曲線C的焦點坐標分別是片卜亞,0）,g（J5,o）

C.若曲線。的離心率為0=拽，則"7=-2或機=6

3

JT

D.若曲線。是雙曲線，且一條漸近線的傾斜角為一，則加=-2

3

【答案】AC

【解析】

【分析】當加=1時，求出aw鳥面積的最大值，利用分割法建立內切圓半徑的關系式，結合橢圓的定義

可求得△回心內切圓半徑的最大值，可判斷A選項；當加=3時，求出曲線。的焦點坐標，可判斷B選

項；根據(jù)雙曲線的離心率求出實數(shù)加的值，可判斷C選項；根據(jù)雙曲線的漸近線方程求出實數(shù)加的值，可

判斷D選項.

22

【詳解】對于A選項，若掰=1,則曲線。的方程為三■+/=],則q=G，b=l,c=^a-b=V2>

則△尸片鳥的面積S—=~2c-\yP\<-2c-b=bc=yl2,

設片鳥的內切圓半徑為r,

則s2PFR=3丫（KI+|尸用+E工|）=%伽+力）=+。）=（6+五>W五,

所以，Y廣廣V2（V3-V2）=V6-2,故A正確;

V3+V2

對于B選項，若〃2=3,則曲線。的方程為片+f=1,

3

則a=V31b=1,0=a2-b~=V2,

故橢圓C的焦點的坐標為伍,-0）和（0,、歷），故B錯誤；

對于C選項，若曲線。的離心率e=2回〉l，則曲線。為雙曲線，且￡=

3a13

4-m>0

若雙曲線。的焦點在x軸上，貝"八，可得加<0,

m<0

2222

上二+匕=1可化為———工=1,

4-mm4-m-m

此時a2=4-mb1=—m，

「24—4

貝I|02="+/=4—2加，二=解得M=—2；

a4-m3

4-m<0

若雙曲線。的焦點在y軸上，貝"八，可得加>4,

m>0

22-.22

」二+匕=1可化為2———=1,

4-mmmm-4

儲2M7—44

此時。2=加，b2=m-4則02=/+/=2加-4,—=------二一，解得加二6.

am3

綜上所述，若曲線。的離心率為e=拽，則加=-2或機=6,故C正確；

3

JT

對于D選項，若曲線。是雙曲線，且一條漸近線傾斜角為一，

3

則漸近線方程為y=+V3x,即一一：=o,

22

故可設雙曲線C的方程為\-2=1（2wo）,

232v7

加（4一掰）<0

所以，,加_32，解得m=6,故D錯誤.

A-m2

故選：AC.

12.關于空間向量，以下說法正確的是（）

A.若空間向量萬=（1,0,1）,6=（0,1,-1）,則彳在B上的投影向量為［（）,—3；］

--2—-1—■1—-

B.若對空間中任意一點0,有0P=—Q4——0B+-0C,則P,A,B,C四點共面

362

c.若空間向量彳，B滿足於B>o,則彳與B夾角為銳角

D.若直線/的方向向量為應=(2,4,—2),平面a的一個法向量為萬=(—1,—2,1),貝

【答案】ABD

【解析】

【分析】A投影向量定義求方在B上的投影向量；B由空間向量共面的推論判斷；C由B同向共線即可

判斷；D由加=-2〃即可判斷.

【詳解】A：G在b上的投影向量為h=—力=(0,—，對；

\b\\b\2{22；

B：在麗=2次—工礪+工區(qū)中2—1+1=1,故P,4,B,。四點共面，對；

362362

c：當彳，B同向共線時限B>o也成立，但彳與B夾角不為銳角，錯；

D：由加=—2〃，即7〃//〃，故/J_a,對.

故選：ABD

第n卷(非選擇題共為分)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知角0的頂點在坐標原點，始邊與無軸的非負半軸重合，點(-1,8)在角a的終邊上，貝I

sin2。=.

【答案】-代

2

【解析】

【分析】先利用三角函數(shù)的定義得到sina,cosa,再利用二倍角的正弦公式求解.

【詳解】解：因為角0的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，點(-1,/)在角。的終邊上,

所以sin2a=2sina?cosa=2x

故答案為:

2

14.已知隨機變量X,y,其中X?(〃,b2),E(X)=E(y),P(H<2)=0.3,則

p（r>6）=.

【答案】0.2

【解析】

【分析】由服從的分布類型可直接求出￡（x）,E（y）,從而求出〃，再根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可

求解.

【詳解】因為X??6,所以￡（X）=6x；=2,

因為y?所以E（y）=〃,

又因為￡（x）=￡（y）,所以〃=2,

因為y?所以尸（y<2）=0.5,且產（y〉6）=尸（y<—2）,

又因為尸陰<2）=03,所以尸（y<—2）=0.2,所以尸（y〉6）=0.2.

故答案為：0.2.

15.若函數(shù)/（x）=d—gaV+x在［1,3］存在單調遞減區(qū)間，則°的取值范圍為

【答案】?！?

【解析】

【分析】將題意轉化為：/'（）在［］有解，利用參變量分離得到?！倒?，轉化為?！?/p>

x<01,33%+3xH—

XX/min

結合導數(shù)求解即可.

【詳解】f（x）=3x2-ax+l,等價于/'（x）<0在［1,3］有解，即3/—辦+1<0在［1,3］有解,

即a>3x+，在［1,3］有解，所以a〉［3x+一),

XVX7min

令g(x)=3x+—,X€［1,3］,

X

則g，(x)=3一3=初=〉o，即g(x)在［1,3］上是增函數(shù),

，gOOmin=8⑴=4，所以。>4.

故答案為：a>4.

16.如圖，A、3兩點分別在無、了軸上滑動，0P上AB,尸為垂足，尸點軌跡形成“四葉草”的圖形,

若45=2,則△04P的面積最大值為______.

【解析】

【分析】設N045=e,則，為銳角，可得出OP=sin26,上4=l+cos2。，由此可得出

SAOAP=^-(l+cos26>)sin26>,令/(x)=；sinx(cosx+l),其中0<x<7t,利用導數(shù)求出函數(shù)/(x)的

最大值，即為所求.

【詳解】設則。為銳角，所以，OA=ABcos0=2cos0,

因為OPIAB,則OP=OAsin。=2cos。sin。=sin20,

2

PA=OAcos0=2cos0=1+cos20>所以，SAOAP=^PAOP=~(1+cos26*)sin26>,

令/(x)=gsinx(cosx+

1),其中0<X<7l,

則/'(x)=geosX(cosX+l)-^-sin2x=^2cos2x+cosx-l^-(2cosx-l)^osx+l),

因為0cx<兀，則一1<COSX<1,則cosx+l〉0,

171

由/'(X)<O,可得COSX<],可得〈兀，

由#(x)〉0,可得cosx>j可得0<x<],

所以，函數(shù)/(X)在上單調遞增，在;，兀上單調遞減,

(°㈤時,/3max=/審=齊吟[1+3￡|

故當xe

所以，△04P面積的最大值為圭叵.

8

故答案為：空.

8

四、解答題：共6個小題，滿分70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.設乂為數(shù)列｛%｝的前〃項和.已知4%-3S“=n.

（1）證明：數(shù)列[是等比數(shù)列；

（2）設，=log2（3a“+1）,求數(shù)列＜胃一，的前〃項和7；.

【答案】（1）證明見解析

_n

（2）Tn=-_-

【解析】

【分析】（1）當〃=1時，求出外的值，當〃之2時，由4%—3S.=〃可得出3s,1=〃一1,兩式作

差可得出％+；=+,結合等比數(shù)列的定義可證得結論成立；

（2）由（1）中的結論可求出數(shù)列｛4｝的通項公式，可求得"的表達式，再利用裂項相消法可求得7；.

【小問1詳解】

證明：已知4%—35“=〃①，

當〃22時，4%_i-3sl=〃一1②，

①一②得:4%-4%-34篦=1,即%=4%_1+1,

所以，%+g=4%—i+；=4（%_i+g],

14

當〃=1時，則％=4%-3sl=1,則q+§=§,

所以，數(shù)列是首項為：，公比為4的等比數(shù)列.

【小問2詳解】

解：由（1）可知，a4+；=1%+；1卜4"4”4"—1

T=§，則%

33

所以，bn=log2（3??+1）=log24"=2n,

bnbn+l2〃（2〃+2）4n[n+1）4n+\J

111Jilln

=----1-----1---1-----1------1---------F???+

貼2b2b3b“b"+i4I223nn+1J4vn+1J4G+i）.

18.在銳角中，角A、B、。所對的邊分別為。、b、

①2acosB+6_2c=0；②色￡+g=31_；③taa8=萼上正.

cosBbsin28V3tanC-l

在以上三個條件中選擇一個，并作答.

（1）求角A；

（2）已知AA5C的面積為G，2。是邊上的中線，求的最小值.

7T

【答案】（1）條件選擇見解析，A=-

3

⑵V3

【解析】

【分析】（1）選①，利用余弦定理化簡可得出COS/的值，結合角A的取值范圍可得出角A的值；選②，

利用正弦定理結合三角恒等變換可得出sinA的值，結合角A的取值范圍可得出角A的值；選③，利用已

知等式結合兩角和的正切公式、誘導公式可得出tan/的值，結合A的取值范圍可得出角A的值；

（2）利用三角形的面積公式可得出Ac的值，利用平面向量的線性運算可得出2彳萬=刀+衣，利用平面

向量的數(shù)量積結合基本不等式可求得AD長的最小值.

【小問1詳解】

/J_h2

解：若選①，因為2QCOS5+6—2。=0,即2a巴以一匕+b—2c=0,

2ac

則/+c2T2+兒_2c2=0,即°2+/_/=秘，所以，cosZ=L

2bc2

因為故/=方；

若選②，原式等價于整￡+皿V3RnsioBcosC+cosfisinCV3

fR|J---------------

cos5sinBsin25-------------sinScos5sin25

百_sin（5+C）_2sin/

即sin23-J_sin2j6-sin25-

2

因為A、Be［。,：］,則0<23<兀，所以，sin2S>0,則$也2=等，故/=］；

若選③，原式等價于V3tan8tanC-tan8=tanC+6，

即一tanS-tanC=6（1-tanStanC）

所以，_jaii8+ta￡=5即—tan（5+C）=JI,即JJ=—tan（?！猌）=tan/,

1-tanStanC

因為故4=g.

【小問2詳解】

解：因為S△a4“m二—24bcsin/l=—be=后，所以，be=4,

因為。為的中點，

——??1??1/?>\1/>\

所以，2彳萬=刀+元，

貝U4詬2=國+西2=片+病+2%?方=尸+。2+2加（；05^=b2+c2+bc

>2bc+bc=3bc=12,貝!|畫》百，

b=c

當且僅當「“時，即當b=c=2時，等號成立.

be=4

因此，長的最小值為

19.某校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為3:3:4,三個年級的學生都報名參加公益志愿活動，經(jīng)過

選拔，高一年級有工的學生成為公益活動志愿者，高二、高三年級各有工的學生成為公益活動志愿者.

34

（1）設事件5="在三個年級中隨機抽取的1名學生是志愿者”；事件4="在三個年級中隨機抽取1名學

生，該生來自高i年級”（，=1,2,3）.請完成下表中不同事件的概率并寫出演算步驟:

事件概率尸(4)「⑷*4)尸伍⑷尸（叫4）p（叫4）P⑻

]_

概率值

3

（2）若在三個年級中隨機抽取1名學生是志愿者，根據(jù)以上表中所得數(shù)據(jù)，求該學生來自于高一年級的概

率.

【答案】（1）表格見解析，演算步驟見解析

⑵—

11

【解析】

【分析】（1）根據(jù)三個年級的人數(shù)比值，以及每層抽取的比例，即可填寫表格，再根據(jù)全概率公式，即可

求解

（2）根據(jù)條件概率公式，即可求解

【小問1詳解】

33

根據(jù)三個年級的人數(shù)比值為3:3:4,則尸（4）=-------=—

尸⑷磊尸（4）本|,

由每個年級的抽取比例可知，尸（吊4）=；，尸（吊4）=；，

由全概率公式，得尸（8）=尸（4）產（3|4）+尸（人2）尸（8|4）+尸（4）尸（8|4）

31312111

=-x—+--X—H——x—=——,

1031045440

事件概率「⑷尸⑷「⑷P(8⑷P(14)尸仍闖P⑻

332]_]_11

概率值

W10534440

31

）（

【小問2詳解】該學生來自于高一年級的概率尸（/4?忸、）=［P詁UB，=尸ZjP（叫4.

40

20.已知多面體Z8CDEE的底面/BCD為矩形，四邊形為平行四邊形，平面E8C，平面/BCD,

FB=